Voir la source de Lemme fondamental (programme de Langlands)


En [[mathématiques]], et plus précisément en théorie des [[Forme automorphe|formes automorphes]], le '''lemme fondamental''' relie les intégrales orbitales d'un [[groupe réductif]] sur un [[corps local]] aux intégrales orbitales stables de ses [[Groupe endoscopique|groupes endoscopiques]]. Ce lemme a été conjecturé par [[Robert Langlands]] en 1983, lors de l'élaboration du [[programme de Langlands]]. Le lemme fondamental a été prouvé par [[Gérard Laumon]] et [[Ngô Bảo Châu]] dans le cas des [[Groupe unitaire|groupes unitaires]] puis par Ngô (en 2010) pour tout groupe réductif, en s'appuyant sur une série de réductions importantes apportées par [[Jean-Loup Waldspurger]] au cas des [[Algèbre de Lie|algèbres de Lie]]. Le magazine ''[[Time (magazine)|Time]]'' a placé la démonstration de Ngô dans la liste du « Top 10 des découvertes scientifiques de 2009 »<ref>{{Lien web |titre=Top 10 Scientific Discoveries of 2009 |url=http://www.time.com/time/specials/packages/article/0,28804,1945379_1944416_1944435,00.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20091213010530/http://www.time.com/time/specials/packages/article/0,28804,1945379_1944416_1944435,00.html |archive-date=December 13, 2009 |site=[[Time (magazine)|Time]]}}</ref> et lui a valu la [[médaille Fields]] en 2010.

== Motivation et histoire ==
Langlands a décrit une stratégie pour prouver les [[Programme de Langlands|conjectures de Langlands locales et globales]] en utilisant la {{Lien|lang=en|trad=Arthur–Selberg trace formula|fr=formule des traces d'Arthur-Selberg}}, mais pour que cette approche fonctionne, {{Pas clair|le côté géométriques de la formule de trace pour différents groupes doivent être liés d'une manière particulière|La phrase commence au singulier et termine au pluriel}}. Cette relation prend la forme d'identités entre [[Intégrale orbitale|intégrales orbitales]] sur les [[Groupe réductif|groupes réductifs]] ''G'' et ''H'' sur un [[corps local]] non archimédien ''F'', où le groupe ''H'', appelé [[groupe endoscopique]] de ''G'', est construit à partir de ''G'' et de quelques données supplémentaires.

Le premier cas considéré fut <math>G = {\rm SL}_2</math> {{Référence Harvard|Labesse|Langlands|1979}}. Langlands et Diana Shelstad ont ensuite développé le cadre général de la théorie du transfert endoscopique et formulé des conjectures spécifiques. Cependant, au cours des deux décennies suivantes, seuls des progrès partiels ont été réalisés dans la preuve du lemme fondamental<ref>Kottwitz and Rogawski for <math>{\rm U}_3</math>, Wadspurger for <math>{\rm SL}_n</math>, Hales and Weissauer for <math>{\rm Sp}_4</math>.</ref>{{,}}<ref>[http://www.newton.ac.uk/programmes/ALT/seminars/051316301.pdf Fundamental Lemma and Hitchin Fibration], Gérard Laumon, May 13, 2009</ref>. [[Michael Harris (mathématicien)|Harris]] l'a qualifié de « goulot d'étranglement limitant les progrès sur une multitude de questions arithmétiques ». Langlands lui-même, écrivant sur les origines de l'endoscopie, écrit :
{{cquote|[...] ce n'est pas le lemme fondamental en tant que tel qui est critique pour la théorie analytique des formes automorphes et pour l'arithmétique des [[variété de Shimura|variétés de Shimura]] ; c'est la formule des traces stable, la réduction de la formule des traces à la formule des traces stable pour un groupe et ses groupes endoscopiques, et la stabilisation de la {{Lien|lang=en|trad=Grothendieck trace formula|fr=formule de Grothendieck-Lefschetz}}. Aucun de ces travaux n'est possible sans le lemme fondamental et son absence a rendu les progrès presque impossibles pendant plus de vingt ans<ref>[http://publications.ias.edu/rpl/series.php?series=55 publications.ias.edu]</ref>.}}

== Énoncé ==
Le lemme fondamental stipule qu'une intégrale orbitale ''O'' pour un groupe ''G'' est égale à une intégrale orbitale stable ''SO'' pour un groupe endoscopique ''H'', à un facteur de transfert Δ près {{Référence Harvard|Nadler|2012}} :

: <math>SO_{\gamma_H}(1_{K_H}) = \Delta(\gamma_H,\gamma_G)O^\kappa_{\gamma_G}(1_{K_G})</math>

où

* ''F'' est un [[corps local]],
* ''G'' est un groupe non ramifié défini sur ''F'', autrement dit un groupe réductif quasi-scindé défini sur ''F'' qui se scinde sur une extension non ramifiée de ''F,''
* ''H'' est un groupe endoscopique non ramifié de ''G'' associé à κ,
* ''K'' <sub>''G''</sub> et ''K'' <sub>''H''</sub> sont des sous-groupes compacts maximaux hyperspéciaux de ''G'' et ''H'', ce qui signifie que ce sont des sous-groupes de points à coefficients dans l'anneau des entiers de ''F,''
* 1<sub>''K''<sub>''G''</sub></sub> et 1<sub>''K''<sub>''H''</sub></sub> sont les fonctions caractéristiques de ''K''<sub>''G''</sub> et ''K''<sub>''H,''</sub>
* Δ(γ<sub>''H''</sub>,γ<sub>''G''</sub>) est un facteur de transfert, une certaine expression élémentaire dépendant de γ<sub>''H''</sub> et γ<sub>''G,''</sub>
* γ<sub>''H''</sub> et γ<sub>''G''</sub> sont des éléments de ''G'' et ''H'' représentant des classes de conjugaison stables, telles que la [[Action par conjugaison|classe de conjugaison]] stable de ''G'' est le transfert de la classe de conjugaison stable de ''H'',
* κ est un caractère du groupe des classes de conjugaison dans la classe de conjugaison stable de γ<sub>''G.''</sub>

== Approches ==
{{Harvsp|Shelstad|1982}} démontre le lemme fondamental pour les [[Corps archimédien|corps archimédiens]].

{{Harvsp|Kottwitz|1992}} et {{Harvsp|Blasius|Rogawski|1992}} ont vérifié quelques cas du lemme fondamental pour des [[Groupe unitaire|groupes unitaires]] de dimension 3.

{{Harvsp|Hales|1997}} et {{Harvsp|Weissauer|2009}} ont vérifié le lemme fondamental pour les groupes Sp<sub>4</sub>, GSp<sub>4</sub>.

Un article de [[George Lusztig]] et [[David Kazhdan]] souligne que les intégrales orbitales pouvaient être interprétées comme un comptage de points sur certaines variétés algébriques sur des corps finis. De plus, les intégrales en question peuvent être calculées d'une manière qui dépend uniquement du corps résiduel de ''F'' ; et le problème peut être réduit à la version algèbre de Lie des intégrales orbitales. Le problème a ensuite été reformulé en termes de fibre de Springer de [[Groupe algébrique|groupes algébriques]]. {{Harvsp|Laumon|Ngo|2008}} ont prouvé le lemme fondamental pour les groupes unitaires, en utilisant la [[Système de Hitchin|fibration de Hitchin]] introduite par {{Harvsp|Ngô|2006}}, qui est un analogue géométrique abstrait du [[système de Hitchin]] en [[géométrie algébrique]] complexe. {{Harvsp|Waldspurger|2006}} a montré (pour les algèbres de Lie) que le cas du [[corps de fonctions]] implique le lemme fondamental sur tout corps local, et {{Harvsp|Waldspurger|2008}} a montré que le lemme fondamental pour les algèbres de Lie implique le lemme fondamental pour les groupes.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Fundamental lemma (Langlands program)|id1=1187173735}}

{{Références}}

== Bibliographie ==
*{{Chapitre | nom1=Blasius |langue=en| prénom1=Don | nom2=Rogawski | prénom2=Jonathan D. | auteur ouvrage=[[Robert Langlands|Robert P. Langlands]] et Dinakar Ramakrishnan |titre ouvrage=The zeta functions of Picard modular surfaces | éditeur=Université de Montréal | lieu=Montréal | isbn=978-2-921120-08-1  | mr=1155234  | année=1992 | titre chapitre=Fundamental lemmas for U(3) and related groups | pages=363-394}}
*{{ouvrage|nom1=Casselman|langue=en|prénom1=William|lien auteur1=William Casselman|titre=Langlands' Fundamental Lemma for SL(2)|url=http://www.math.ubc.ca/~cass/research/pdf/SL2.pdf|année=2009}}
*{{Article|prénom1=Jean-François|nom1=Dat|url=http://www.math.univ-paris13.fr/~dat/publis/lf.pdf|titre=Lemme fondamental et endoscopie, une approche géométrique, d'après Gérard Laumon et Ngô Bao Châu|éditeur=[[Société mathématique de France]]|périodique=[[Séminaire Bourbaki]]| numéro=940|date=novembre 2004}}
*{{Article|langue=en|nom1=Hales|prénom1=Thomas C.|lien auteur1=Thomas Hales|titre=The fundamental lemma for Sp(4)|doi=10.1090/S0002-9939-97-03546-6|mr=1346977|année=1997|date=|périodique=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]|issn=0002-9939|volume=125|numéro=1|pages=301-308|accès doi=libre}}
*{{ouvrage|lire en ligne=http://www.institut.math.jussieu.fr/projets/fa/bp0.html|langue=fr|nom1=Harris|prénom1=Michael|lien auteur1=Michael Harris|titre=Stabilisation de la formule des traces, variétés de Shimura, et applications arithmétiques|consulté le=2012-01-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20120420195831/http://www.institut.math.jussieu.fr/projets/fa/bp0.html|archive-date=2012-04-20}}
*{{Article|langue=en|nom1=Kazhdan|prénom1=David|lien auteur1=David Kazhdan|nom2=Lusztig|prénom2=George|lien auteur2=George Lusztig|titre=Fixed point varieties on affine flag manifolds|doi=10.1007/BF02787119|accès doi=libre|mr=947819|année=1988|date=|périodique=[[Israel Journal of Mathematics]]|issn=0021-2172|volume=62|numéro=2|pages=129-168}}
*{{Chapitre | nom1=Kottwitz |langue=En| prénom1=Robert E. | lien auteur1=Robert Kottwitz | auteur ouvrage=Robert P. Langlands et Dinakar Ramakrishnan |titre ouvrage=| titre=The zeta functions of Picard modular surfaces | éditeur=Université de Montréal | lieu=Montréal | isbn=978-2-921120-08-1  | mr=1155233  | année=1992 | titre chapitre=Calculation of some orbital integrals | pages=349-362}}
*{{Article|nom1=Labesse|langue=En|prénom1=Jean-Pierre|nom2=Langlands|prénom2=Robert P.|titre=L-indistinguishability for SL(2)|doi=10.4153/CJM-1979-070-3|mr=540902|année=1979|date=|périodique=[[Canadian Journal of Mathematics]]|issn=0008-414X|volume=31|numéro=4|pages=726-785|s2cid=17447242|accès doi=libre}}
*{{ouvrage | nom1=Langlands | prénom1=Robert P. | titre=Les débuts d'une formule des traces stable | lire en ligne=http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/endoscopy.html#debuts | éditeur=Université de Paris VII U.E.R. de Mathématiques | lieu=Paris | collection=Publications Mathématiques de l'Université Paris VII | mr=697567  | année=1983 | volume=13}}
*{{Article|nom1=Langlands|langue=En|prénom1=Robert P.|nom2=Shelstad|prénom2=Diana|titre=On the definition of transfer factors|doi=10.1007/BF01458070|mr=909227|année=1987|date=|périodique=[[Mathematische Annalen]]|issn=0025-5831|volume=278|numéro=1|pages=219-271|s2cid=14141632}}
*{{Chapitre | nom1=Laumon | prénom1=Gérard | lien auteur1=Gérard Laumon|titre=International Congress of Mathematicians. Vol. II | éditeur=European Mathematical Society|lieu=Zürich | mr=2275603 | année=2006 | titre chapitre=Aspects géométriques du Lemme Fondamental de Langlands-Shelstad | pages=401-419 | consulté le=2012-01-09 | lire en ligne=https://web.archive.org/web/20120315001421/http://mathunion.org/ICM/ICM2006.2/ | archive-date=2012-03-15 }}
*{{Article | nom1=Laumon | prénom1=Gérard | nom2=Ngô | prénom2=Bao Châu|lien auteur2=Ngô Bảo Châu | titre=Le lemme fondamental pour les groupes unitaires | doi=10.4007/annals.2008.168.477 | mr=2434884  | année=2008 | périodique=[[Annals of Mathematics]] |série=2 | issn=0003-486X | volume=168 | numéro=2 | pages=477-573| arxiv=math/0404454 | s2cid=119606388 }}
*{{Article|nom1=Nadler|langue=En|prénom1=David|titre=The geometric nature of the fundamental lemma|doi=10.1090/S0273-0979-2011-01342-8|année=2012|date=|périodique=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|issn=0002-9904|volume=49|pages=1-50|arxiv=1009.1862|s2cid=30785271}}
*{{Article | nom1=Ngô | prénom1=Bao Châu | titre=Fibration de Hitchin et endoscopie | doi=10.1007/s00222-005-0483-7 | mr=2218781  | année=2006 | périodique=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=164 | numéro=2 | pages=399-453| bibcode=2006InMat.164..399N | arxiv=math/0406599 | s2cid=52064585 }}
*{{Article | nom1=Ngô | prénom1=Bao Châu | titre=Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie | doi=10.1007/s10240-010-0026-7 | accès doi=libre | mr=2653248  | année=2010 | périodique=Publications mathématiques de l'Institut des hautes études scientifiques | issn=0073-8301 | volume=111 | pages=1-169| arxiv=0801.0446 }}
*{{Article|nom1=Shelstad|langue=En|prénom1=Diana|titre=L-indistinguishability for real groups|doi=10.1007/BF01456950|mr=661206|année=1982|date=|périodique=[[Mathematische Annalen]]|issn=0025-5831|volume=259|numéro=3|pages=385-430|s2cid=121385109}}
*{{Article|prénom1=Jean-Loup|nom1=Waldspurger|lien auteur1=Jean-Loup Waldspurger|titre=Sur les intégrales orbitales tordues pour les groupes linéaires: un lemme fondamental|doi=10.4153/CJM-1991-049-5|mr=1127034|année=1991|date=|périodique=[[Canadian Journal of Mathematics]]|issn=0008-414X|volume=43|numéro=4|pages=852-896|accès doi=libre}}
*{{Article | nom1=Waldspurger | prénom1=Jean-Loup | titre=Endoscopie et changement de caractéristique | doi=10.1017/S1474748006000041 | mr=2241929  | année=2006 | périodique=Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu | issn=1474-7480 | volume=5 | numéro=3 | pages=423-525| s2cid=122919302 }}
*{{Ouvrage | nom1=Waldspurger | prénom1=Jean-Loup | titre=L'endoscopie tordue n'est pas si tordue | url=http://www.math.jussieu.fr/~waldspur/endoscopietordue.pdf | éditeur=[[American Mathematical Society]] | lieu=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-4469-4 | mr=2418405  | année=2008 | collection=Memoirs of the American Mathematical Society | issn=0065-9266 | volume=194 | numéro=908 | pages=261 | doi=10.1090/memo/0908 }}
*{{ouvrage|langue=En  | prénom1=Rainer| nom1=Weissauer | titre=Endoscopy for GSp(4) and the cohomology of Siegel modular threefolds | éditeur=[[Springer-Verlag]] | lieu=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-89305-9 | doi=10.1007/978-3-540-89306-6 | mr=2498783  | année=2009 | volume=1968}}

== Liens externes ==

* [http://www.fields.utoronto.ca/audio/02-03/shimura/laumon/ Conférence de Gérard Laumon sur le lemme fondamental pour les groupes unitaires]

{{Portail|Mathématiques}}

[[Catégorie:Programme de Langlands]]
[[Catégorie:Groupe algébrique]]