Voir la source de Lemniscate

Une '''lemniscate''' est une [[courbe plane]] ayant la forme d'un [[8 (nombre)|8]]. Elle possède deux [[Symétrie axiale|axes de symétrie]] perpendiculaires. Ceux-ci se coupent en un point double de la courbe, également son centre de symétrie.

== Étymologie et histoire ==
[[Image:LemniscateB.png|thumb|300px|right|''La [[lemniscate de Bernoulli]]'']]

La lemniscate est connue depuis l'Antiquité grecque ; [[Persée (mathématicien)|Persée]], étudiant les {{page h'|spirique|spiriques}}, la définissait comme la section par un plan du volume formé par la rotation d'un cercle autour d'un axe tangentiel (soit un [[tore]] de rayon intérieur nul)<ref>{{article
 | prénom1 = Ivahn | nom1 = Smadja
 | titre = La lemniscate de Fagnano et la multiplication complexe
 | périodique = Hyper article en ligne — Sciences de l'Homme et de la société
 | éditeur = Institut des Sciences de l'Homme
 | lieu = Lyon
 | année = 2008
 | lire en ligne = http://halshs.archives-ouvertes.fr/docs/00/45/63/61/PDF/Lemniscate_-_SMADJA.pdf
}}</ref>.

La première lemniscate dont on ait exprimé la formule analytique, celle « de Bernoulli », fait partie de la famille des [[ovale de Cassini|ovales de Cassini]], décrits par [[Giovanni Domenico Cassini]] en 1680. Elle fut redécouverte en 1694 par [[Jacques Bernoulli]] lors de ses travaux sur l'[[ellipse (mathématiques)|ellipse]] et ses variations<ref>{{MathWorld|nom_url=Lemniscate|titre=Lemniscate}}</ref>, et baptisée {{traduction |langue=lat |lemniscus|ruban|oui}}, mot tiré du grec λημνίσκος, ''lèmnískos'', bandelette. La [[lemniscate de Bernoulli]] est souvent appelée simplement « lemniscate ».

On a pu penser que le [[infini (symbole)|symbole de l'infini]] (∞) provenait de la lemniscate de Bernoulli, mais la première utilisation de ce symbole remonte au moins à [[John Wallis]] en 1655<ref>John Wallis, [https://books.google.com/books?id=03M_AAAAcAAJ&pg=PA4&hl=fr&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus] (1655), section I, Prop.1, {{p.|4}}</ref>{{,}}<ref>Rubrique « D'où vient le symbole de l’infini ? » dans [http://mapage.noos.fr/r.ferreol/langage/notations/notations.htm Des questions d'origine], sur le site personnel de R. Ferréol, prof. de math. en [[Maths Sup]] à [[Lycée Fénelon (Paris)|Fénelon]]</ref>{{,}}<ref>{{en}} Rubrique « Infinity » dans [http://jeff560.tripod.com/calculus.html Earliest Uses of Symbols of Calculus], sur le site personnel de Jeff Miller<!--Qui est-il ?--></ref> (soit 40 ans avant la description de Bernoulli), et lui est même sans doute antérieure (voir l'article [[Infini]]).

== Équation cartésienne ==
Si l'on prend pour axe des abscisses la droite joignant les deux sommets, et pour axe des ordonnées son autre axe de symétrie, l'équation d'une lemniscate peut s'écrire :
:<math>y=\pm\,a\,f\!\left(\frac xa\right)</math>
où {{math|''a''}} désigne une constante et {{math|''f''}} une [[fonction paire]] [[ensemble de définition|définie sur]] l'intervalle [–1,+1], vérifiant {{math|1=''f''(0) = ''f''(1) = 0}} et présentant un unique maximum sur l'intervalle ]0,1[.

Cette formule générale explicitant {{math|''y''}} n'est souvent pas, cependant, la façon la plus simple de représenter une lemniscate. Pour celle de Bernoulli, par exemple, la formule explicite est :
:<math>y=\pm\,\frac a\sqrt2\,\sqrt{\sqrt{1+8\left(\frac xa\right)^2}-\left[1+2\left(\frac xa\right)^2\right]}~~(|x|\le a)</math>
alors que l'[[équation implicite]] est plus commode à manipuler :
:<math>(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2).</math>

== Exemples de lemniscates ==
Lemniscates les plus usuelles :
* [[lemniscate de Bernoulli]], la plus classique ;
* [[lemniscate de Gerono]], en fait une [[courbe de Lissajous]] ;
* [[lemniscate de Booth|lemniscates de Booth]], une généralisation du cas précédent ;
* [[courbe du diable]] ;
* [[besace (mathématiques)|besace]] ;
*[[Infini (symbole)|symbole de l'infini]] ;
* transformée d'une [[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] par une [[Inversion (géométrie)|inversion]].
<gallery caption="Divers exemples de lemniscates">
Lemniscate of Bernoulli.svg|Lemniscate de Bernoulli.
Lemniscate of Gerono.svg|Lemniscate de Gerono.
Lemniscate of Booth.png|Lemniscates de Booth.
Devils curve a=0.8 b=1.svg|Une courbe du diable.
Besace.png|Besace.
Analemma pattern in the sky.jpg|Exemple d'analemme.
</gallery>

== Constantes de la lemniscate ==
* Les « [[Constante de Gauss#Constantes de la lemniscate|constantes de la lemniscate]] » sont deux nombres {{math|''L''{{ind|1}}}} et {{math|''L''{{ind|2}}}}, calculés par [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], qui interviennent dans le calcul de la longueur d'une [[lemniscate de Bernoulli]].

== Pseudonyme ==
* André Rondenay, polytechnicien et délégué militaire de la région de Paris en 1944, avait choisi « Lemniscate » comme pseudonyme<ref>[http://www.ordredelaliberation.fr/ Musée de l'Ordre de la Libération].</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Lemniscate|wikt=lemniscate}}

=== Articles connexes ===
* [[Analemme]], figure en forme de huit (positions du soleil dans le ciel au cours d’une année, à la même heure et au même endroit)

=== Liens externes ===
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/lemniscate/lemniscategene.shtml Lemniscate, sur MathCurve].

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[[Catégorie:Courbe algébrique]]
[[Catégorie:Courbe]]

[[ro:Lemniscată]]