Voir la source de Lemniscate de Gerono

{{Ébauche|mathématiques}}
[[Image:Lemniscate-of-Gerono.svg|vignette|droite|250px|La lemniscate de Gerono pour ''a'' = 1]]

La '''lemniscate de Gerono''' est une courbe plane, qui a été étudiée par [[Grégoire de Saint-Vincent]] en [[1647 en science|1647]] puis par [[Gabriel Cramer]] en [[1750 en science|1750]].

== Équations ==

Paramétrisation cartésienne : &nbsp;<math>\begin{cases}x=a\,\sin t\\y=a\,\sin t\,\cos t\end{cases} \quad(\cos t=\tan\theta),</math>&nbsp; où <math>\theta</math> désigne l'[[Coordonnées polaires#Placer des points en coordonnées polaires|angle polaire]].


[[Équation algébrique]] : &nbsp;<math>x^4=a^2\,(x^2-y^2)</math>&nbsp;&nbsp; ou &nbsp;&nbsp;<math>a\,y=\pm x\,\sqrt{a^2-x^2}.</math>


[[Équation polaire]] : &nbsp;<math>\rho^2=a^2\,\frac{\cos 2\theta}{\cos^4\theta},</math>&nbsp; où &nbsp;<math>\rho</math>&nbsp; désigne la [[Coordonnées polaires#Placer des points en coordonnées polaires|distance radiale]].

La longueur de la courbe vaut
:<math>s= \left[ 4\sqrt[4]{2}\left(E(k)-K(k)\right) + \frac{(3+2\sqrt{2})\sqrt[4]{8}}{2}\Pi\left(\frac{4-3\sqrt{2}}{8},k\right)\right]a</math>
où {{mvar|K}}, {{mvar|E}} et {{math|&Pi;}} désignent respectivement les [[Intégrale elliptique|intégrales elliptiques complètes de {{1re}}, {{2e}} et {{3e}} espèce]], pour <math display=inline>k=\frac{\sqrt{2+4\sqrt{2}}}{4}.</math>

Son aire totale est de &nbsp;<math>\frac43a^2.</math>

La lemniscate de Gerono est un cas particulier de [[Besace (mathématiques)|besace]].

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Lemniscate of Gerono}}

=== Articles connexes ===
* [[Lemniscate]]
* [[Lemniscate de Bernoulli]]

=== Liens externes ===
* {{mathworld|nom_url=EightCurve|titre=Eight Curve}}
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/gerono/gerono.shtml Lemniscate de Gerono, sur MathCurve]

{{Palette Courbes}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Courbe algébrique]]
[[Catégorie:Courbe]]