Voir la source de Leonhard Euler

{{Redirect|Euler}}
{{En-tête label|BA|année=2009}}
{{Infobox Scientifique
 | charte            = mathématicien
 | nom               = Leonhard Euler
 | image             = Leonhard Euler 2.jpg
 | légende           = Portrait par Johann Georg Brucker (1756).
 | date de naissance = {{date de naissance|15|avril|1707}}
 | lieu de naissance = [[Bâle]]
 | pays de naissance = [[Suisse]]
 | date de décès     = {{date de décès|18|septembre|1783|15|avril|1707}}
 | lieu de décès     = [[Saint-Pétersbourg]]
 | pays de décès     = [[Empire russe]]
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 | champs            = [[Mathématiques]] et [[physique]]
 | institutions      = [[Académie des sciences de Russie]]<br>[[Académie royale des sciences de Prusse|Académie de Berlin]]
 | diplôme           = [[Université de Bâle]]
 | directeur thèse   = [[Jean Bernoulli]] (1726)
 | étudiants thèse   = 
 | renommé pour      = [[Liste des sujets nommés d'après Leonhard Euler|Liste complète]]
 | prix              = 
 | notes             = 
 | signature         = Euler's signature.svg
}}

'''Leonhard Euler''' ({{API-de|ˈleːɔnhaʁt ˈɔɪ̯lɐ|lang|De-Leonhard Euler.ogg}}), né le {{date de naissance|15|avril|1707}} à [[Bâle]] ([[Suisse]]) et mort le {{date de décès|7|septembre|1783|julien=oui}} à [[Saint-Pétersbourg]] ([[Empire russe]])<ref name="ENCARTA" />, est un [[mathématicien]] et [[physicien]] [[suisse]], qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne. Il était notamment membre de l'[[Académie royale des sciences de Prusse]] à [[Berlin]].

Euler fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[calcul infinitésimal]] et la [[théorie des graphes]]. Il introduisit également une grande partie de la [[terminologie]] et de la [[Notation (mathématiques)|notation]] des [[mathématiques modernes]], en particulier pour l'[[Analyse (mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[Application (mathématiques)|fonction mathématique]]<ref name="function">{{Ouvrage|langue=en|prénom1=William|nom1=Dunham|lien auteur1=William Dunham|titre=Euler|sous-titre=The Master of Us All|lieu=Washington|éditeur=[[Mathematical Association of America|MAA]]|année=1999|pages totales=185|passage=17|isbn=978-0-88385-328-3|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=x7p4tCPPuXoC}}.</ref>. Il est aussi connu pour ses travaux en [[mécanique (science)|mécanique]], en [[dynamique des fluides]], en [[optique]] et en [[astronomie]] ou en géométrie du [[triangle]].

Euler est considéré comme un éminent mathématicien du {{s|XVIII}} et l'un des plus grands et des plus prolifiques de tous les temps. Une déclaration attribuée à [[Pierre-Simon de Laplace]] exprime l'influence d'Euler sur les mathématiques : {{citation|Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous<ref name="Laplace">{{harvsp|Dunham|1999|p=xiii}}</ref>.}} Il était un fervent [[chrétien]], croyant en l'[[inerrance biblique]], et s'opposa avec force aux [[Athéisme|athées]] éminents de son temps.

== Biographie ==
=== Premières années ===

[[Fichier:Euler-10 Swiss Franc banknote (front).jpg|vignette|Ancien billet de 10 [[Franc suisse|francs suisses]], honorant Euler.]]

Leonhard Euler naît le {{date-|15 avril 1707}} à [[Bâle]]<ref name="ENCARTA">{{Lien web
   | url         =http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://fr.encarta.msn.com/encyclopedia_761556057/Euler_Leonhard.html&title=Leonhard%20Euler
   | titre       = Leonhard Euler
   | site        =[[Encarta]]
}}.</ref>, il est le fils de Paul Euler (1670-1745), modeste [[Pasteur protestant|pasteur]] des [[Églises réformées]] de [[Suisse]], affecté provisoirement à la paroisse Saint-Jacques au cœur de la cité bâloise et de Margaretha Brucker (1677-1761), fille de pasteur. Il a deux jeunes sœurs du nom d'Anna Maria et de Maria Magdalena<ref>{{harvsp|Bogolyubov|Mikhailov|Yushkevich|2007|p=400}}.</ref>. En 1708, alors que Leonhard n'a pas un an, la famille Euler déménage de Bâle pour rejoindre la campagne voisine à [[Riehen]], où Paul Euler est nommé pasteur de la paroisse homonyme. Leonhard passe la plus grande partie de sa prime enfance entre [[Riehen]], modeste village où se situe la maison du pasteur Euler, centre d'un foyer familial pieux et dévot, et Bâle, où résident ses grands-parents, ainsi que la plupart des amis de son père, anciens collègues à l'université de confession [[Calvinisme|calviniste]] affirmée. Paul Euler, qui a suivi les cours de [[Jakob Bernoulli]], est un ami du [[médecin]], à la fois [[mathématicien]] et [[Érudition|érudit]] [[Humanisme|humaniste]], [[Jean Bernoulli]], le frère de Jakob, depuis leurs jeunes années d'études universitaires. Paul donne les premières leçons de mathématiques à son fils et constate rapidement sa précocité d'assimilation et son esprit vif en [[Calcul (mathématiques)|calcul]] et géométrie. Lycéen à neuf ans dans la ville de Bâle, le jeune Leonhard réside chez sa grand-mère maternelle et il est déjà familier de la maison [[famille Bernoulli|Bernoulli]]. Son père a souhaité au départ le confier au tutorat bienveillant de son ami, qui s'impose petit à petit comme un des principaux mathématiciens [[Europe|européens]] après avoir repris inopinément la charge de mathématicien de son défunt frère à l'[[université de Bâle]] en 1705. Mais le professeur Bernoulli refuse se disant accaparé par sa recherche et les fonctions de sa chaire : il ne peut que conseiller de bonnes lectures d'initiation à Leonhard, le laisser jouer avec son jeune fils Jean comme il en a pris l'habitude, et l'inviter comme un fils au sein de sa famille, pour le grand plaisir de sa femme, si sa grand-mère accepte et s'il est libre, durant les veilles de dimanches et de fêtes religieuses. Conscient des lacunes scientifiques du modeste lycée auquel il l'a inscrit, Paul Euler réserve à son fils des leçons particulières auprès du maître Johannes Burckhardt (1691-1743), à la fois [[théologie]]n et mathématicien.

À l'âge de treize ans, en 1720, Leonhard est inscrit à l'[[université de Bâle]], et en 1723 obtient sa maîtrise de philosophie ou {{Langue|la|''Magister Philosophiæ''}}, grâce à une dissertation qui compare les idées maîtresses de [[René Descartes|Descartes]] à celles de [[Isaac Newton|Newton]]. À cette époque, tous les samedis après-midi, l'étudiant peut poser des questions sur les difficultés rencontrées durant ses lectures d'ouvrages recommandés à [[Jean Bernoulli]], qui ne lui donne pas à vrai dire de leçons particulières, mais lui explique au gré de la conversation ouverte les principes et raisonnements à mettre en œuvre. Ce faisant, Jean découvre un intérêt et un certain talent de Leonhard pour les questions mathématiques<ref name="childhood">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Ioan James|titre=Remarkable Mathematicians|sous-titre=From Euler to von Neumann|éditeur=Cambridge|année=2002|pages totales=286|passage=2|isbn=0-521-52094-0|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=ffz-0HnT3AIC&printsec=frontcover}}.</ref>.

Après ces trois années de tronc commun conclues en 1723, le jeune titulaire de la maîtrise doit en principe étudier la [[théologie]], le [[Grec ancien|grec]] et l'[[hébreu]] à la demande de son père, afin de devenir comme lui un bon pasteur, mais Jean Bernoulli parvient à convaincre Paul Euler que Leonhard a des remarquables dispositions pour devenir un excellent mathématicien. En 1726, il termine brillamment ses études de mathématiques. Il recherche en vain un poste universitaire d'assistant en mathématiques. Mais en {{date-|septembre 1726}} lui parvient une invitation de l'[[Académie des sciences de Saint-Pétersbourg|académie de sciences de Saint-Pétersbourg]] sur recommandation des fils de Jean, [[Daniel Bernoulli|Daniel]] et [[Nicolas Bernoulli (fils)|Nicolaus Bernoulli]], déjà expatriés en Russie depuis plus d'un an, avec une première offre d'une chaire de [[physiologie]] (sic) qui s'explique par la disparition tragique de Nicolaus. En {{date-|novembre 1726}}, Leonhard Euler se résigne à accepter finalement l'offre après avoir longtemps hésité, car ses connaissances en physiologie ne sont que rudimentaires, malgré un début de formation, et il espère encore un poste de professeur de physique à l'université de Bâle<ref name="stpetersburg">{{harvsp|Calinger|1996|p=125}}.</ref>. Ainsi, après une formation rapide et intense à la faculté de médecine de Bâle, il part le {{date-|5 avril 1727}} vers les lointaines rives de la Néva. Il n'a pas encore vingt ans.

En 1727, Leonhard participe au concours de l'[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences]] de [[Paris]] qui consiste à résoudre un problème scientifique. Cette année-là, le problème concret retenu consiste à justifier la meilleure façon de placer les [[mât]]s d'un navire. Euler remporte la deuxième place, derrière [[Pierre Bouguer]], aujourd'hui reconnu comme le « père de l'architecture navale ». Par la suite, Euler, participant assidu à ce concours, gagnera le prestigieux prix annuel douze fois dans sa carrière<ref name="prize">{{Article|lang=en|prénom=Ronald|nom=Calinger | année = 1996| titre = Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|revue=[[Historia Mathematica]]|volume = 23| numéro = 2| pages = 156 | doi = 10.1006/hmat.1996.0015 <!--Retrieved from CrossRef by DOI bot-->| issn=0315-0860 }}.</ref>.

=== Saint-Pétersbourg ===
Créée en 1724 par [[Pierre Ier le Grand|Pierre le Grand]], l'[[Académie des sciences de Saint-Pétersbourg]] était destinée à améliorer l'[[éducation en Russie]] et à combler le retard scientifique qui la séparait de l'[[Europe de l'Ouest|Europe occidentale]]. En conséquence, elle était particulièrement intéressante pour les jeunes diplômés de l'université, aventureux, et les maîtres soucieux d'obtenir une chaire. L'académie possède dès l'origine suffisamment de ressources financières et une bibliothèque complète tirée de la bibliothèque privée de Pierre le Grand et de la noblesse russe. Très peu d'étudiants sont inscrits dans l'Académie, de façon à diminuer la charge des professeurs, à mettre l'accent sur la recherche et à offrir à son corps professoral à la fois le temps et la liberté d'effectuer des recherches scientifiques<ref>{{harvsp|Calinger|1996|p=124}}.</ref>.

Répondant à l'appel dès sa fondation, les deux fils de Jean Bernoulli, [[Daniel Bernoulli|Daniel]] et [[Nicolas Bernoulli (fils)|Nicolaus]], travaillent dès l'année 1725 à l'[[Académie des sciences de Russie]] à [[Saint-Pétersbourg]]. En juillet [[1726]], Nicolas meurt de l'[[appendicite]] et la reprise par le cadet Daniel du poste de son frère en mathématiques et en physique explique la vacance du poste en physiologie qu'il avait préalablement occupé.

[[Fichier:Euler-USSR-1957-stamp.jpg|vignette|Timbre de 1957 de l'[[Union soviétique]] commémorant le {{250e|anniversaire}} d'Euler.]]

Euler arrive dans la capitale russe le {{date|17|mai|1727}}, le jour de la mort de [[Catherine Ire de Russie|Catherine {{Ire}} de Russie]], veuve de Pierre le Grand. Il s'attend à sa grande hantise à être affecté au département médical de l'académie, mais entretemps, un poste d'assistant s'est libéré au département de mathématiques. Il loge et travaille alors auprès de Daniel Bernoulli, qui, nommé professeur, n'est autre que son supérieur direct. Euler maîtrise assez rapidement le [[russe]], puis il s'installe de manière indépendante à Saint-Pétersbourg. Il prend également un emploi additionnel de médecin dans la [[Flotte maritime militaire de Russie|marine russe]]<ref name="medic">{{harvsp|Calinger|1996|p=127}}.</ref>.

La défunte [[Catherine Ire de Russie|Catherine {{Ire}} de Russie]] s'était efforcée de suivre la politique de son défunt mari. La noblesse russe reprend lentement le pouvoir lors de l'ascension de [[Pierre II de Russie]], âgé de douze ans. Les membres éminents de la noblesse se méfient des chercheurs étrangers ; le gouvernement réduit le financement universitaire et semble causer diverses tracasseries et difficultés aux recrues étrangères. Leurs conditions de travail semblent toutefois s'améliorer à la mort de Pierre II<ref>L'accession de l'impératrice [[Anne (impératrice de Russie)|Anna Ivanovna]] s'accompagne d'une augmentation (mal vécue) de l'influence politique et culturelle allemande en Russie.</ref>. Alors qu'Euler peut rapidement gravir les échelons au sein de l'Académie, jusqu'à devenir professeur de physique en [[1731]], Daniel Bernoulli se lasse de la censure et de l'hostilité dont il fait l'objet à Saint-Pétersbourg. Deux ans plus tard, il repart pour Bâle. Euler lui succède alors à la tête du département de mathématiques<ref name="promotion">{{harvsp|Calinger|1996|p=128-129}}.</ref>.

Le {{date|7|janvier|1734}}, il épouse Katharina Gsell ([[1707]]-[[1773]]), fille du peintre émigré en Russie {{Lien|langue=de|fr=Georg Gsell}} (1673-1740)<ref>{{harvsp|Bogolyubov|Mikhailov|Yushkevich|2007|p=402}}.</ref>. Georg Gsell est un peintre suisse originaire de Saint-Gall, recruté par Pierre le Grand en 1716 pendant son voyage en Europe, il est à la fois marchand d'art et conservateur de la [[Musée d'ethnographie et d'anthropologie de l'Académie des sciences de Russie|Kunstkamera]].

Le jeune couple achète une maison avec vue sur la [[Neva]]. De leurs treize enfants, cinq seulement atteignent l'âge adulte<ref name="wife">{{lien web|langue=en| url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Euler_Fuss_Eulogy.html| titre = Eulogy of Euler by Fuss|consulté le=30 August 2006|nom1= Fuss|prénom= Nicolas}}.</ref>, dont [[Johann Euler|Johann]], futur mathématicien, et {{lien|lang=de|trad=Christoph Euler|texte=Christoph}}, qui sera officier dans les armées prussienne et russe. Trois ans après le décès de Katharina Gsell en 1773, Leonhard Euler épouse une demi-sœur de celle-ci, Salomé Abigail Gsell (1723-1794), fille de Dorothea Graff (1678-1743) et de Georg Gsell (1673-1740). Dorothea Graff, fille de [[Anna Maria Sibylla Merian]] était comme elle peintre et naturaliste, et avait accompagné sa mère dans ses expéditions au Surinam<ref>{{harvsp|Bogolyubov|Mikhailov| Yushkevich|2007|p=396}}.</ref>.

L'intense activité professionnelle d'Euler ne l'empêche pas de s'intéresser à la situation politique du pays. À la guerre russo-ottomane qui, en 1739, vient de prendre fin s'ajoute le mécontentement de l'aristocratie locale, provoqué par la très forte présence germanique aux plus hauts postes du gouvernement et de l'administration. Avec l'accession au pouvoir, en 1740, de [[Élisabeth Ire (impératrice de Russie)|la fille]] de [[Pierre Ier le Grand|Pierre le Grand]], la crainte de sévères purges contre l'élite germanique {{incise|et, par extension, tous les étrangers}} pousse Euler à occuper un poste à l'[[Académie royale des sciences de Prusse|Académie prussienne des sciences]], sise à Berlin, qui lui est proposé par [[Frédéric II de Prusse]]<ref>{{Harvsp|Navarro Sandalinas|Renard|2018|p=71}}.</ref>.

=== Berlin ===
[[Fichier:Euler - Institutiones calculi differentialis, 1768 - 1338320 F.jpg|vignette|''Institutiones calculi differentialis''.]]
Euler quitte Saint-Pétersbourg le {{date|19|juin|1741}}, pour Berlin où il écrira plus de 380 articles. À Berlin, il publie deux célèbres ouvrages : l'''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' (« Introduction à l’analyse des infiniment petits »)<ref name="ENCARTA" />, un texte sur les fonctions publié en 1748 et ''Institutiones calculi differentialis'' (« Traité du calcul différentiel »)<ref>{{lien web|langue=en| titre = E212 -- Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum|éditeur=Dartmouth|url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E212.html}}.</ref>{{,}}<ref name="ENCARTA" />, publié en 1755 et traitant du calcul différentiel<ref name="Friedrich">{{harvsp|Dunham|1999|p=xxiv–xxv}}.</ref>.

En outre, Euler est invité à être le professeur de la [[princesse d'Anhalt-Dessau]], la nièce de Frédéric II. Euler lui écrit plus de 200 lettres, qui sont ensuite rassemblées dans un best-seller intitulé ''{{Lien|langue=en|trad=Letters to a German Princess|fr=Lettres à une princesse d'Allemagne}} sur divers sujets de physique et de philosophie''. Cet ouvrage contient des publications d'Euler sur divers sujets se rapportant à la physique et aux mathématiques, mais également sur des sujets philosophiques. Ce livre est devenu le plus largement lu de tous ses travaux mathématiques, et il a été publié en Europe et aux [[États-Unis]]. La popularité des « Lettres » témoigne de la capacité d'Euler à communiquer efficacement sur les [[Vulgarisation|questions scientifiques au public]], une capacité rare pour un chercheur scientifique<ref name="Friedrich"/>.

Après 26 ans passées à Berlin (1741 à 1766), où il devient directeur de fait de l'Académie après la mort de [[Pierre Louis Moreau de Maupertuis|Maupertuis]], Euler quitte Berlin pour retourner à Saint-Pétersbourg. Il semble qu'il ait été froissé du refus de Frederic II de lui conférer la direction officielle de l'Académie, en dépit de l'avis insistant de [[Jean Le Rond d'Alembert|d'Alembert]]<ref>{{en}} Ronald Calinger, ''Leonard Euler : Mathematical Genius in the Enlightenment, Princeton University Press, 2016, p. 432.</ref>. De son côté, le roi voulait trop régenter l'institution académique et préférait faire venir des Français philosophes peu du goût d'Euler. Finalement il accepte la fonction de vice-président de l'académie de Saint-Pétersbourg que la tsarine [[Catherine II]] de Russie lui offrait à des conditions avantageuses, et il quitta la Prusse en 1766, au grand regret du roi, qui voulut garder au moins son plus jeune fils près de lui<ref>Maximilien Marie, ''Histoire des sciences mathématiques et physiques'', vol. 8, p. 101 ([https://archive.org/details/histoiredesscien08mari/page/101/mode/1up en ligne]).</ref>.

=== Déclin de la vue ===
[[Fichier:Leonhard Euler.jpg|vignette|200px|Portrait de 1753 par [[Emanuel Handmann]]. Cette représentation indique des problèmes de la [[paupière]] droite et un possible [[strabisme]]. L'œil gauche semble en bonne santé, mais il a plus tard été affecté par une cataracte<ref name="blind">{{harvsp|Calinger|1996|p=154-155}}.</ref>.]]

La [[vue]] d'Euler se dégrade tout au long de sa carrière en mathématiques<ref name="ENCARTA" />. Trois ans après avoir souffert d'une fièvre quasi mortelle en [[1735]], il devient presque aveugle de l'[[œil]] droit. Euler attribue plutôt son état au travail minutieux qu'il a effectué en cartographie pour l'Académie de Saint-Pétersbourg. La vue de son œil droit empire tout au long de son séjour en Allemagne, si bien que Frédéric II le surnomme « [[Cyclope]] »<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Leonhard Euler|titre=Commercium cum P.-L. M. de Maupertuis et Frédéric II|lieu=Bâle|éditeur=Birkhäuse|année=1986|pages totales=290|isbn=3-7643-1184-3|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=_gJMtSBKBx0C&printsec=frontcover}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|url=http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/mathematiciens-celebres/euler|titre=Leonhard Euler|site=Maths et tiques|consulté le=13 mai 2009}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |url=http://www.math93.com/mathematiciens/Euler.htm|titre=Euler Leonhard, le plus grand ? |site=Maths93 |consulté le=13 mai 2009}}.</ref>. Euler souffre ensuite d'une [[cataracte (maladie)|cataracte]] de l'œil gauche, le rendant presque totalement aveugle<ref name="bibimath">{{Lien web |url= http://www.bibmath.net/bios/index.php?action=affiche&quoi=euler |titre=Leonhard Euler |site=Bibm@th.net |consulté le=13 mai 2009}}.</ref>. Il semble que ce mauvais état ait peu d'effet sur sa productivité, Euler compensant son handicap par ses compétences en [[calcul mental]] et par sa [[mémoire eidétique]]. Par exemple, Euler peut répéter l'''[[Énéide]]'' de [[Virgile]], du début à la fin, sans hésitation, et pour chaque page de son édition, il peut citer la première ligne et la dernière. Avec l'aide de ses scribes, la productivité d'Euler dans de nombreux domaines d'étude augmente en fait. Ainsi, il produit en moyenne un document de mathématiques par semaine au cours de l'année [[1775]]<ref name="volumes">{{Article|lang=en|prénom=B. F.|nom=Finkel|année = 1897|titre = Biography- Leonard Euler|revue=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Month.]]|volume = 4| numéro = 12| pages = 300|doi = 10.2307/2968971}}.</ref>.

=== Retour en Russie ===
[[Fichier:Euler Grave at Alexander Nevsky Monastry.jpg|vignette|La tombe de Leonhard Euler au [[monastère Alexandre-Nevski]].]]
Pendant son séjour à Berlin, il n'a pas complètement rompu le lien avec la Russie et il est de notoriété publique qu'il envoie de nombreux articles à l'Académie de Saint-Pétersbourg lorsque ceux-ci traitent de questions en rapport avec les écrits de son premier séjour en Russie. En 1742, il reçoit à Berlin, depuis la Russie, la promesse du versement d'une pension en contrepartie de ses travaux pour l'Académie de Saint-Pétersbourg. Une anecdote singulière permet de se faire une idée précise de la nature conflictuelle de ses relations avec son patron. Avec ironie, Frédéric II le Grand évoque, dans une lettre à [[Jean Le Rond d'Alembert|d'Alembert]], la perte d'une série de notes personnelles par le mathématicien lors du naufrage d'une embarcation qui le conduit à Saint-Pétersbourg : {{citation|Quel dommage ! Quand on pense qu'il aurait pu en tirer six tomes pleins de chiffres, du début à la fin ! L'Europe risque fort de se voir privée d'une lecture qui aurait été si plaisante.}}

La situation en [[Russie]] s'est grandement améliorée depuis l'accession au trône de [[Catherine II de Russie]]. En 1766, Euler accepte son invitation à venir renforcer le prestige de la nouvelle Académie des sciences de Saint-Pétersbourg. Une solde très avantageuse de {{unité|3000|roubles}} lui est offerte à son retour en Russie. En outre, la tsarine met un cuisinier à sa disposition sur ses deniers royaux. Elle nomme la [[Catherine Dachkov|princesse Dashkova]] à la Direction de l'Académie, celle-ci accompagne le savant jusqu'à la salle de réunion. Puis un professeur particulièrement imbu de sa personne exige le fauteuil d'honneur, à côté de la présidence. La princesse se dirige alors vers Euler et lui adresse ces paroles exquises : {{citation|Prenez le siège que vous souhaitez, Monsieur, car il sera, nous n'en doutons pas, le plus distingué, le premier de tous.}}

C'est ainsi qu'il passa le reste de sa vie en Russie. Son second séjour dans le pays est cependant marqué par la tragédie. Un incendie à Saint-Pétersbourg en 1771 lui coûte son domicile, et manque de lui ôter la vie. En [[1773]], il perd son épouse Katharina après presque 40 ans de mariage. Trois ans après la mort de sa femme, Euler se remarie avec la demi-sœur de celle-ci, Salomé Abigail Gsell ([[1723]]-[[1794]]). Ce mariage va durer jusqu'à sa mort<ref>{{harvsp|Bogolyubov|Mikhailov|Yushkevich|2007|p=405}}.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Navarro Sandalinas|Renard|2018|p=113-114/117}}</ref>.

Le {{date|18|septembre|1783}}, Euler décède à Saint-Pétersbourg d'une [[hémorragie intra-cérébrale]]<ref name="bibimath" /> et est enterré auprès de son épouse Katharina au cimetière luthérien de Smolensk, sur l'[[île Vassilievski]] (au {{s-|XX}} le cimetière a été fermé, les restes d'Euler ont été transférés au [[cimetière Saint-Lazare (Saint-Pétersbourg)|cimetière Saint-Lazare]] du [[monastère Alexandre-Nevski]]). Son éloge funèbre est écrit pour l'Académie française par le mathématicien et philosophe français [[Nicolas de Condorcet]]. Le récit de sa vie, avec une liste de ses œuvres, sera écrit par [[Nicolas Fuss|Nikolaus von Fuss]], son secrétaire permanent à l'[[Académie des sciences de Russie]], qui avait épousé en 1784 une de ses petites-filles. Condorcet écrit dans son ''Éloge'' : {{citation|il cessa de calculer et de vivre<ref name=condorcet>{{lien web|langue=fr| url = http://www.academie-sciences.fr/pdf/eloges/euler_p37_vol3582.pdf | titre = Éloge de M. Euler |consulté le=5 mars 2016 |auteur=Marquis de Condorcet}}.</ref>}}.

== Contributions aux mathématiques ==
[[Fichier:Acta Eruditorum - II geometria, 1744 – BEIC 13411238.jpg|vignette|Illustration à ''Solutio problematis... a. 1743 propositi'' publiée sur les [[Acta Eruditorum]], 1744.]]
Leonhard Euler a travaillé dans presque tous les domaines des [[mathématiques]] : la [[géométrie]], le [[calcul infinitésimal]], la [[trigonométrie]], l'[[algèbre]] et la [[théorie des nombres]]. Il est une figure capitale de l'[[histoire des mathématiques]] : s'ils étaient imprimés, ses écrits, dont beaucoup sont d'un intérêt fondamental, pourraient occuper entre quarante et soixante ouvrages<ref name="volumes"/>. Le nom d'Euler est associé à un [[Liste des sujets nommés d'après Leonhard Euler|grand nombre de sujets]].

=== Notation mathématique ===
Euler a introduit et popularisé plusieurs conventions de notation par le biais de ses nombreux ouvrages largement diffusés. Plus particulièrement, il a introduit la notion de [[Application (mathématiques)|fonction]]<ref name="function"/> et a été le premier à écrire {{math|''f''(''x'')}} pour désigner la fonction {{mvar|f}} appliquée à l'argument {{mvar|x}}, en 1734<ref name="Xavier">{{Lien web|url=http://xavier.hubaut.info/coursmath/bio/euler.htm|titre=Leonhard Euler|auteur=Xavier Hubaut|site=Mathématiques du secondaire|consulté le=14 mai 2009}}.</ref>. Il a également introduit la notation moderne des [[Fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]], la lettre {{math|e}} pour la [[e (nombre)|base du logarithme naturel]] (également connue sous le nom de nombre d'Euler) en 1727<ref name="Xavier" />, la lettre grecque [[Sigma|{{math|Σ}}]] pour désigner une somme en 1755<ref name="Xavier" /> et la lettre {{math|i}} pour représenter l'[[unité imaginaire]], en 1777<ref name=Boyer>{{Ouvrage|auteur1=Carl B. Boyer|titre=A History of Mathematics|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=1991|pages totales=736|passage=439-445|isbn=978-0-471-54397-8|isbn2=0-471-54397-7}}.</ref>. L'utilisation de la lettre grecque [[Pi (lettre grecque)|{{math|π}}]] pour désigner le rapport de la [[circonférence]] d'un cercle à son [[diamètre]] a également été popularisée par Euler, mais celui-ci n'est pas à l'origine de la notation.

=== Analyse ===
Le développement du [[calcul infinitésimal]] a été au premier plan des recherches mathématiques du {{s|XVIII}}, et la [[famille Bernoulli]] — amis d'Euler — est à l'origine de nombreux progrès dans ce domaine. Grâce à leur influence, l'étude du calcul infinitésimal est devenu l'un des axes principaux du travail d'Euler. Bien que certaines des démonstrations d'Euler ne soient pas acceptables au regard des normes modernes de [[rigueur mathématique]]<ref name="Basel"/>, ses idées ont tout de même conduit à de grandes avancées.

Euler est bien connu dans le domaine de l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] pour son usage fréquent des [[Série numérique|séries numériques]] et des [[Série entière|séries entières]]. Il a notamment montré que le nombre [[e (nombre)|{{math|e}}]] est la somme de la série de terme général {{sfrac|1|''n'' !}} :
:<math>\mathrm{e} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n\,!} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{0\,!} + \frac{1}{1\,!} + \frac{1}{2\,!} + \cdots + \frac{1}{n\,!}\right)\cdot</math>
Il a trouvé le « développement en série entière » de la fonction exponentielle :
:<math>\mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n\,!} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{0\,!} + \frac{x}{1\,!} + \frac{x^2}{2\,!} + \cdots + \frac{x^n}{n\,!}\right)\cdot</math>
et celui de la fonction [[arc tangente]].

Sa ténacité à utiliser les développements en séries lui a permis de résoudre le fameux [[problème de Bâle]] en [[1735]]<ref name="Basel">{{Ouvrage|prénom1=Gerhard|nom1=Wanner|titre=Analysis by its history|éditeur=Springer|année=2005|mois=Mars|passage=62|isbn=}}.</ref> :
:<math>\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}\cdot</math>

Euler est pleinement conscient de la nécessité de démontrer rigoureusement les résultats de [[série convergente|convergence]] dont il se sert, mais cela ne l'empêche pas d'écrire également des formules « paradoxales » telle que {{math|1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... {{=}} –1}}, de définir des règles d'emploi et de calcul avec de telles [[série divergente|séries divergentes]], et de les utiliser pour obtenir des résultats inattendus concernant, par exemple, la [[Fonction zêta de Riemann|fonction zêta]]<ref>[http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E352.pdf Texte original d'Euler sur ces séries] ; concernant ces formules, il écrit lui-même ({{p.|2}}) : « cela doit paraître bien paradoxe », ajoutant : « mais j'ai déjà remarqué dans une autre occasion, qu'il faut donner au mot ''somme'' une signification plus étendue ».</ref>.
[[Fichier:Euler's formula.svg|vignette|Une interprétation géométrique de la [[formule d'Euler]].]]

Euler a introduit l'utilisation de la [[fonction exponentielle]] et des [[logarithme]]s dans les démonstrations en analyse. Il a découvert des moyens d'exprimer différentes fonctions logarithmiques en utilisant les séries entières, et il a étendu la notion de [[Logarithme complexe|logarithme]] aux [[Nombre négatif|nombres négatifs]] et aux [[Nombre complexe|nombres complexes]]<ref name=Boyer/>. Il a également défini la fonction exponentielle pour les nombres complexes et a découvert la relation qui la lie aux fonctions trigonométriques :
:pour tout réel {{mvar|φ}}, <math>\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\,\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi).\,</math>
Un cas particulier de cette « [[formule d'Euler]] », obtenu en donnant à {{mvar|φ}} la valeur <math>\pi</math> est
:<math>\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\,\pi} = -1 \ </math>, qu'on préfère souvent écrire : <math>\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}\, \pi} +1 = 0 \, </math>
formule connue sous le nom d'[[identité d'Euler]], et qualifiée de « formule la plus remarquable des mathématiques » par [[Richard Feynman]], car elle réunit en seulement 7 caractères l'[[addition]], la [[multiplication]], l'[[exponentiation]], l'[[égalité (mathématiques)|égalité]] et les constantes remarquables 0, 1, {{math|e}}, {{math|i}} et {{math|π}}<ref name="Feynman">{{Feynman Lectures on Physics}}, vol. I, juin 1970, {{p.|10}}, chap. 22: Algebra.</ref>. En [[1988]], les lecteurs de ''[[The Mathematical Intelligencer]]'' l'ont désignée comme « la plus belle formule mathématique de tous les temps<ref name=MathInt/>{{,}}<ref name=MathInt2 /> ». Au total, le nom d'Euler figurait dans trois des cinq formules arrivées en tête de ce vote<ref name=MathInt>{{Article|lang=en|prénom=David|nom=Wells| année= 1990 | titre = Are these the most beautiful? | journal = Mathematical Intelligencer | volume = 12 | numéro = 3 | pages= 37–41}}.</ref>{{,}}<ref name=MathInt2>{{Article|lang=en|prénom=David|nom=Wells|année=1988|titre = Which is the most beautiful? | journal = Mathematical Intelligencer | volume = 10 | numéro = 4 | pages= 30–31}}.</ref>.

La [[formule de De Moivre]]
: <math>(\cos(x)+\mathrm{i}\,\sin(x))^n = \cos(nx)+\mathrm{i}\, \sin(nx)~</math>
est une conséquence directe de la [[formule d'Euler]].

En outre, Euler a contribué à la théorie des [[Fonction transcendante|fonctions transcendantes]] avec l'introduction de la [[fonction bêta]] et de la [[fonction gamma]]. Il a également introduit une nouvelle méthode pour résoudre les [[Équation quartique|équations quartiques]]. Il a aussi trouvé une façon de calculer des intégrales avec des limites complexes, préfigurant le développement moderne de l'[[analyse complexe]], et a inventé le [[calcul des variations]], qui inclut l'un de ses résultats les plus célèbres, nommé l'[[équation d'Euler-Lagrange]].

Euler fut le pionnier de l'utilisation de méthodes d'analyse pour résoudre des problèmes de la [[théorie des nombres]]. Ce faisant, il a réuni deux branches différentes des mathématiques et introduit un nouveau champ d'étude : la [[théorie analytique des nombres]]. Euler a aussi introduit la théorie des [[Série hypergéométrique|séries hypergéométriques]], des [[Fonction hyperbolique|fonctions hyperboliques]] et la théorie analytique des [[Fraction continue|fractions continues]]. Par exemple, il a prouvé l'infinité des [[Nombre premier|nombres premiers]] en utilisant la divergence de la [[série harmonique]], et il a utilisé les méthodes analytiques pour avoir une meilleure compréhension de la répartition des nombres premiers. Les travaux d'Euler dans ce domaine ont contribué à l'élaboration du [[théorème des nombres premiers]]<ref name="analysis">{{harvsp|Dunham|1999}}, chap. 3 et 4.</ref>.

=== Théorie des nombres ===
L'intérêt d'Euler pour la théorie des nombres peut être attribué à l'influence de [[Christian Goldbach]], son ami<ref>{{Lien web|url=http://math.univ-lyon1.fr/irem/spip.php?article299|titre=De Leonhard Euler aux mathématiques combinatoires d'aujourd'hui|auteur=Xavier Viennot|année=2009|site=IREM de Lyon|consulté le=10 mars 2013}}.</ref> à l'[[Académie de Saint-Pétersbourg]]. Un grand nombre des premiers travaux d'Euler en théorie des nombres est fondé sur les travaux de [[Pierre de Fermat]]. Euler a développé quelques idées de Fermat, et a réfuté certaines de ses conjectures.

Euler a fait le lien entre la distribution des nombres premiers et l'analyse. Il a démontré que la [[série des inverses des nombres premiers]] diverge<ref>{{Lien web|url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E072.pdf|titre=Variae observationes circa series infinitas|auteur=Leonhard Euler|année=1737|consulté le=10 mars 2013}}.</ref>. Pour ce faire, il a découvert un [[Histoire de la fonction zêta de Riemann#Leonhard Euler|lien entre la fonction zêta de Riemann et les nombres premiers]]<ref>{{Ouvrage|auteur1=Nicole Berline|auteur2=Claude Sabbah|titre=La fonction zëta|éditeur=École Polytechnique|année=2003|isbn=}}, [https://books.google.fr/books?id=CfBLG2zPfdgC&lpg=PP1&hl=fr&pg=PA9#v=onepage&q&f=false pages 9 et 10].</ref>.

Euler a démontré les [[identités de Newton]], le [[petit théorème de Fermat]], le [[théorème des deux carrés de Fermat]], et il a également travaillé sur le [[théorème des quatre carrés de Lagrange]]. Il a aussi défini la [[indicatrice d'Euler|fonction {{mvar|φ}}]] qui associe à tout entier <math>n</math> le nombre d'entiers positifs inférieurs à {{mvar|n}} et qui sont premiers avec {{mvar|n}}. En utilisant les propriétés de cette « indicatrice », il a généralisé le petit théorème de Fermat pour aboutir à ce qui est maintenant connu sous le nom de [[Théorème d'Euler (nombres)|théorème d'Euler]]. Il a contribué de manière significative à la recherche sur les [[Nombre parfait|nombres parfaits]], qui ont fasciné les mathématiciens depuis [[Euclide]]. Euler a également conjecturé la [[loi de réciprocité quadratique]]. Cet énoncé est considéré comme un théorème fondamental de la théorie des nombres, et en cela Euler a ouvert la voie aux travaux de [[Carl Friedrich Gauss]]<ref name="numbertheory">{{harvsp|Dunham|1999}}, chap. 1 et 4.</ref>.

En 1772, Euler a démontré que {{math|2{{exp|31}} – 1 {{=}} [[2 147 483 647]]}} est un [[nombre de Mersenne premier]]. Il est resté le plus grand nombre premier connu jusqu'en 1867<ref>{{en}} Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/notes/by_year.html ''The largest known prime by year''].</ref>.

=== Géométrie ===
[[Fichier:Triangle cercle euler.png|vignette| redresse=1.5|[[Cercle d'Euler|Cercle]] et [[droite d'Euler]] d'un triangle quelconque.]]
Comme dans les autres domaines des mathématiques, les contributions d'Euler à la géométrie sont exceptionnelles : [[angles d'Euler]], [[droite d'Euler]], [[cercle d'Euler]], [[Théorème d'Euler (triangle)|relation entre cercle inscrit et circonscrit]]{{, etc.}}

À titre d'exemple, il a montré que, ''pour tout [[triangle]]'', les neuf points suivants :
* les [[Hauteur d'un triangle|pieds]] des trois [[Hauteur d'un triangle|hauteurs]] (''H''{{ind|1}}, ''H''{{ind|2}} et ''H''{{ind|3}} dans le diagramme),
* les [[milieu d'un segment|milieux]] des trois côtés (''I''{{ind|1}}, ''I''{{ind|2}} et ''I''{{ind|3}} dans le diagramme) ;
* les milieux de chacun des segments reliant l'[[hauteur d'un triangle|orthocentre]] aux sommets du triangle (''J''{{ind|1}}, ''J''{{ind|2}} et ''J''{{ind|3}} dans le diagramme),
sont situés sur un même cercle<ref name="droitecercle" />. Ce « cercle des neuf points » est encore appelé « [[cercle d'Euler]] » associé au triangle.

Euler a démontré aussi que, ''dans tout triangle'', l'[[orthocentre]], le centre du [[cercle circonscrit]], le [[centre de gravité]] et le centre du cercle des neuf points sont alignés<ref name="droitecercle">{{Lien web|url=http://homeomath.imingo.net/deuler.htm|titre=Droite d'Euler, Cercle d'Euler|consulté le =15 mai 2009}}</ref>. La droite qui les porte est appelée « [[droite d'Euler]] » associée au triangle.

=== Théorie des graphes ===
{{Article détaillé|Problème des sept ponts de Königsberg}}
[[Fichier:Konigsberg bridges.png|cadre|droite|Carte de [[Königsberg]] au temps d'Euler, montrant le schéma réel de disposition des sept ponts.]]
En 1736, Euler résout le [[problème des sept ponts de Königsberg]]<ref name="bridge">{{Article|lang=en|prénom=Gerald|nom=Alexanderson| année = 2006| mois = Juillet| titre = Euler and Königsberg's bridges: a historical view| journal = [[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]]|doi = 10.1090/S0273-0979-06-01130-X| volume = 43| pages = 567}}.</ref>. La ville de [[Königsberg]]<ref>Aujourd'hui, Kaliningrad</ref>, en [[Royaume de Prusse|Prusse]], est traversée par la rivière [[Pregolia]], qui entoure deux grandes îles reliées entre elles et aux deux rives par sept ponts. Le problème était de savoir s'il est possible de suivre un chemin qui emprunte chaque pont une fois et une seule et revienne au point de départ. Euler établit que, pour que ce soit possible, il aurait fallu que chacune des quatre zones géographiques (les deux îles et les deux rives) soit atteinte par un nombre pair de ponts — en termes modernes : que chacun des quatre « sommets » du [[Théorie des graphes|« graphe »]] soit adjacent à un nombre pair d'« arêtes » (un graphe ayant cette propriété est dit [[graphe eulérien|« eulérien »]]). La résolution de ce problème est considérée comme le premier théorème de la [[théorie des graphes]]<ref name="bridge"/>.

Euler a également établi la formule {{math|''S'' – ''A'' + ''F'' {{=}} 2}} liant le nombre de sommets, d'arêtes et de faces d'un [[polyèdre]] convexe<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Peter R.|nom1=Cromwell|titre=Polyhedra|lieu=Cambridge|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=1997|passage=189–190|isbn=}}.</ref>, et donc d'un [[graphe planaire]]. La constante de cette formule est maintenant connue comme la [[caractéristique d'Euler]] pour un graphe (ou pour un autre objet mathématique), et est liée au [[Genre (mathématiques)|genre]] de l'objet<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Alan|nom1=Gibbons|titre=Algorithmic Graph Theory|lieu=Cambridge|éditeur=CUP|année=1985|passage=72|isbn=}}.</ref>. L'étude et la généralisation de cette formule, notamment par [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]<ref name="Cauchy">{{Article|auteur=A. L. Cauchy|année=1813|titre=Recherche sur les polyèdres—premier mémoire|journal=Journal de l'Ecole Polytechnique|volume= 9 (Cahier 16)|pages=66–86}}.</ref> et [[Simon Antoine Jean L'Huilier|L'Huillier]]<ref name="Lhuillier">{{Article|auteur=M. Lhuilier|titre=Géométrie. Mémoire sur la polyédrométrie|journal=[[Annales de Gergonne]]|tome=3|année=1812-1813|pages=169-189|url=http://www.numdam.org/item/AMPA_1812-1813__3__169_0}}.</ref>, est à l'origine de la [[topologie]].

En outre, Leonhard Euler est le premier à avoir étudié le [[problème du cavalier]], en [[1759]]. Il publiera ses recherches sur la question dans « Solution d'une question curieuse qui ne paraît soumise à aucune analyse »<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Joseph-Marie Quérard]]|titre=La France littéraire ou dictionnaire bibliographique des savants, historiens et gens de lettres […]|volume=3|lieu=Paris|éditeur=[[Firmin Didot]]|année=1829|passage=44|lire en ligne={{Google Livres|2wgJAAAAQAAJ|page=44}}}}.</ref>.

=== Mathématiques appliquées ===
Certains des plus grands succès d'Euler ont été dans la résolution des problèmes analytiques dans des domaines autres que les mathématiques et dans la description de nombreuses applications des [[Nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]], des [[Série de Fourier|séries de Fourier]], des [[Diagramme de Venn|diagrammes de Venn]], des [[Nombre d'Euler|nombres d'Euler]], des constantes [[e (nombre)|e]] et [[Pi|π]], des fractions continues et des intégrales. Il a développé des outils qui rendent plus faciles à appliquer certains problèmes physiques. Il a fait progresser le domaine de l'amélioration de l'[[Analyse numérique|approximation numérique]] d'intégrales, en inventant ce qui est maintenant connu sous le nom de [[méthode d'Euler]]. Euler a également démontré, en même temps que l'[[Écosse|Écossais]] [[Colin Maclaurin]] — mais indépendamment — la [[formule d'Euler-Maclaurin]]. Il a aussi facilité l'utilisation des équations différentielles, en particulier en introduisant la [[constante d'Euler-Mascheroni]] :

:<math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right).</math>

Un des domaines les moins communs qui intéressaient Euler était l'application des idées mathématiques à la [[musique]]. En 1739, il écrivit ''Tentamen novæ theoriæ musicæ'', dans l'espoir de finalement intégrer la théorie musicale aux mathématiques. Cette partie de son travail, cependant, n'a pas reçu une grande attention et a été décrite comme trop mathématique pour les musiciens, mais aussi trop musicale pour les mathématiciens<ref name="music">{{harvsp|Calinger|1996|p=144-145}}.</ref>. On y trouve cependant le tout premier exemple de théorie des graphes avec une disposition des notes couramment utilisée de nos jours en analyse musicale, le [[tonnetz]], mieux développé dans ''De harmoniæ veris principiis per speculum musicum repræsentatis'' en 1774.

== Autres sciences ==
Leonhard Euler a également contribué à d'autres sciences, comme certains domaines des [[sciences physiques]], en étudiant par exemple le mouvement de la [[Lune]] ou l'effet de la machine de Segner, prototype des turbines hydrauliques.

=== Physique et astronomie ===
Euler a contribué à l'élaboration de la [[théorie d'Euler-Bernoulli]], qui est un modèle décrivant la [[théorie des poutres|flexion des poutres]] en [[résistance des matériaux]]. En dehors de l'application avec succès de ses outils d'analyse aux problèmes liés à la [[mécanique newtonienne]], Euler a également appliqué ses techniques à des problèmes d'astronomie. Ses travaux dans cette science ont été reconnus par un certain nombre de prix décernés par l'[[Académie de Paris]] au cours de sa carrière<ref>{{Lien web|url=http://pagesperso-orange.fr/vieillemarine/biblio/pages/Euler_Examen.htm|titre=Biographie de Leonhard Euler|consulté le=17 mai 2009}}.</ref>. Ses réalisations comprennent la détermination avec une grande précision des orbites des comètes et des autres corps célestes, mais aussi la compréhension de la nature des comètes, et le calcul de la [[parallaxe]] du [[Soleil]]. Ses calculs ont également contribué à l'élaboration de tables précises de longitudes<ref name="biographie1">{{DSB|auteur=[[Adolf P. Youschkevitch|A. P. Youschkevitch]]|titre=Euler, Leonhard|volume=IV|passage=467-484|url=http://www.encyclopedia.com/science/dictionaries-thesauruses-pictures-and-press-releases/euler-leonhard}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=Dora |nom1=Musielak |lien auteur1=Dora Musielak |titre=Euler Celestial Analysis |sous-titre=Introduction to Spacecraft Orbit Mechanics |éditeur=Authorhouse |année=2018 |pages totales=258 |isbn=978-1-5462-3186-8 |isbn2=1-5462-3186-2}}.</ref>.

En [[dynamique des fluides]], analysant le fonctionnement de la [[Johann Andreas Segner#La propulsion par réaction|machine de Segner]], Euler fut le premier à poser les équations désormais connues sous le nom d'[[équations d'Euler]] des fluides parfaits, dans « Mémoires de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin » (1751-1754). Elles permettent le calcul de nombreux écoulements, comme la [[circulation sanguine]], l'[[aérodynamique]] des [[automobile]]s et des [[avion]]s, l'[[hydraulique]], l'[[océanographie]], la [[météorologie]] ou la [[grande tache rouge]] de [[Jupiter (planète)|Jupiter]]<ref>{{Lien web|url=http://www.academie-sciences.fr/presse/communique/euler_180607.pdf|titre=Leonhard Euler et deux cent cinquante années de mécanique des fluides|langue=fr|jour=18|mois=06|année=2007|consulté le =25 janvier 2013}}.</ref>. Dans son traité de 1754 (''Théorie plus complète des machines qui sont mises en mouvement par la réaction de l'eau''), Euler propose pour la roue à eau de Segner des améliorations étayées par des figures qui, selon l'hydraulicien saxon [[Gustav Zeuner|G. Zeuner]], en font pratiquement l'inventeur des turbines totales<ref name="Zeuner">{{Ouvrage|auteur1=Gustav Zeuner|traducteur=E. Kreitmann|titre=Hydraulique pratique|sous-titre=Théorie des turbines|éditeur=Vve Ch. Dunod|année=1905|titre chapitre=I.15 Aperçu historique sur l'étude de la réaction de l'eau dans les récipients mobiles autour d'un axe de rotation}}</ref> : il indique que l'eau doit être amenée sur le rotor par l'intermédiaire de coursiers fixes carénés pour qu'il n'y ait aucun choc à l'admission, et par conséquent aucune variation brusque de vitesse ; il calcule ensuite la vitesse maximum que l'on peut obtenir pour une roue dont il donne les dimensions, et exprime les conditions d'obtention de ce maximum.

En outre, Euler a apporté d'importantes contributions à l’[[optique]]. Il a exprimé son désaccord avec la théorie corpusculaire de la lumière de [[Isaac Newton|Newton]] dans ''[[Opticks]]'', qui était alors la théorie dominante. Ses documents des années 1740 sur l'optique ont contribué à faire en sorte que la théorie ondulatoire de la lumière proposée par [[Christian Huygens]] devienne la théorie la plus largement répandue, au moins jusqu'au développement de la théorie quantique de la lumière<ref name="optics">{{Article|lang=en|nom=Home|prénom=R. W.|année=1988|titre=Leonhard Euler's 'Anti-Newtonian' Theory of Light|lien périodique=Annals of Science|revue=Ann. Sci.|volume=45|numéro=5|pages=521–533|doi=10.1080/00033798800200371 <!--Retrieved from CrossRef by DOI bot-->}}.</ref>. Il a proposé de remédier à l'[[aberration chromatique]] par incorporation d'une pellicule d'eau dans les [[oculaire]]s, mais ses recherches ont été sur ce point reléguées par les avancées techniques des [[John Dollond|Dollond]].

=== Logique ===
Il est aussi crédité pour avoir, avec l'aide des [[courbe]]s fermées, illustré le raisonnement [[Syllogisme|syllogistique]], en 1768. Ces schémas sont désormais connus sous le nom de [[diagrammes d'Euler]]<ref name="logic">{{en}} M. E. Baron, « A Note on The Historical Development of Logic Diagrams », ''[[The Mathematical Gazette|Math. Gazette]]'', vol. 53, {{n°|383}}, 1969.</ref>.

== Philosophie personnelle et croyances religieuses ==
Leonhard Euler et son ami [[Daniel Bernoulli]] ont été des adversaires de la ''[[Monadologie]]'' de [[Leibniz]] et de la philosophie de [[Christian Wolff (philosophe)|Christian Wolff]]. Euler a insisté sur le fait que la connaissance est fondée en partie sur la base de lois quantitatives précises. Les tendances religieuses d'Euler pourraient aussi avoir eu une incidence sur son aversion de la doctrine, il est allé jusqu'à qualifier les idées de Wolff de « sauvages et athées<ref name="wolff">{{harvsp|Calinger|1996|p=153-154}}.</ref> ».

Beaucoup de ce qui est connu des croyances religieuses d'Euler peut être déduit de ses ''Lettres à une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie'' et d'un ouvrage antérieur, ''Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister''. Ces écrits montrent qu'Euler était un fervent chrétien qui estimait que la Bible avait été [[Théopneustie|inspirée]]<ref name="theology">{{de}} {{Article| auteur= Leonhard Euler | éditeur = Orell-Fussli| année = 1960| titre = Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister| journal = Leonhardi Euleri Opera Omnia (series 3)| volume = 12}}.</ref>.

Une anecdote rapportée par [[Dieudonné Thiébault]]<ref>{{Ouvrage|auteur1=Dieudonné Thiébault|titre=Souvenirs de vingt ans de séjour à Berlin, T. III|lieu=Paris|éditeur=F.Buisson|année=1804|passage=142|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k28626n/f146.image}}. L'anecdote est commentée dans {{Article|lang=en|prénom=B. H.|nom=Brown|année=1942|mois=Mai|titre=The Euler-Diderot Anecdote|revue=Amer. Math. Month.|volume=49|numéro=5|pages=302–303| doi=10.2307/2303096|url=http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/M300/bell3.pdf}} et dans {{Article|lang=en|prénom=R. J.|nom=Gillings|année=1954|mois=Février|titre=The So-Called Euler-Diderot Incident|revue=Amer. Math. Month.|volume=61|numéro= 2|pages=77–80|url=http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/M300/bell2.pdf|doi=10.2307/2307789}}.</ref> met en scène les croyances religieuses d'Euler. Le philosophe français [[Denis Diderot]], en visite à [[Saint-Pétersbourg]] en 1773-1774, avait accepté, à la demande de l'impératrice [[Catherine II de Russie|Catherine II]], de voir la preuve de l'[[Arguments sur l'existence de Dieu|existence de Dieu]] qu'Euler prétendait pouvoir produire. Les deux hommes se rencontrèrent donc et Euler, sur un ton d'une parfaite conviction annonça « Monsieur, {{math|1=(''a + b{{exp|n}}'')/''n = x''}} ; donc Dieu existe, répondez<ref name=diderot>{{Harvsp|Gillings|1954}}.</ref> ! » Le désarroi de Diderot, pour qui (selon l'anecdote) les mathématiques étaient incompréhensibles, provoqua les rires de la cour. Gêné, il demanda à quitter la Russie. Il est plus que probable que l'anecdote soit [[Apocryphe (littérature)|apocryphe]]<ref name=diderot/> et Thiébault ne prétend pas le contraire. De toute évidence, ce dernier n'était pas présent, ses mémoires sont tardifs, la formule prétendument donnée par Euler n'a aucun sens et Diderot n'était pas étranger aux mathématiques {{incise|comme l'atteste la réputation qu'il s'était faite avec ses ''[[Mémoires sur différents sujets de mathématiques]]'' entre autres|fin}}.

== Publications ==
[[Fichier:Methodus inveniendi - Leonhard Euler - 1744.jpg|vignette|La couverture de ''Methodus inveniendi lineas curvas'', écrit par Euler.]]
[[Fichier:Leonhard Euler World Map AD1760.jpg|vignette|Euler, ''Tabula Geographica utriusque Hemisphaerii Terrestris'', 1760.]]
Leonhard Euler a beaucoup écrit{{note|Au début du {{s-|XX}}, [[Gustaf Eneström]] en a fait l'inventaire. Il en répertorie 866. Cette classification est utilisée par les historiens pour identifier les écrits d'Euler.}}. Nombre de ses ouvrages sont disponibles en ligne sur [[Gallica]]. Ses ouvrages les plus connus sont :
* ''{{Lien|langue=en|trad=Elements of Algebra|fr=Éléments d'algèbre (Euler)|texte=Éléments d'algèbre}}''{{Commentaire biblio SRL|Cet ouvrage d'algèbre élémentaire commence par une discussion sur la nature des nombres et donne une introduction à l'[[algèbre]], incluant les formules pour les solutions d'équations polynomiales.}} Écrit en 1765 en allemand sous le titre ''{{Langue|de|Vollständige Anleitung zur Algebra}}'', traduction en russe publiée en 1770 par l'[[Académie des sciences de Saint-Pétersbourg]], puis :
** {{1re}} éd. en allemand en 1770, en 2 volumes ;
** traduit en français :
*** en 1774 par [[Jean III Bernoulli]],
*** en 1807 par Jean-Guillaume Garnier ;
** traduit en anglais (à partir des versions en français) :
*** en 1797 par Francis Horner ({{2e}} éd. : Johnson, 1810), incluant la traduction des ''Additions'' de 1774 par [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] ;
*** en 1822 par John Hewlett, éd. Longman ;
*** en 1824 par Charles Tayler.
* ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'', Marcum-Michaelem Bousquet & socios, 1748, Livre I : {{ISBN|0387968245}}, Livre II : {{ISBN|0387971327}}
* ''Lettres à une Princesse d'Allemagne'', Barthelemy Chirol, Genève, 1775 <small>([https://books.google.fr/books?id=6m0GAAAAQAAJ&hl=fr lire en ligne])</small>.
* ''Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti'', 1744 ; le titre latin se traduit par « Une méthode pour trouver des lignes courbes jouissant de propriétés de maximum ou de minimum, ou la solution de problèmes isopérimétrique dans le sens le plus large ».
* ''Tractatus de numerorum doctrina capita sedecim, quæ supersunt'' (1849) : une introduction à la théorie des nombres, qu'Euler avait commencé à rédiger vers 1750 et annotée plus tard, puis abandonnée<ref>{{Weil1}}, {{p.|192-195}}.</ref>.
* Leonhard Euler, ''Écrits sur la musique'', Tome 1 : ''Tentamen novæ theoria musicæ'', et autres textes (Textes français avec introduction, présentation, commentaires historiques, mathématiques et musicaux par Renzo Caddeo, Xavier Hascher, Pierre Jehel, Athanase Papadopoulos et Hélène Papadopoulos), Hermann, Paris, 2015. {{ISBN|2705690921}}.
* Leonhard Euler, ''Écrits sur la musique'', Tome 2 : Mémoires sur la musique, Lettres à une princesse d’Allemagne, Correspondance (Textes français avec introduction, présentation, commentaires historiques, mathématiques et musicaux par Renzo Caddeo, Xavier Hascher, Pierre Jehel, Athanase Papadopoulos et Hélène Papadopoulos), Hermann, Paris, 2015. {{ISBN|9782705691288}}.
* {{Ouvrage |auteur1=Leonhard Euler |traducteur=Bernouilli |titre=L'arithmétique raisonnée et démontrée, Œuvre posthume |éditeur=Chez Voss et fils et Decker et fils |année=1792 |lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58182271?rk=42918;4}}, disponible sur [[Gallica]].

=== Édition des œuvres complètes ===
Nommée ''{{langue|la|Opera Omnia}}'', la publication des écrits d'Euler par la [[Commission Euler]]<ref>{{en}} [http://www.leonhard-euler.ch/ The Euler Commission].</ref> de l'[[Académie suisse des sciences naturelles]] a débuté en 1911. Initialement prévue en trois séries, la décision d'en ajouter une quatrième comprenant sa correspondance est prise en 1967<ref>{{article|auteur=[[René Taton]]|titre=À propos des « Opera omnia » d'Euler|revue=Revue d'histoire des sciences|volume=29|numéro=1|année=1976|passage=73-77|DOI=10.3406/rhs.1976.1376}}.</ref>. Ces quatre séries, pour un total de plus de 80 volumes, se décomposent ainsi :
# {{latin|Opera mathematica}}
# {{latin|Opera mechanica et astronomica}}
# {{latin|Opera physica, Miscellanea}}
# {{latin|Commercium epistolicum}}

== Hommages et distinctions ==
* Euler est représenté sur la sixième série des billets suisses de 10 [[Franc suisse|francs]] et sur des [[Timbre postal|timbres-poste]] : Suisse en 1957, Allemagne de l'Est en 1950 et 1983, et URSS en 1957.
* L'[[astéroïde]] [[(2002) Euler]] a été nommé en son honneur<ref>{{Lien web|url=http://www.bdl.fr/fr/ephemerides/astronomie/Promenade/pages4/480.html#e|titre=Noms des astéroïdes (C à E)| année=2009|consulté le = 16 mai 2009}}.</ref>.
* Euler est également honoré par l'[[Luthéranisme|Église luthérienne]] dans son calendrier, le 24 mai<ref>{{Lien web|langue=en|url=http://www.elca.org/What-We-Believe/New-or-Returning-to-Church/Dig-Deeper/Lutheran-calendar.aspx| titre=Christian Church Year|site=Evangelical Lutheran Church in America|consulté le = 16 mai 2009}}.</ref>.
* Le sculpteur [[Jean-Dominique Rachette]] réalisa un buste d'Euler.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Leonhard Euler|288546834}}
<references responsive />

== Voir aussi ==
{{Autres projets
| commons    = Leonhard Euler
| wikisource = Leonhard Euler
| wiktionary = eulérien
}}
{{Catégorie principale}}
=== Bibliographie ===
{{Légende plume}}
* {{Ouvrage |langue=fr |auteur1=[[Étienne Barilier]] |titre=Leonhard Euler |sous-titre=la clarté de l'esprit |lieu=Lausanne |éditeur=[[Presses polytechniques et universitaires romandes]] |collection=Savoir suisse : figures |numéro dans collection=132 |année=2018 |pages totales=164 |isbn=978-2-88915-252-0 |issn=1661-8939 |bnf=455117023 |sudoc=227507142 |présentation en ligne=https://www.epflpress.org/produit/894/9782889152520/leonhard-euler}}.
* {{Ouvrage|langue=en|langue originale=ru-Latn|auteur1=[[Nikolaï Bogolioubov|N. N. Bogolyubov]]|auteur2=G. K. Mikhailov|auteur3=[[Adolf P. Youschkevitch|A. P. Yushkevich]]|traducteur=Robert Burns|titre=Euler and Modern Science|lieu=Washington, D.C.|éditeur=MAA|année=2007|pages totales=425|isbn=978-0-88385-564-5|lire en ligne={{Google Livres|Ta9bz1wv79AC}}}}.
* {{en}} Robert E. Bradley et C. Edward Sandifer, ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', North Holland, coll. « Studies in the History and Philosophy of Mathematics », {{vol.|5}}, 2007.
*{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Ronald Calinger |titre=Leonhard Euler |sous-titre=mathematical genius in the Enlightenment |lieu=Princeton |éditeur=[[Princeton University Press]] |année=2016 |pages totales=669 |isbn=978-0-691-11927-4 |doi=10.1515/9781400866632 |jstor=j.ctv7h0smb |lire en ligne=https://books.google.com/books?id=jSv3BgAAQBAJ}}.
* [[Nicolas de Condorcet]], ''Éloge de M. Euler'', dans ''Histoire de l'Académie royale des sciences - Année 1783'', Imprimerie royale, Paris, 1786, {{p.|37-68}} [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3582m/f45.image (''lire en ligne'')]
* {{en}} [[S. S. Demidov]], 2005, « Treatise on the differential calculus » dans [[Ivor Grattan-Guinness|I. Grattan-Guiness]] (ed.), ''Landmark Writings in Western Mathematics''. Elsevier: 191-98
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[William Dunham]]|titre=Euler|sous-titre=The Master of Us All|éditeur=Mathematical Association of America|année=1999|pages totales=185|isbn=978-0-88385-328-3|lire en ligne=http://paginas.fisica.uson.mx/horacio.munguia/Personal/Documentos/Libros/Euler%20The_Master%20of%20Us.pdf}}
* {{en}} [[Craig Fraser]], « Leonhard Euler's 1744 book on the calculus of variations » dans I. Grattan-Guiness (ed.), ''Landmark Writings in Western Mathematics'', Elsevier: 168-80, 2005
*{{Ouvrage|langue=de/en/fr|auteur1=Emil A. Fellmann ''et al''|titre=Leonhard Euler 1707–1783|sous-titre=Beiträge zu Leben und Werk|éditeur=Birkhäuser|année=1983|pages totales=555|isbn=978-3-0348-9351-0|doi=10.1007/978-3-0348-9350-3}}
* {{Article|lang=en|titre= Leonhard Euler: his life, the man, and his works | auteur= W. Gautschi | année= 2008 | journal= SIAM Review | volume = 50 | numéro= 1 | pages=3–33 |doi= 10.1137/070702710}}
* {{Article|lang=en|prénom=Georgi P. |nom=Gladyshev|url=https://www.researchgate.net/publication/228624753_Leonhard_Euler's_methods_and_ideas_live_in_the_thermodynamic_hierarchical_theory_of_biological_evolution/file/79e4150ae9c83a0d16.pdf| titre =Leonhard Euler’s methods and ideas live on in the thermodynamic hierarchical theory of biological evolution| journal =International Journal of Applied Mathematics & Statistics (IJAMAS) | volume =11| numéro= 7|année = 2007| pages= 52-68}}
* [[Xavier Hascher]] et Athanase Papadopoulos (dir.), ''Leonhard Euler : Mathématicien, physicien et théoricien de la musique'', CNRS éditions, Paris, 2015, 516 p. {{ISBN|978-2-271-08331-9}}
* {{de}} Hermann Heimpell, Theodor Heuss et Benno Reifenberg, ''Die großen Deutschen'', vol. 2, Berlin, Ullstein Verlag, 1956
* Philippe Henry (sous la direction de), ''Leonhard Euler, « incomparable géomètre »'', Médecine & Hygiène, Genève, 2007 {{ISBN|978-2-88049-241-0}}
* {{Article|lang=en|prénom= D. J.|nom=Krus|url=http://www.visualstatistics.net/Statistics/Euler/Euler.htm| titre =Is the normal distribution due to Gauss? Euler, his family of gamma functions, and their place in the history of statistics| journal =Quality and Quantity: International Journal of Methodology| numéro= 35|année = 2001| pages= 445-46}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Paul J. Nahin]]|titre=Dr. Euler's Fabulous Formula|sous-titre=cures many mathematical ills|lieu=Princeton|éditeur=Princeton|année=2006|pages totales=380|isbn=978-0-691-11822-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=46oBiMZ7aZMC&printsec=frontcover}}
* {{en}} [[Karin Reich]], « 'Introduction' to analysis » dans [[Ivor Grattan-Guinness|Grattan-Guiness, I.]], ed., ''Landmark Writings in Western Mathematics'', Elsevier: 181-90, 2005
* {{en}} David S. Richeson, ''Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology'', Princeton University Press, 2008
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Edward C.|nom1=Sandifer|titre=The Early Mathematics of Leonhard Euler|lieu=Washington|éditeur=MAA|année=2007|pages totales=391|isbn=978-0-88385-559-1|isbn2=0-88385-559-3|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=CvBxLr_0uBQC&printsec=frontcover}}
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Jacques Sesiano|titre=Euler et le parcours du cavalier|sous-titre=Avec une annexe sur le théorème des polyèdres|lieu=Lausanne|éditeur=[[PPUR]]|année=2015|pages totales=272|isbn=978-2-88074-857-9|présentation en ligne={{Google Livres|PGLzDAAAQBAJ}}}}
* {{en}} J. Simmons, ''The Giant Book of Scientists: The 100 Greatest Minds of All Time'', Sydney: The Book Company, 1996
* {{en}} [[Simon Singh]], ''Fermat's Last Theorem'', Fourth Estate: New York {{ISBN|1857026691}}, 1997
* {{en}} Rüdiger Thiele, « The mathematics and science of Leonhard Euler », dans ''Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May Lectures'', G. Van Brummelen and M. Kinyon (eds.), CMS Books in Mathematics, Springer Verlag {{ISBN|0387252843}}, 2005
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[André Warusfel]]|titre=Euler|sous-titre=les mathématiques et la vie|lieu=Paris|éditeur=[[Vuibert]]|année=2009|pages totales=240|isbn=978-2-7117-2218-1|isbn2=2-7117-2218-X}}
* {{Article|lang=en|titre=A Tribute to Leonhard Euler (1707-1783)|revue=[[Mathematics Magazine]]|vol=56|numéro=5|année=1983|jstor=i326726}}{{Commentaire biblio SRL|série d'articles}}
* {{de}} ''Lexikon der Naturwissenschaftler'', Heidelberg, Spektrum Akademischer Verlag, 2000
* {{Ouvrage|prénom1=Joaquin|nom1=Navarro Sandalinas|prénom2=Xavier|nom2=Renard|responsabilité2=trad.|titre=Du simple calcul à l'analyse mathématique|sous-titre=Euler|lieu=Barcelone|éditeur=RBA Coleccionables|année=2018|pages totales=157|isbn=978-84-473-9313-8|plume=oui}}

=== Articles connexes ===
{{colonnes|taille=30|1=
* [[Liste des membres de l'Académie royale des sciences]]
* [[Médaille Euler]]
* [[Liste de sujets portant le nom de Leonhard Euler]]
* {{Page h|Théorème d'Euler|Théorèmes d'Euler}}
}}

=== Liens externes ===
* [http://www.academie-sciences.fr/fr/Liste-des-membres-depuis-la-creation-de-l-Academie-des-sciences/les-membres-du-passe-dont-le-nom-commence-par-e.html Académie des sciences : Les membres du passé dont le nom commence par E]
* {{Lien web|lang=en|url=http://eulerarchive.maa.org|titre=The Euler Archive|site=[[Mathematical Association of America|MAA]]}} : inventaire des œuvres complètes d'Euler
* [http://www.euler-2007.ch/fr/ Site officiel sur le tricentenaire de la naissance d'Euler] (2007)
* Euler, ''Sur le principe de la moindre action'' (1753), en ligne et analysé sur le site [http://www.bibnum.education.fr/physique/physique-math%C3%A9matique/sur-le-principe-de-la-moindre-action BibNum].
* {{en}} ''[http://vanilla47.com/PDFs/Leonhard%20Euler/How%20Euler%20Did%20It%20by%20Ed%20Sandifer/ How Euler did it]'', Ed Sandifer (ensemble de chroniques, réunies dans un livre sous le même titre publié par la [[Mathematical Association of America]], 2007 {{ISBN|9780883855638}})

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