Voir la source de Les Principes du calcul infinitésimal

{{Infobox Livre
| titre             =  Les Principes du calcul infinitésimal
| auteur             =  [[René Guénon]]
| préface            = 
| directeur          =  
| genre              =  [[Ésotérisme]]
| pays               =  {{France}}
| lieu parution       = [[Paris]]
| éditeur            =  [[Éditions Gallimard|Gallimard]]
| collection         = 
| dateparution       =  {{date|1946}}
| image              =  
| légende            = 
| dessinateur        =  
| artiste_couverture =  
| série              =  
| type_média         =  
| pages              = 192
| isbn               = 978-2070196920
| précédent          = [[Le Règne de la Quantité et les Signes des Temps]]
| suivant            = [[La Grande Triade]]}}

'''''Les Principes du calcul infinitésimal''''' est un livre de [[René Guénon]] paru en [[1946 en littérature|1946]]. L'objectif du livre est de montrer à quoi correspondent les sciences sacrées, c'est-à-dire des  sciences qui ne sont pas détachées de leurs principes transcendants et qui servent de support pour la contemplation spirituelle. Il oppose ces sciences sacrées aux sciences profanes modernes qui ne sont tournées que vers les applications matérielles. Il prend ici l'exemple du [[calcul infinitésimal]].

== Objectif du livre ==

[[File:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|right|thumb|[[Gottfried Wilhelm Leibniz]], le fondateur du calcul infinitésimal avec [[Isaac Newton]]. Le livre est le résultat du mémoire de [[Diplôme d'études supérieures en France|diplôme d'études supérieures]] de Guénon en philosophie des sciences qu'il présenta au professeur [[Gaston Milhaud]] en 1916 et centré sur les travaux en mathématiques de Leibniz<ref group="LE" name="p107">{{harvsp|id=LaurantLE|texte=J.-P. Laurant : ''Les enjeux d'une lecture''|p=107}}</ref>{{,}}<ref group="MFJ" name="p163">{{harvsp|id=James|texte=M.-F. James : ''Ésotérisme et christianisme''|p=163}}</ref>. Ce dernier a intéressé Guénon dans la mesure où il se situait à la transition entre la science sacrée et la science profane : d'après Guénon, Leibniz avait des connaissances en [[scolastique]] et aurait reçu des transmissions des derniers authentiques [[Rose-Croix]]<ref group="PCI" name="avpr">''Avant-Propos'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>.]]

Guénon avait pour objectif, dans ce livre, de montrer comment on peut rattacher une science, ici les mathématiques et plus précisément le [[calcul infinitésimal]], aux principes transcendants avec lesquels elle avait perdu contact, pour en faire un support de contemplation spirituelle<ref group="RC" name="p776">{{harvsp|id=Accart|texte=X. Accart : ''Le renversement des clartés''|p=776}}</ref> et, donc, de mettre en évidence la différence entre une science sacrée et une science profane<ref group="VD" name="p446">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=446}}</ref>. Guénon avait déjà expliqué que la science et même l'industrie moderne n'étaient pas, en soi, incompatibles avec le monde traditionnel<ref group="RC" name="p518">{{harvsp|id=Accart|texte=X. Accart : ''Le renversement des clartés''|p=518}}</ref>. En revanche, les points de vue de la science profane et de la science sacrée sont incompatibles et même contradictoires<ref group="VD" name="p446"/>. La science sacrée ou traditionnelle est constamment rattachée au « Principe » transcendant dont tout dépend : une science sacrée ne peut concevoir l'étude d'un domaine particulier sans garder consciemment ce lien avec la source de toutes choses. Loin de nier la vérité relative des phénomènes qu'elle étudie (physique, chimie, astronomie, etc.) et de la valeur relative d'une description rationnelle de ces phénomènes, la science sacrée regarde ces phénomènes en dépendance de leur cause transcendante<ref group="VD" name="p446"/>.

Pour lui, au contraire, la science profane se considère comme complètement indépendante, prétendant se fonder en absence de toute référence extérieure à elle-même<ref group="VD" name="p446"/>. Elle nie tout ce qui dépasse le plan matériel et nie le domaine du supra-rationnel. Le supra-rationnel n'est pas, pour lui, l'irrationnel (qui correspond au domaine de l'infra-rationnel) mais ce qui dépasse la [[raison]] et la fonde<ref group="VD" name="p414">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=414}}</ref>. La science profane nie l'existence de ce qui est au-delà du matériel ou le considère comme inconnaissable. Guénon s'est exprimé à plusieurs reprises sur le paradoxe de ces hommes de science qui se font gloire de leur [[agnosticisme]] ce qui revient à se faire gloire de leur ignorance (agnostique voulant dire étymologiquement ignorant)<ref group="VD" name="p447">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=447}}</ref>. La science profane est, d'après lui, entièrement tournée vers les applications pratiques, surtout industrielles<ref group="CMM" name="chap4">Chap. IV : ''Science sacrée et science profane'', {{harvsp|id=GuénonCrise|texte=R. Guénon : ''La crise du monde moderne''|p=44}}</ref>{{,}}<ref group="OO" name="chap2">Chap. II : ''La superstition de la science'', {{harvsp|id=GuénonOO|texte=R. Guénon : ''Orient et Occident''}}.</ref>. Coupée de son « Principe » transcendant, elle devient ainsi une « science folle » s'enfermant dans le monde du changement sans aucun point fixe et produisant des « machines », en particulier des armes, de plus en plus incontrôlables<ref group="VD" name="p447"/> : il prédit dans ''Orient et Occident'' en 1924 l'apparition prochaine de « produits » qui pourraient détruire un continent entier<ref group="OO" name="chap4">Chap. IV : ''Terreurs chimériques et dangers réels'', {{harvsp|id=GuénonOO|1924|texte=René Guénon ''Orient et Occident'', 1924}}.</ref>. Il qualifie la science profane comme un « savoir ignorant » se situant volontairement au niveau le plus bas de la réalité<ref group="VD" name="p448">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=448}}</ref>. Il ne nie pas l'efficacité en termes pratiques de la science moderne, mais déclare que la vérification par les faits ne dit pas qu'une théorie est vraie car il est toujours possible de trouver plusieurs théories par lesquelles les faits s'expliquent également bien : on ne peut qu'éliminer certaines hypothèses mais jamais arriver à des certitudes<ref group="CMM" name="chap4"/>{{,}}<ref group="OO" name="chap2"/>.

Le symbolisme mathématique joue un rôle important dans l'œuvre de Guénon<ref group="VD" name="p291">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=291}}</ref>. À ce propos, il faut noter que son père était architecte<ref group="LE" name="p34">{{harvsp|id=LaurantLE|texte=J.-P. Laurant : ''Les enjeux d'une lecture''|p=34}}</ref> et qu'il fit des études en classe préparatoire en mathématiques élémentaires<ref group="LE" name="p36">{{harvsp|id=LaurantLE|texte=J.-P. Laurant : ''Les enjeux d'une lecture''|p=36}}</ref>. Durant cette période, il eut [[Albert Leclère]] comme professeur de philosophie qui, d'après [[Jean-Pierre Laurant]] a eu une certaine influence sur Guénon en particulier sur ses conceptions sur les mathématiques<ref group="LE" name="p42">{{harvsp|id=LaurantLE|texte=J.-P. Laurant : ''Les enjeux d'une lecture''|p=42}}</ref>{{,}}<ref group="LS" name="p20">{{harvsp|id=LaurantLS|texte=J.-P. Laurant : ''Le sens caché''|p=20}}</ref>. Le livre ''Les Principes du calcul infinitésimal'' est le résultat de son mémoire de [[Diplôme d'études supérieures en France|diplôme d'études supérieures]] en philosophie des sciences qu'il présenta au professeur [[Gaston Milhaud]] en 1916 et centré sur les travaux en mathématiques de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]<ref group="LE" name="p107" />{{,}}<ref group="MFJ" name="p163" />. Ce dernier a intéressé Guénon dans la mesure où il se situait à la transition entre la science sacrée et la science profane : d'après Guénon, Leibniz avait des connaissances en [[scolastique]] et aurait reçu des transmissions des derniers authentiques [[Rose-Croix]]<ref group="PCI" name="avpr" />.

== Symbolisme sacré et conventionalisme moderne en mathématiques ==

Guénon se focalise sur la notion de [[Limite (mathématiques)|limite]], notion centrale du [[calcul infinitésimal]] tant pour le calcul [[Différentielle|différentiel]] que pour le [[calcul intégral]] et sur la notion d'« [[infiniment petit]] » introduite par Leibnitz liée aux [[Fonction négligeable|fonctions négligeables]] en mathématiques.

[[File:Georg Cantor2.jpg|left|thumb|[[Georg Cantor]], mathématicien ayant introduit les [[Nombre transfini|transfinis]] : pour Guénon ces transfinis ne sont pas des nombres et encore moins des nombres infinis mais des quantités permettant de hiérarchiser différents ordres de multiplicités indéfinies. Ces questions de vocabulaires sont d'après Guénon des révélateurs de la perte de sens dans la science profane qui se tourne vers un conventionalisme aux buts purement applicatifs.]]

Il commence par des questions de vocabulaire : il montre en quoi de nombreuses notions mathématiques se sont coupées de leur signification symbolique et de leur lien avec une dimension transcendante conduisant à un conventionnalisme généralisé qui conduit à de nombreuses applications pratiques mais au prix d'une perte du sens. En particulier, Guénon rejette l'utilisation du terme infini en mathématiques : il avait déjà introduit la notion capitale pour lui d'« Infini » pour décrire le « Principe » ultime dans ''[[Les États multiples de l'être]]'', soulignant que le véritable « Infini » est sans parties et sans commune mesure avec le fini<ref group="VD" name="p214">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=214}}</ref>{{,}}<ref  group="LE" name="p197">{{harvsp|id=LaurantLE|texte=J.-P. Laurant : ''Les enjeux d'une lecture''|p=197}}</ref>. Or, d'après lui ce qui est désigné par le terme infini en mathématiques n'est justement qu'une extension du fini aussi grande qu'on puisse la concevoir « dont nous ne pouvons pas actuellement atteindre la limite<ref group="VD" name="p210">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=210}}</ref> ». Le fini est synonyme, en métaphysique, du limité : du fini ne peut surgir que l'indéfini<ref group="VD" name="p167">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=167}}</ref>. L'« Infini » est, au contraire, sans commune mesure avec le fini et est dépourvu de toute limite<ref group="VD" name="p214"/>. Il note que le symbole mathématique désignant l'infini, <math>{\infty} </math>, est, d'ailleurs, une figure fermée et donc visiblement finie<ref group="PCI" name="chap1"/>.

La loi de formation des nombres (pour lui l'ensemble des nombres [[Entier naturel|entiers naturels]] moins le 0) :  1, 2, 3, …, <math> n </math>, …  est construit par l'ajout de l'unité à  chaque terme de la série et est entièrement déterminée par cette loi de formation : il s'agit de quelque chose de nettement déterminé, d'« arrêté »<ref group="PCI" name="chap2">Chap. II : ''La contradiction du « nombre infini »'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>. Cette série est indéfinie dans la mesure où il sera toujours possible d'ajouter un à n'importe quel nombre. L'indéfini comporte toujours une certaine détermination qu'il s'agisse de l'étendue, de la durée, de la divisibilité, ou de quelque autre possibilité que ce soit<ref group="VD" name="p210"/>. L'indéfini (c'est-à-dire l'« infini mathématique ») est encore du fini et ne peut être que du fini<ref group="VD" name="p210"/>. Guénon prend comme autre exemple la confusion courante  entre la perpétuité qui correspond au temps qui continue indéfiniment et de l'éternité qui correspond au dépassement de la condition temporelle<ref group="PCI" name="chap1">Chap. I : ''Infini et indéfini'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>. Il considère comme absurde l'expression de « tendre vers l'infini », l'« Infini » implique l'absence de toute limite et il n'y a donc là rien vers quoi il soit possible de tendre<ref group="PCI" name="chap9">Chap. IX : ''Indéfiniment croissant et indéfiniment décroissant'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>{{,}}<ref group="VD" name="p340">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=340}}</ref>. En particulier, la série des nombres, 1, 2, 3, …, <math>n</math>, … , ne tend pas vers l'infini mais croît indéfiniment<ref group="VD" name="p340"/>.

L'[[arithmétique]] fut autrefois une science sacrée et Guénon prétend que les modernes en sont arrivés à ignorer ce qu'est le nombre non seulement dans son sens symbolique tel qu'on l'entendait dans le [[Pythagore|pythagorisme]] ou la [[Kabbale]] mais aussi le nombre dans son acceptation simplement quantitative : ils ont remplacé le nombre par le [[chiffre]] qui n'est que le « vêtement » du nombre<ref group="VD" name="p339">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=339}}</ref>{{,}}<ref  group="LE" name="p197"/>. Il s'ensuit l'apparition d'un conventionalisme envahissant tout : toutes sortes de termes et de symboles apparaissent qui permettent des applications pratiques mais sont devenus séparés de toute signification véritable<ref  group="LE" name="p197"/>. Il donne plusieurs exemples : les « [[Nombre négatif|nombres négatifs]] » qui ne sont pas des nombres car il n'y a pas de nombre « moindre que zéro ». Il ne s'agit que du résultat de soustractions impossibles. Cette convention est bien susceptible d'une interprétation dans le cas où la grandeur que l'on veut mesurer est susceptible d'être comptée en deux sens opposés comme les mesures sur une ligne découpées en deux demi-droites : à droite les distances sont considérées comme positives, à gauche comme négatives, mais il ne s'agit que d'une convention<ref group="PCI" name="chap16">Chap. XVI : ''La notation des nombres négatifs »'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>. La même chose peut être dite pour les « nombres [[Fraction (mathématiques)|fractionnaires]] ou [[Nombre rationnel|rationnels]] », <math>\frac{a}{b}</math>, ou les « nombres [[Nombre irrationnel|irrationnels]] » comme [[Racine carrée de deux|{{racine|2}}]] ou [[Pi|{{math|π}}]]. Pour les « nombres [[Fraction (mathématiques)|fractionnaires]] » ou [[Nombre rationnel|rationnels]], Guénon déclare qu'en vérité il ne peut pas y avoir des « parties de l'unité » : ces grandeurs ne sont introduites que parce qu'on a choisi le nombre 1, pour des raisons étrangères à l'arithmétique, comme unité de longueur d'une ligne par exemple afin de pouvoir mesurer par rapport à elle toutes les autres longueurs. Mais les grandeurs continues sont divisibles indéfiniment ce qui nécessite d'introduire ces nombres fractionnaires et même des nombres irrationnels car la multitude des nombres rationnels ne suffit pas à « remplir les intervalles entre les points contenus dans la ligne »<ref group="PCI" name="chap4">Chap. IV : ''La mesure du continu »'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>. La même chose peut être dite pour les « nombres [[Nombre imaginaire pur|imaginaires]] » qui peuvent être des conventions très utiles pour des raisons pratiques et sont même susceptibles d'une [[Nombre complexe|représentation géométrique]], mais ne correspondent qu'à des opérations arithmétiques impossibles : des [[Racine carrée|racines carrées]] de nombres négatifs<ref group="PCI" name="chap16"/>.

Dans l'arithmétique sacrée, chaque nombre a une signification symbolique. Guénon a détaillé la symbolique de plusieurs d'entre eux : en particulier le livre [[La Grande Triade]] est centré sur la notion de « ternaire » et donc sur le symbolisme du nombre trois. Il donne un autre exemple avec le chiffre un, l'unité qui donne naissance à tous les autres nombres en arithmétique<ref group="VD" name="p339"/>. L'unité est donc le symbole de l'« Être » (notion introduite dans ''[[Les États multiples de l'être]]''), l'origine de toutes choses. « L'unité, indivisible et sans parties est dite possédante tous les aspects de la divinité<ref group="VD" name="p502">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=502}}</ref> ». Cela renvoie aussi à l'« unicité » de l'existence, c'est-à-dire de tous les phénomènes qui existent<ref group="VD" name="p502"/>. Guénon écrit que le [[Lois du mouvement de Newton|principe d'action-réaction]] (ou troisième loi de Newton) comme  toutes les [[loi de conservation|lois de conservation]] ne sont pas des « principes » mais des cas très particuliers et relatifs de « la loi générale de l'équilibre des forces naturelles » liée à l'« unicité » de l'existence conséquence de l'unité du principe de l'existence<ref group="VD" name="p170-171">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=170-171}}</ref>{{,}}<ref group="PCI" name="chap17">Chap. XVII : ''Représentation de l'équilibre des forces'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>. Il en déduit que là encore les scientifiques modernes n'ont plus conscience du sens des signes mathématiques en écrivant que l'équilibre entre deux forces <math>\vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{A/B}} = -\vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{B/A}}</math> revient à <math>\vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{A/B}} + \vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{B/A}} = \vec{0}</math> donc est symbolisée par le 0. Or, ce dernier est lié au non-manifesté : l'unité des forces dans le monde manifesté devrait être symbolisée par <math> n \times n' = 1</math>, <math>n</math> et <math>n'</math> symbolisant l'intensité des forces (l'une compressive  <math>n' > 1</math>, l'autre expansive <math>n < 1</math>) car l'équilibre des forces est lié à l'unité de l'Être symbolisé par le nombre 1<ref group="VD" name="p171">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=171}}</ref>. Cette unité, dans laquelle réside l'équilibre est ce que le [[taoïsme]] appelle l'« Invariable milieu » ; et, d'après Guénon « cet équilibre ou cette harmonie est, au centre de chaque état et de chaque modalité de l'être, le reflet de l'« Activité du Ciel <ref group="PCI" name="chap17"/>» » dont toutes les [[Théorème de Noether (physique)|lois d'invariance]]  de la physique n'apparaissent que comme des cas très particuliers<ref group="VD" name="p171"/>{{,}}<ref group="VD" name="p146">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=146}}</ref>.

Pour revenir au 0, il déclare qu'il ne s'agit en aucune façon d'un nombre mais au contraire du symbole de l'absence de quantité. Il ne s'agit en aucune façon d'un néant mais au contraire de ce qui est au-delà de la quantité. Le zéro symbolise donc le « Non-Être », le non-manifesté comme le silence ou le vide, qui est infiniment plus que le manifesté<ref group="VD" name="p534">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=534}}</ref>{{,}}<ref group="PCI" name="chap15">Chap. XV : ''Zéro n'est pas un nombre'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>. Là encore, il prétend que la notation mathématique semble avoir perdu cette signification : il prend l'exemple de la série : 0 …  … <math>\frac{1}{4}</math>, <math>\frac{1}{3}</math>, <math>\frac{1}{2}</math>, 1, 2, 3, …  … <math>{\infty} </math>

Le symbole <math>{\infty} </math> ne représente en aucune façon un nombre ni l'infini mais l'« indéfiniment grand ». De la même façon, le symbole 0 (qui ne peut pas correspondre au zéro en tant qu'absence de quantité) ne peut pas être un nombre nul qui serait le dernier terme dans le sens décroissant qui ne peut avoir aucune place dans cette série de quantités numériques mais représente l'« indéfiniment décroissant ». La preuve qu'il ne peut s'agir d'un nombre déterminé c'est que les termes équidistants vérifient toujours <math>   \frac{1}{n} \times n = 1</math> or l'expression <math> 0 \times \infty </math> est, au contraire, une « [[Limite_(mathématiques)#Indétermination|forme indéterminée]] »<ref group="PCI" name="chap15"/>.

Il ne peut donc pas y avoir de « nombres infinis »<ref group="VD" name="p339" /> : la multitude de tous les nombres ne peut pas constituer un nombre, il s'agit d'une multitude indénombrable qui dépasse tout nombre et qui ne peut pas être conçue comme une « collection »<ref group="PCI" name="chap3">Chap. III : ''La multitude innombrable'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>. On peut concevoir, en revanche, des indéfinités différentes et d'ordre différent et donc toute une hiérarchie dans ces ordres d'indéfinité : les [[Nombre transfini|transfinis]] introduits par [[Georg Cantor]] ne sont, d'après Guénon, en aucune façon des nombres mais des moyens de hiérarchiser ces indéfinités<ref group="VD" name="p496-497">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=496-497}}</ref>. Il voit d'ailleurs dans l'utilisation systématique de termes comme ces nombres infinis la perte complète de toute logique et de toute signification transcendante dans les mathématiques modernes<ref group="VD" name="p496-497"/>{{,}}<ref group="PCI" name="chap20">Chap. XX : ''Différents ordres d'indéfinité'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>.

== La notion de limite ==

Certains problèmes liés au calcul infinitésimal sont justement liés au fait que l'indéfinité liée aux quantités continues n'est pas du même ordre que celle des quantités discontinues<ref group="VD" name="p100">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=100}}</ref>. Par exemple, pour la quantité discontinue, représentée par la série 1, 2, 3, …, <math>n</math>, … , il ne peut être question que d'indéfinité croissante car l'unité est indivisible. En revanche, pour la quantité continue, on peut envisager des quantités indéfiniment croissantes comme des quantités indéfiniment décroissantes : la loi de continuité implique justement que les grandeurs continues soient divisibles indéfiniment<ref group="PCI" name="chap9"/>{{,}}<ref group="PCI" name="chap11">Chap. XI : ''La « loi de continuité » »'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>. C'est ce qui a amené Leibniz à introduire sa notion d'« [[infiniment petit]] »<ref group="VD" name="p261">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=261}}</ref>. Pour Guénon, ces grandeurs n'ont rien à voir avec l'infini mais sont des quantités indéfinies aussi petites que possibles et l'idée d'indéfini implique toujours une certaine indétermination et donc l'idée d'un « devenir<ref group="VD" name="p121-122">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=121-122}}</ref> », de quelque chose qui n'est pas fixé et immuable<ref group="PCI" name="chap21">Chap. XXI : ''L'indéfini est inépuisable analytiquement'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>. Il insiste sur le fait que ces grandeurs sont donc forcément des grandeurs variables qui ne peuvent jamais devenir rigoureusement nulles et ne peuvent pas tendre vers des points qui ne sont en aucune façon les éléments ou les parties d'une ligne<ref group="PCI" name="chap8">Chap. VIII : ''« Division à l'infini » ou divisibilité indéfinie'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>{{,}}<ref group="VD" name="p261"/>. Ces quantités variables indéfiniment petites doivent pouvoir devenir aussi petites que l'on veut pour que l'erreur dans les calculs puisse être considérée comme négligeable. Il ne s'agit pas de quantités fixes et Guénon remarque que Leibnitz a fait temporairement une erreur pour justifier l'existence de ces quantités en les comparant à des « grains de sable »   au regard de la terre ou du firmament : le grain de sable est une quantité fixe<ref group="PCI" name="chap24">Chap. XXIV : ''Véritable conception du passage à la limite'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|1946|texte=René Guénon ''Les Principes du calcul infinitésimal'', 1946}}.</ref>{{,}}<ref group="PCI" name="chap5">Chap. V : ''Questions soulevées par la méthode du calcul infinitésimal'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|texte=R. Guénon : ''Les Principes du calcul infinitésimal''}}</ref>. Encore une fois, comme le continu est inépuisable, ces « infiniment petits » ne tendront jamais vers zéro. D'une façon générale, Guénon déclare que l'indéfini est inépuisable analytiquement. Ainsi la série des nombres <math> n </math> ne s'arrêtera jamais vers un « nombre infini » car on pourra toujours rajouter un à tout nombre et la série <math>\frac{1}{n}</math> ne tendra jamais vers zéro car il y aura toujours un terme suivant à chaque quantité<ref group="PCI" name="chap21"/>.

Mais quel est alors le fondement du calcul infinitésimal ? S'agit-il uniquement d'une méthode approchée ou d'une méthode rigoureuse où les limites sont vraiment atteintes ? La décroissance de ces quantités, quoique indéfinie, parviendra-t-elle à atteindre son terme ? D'après Guénon, Leibnitz fut toujours persuadé que sa méthode était rigoureuse et passa la fin de sa vie à chercher à justifier son formalisme sans jamais y arriver véritablement<ref group="VD" name="p261"/>.

[[Fichier:Pi archi approx inter.svg|thumb|right|upright=2|Approximations successives d'un disque par des polygones réguliers intérieurs, pour  <math>{n}</math> allant de 3 à 10. Si <math>{n}</math> augmente indéfiniment, le polygone ressemblera de plus en plus au cercle : en particulier la superficie du polygone se rapprochera de plus en plus de celui du cercle. Mais aucun des polygones de la série ne sera jamais un cercle : il y aura toujours une différence qualitative. Le passage à la limite qui permettrait de passer au cercle suppose une discontinuité, un changement qualitatif d'état.]]

Guénon répond par l'affirmative : le calcul infinitésimal est fondé rigoureusement mais pour le prouver il faut comprendre la signification qualitative du passage à la limite. Il va, par ailleurs, en profiter pour montrer en quoi ce passage à la limite peut servir de symbole à la transformation spirituelle, c'est-à-dire au passage d'une modalité d'être à une autre supérieure<ref group="VD" name="p261"/>. Guénon ne s'intéresse pas au calcul mathématique des limites particulières (problème étudié en détail par les mathématiciens) mais au problème ontologique posé par l'atteinte d'une limite par une fonction.

Il donne d'abord l'exemple de l'[[Intégration (mathématiques)|intégration]] : si on connaît la [[primitive]] de la fonction, son intégration est un acte synthétique réalisé « d'un coup » qui enveloppe simultanément tous les éléments de la somme qu'il s'agit de calculer sans que cela présuppose aucunement la considération distincte de ses éléments, ce qui est de toute façon impossible puisque ces éléments sont en multitude indéfinie<ref group="PCI" name="chap22">Chap. XXII : ''Caractère synthétique de l'intégration'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|texte=R. Guénon : ''Les Principes du calcul infinitésimal''}}</ref>. On voit par là que les limites du calcul infinitésimal existent bien mais ne peuvent pas être atteintes analytiquement : « une indéfinité ne peut être atteinte par degrés, mais elle peut être comprise dans son ensemble par une des opérations transcendantes dont l'intégration nous fournit le type dans l'ordre mathématique <ref group="PCI" name="chap22"/> ».

Guénon finit en expliquant ce qu'il considère être la véritable conception du passage à la limite<ref group="VD" name="p260-262">{{harvsp|id=VivenzaD|texte=J.-M. Vivenza : ''Le Dictionnaire''|p=260-262}}</ref> : 
  
{{début citation}}
La limite ne peut pas être atteinte dans la variation et comme terme de celle-ci ; elle n’est pas la dernière des valeurs que doit prendre la variable [...] 
La limite n’appartient donc pas à la série des valeurs successives de la variable ; elle est en dehors de cette série, et c’est pourquoi [...] le « passage à la limite » implique essentiellement une discontinuité [...] La limite d’une variable doit véritablement limiter, au sens général de ce mot, l’indéfinité des états ou des modifications possibles que comporte la définition de cette variable ; et c’est justement pour cela qu’il faut nécessairement qu’elle se trouve en dehors de ce qu’elle doit limiter ainsi. Il ne saurait être aucunement question d’épuiser cette indéfinité par le cours même de la variation qui la constitue ; ce dont il s’agit en réalité, c’est de passer au delà du domaine de cette variation, dans lequel la limite ne se trouve pas comprise, et c’est ce résultat qui est obtenu, non pas analytiquement et par degrés, mais synthétiquement et d’un seul coup, d’une façon en quelque sorte « soudaine » par laquelle se traduit la discontinuité qui se produit alors, par le passage des quantités variables aux quantités fixes. La limite appartient essentiellement au domaine des quantités fixes : c’est pourquoi le « passage à la limite » exige logiquement la considération simultanée, dans la quantité, de deux modalités différentes, en quelque sorte superposées ; il n’est pas autre chose alors que le passage à la modalité supérieure, dans laquelle est pleinement réalisé ce qui, dans la modalité inférieure, n’existe qu’à l’état de simple tendance<ref group="PCI" name="chap24"/>.
{{fin citation}}

Cette conception de la limite symbolise directement ce que Guénon appelle la réalisation métaphysique ou spirituelle de l'être et qui consiste dans le passage dans [[Les États multiples de l'être|un état supérieur de l'être]]<ref group="VD" name="p260-262"/>, d'une modélité d'existence à une autre<ref group="RC" name="p776"/>. Plus spécifiquement, les fonctions et le domaine des variables peuvent symboliser le domaine du devenir en particulier le domaine du temporel dans lequel évolue l'individualité humaine : le passage à la limite et aux quantités fixes correspond au passage dans le « non-temps » où tout est immuable et qui correspond à la première étape du chemin spirituel comme il l'a expliqué dans [[La Métaphysique orientale]] par exemple<ref group="VD" name="p260-262"/>{{,}}<ref group="PCI" name="chap24"/>.

En conclusion, il explique que le livre sert d'illustration à comment une science spéciale dans une perspective sacrée (ici les mathématiques) peut servir de support de contemplation pour s'élever à une connaissance d'ordre supérieur<ref group="RC" name="p776"/>{{,}}<ref group="PCI" name="chap25">Chap. XXV : ''Conclusion'', {{harvsp|id=GuénonCalcul|texte=R. Guénon : ''Les Principes du calcul infinitésimal''}}</ref>.

== Bibliographie ==

* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = René
 | nom1          = Guénon
 | titre         = Orient et Occident
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = [[Payot (librairie)|Payot]]
 | année         = 1924
 | pages totales = 232
 | isbn          = 2-85829-449-6
 | id            = GuénonOO
}}{{Commentaire biblio|Édition définitive remaniée par Guénon publiée en 1948 ([[Éditions Trédaniel|Éditions Véga]])<ref  group="HR" name="p155"> {{harvsp|id=HapelRoi|texte=B. Hapel: ''René Guénon et le Roi du monde''|p=155}}</ref>: en particulier refonte de certains passages du {{Chap.}} IV de la première partie (''Terreurs chimériques et dangers réels'') et ajout d'un addendum<ref  group="HR" name="p155"/>, depuis nombreuses rééditions, dont Guy Trédaniel/Éditions de la Maisnie, Paris. Les numéros de pages renvoient à l'édition de 1993.}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = René
 | nom1          = Guénon
 | titre         = [[Le Roi du monde]]
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = Ch. Bosse
 | année         = 1927
 | pages totales = 104
 | isbn          = 2-07-023008-2
}}{{Commentaire biblio|Édition définitive remaniée par Guénon publiée en 1950 aux Éditions Traditionnelles: ajout d"un titre à chaque chapitre, certains paragraphes ont été modifiés<ref  group="HR" name="p157">{{harvsp|id=HapelRoi|texte=B. Hapel: ''René Guénon et le Roi du monde''|p=157}}</ref>. Depuis nombreuses rééditions, dont Gallimard. Les numéros de pages renvoient à l'édition de 1993.}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = René
 | nom1          = Guénon
 | titre         = [[La Crise du monde moderne]]
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = Bossard
 | année         = 1927
 | pages totales = 201
 | isbn          = 2-07-023005-8
 | id            = GuénonCrise
}}{{Commentaire biblio|Édition définitive remaniée par Guénon publiée en 1946 aux [[Éditions Gallimard]]: quelques paragraphes ont été remaniés<ref  group="HR" name="p157"/>. Depuis nombreuses rééditions, dont Gallimard. Les numéros de pages renvoient à l'édition de 1973.}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = René
 | nom1          = Guénon
 | titre         = [[Le Règne de la Quantité et les Signes des Temps]]
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = [[Éditions Gallimard|Gallimard]]
 | année         = 1945
 | pages totales = 304
 | isbn          = 978-2-07-014941-4
 | id            = GuénonRègne
}}{{Commentaire biblio|Multiples rééditions.}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = René
 | nom1          = Guénon
 | titre         = Les Principes du Calcul infinitésimal
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = [[Éditions Gallimard|Gallimard]]
 | année         = 1946
 | pages totales = 192
 | isbn          = 978-2-07-019692-0
 | id            = GuénonCalcul
}}{{Commentaire biblio|Multiples rééditions.}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = René
 | nom1          = Guénon
 | titre         = [[La Grande Triade]]
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = [[Éditions Gallimard|Gallimard]]
 | année         = 1946
 | pages totales = 214
 | isbn          = 978-2-07-023007-5
 | id            = GuénonTriade
}}{{Commentaire biblio|multiples rééditions. Les numéros de pages renvoient à l'édition de 1957 (Gallimard).}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = René
 | nom1          = Guénon
 | titre         = Initiation et Réalisation spirituelle
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = [[Éditions traditionnelles|Éditions Traditionnelles]]
 | année         = 1952
 | pages totales = 254
 | isbn          = 978-1-911417-83-5
 | id            = GuénonRéalisation
}}{{Commentaire biblio|Première édition 1952<ref  group="HR" name="p160"/>, depuis multiples rééditions.}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = René
 | nom1          = Guénon
 | titre         = Études sur l'Hindouisme
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = [[Éditions traditionnelles|Éditions Traditionnelles]]
 | année         = 1989
 | pages totales = 288
 | isbn          = 978-2-7413-8020-7
}}{{Commentaire biblio|Première édition 1968<ref  group="HR" name="p160">{{harvsp|id=HapelRoi|texte=B. Hapel: ''René Guénon et le Roi du monde''|p=160}}</ref>, depuis multiples rééditions. Les numéros de pages renvoient à l'édition de 1989 (Éditions traditionnelles).}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = René
 | nom1          = Guénon
 | titre         = Symboles de la Science sacrée
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = [[Éditions Gallimard|Gallimard]]
 | année         = 1962
 | pages totales = 437
 | isbn          = 2-07-029752-7
 | id            = GuénonSymboles
}}{{Commentaire biblio|Première édition 1964<ref  group="HR" name="p160"/>, depuis multiples rééditions.}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = René
 | nom1          = Alleau
 | titre         = Colloque dirigé par [[René Alleau]] et [[Marina Scriabine]]: René Guénon et l'actualité de la pensée traditionnelle
 | sous-titre    = Actes du colloque international de Cerisy-la-Salle: 13-20 Juillet 1973
 | lieu          = Milan
 | éditeur       = [[Éditions Archè|Archè]]
 | année         = 1980
 | pages totales = 333
 | isbn          = 88-7252-111-4
 | id            = Cerisy
}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = David
 | nom1          = Bisson
 | titre         = René Guénon, une politique de l'esprit
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = Pierre-Guillaume de Roux
 | année         = 2013
 | pages totales = 528
 | isbn          = 978-2-36371-058-1
 | id            = Bison
}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = Marie-France
 | nom1          = [[Marie-France James|James]]
 | titre         = Ésotérisme et christianisme
 | sous-titre    = autour de René Guénon
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = [[Nouvelles Éditions Latines]]
 | année         = 1981
 | pages totales = 476
 | isbn          = 2-7233-0146-X
 | id            = James
}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = Jean-Pierre
 | nom1          = Laurant
 | titre         = Le sens caché dans l'œuvre de René Guénon
 | lieu          = Lausanne, Suisse
 | éditeur       = L'âge d'Homme
 | année         = 1975
 | pages totales = 282
 | isbn          = 2-8251-3102-4
 | id            = LaurantLS
}}
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Jean-Pierre Laurant|titre=L'Ésotérisme|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions du Cerf|Les Éditions du Cerf]]|année=1993|pages totales=128|isbn=2-7621-1534-5|id=J.-P. Laurant, 1993}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = Jean-Pierre
 | nom1          = Laurant
 | titre         = René Guénon, les enjeux d'une lecture
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = [[Dervy]]
 | année         = 2006
 | pages totales = 400
 | isbn          = 2-84454-423-1
 | id            = LaurantLE
}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = Georges
 | nom1          = [[Georges Vallin|Vallin]]
 | titre         = La Perspective metaphysique
 | lieu          = Paris
 | éditeur       = [[Éditions Dervy|Dervy]]
 | année         = 1990
 | pages totales = 255
 | isbn          = 978-2-85076-395-3
}}
* {{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = Jean
 | nom1          = [[Jean-Marc Vivenza|Vivenza]]
 | titre         = Le Dictionnaire de René Guénon
 | lieu          = Grenoble
 | éditeur       = Le Mercure Dauphinois
 | année         = 2002
 | pages totales = 568
 | isbn          = 2-913826-17-2
 | id            = VivenzaD
}}

== Notes et références ==

* René Guénon, Orient et Occident, Paris, 1924
{{Références|taille=30|groupe=OO}}

* René Guénon, Le Roi du monde, 1927
{{Références|colonnes=2|groupe=RM}}

* René Guénon La crise du monde moderne, 1927
{{Références|taille=30|groupe=CMM}}

* René Guénon Le Symbolisme de la Croix, 1931
{{Références|taille=30|groupe=SC}}

* René Guénon, ''Le Règne de la Quantité et les signes des temps'', 1945
{{Références|colonnes=2|groupe=RQ}}

* René Guénon, Les Principes du Calcul infinitésimal, Paris, 1946
{{Références|taille=30|groupe=PCI}}

* {{harvsp|Guénon|1946|texte=René Guénon ''La Grande Triade'', 1946}}
{{Références|taille=30|groupe=GT}}

* René Guénon, ''Initiation et Réalisation spirituelle'', 1952
{{Références|taille=30|groupe=IRS}}

* {{harvsp|Guénon|1989|texte= René Guénon ''Études sur l'Hindouisme'', 1968}}
{{Références|colonnes=1|groupe=EH}}

* [[Xavier Accart]] ''René Guénon ou le renversement des clartés : Influence d'un métaphysicien sur la vie littéraire et intellectuelle française (1920-1970)'', 2005
{{Références|colonnes=5|groupe=RC}}

* Xavier Accart ''l'Ermite de Duqqi'', 2001
{{Références|colonnes=2|groupe=DUQ}}

* René Alleau et Marina Scriabine (dir.): ''René Guénon et l'actualité de la pensée traditionnelle'', 1980
{{Références|colonnes=2|groupe=CC}}

* David Bisson: ''René Guénon : une politique de l'esprit'', 2013
{{Références|colonnes=4|groupe=DB}}

* Bruno Hapel, René Guénon et le Roi du Monde, 2001
{{Références|colonnes=2|groupe=HR}}

* Marie-France James, Ésotérisme et christianisme: Autour de René Guénon, 1981
{{Références|colonnes=5|groupe=MFJ}}

* Jean-Pierre Laurant, Le sens caché dans l'œuvre de René Guénon, 1975
{{Références|colonnes=5|groupe=LS}}

*« Cahiers de l'Herne » : René Guénon, 1985 
{{Références|colonnes=2|groupe=CH}}

* Jean-Pierre Laurant, René Guénon, les enjeux d'une lecture, 2006
{{Références|colonnes=4|groupe=LE}}

* Jean Robin, René Guénon, témoin de la tradition, 1978
 {{Références|colonnes=4|groupe=JR}}

* [[Paul Sérant]], René Guénon, 1977
 {{Références|colonnes=4|groupe=PS}}

* {{harvsp|Ursin|2005|texte=Jean Ursin, ''René Guénon, Approche d'un homme complexe'', 2005}}
 {{Références|colonnes=2|groupe=JU}}

* [[Georges Vallin]], La perspective métaphysique, 1977
 {{Références|colonnes=4|groupe=GV}}

* {{harvsp|Vâlsan|1984|texte=Michel Vâlsan, ''L'Islam et la Fonction de René Guénon'', 1984}}
 {{Références|colonnes=2|groupe=MVI}}

* {{harvsp|Vâlsan|1984|texte=Michel Vâlsan, ''Références islamiques du « symbolisme de la croix »'', 1984}}
 {{Références|colonnes=2|groupe=MVS}}

* Jean-Marc Vivenza, Le Dictionnaire de René Guénon, 2002
 {{Références|colonnes=5|groupe=VD}}

* Jean-Marc Vivenza, La Métaphysique de René Guénon, 2004
 {{Références|colonnes=5|groupe=VM}}

=== Références web ===

{{références|colonnes = 2|groupe = w}}

=== Autres références ===

{{références|colonnes = 2|groupe = TA}}

{{Portail|Religions et croyances|spiritualité}}

[[Catégorie:René Guénon]]
[[Catégorie:Ésotérisme]]
[[Catégorie:Essai paru en 1946]]
[[Catégorie:Calcul]]