Voir la source de Levier (mécanique)

{{Voir homonymes|levier}}
{{à sourcer|date=janvier 2024}}
[[File:Crowbar 2 (PSF).png|thumb|Levier utilisé pour retirer les planches d'un [[parquet (construction)|parquet]].]]
En [[mécanique (science)|mécanique]], un '''levier''' est une pièce rigide, allongée, généralement en [[Liaison (mécanique)#Liaison pivot|liaison pivot]] ou en [[Liaison (mécanique)#Liaison ponctuelle ou sphère/plan|simple appui]] par rapport à une partie fixe, qui permet de transformer un [[mouvement (mécanique)|mouvement]]<ref>{{CNRTL|Levier|A}}.</ref>. Le levier est l'une des huit [[Machine simple|machines simples]]. 

Le levier peut être utilisé de deux manières :
* pour amplifier un mouvement, en amplitude ou en vitesse ; l'une des premières applications fut sans doute l'[[atlatl]] ;
* pour amplifier un effort.
Les deux utilisations sont contradictoires : l'amplification du mouvement se fait aux dépens de l'effort, et l'amplification de l'effort se fait aux dépens de la vitesse et de l'amplitude du mouvement.

Pour que le levier puisse jouer, il doit avoir un appui, appelé également ''hypomochlion'' ou ''hypomoclion'' (du grec {{Grec ancien|ὑπο|hupo}}, « sous » et {{Grec ancien|μοχλός|mokhlos}}, « levier »). C’est aussi l’axe sur lequel on peut faire levier pour tourner. Ce terme est utilisé, notamment en [[odontologie|odonto]]-[[stomatologie]], pour désigner le centre de rotation de la dent par rapport à son ancrage, au niveau du desmodonte.

== Histoire ==
Si l’on entend par mécanisme la mise en place cohérente de plusieurs solides dans le but de transformer un mouvement, alors le levier est le plus simple de tous, ce qui en fait probablement le premier mécanisme ou dispositif mécanique utilisé par l’Homme, bien avant la découverte de la [[roue]]. Il n’est formé que de deux solides : un appui (un [[Pierre naturelle|caillou]]) et un levier (une branche, un [[bâton]]) qui, disposés judicieusement, permettent de [[Produit (mathématiques)|démultiplier]] la [[force (physique)|force]] [[muscle|musculaire]].

Il est mis en œuvre dans l'Antiquité, notamment sous forme de [[Puits à balancier|chadouf]].

Bien plus tard, [[Archimède]] a compris et maîtrisé toutes les possibilités qu’offre le levier. Ce dispositif est d’ailleurs à l’origine de l'une de ses citations les plus célèbres<ref>Cité par [[Pappos|Pappus]] d'Alexandrie, ''Collection mathématique,livre {{VIII}}, Chapitre {{XI}}'' ({{Article|prénom1=Paul|nom1=Ver Eecke|titre=Note sur une interprétation erronée d'une sentence d'Archimède|périodique=L'Antiquité Classique|volume=24|numéro=1|pages=132–133|date=1955|doi=10.3406/antiq.1955.3257|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/antiq_0770-2817_1955_num_24_1_3257|consulté le=2025-03-02}}).</ref> : « ''{{lang|grc|Δός μοί ποῦ στῶ, καὶ κινῶ τὴν γῆν}}'' » (« Donne-moi où je puisse me tenir ferme, et j'ébranlerai la Terre »).

== Classes de levier ==
[[Image:LeverFirstClass.svg|thumb|upright=.5|Levier de première classe.]]
[[Image:LeverSecondClass.svg|thumb|upright=.5|Levier de seconde classe.]]
[[Image:ThirdClassLever.svg|thumb|upright=.5|Levier de troisième classe. Sur ce schéma, le levier fonctionne correctement si le point d'appui est attaché à la barre.]]
On regroupe traditionnellement les leviers en trois classes<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Test de raisonnement mécanique|url=https://psychotechniquetest.fr/test-raisonnement-mecanique/|site=Les tests psychotechniques en ligne expliqués|consulté le=2019-06-10}}</ref>, fonction de la position du point d'appui et des forces en entrée et sortie :
; Première classe : levier inter-appui : le point d'appui est situé entre les deux forces, au milieu dans le cas d’un [[tape-cul (loisir)|tape-cul]]. Exemples : le [[muscle triceps brachial]] du [[Bras_(segment_de_membre)|bras]], un [[frein à main]] de [[Bicyclette|vélo]], un [[pied-de-biche]] (côté incurvé), un [[arrache-clou]], une [[Tenaille (outil)|pince-tenaille]], des [[ciseaux]], un [[diable (outil)|diable]], un [[Mors (équitation)|mors]], un [[trébuchet]], une [[Balance (instrument)|balance]].
; Deuxième classe : levier inter-résistant : le point d'appui est à une extrémité du levier, la force exercée à l'autre, la force résultante se situe entre les deux. Exemples : une [[Porte (architecture)|porte]], un [[casse-noix]], un [[Tremplin_(sport)|tremplin]] de [[plongeon]], une [[brouette]], une [[clef (outils)|clef]], un [[décapsuleur]], un pied-de-biche (côté droit), des [[pompe]]s ou des [[aviron (rame)|rames]] (double leviers), un [[Massicot (machine)|massicot à levier]].
; Troisième classe : levier inter-moteur : le point d'appui est à une extrémité du levier, la force résultante à l'autre, la force exercée se situe entre les deux. Exemples : le [[muscle biceps brachial]], une [[batte de baseball]], une [[fronde (arme)|fronde]], une [[pagaie]], un [[balai]], une [[canne à pêche]], une [[Crosse_(hockey)|crosse de hockey]], une [[pince à épiler]] et une [[pince à chiqueter]], un [[coupe-ongles]], un [[piège à souris]], une [[pelle (outil)|pelle]], une [[agrafeuse]], une [[houe]], une [[faux (outil)|faux]].

Le rapport des longueurs des bras de levier (entre chaque force et le point d'appui), et donc le rapport des forces et celui des déplacements, sont libres pour la première classe. Pour la seconde classe, la force résultante a un bras de levier forcément plus court : son déplacement sera moindre et la force exercée multipliée. Pour la troisième classe, c'est l'inverse : le bras de levier pour la force résultante étant forcément plus long, le déplacement le sera aussi, mais en contrepartie il faudra une force exercée plus forte.

== Étude mécanique ==
=== Loi élémentaire des leviers ===
Dans une approche élémentaire, nous considérons deux efforts : 
* l'effort produit par l'actionneur — la personne manipulant le levier
* l'effort produit par l'effecteur — la partie du levier qui fait le travail voulu. 
Cette étude est peu rigoureuse, puisqu'elle ne passe pas par la démarche de la [[statique du solide]] ([[isolement d'un solide|isolement du solide]], bilan des [[action mécanique|actions mécaniques extérieures]], application des [[principe fondamental de la statique|principes de la statique]]), mais c'est cette étude qui a permis la découverte des principes fondant la statique.

Supposons également, pour simplifier, que le levier est droit (rectiligne) et que les efforts sont perpendiculaires au levier. On constate alors que le levier amplifie (ou réduit) l'effort proportionnellement au rapport des '''bras de levier''', c'est-à-dire à la distance du pivot au point d'application de l'effort.

=== Isolement du levier ===
Dans une étude rigoureuse, il faut isoler le levier.

La [[liaison (mécanique)|liaison]] entre le levier et son appui est généralement unilatérale (un seul sens d’application d’effort est alors possible) dans le cas d'un levier amovible, ou constitue une articulation (pivot, rotule…). 

Cet appui ne se situe pas obligatoirement entre les deux points d’application des forces, il peut être extérieur à ces points. C’est le cas par exemple pour la [[brouette]].

D'autre part, le levier subit une charge, ce qu'on veut soulever ou pousser, et une force motrice, celle qu'on exerce en la souhaitant la plus faible possible.

L'équilibre sous trois forces — relation entre trois vecteurs — implique que le levier agit dans un plan. Il est possible que ce plan ne soit pas fixe, et tourne dans l'espace. C’est le cas d’un [[boîte de vitesses|levier de vitesses automobile]], maintenu par une [[liaison mécanique#Liaison rotule à doigt|liaison rotule à doigt]]. 

L'étude qui suit présente un levier dans le plan cinématique et statique. Tous les vecteurs sont vus en vraie grandeur. Le levier est maintenu par un appui ponctuel ou linéaire rectiligne.

=== Étude cinématique ===
[[Image:LevierC.JPG|upright=.5|thumb|Déplacement d'un levier autour de son appui.]]


Les vecteurs <math>\vec {V_1}</math> et <math> \vec {V_2} </math> ont même [[angulation]] mais sont de sens opposés : <math> \vec {V_1}\cdot\vec {V_2} < 0 </math>. Ces deux vecteurs peuvent représenter un déplacement (m), une vitesse (m/s) ou une accélération (m/s²).

Le [[théorème de Thalès]] nous donne la relation : <math> \frac {\|{\vec {V_1}}\|}{\|{\vec {V_2}}\|}=\frac {V_1}{V_2}=\frac{L_1}{L_2} </math>.

Cette relation peut s'écrire plus utilement <math> V_1 = \frac {L_1}{L_2}\times V_2 </math>
ou <math> V_2 = \frac {L_2}{L_1}\times V_1 </math>.

Un levier permet donc de transformer un déplacement, une vitesse ou une accélération selon le rapport de ses bras de levier.

Une utilisation [[engin de siège|guerrière]] de l'aspect cinématique du levier est le [[trébuchet]]. Dans ce cas, une masse attachée à une extrémité (L<sub>1</sub>) est accélérée par la [[pesanteur]] [[Terre|terrestre]], le levier augmente et transmet cette accélération à l'autre extrémité (L<sub>2</sub>) afin de projeter un [[boulet]].

Dans ce cas, outre l'amplification de la vitesse, on a également une multiplication de l'amplitude du mouvement, ainsi que de la force requise (dans le cas du trébuchet, le poids d'entrainement plusieurs fois supérieure à celui du boulet).

En sens inverse, on peut diviser la force requise pour exercer une force donnée, au prix de la division de l'amplitude de mouvement dans le même ratio.  

Ceci est largement utilisé par les appareils de manutention, par exemple dans les [[Chèvre (outil)#Chèvre hydraulique|chèvres hydrauliques]], les [[table à ciseaux|tables à ciseaux]], les plateformes et nacelles élévatrices, les [[Grande échelle|échelles aériennes]], les [[Avion (attraction)|élévateurs de manège]], …

=== Étude statique ===
[[Image:LevierS.JPG|thumb|350px|Levier en équilibre sous des actions extérieures.]]
Le [[Mécanique statique|principe fondamental de la statique]] (PFS) appliqué au système {levier} au point ''O'' donne deux équations vectorielles :
*Pour les résultantes :
:<math> \vec {\mathrm{F}_1} + \vec {\mathrm{F}_2}+\vec {\mathrm{R}} = \vec {0} </math> 

Soit, en projection sur <math> \vec {y} </math> :
:<math> -\mathrm{F}_1 - \mathrm{F}_2 + \mathrm{R} = 0 \,</math> (1)

*Pour les moments : 
:<math> \mathcal{M}_o(\vec {\mathrm{F}_1}) + \mathcal{M}_o (\vec {\mathrm{F}_2}) + \mathcal{M}_o (\vec {\mathrm{R}}) = \vec {0} </math> 

:<math> \Leftrightarrow \vec {\mathrm{F}_1}\wedge \vec {\mathrm{AO}} + \vec {\mathrm{F}_2}\wedge \vec {\mathrm{BO}} + \vec {0} = \vec {0} </math> 

:<math> \Leftrightarrow -\mathrm{F}_1 \cdot \vec{y}\wedge \mathrm{L}_1 \cdot \vec {x} - \mathrm{F}_2 \cdot \vec{y}\wedge (-\mathrm{L}_2 \vec {x}) = \vec {0} </math>

:<math> \Leftrightarrow \mathrm{F}_1 \cdot \mathrm{L}_1 \cdot \vec {z} -\mathrm{F}_2 \cdot \mathrm{L}_2 \vec {z} = \vec {0} \,</math>

Ce qui donne finalement en projection sur <math> \vec {z} </math> :
:<math> \mathrm{F}_1 \cdot \mathrm{L}_1-\mathrm{F}_2 \cdot \mathrm{L}_2 = 0 \,</math>

que l'on écrira plus utilement :
:<math> \mathrm{F}_1 \cdot \mathrm{L}_1 = \mathrm{F}_2 \cdot \mathrm{L}_2</math>

ou 

:<math> \frac {\mathrm{F}_1}{\mathrm{F}_2} = \frac {\mathrm{L}_2}{\mathrm{L}_1} </math>.

Remarques sur les résultats :
* le rapport des bras de levier est inversé par rapport à la relation sur les vitesses ;
* l'équation (1) permet de calculer l'effort que l'appui subit.

Le rapport des forces est donc inversement proportionnel au rapport des bras de levier.

[[Image:brouette_equilibre.jpg|thumb|right|250px|Principe du levier sur la [[brouette]] : <math> \mathrm{P} \cdot a = \mathrm{F} \cdot b</math>.]]
Le [[sécateur]] et le pied-de-biche, aussi appelé [[pince monseigneur]], utilisent l'aspect statique du levier. Un petit effort appliqué par l'utilisateur sur le grand bras de levier permet d'obtenir un effort très important au niveau du petit bras de levier et permet ainsi de couper une branche ou d'arracher un clou. 

De même, l'intérêt de la [[brouette]], dans le transport de charges, repose sur ce principe.

=== Aspect énergétique ===

Le levier respecte le principe de la [[conservation de l'énergie]].

En A, la puissance appliquée est <math> \mathcal {P}_\mathrm{A} = \mathrm{F}_1 \times \mathrm{V}_1 </math>.

La puissance transmise en B est <math> \mathcal {P}_\mathrm{B} = \mathrm{F}_2 \times \mathrm{V}_2 </math>.

Or nous avons vu que <math> \mathrm{V}_1 = \frac {\mathrm{L}_1}{\mathrm{L}_2}\times \mathrm{V}_2 </math> et que <math> \mathrm{F}_1 = \frac {\mathrm{L}_2}{\mathrm{L}_1}\times \mathrm{F}_2 </math>.

On a donc <math> \mathcal {P}_\mathrm{A} = \mathrm{F}_1 \times \mathrm{V}_1 = \frac {\mathrm{L}_2}{\mathrm{L}_1} \times \frac {\mathrm{L}_1}{\mathrm{L}_2} \times \mathrm{F}_2 \times \mathrm{V}_2 = \mathrm{F}_2 \times \mathrm{V}_2 = \mathcal {P}_B </math>.

Ainsi la [[Puissance (physique)|puissance]] et l’énergie sont transmises du point A au point B, dans les limites pratiques des pertes mécaniques qui en dégrade une partie sous diverses formes (chaleur, vibrations sonores, usure mécanique...) au niveau de la liaison avec l’appui. Pour en tenir compte, il faut connaître le [[Rendement_(physique)|rendement]] de cette liaison.

À partir du principe de conservation de l'énergie (ici sous la forme du travail des forces) on retrouve les propriétés du levier, notamment le fait que le rapport des forces aux extrémités est égal au rapport inverse des longueurs des bras.

==== Travaux virtuels ====

Selon le [[principe des travaux virtuels]], les déplacements de la structure sont si petits que sa géométrie n'est pas changée. Les grandeurs infinitésimales sont précédées du signe <math>d</math> et nous plaçons le point 1 en A et 2 en B.

En 1, le travail virtuel vaut <math> d\mathcal {W}_1 = \mathrm{F}_1 \times dx_2</math>.

Le travail virtuel en 2 est <math> d\mathcal {W}_2 = \mathrm{F}_2 \times dx_1 </math>.

Comme la structure ne travaille pas au repos, nous pouvons égaler ces deux travaux virtuels, donc <math> \mathrm{F}_1 \times dx_1 = \mathrm{F}_2 \times dx_2</math>.

Or les déplacements des points 1 et 2 sont liés par la géométrie de la structure car si nous considérons que les poutres restent parfaitement rigides, dès lors, <math> \mathrm{L}_1 \times dx_1 = \mathrm{L}_2 \times dx_2 </math>.

On a donc <math> \mathrm{L}_1 \times \mathrm{F}_1 = \mathrm{F}_2 \times \mathrm{L}_2</math>.

== Notes et références ==
<references />

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
*[[Modélisation cinématique des mécanismes]]
*[[Palan]]
*[[Anspect]] et [[Cabestan (accastillage)|cabestan]]

=== Liens externes ===
{{Liens}}

{{portail|génie mécanique}}

[[Catégorie:Appareil de levage]]
[[Catégorie:Mécanique du solide]]
[[Catégorie:Statique]]