Voir la source de Ligne

{{voir homonymie|Ligne (homonymie)}}
La notion de '''ligne''' dérive de l'instrument qui la matérialise : [[cordeau]], [[fil à plomb]] ; dans la [[marine]], une ''ligne'' reste un {{page h'|câble}} de très faible diamètre. Une ligne relie deux objets. La marine a probablement légué au [[télégraphe]] le nom de la ''ligne'' tendue entre des poteaux par où passe le [[signal électrique]], d'où dérive la théorie de la [[ligne de transmission]].

La [[géométrie]] définit par [[Abstraction (philosophie)|abstraction]] depuis l'[[Antiquité]] la ligne comme une longueur dépourvue de largeur, ce qui permet de caractériser [[numérique]]ment chaque ligne par une [[équation]] dans un [[repère cartésien]].

L'usage artistique donne à la ligne un double sens. Elle peut se confondre avec le trait, obtenu avec un instrument comme le [[crayon]], le [[pinceau]], ou le [[tire-ligne]] ; en d'autre occasions, elle a un sens abstrait, comme le [[contour]] en [[dessin]] et les nombreuses lignes que définit l'[[architecture]]. La [[critique d'art]] peut appeler « ligne », par [[synecdoque]], un style graphique comme la [[ligne claire]].

L'[[écriture]] sur un tableau vertical donne une opposition entre ''ligne'' horizontale et colonne ''verticale''. Dans l'usage militaire et dans un plan horizontal, la ligne est transversale alors que la colonne est pénétrante.

== Lignes matérielles ==
La notion de ligne dérive des instruments matériels qui déterminent des lignes<ref>[[Trésor de la langue française]], « Ligne ».</ref>.

Une ligne, dans la marine, est un petit cordage : ligne d'amarrage, de loch, de pêche<ref>{{Ouvrage|prénom1=Edmond|nom1=Pâris|lien auteur1=François-Edmond Pâris|prénom2=Pierre-Marie-Joseph de|nom2=Bonnefoux|lien auteur2=Joseph de Bonnefoux|titre=Dictionnaire de la marine à voiles|éditeur=Layeur|année=1999|année première édition=1847|isbn=}}</ref>. Cet usage n'est pas spécifique ; les rapports du [[cordeau]] et du [[fil à plomb]] avec la ligne droite datent de l'Antiquité.

== Géométrie ==
En [[géométrie]], [[Euclide]] définit la  ligne comme {{citation|une longueur sans largeur}}<ref>Euclide, ''f.l. c.'' 300 {{avjc}} ; ''Éléments: Livre {{1er}} - Définitions, Postulats, et Notions Communes'' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110982q/f18.image Trad. Peyrard], Paris, 1804.</ref>. En géométrie, on ne s'intéresse en général qu'à des lignes susceptibles d'une définition abstraite comme :
* la [[droite (mathématiques)|ligne droite]] ou simplement droite qui est la ligne la plus courte qui puisse exister entre deux [[Point (géométrie)|points]] ;
* la [[Courbe|ligne courbe]] ou simplement courbe comme :
** les [[conique]]s, représentant l'intersection d'un plan et d'un cône,
** les [[spirale]]s, les [[Hélice (géométrie)|hélices]].

=== Géométrie analytique ===

La [[géométrie analytique]] étudie les lignes définies par une [[équation]] entre les [[coordonnée]]s de leurs points. Une ligne se définit par une fonction f : un point de coordonnées {{formule|§=''P''}} fait partie de la ligne si {{formule|§=f(''P'') {{=}} 0}}. Les méthodes de l'algèbre peuvent dès lors s'appliquer à la géométrie.
{{exemple|nom=Exemple : droite d'un plan|
Une ligne droite d'un plan se définit dans un [[repère cartésien]] par la fonction du premier degré <math>\mathrm f = \mathrm{a} x + \mathrm{b}y + \mathrm{c}</math>, où {{formule|§=''x''}} et {{formule|§=''y''}} sont les coordonnées.
}}

La ligne peut se définir, par [[analogie]] avec le [[dessin]], comme le [[lieu géométrique]] du déplacement d'un [[Point (géométrie)|point]]. Cette conception engendre la définition de la courbe par une [[équation paramétrique]] dans l'espace muni d'un repère cartésien. L'idée de ''déplacement'' d'un point implique la notion de temps dans la définition de la ligne. On définit la courbe par la [[trajectoire]] d'un point en fonction d'un paramètre {{formule|§=''t''}}.

{{exemple|nom=Exemple: Équation paramétrique d'un cercle|
Connaissant les coordonnées du centre, {{formule|§=''x{{ind|C}}'' et ''y{{ind|C}}''}} et le rayon {{formule|§=''r''}}, l'équation paramétrique en {{formule|§=''t''}} du cercle dans un plan est
: <math>\begin{cases} x = x_C + r \cos t \\ y_P = y_C + r \sin t \end{cases}</math>
}}
Des applications techniques comme la [[courbe de Bézier]] permettent d'étendre la méthode à toute sorte de ligne, en deux ou trois dimensions.

{{exemple|nom=Exemple : équation paramétrique d'une courbe de Bézier|
Une [[courbe de Bézier]] du troisième degré définit une courbe avec quatre points de contrôle {{formule|§=''P''{{ind|0}}, ''P''{{ind|1}}, ''P''{{ind|2}}, ''P''{{ind|3}}}}. Les coordonnées d'un point {{formule|§=''P''}} de la courbe pour une valeur du paramètre {{formule|§=''t''}} s'obtiennent par application de la fonction à chacune des coordonnées homologues, {{formule|§=''x'', ''y''…}} des points de contrôle :
: <math>\mathrm P = (1-t)^3 \, P_0 + 3 (1-t)^2 t \, P_1 + 3 (1-t) t^2 \, P_2 + t^3 \, P_3</math>

Pour {{formule|§=''t'' {{=}} 0}}, {{formule|§=''P'' {{=}} P{{ind|0}}}} et pour {{formule|§=''t'' {{=}} 1}}, {{formule|§=''P'' {{=}} P{{ind|3}}}}. Les deux autres points déterminent la [[Direction (géométrie)|direction]] de la courbe au point extrême le plus proche et la persistance de cette direction avec la variation de {{formule|§=''t''}}.}}

La définition paramétrique crée implicitement une « vitesse » de la courbe, écart entre deux points rapporté à une variation [[calcul infinitésimal|infinitésimale]] du paramètre, qui n'a généralement pas d'utilité.

En [[physique]] et en [[technologie]] on appelle ''[[Linéarité|linéaires]]'' les relations où les fonctions sont du premier degré, ce qui permet certaines facilités. Cette linéarité implique des représentations par des lignes droites, à l'exclusion de toutes autres.

== Arts ==
=== La ligne et le trait ===
En [[dessin]], on appelle ''ligne'' une trace d'instrument allongée et fine<ref>{{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Ségolène |nom1=Bergeon-Langle |prénom2=Pierre |nom2=Curie |titre=Peinture et dessin, Vocabulaire typologique et technique |lieu=Paris |éditeur=Editions du patrimoine |année=2009 |pages totales=1249 |passage=721 |isbn=978-2-7577-0065-5}}, {{harvsp|Béguin|1995}}.</ref>, voir [[tire-ligne]] (dessin technique). L'[[esthétique]] et la [[critique d'art]] donnent le plus souvent à la ligne une épaisseur qui permet l'expression de nuances, mais qui appartient plus proprement au trait<ref name="Souriau">{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Anne|nom1=Souriau|responsabilité1=dir.|titre=Vocabulaire d'esthétique|sous-titre=par [[Étienne Souriau]] (1892-1979)|lieu=Paris|éditeur=[[Presses universitaires de France|PUF]]|collection=Quadrige|année=2010|numéro d'édition=3|année première édition=1990|pages totales=1493|isbn=978-2-13-057369-2}}.</ref>.

Outre cet aspect matériel, le mot ''ligne'' s'emploie fréquemment dans son sens abstrait, géométrique. Notamment, la ''ligne''  d'un objet est son [[contour]]<ref>{{Ouvrage|prénom1=Jules|nom1=Adeline|lien auteur1=Jules Adeline|titre=Lexique des termes d'art|éditeur=nouvelle|année=1900|année première édition=1884|passage=265|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k205929n}}.</ref> ou son allure générale<ref>{{Ouvrage|prénom1=André|nom1=Béguin|lien auteur1=André Béguin|titre=Dictionnaire technique du dessin|éditeur=MYG|année=1995|numéro d'édition=2|passage=358 « Ligne »|isbn=}}.</ref>. En [[Peinture (art)|peinture]] la ligne n'est pas toujours un trait de crayon ou de pinceau, elle se trouve à la transition entre deux teintes ; elle existe abstraitement même si la limite est floue comme dans le [[sfumato]]. On parle aussi, de la même façon, des ''lignes de force'' d'une [[composition picturale]] graphique, alors que le spectateur imagine ces lignes qui en organisent la disposition à partir de ce qu'il croit savoir de la méthode de l'artiste.

À la limite entre géométrie et beaux-arts, la [[perspective (représentation)|perspective]] se met en œuvre autour de lignes : [[ligne d'horizon]], [[ligne de fuite|de fuite]], d'aplomb.

On pousse la [[métonymie]] plus loin quand la ''ligne'' désigne un style, comme la [[ligne claire]] en [[bande dessinée]]<ref>{{article|prénom1=Jan |nom1=Baetens |prénom2=Hilde |nom2=Van Gelder |titre=Permanences de la Ligne claire. Pour une esthétique des trois unités dans L’ascension du Haut-Mal de DavidB|périodique=Media et information|numéro=26|année=2007|lire en ligne=http://www.mei-info.com/wp-content/uploads/revue26/13MEI-26.pdf}}.</ref>. Une [[série télévisée]] d'[[animation (audiovisuel)|animation]] [[Italie|italienne]] diffusée à partir de [[1971 à la télévision|1971]] s'intitule ainsi ''[[La Linea]]''.

=== Esthétique ===
Dans les beaux-arts, la [[querelle du coloris]] a opposé, du {{s|XIV}} au {{s|XIX}} au moins et dans l'Europe entière, les partisans de la primauté de la ligne, au sens de contour, et ceux qui préféraient le clair-obscur et la couleur. 

Au milieu du {{s-|XVIII}}, [[William Hogarth]], dans ''[[L'Analyse de la beauté]]'' investit la ''ligne serpentine'' d'une valeur esthétique supérieure<ref>''{{langue|en|Analysis of Beauty}}'', 1852.</ref>, accueilli avec scepticisme, mais traduit en français dès 1805<ref>{{Gallica|id=bpt6k108389g/f2.image|t=Analyse de la beauté}}.</ref>.

En France, l'éloge d'[[Ingres]] montre la méfiance dans lequel on tient les enseignements basés sur la ligne : {{citation|nul n'a su comme lui vivifier et poétiser cette chose si froide qui s'appelle la ligne<ref>{{Ouvrage|prénom1=Louis de|nom1=Loménie|lien auteur1=Louis de Loménie|titre=M. Ingres|éditeur=|collection=Galerie des contemporains illustres|numéro dans collection=19|année=1840|passage=31|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6572532n/f43}}.</ref>}}.

À la fin du {{s-|XIX}}, [[Henry Van de Velde]] construit sur la ''ligne-force'' une théorie de la Beauté. À cette époque, l'[[Art nouveau]] répudie la ligne droite au profit de courbes inspirées du végétal<ref>{{article|prénom1=Alexandre |nom1=Kostka |titre=Un Don Quichotte contre la Laideur : Henry Van de Velde|périodique=Germanica |numéro=37 |année=2005|passage=51-66|lire en ligne=https://journals.openedition.org/germanica/443}}.</ref>.

Le [[canon de beauté]] de l'Europe contemporaine veut des corps sveltes, « dessinés », et on exprime cette exigence par l'expression « avoir la ligne ». Le mot ''ligne'' acquiert ainsi une acception nouvelle, plus lié aux [[esthéticien]]s qu'aux [[Esthétisme|esthète]]s<ref>{{article|prénom1=Véronique |nom1=Nahoum-Grappe |titre=La ligne: un dessin de l'esthétique contemporaine |périodique=Information (International Social Science Council) |volume=23 |numéro=2 |passage=369-379|année=1984 |lire en ligne=https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/053901884023002005?journalCode=ssia}}.</ref>. 

=== Lignes du dessin ===

Une [[ligne polygonale|ligne brisée ]] est un tracé continu composé de segments de droite. En informatique, une [[ligne polygonale|polyligne]] est un tracé continu composé d'une suite de segments de droite, tandis qu'une [[spline]] est composée de courbes polynomiales, souvent des [[courbe de Bézier|courbes de Bézier]].

La représentation des contours seuls présentant souvent insuffisamment le relief, les [[gravure|graveurs]] ont ajouté des réseaux de lignes comme les [[hachure]]s, pour donner une impression de la bosse. Pour plus de précision, les cartes présentent des [[ligne de niveau|lignes de niveau]] dites aussi [[courbe de niveau]], et plus généralement [[isoplèthe]]s, quand elles figurent une grandeur différente de l'[[altitude]]. La [[ligne de flottaison]] d'un navire, qui sépare la partie immergée de la partie émergée quand la coque est dans son assiette normale, est une ligne de la même espèce.

=== Musique ===
Par [[métonymie]], en [[musique]], la [[ligne mélodique]], dite aussi ''contour mélodique'' est la succession des hauteurs relatives des notes d'une mélodie<ref name="Souriau" />.

== Topologie ==
Le [[système d'écriture]] en lignes s'oppose à celui en colonnes. Une ligne de texte est une unité pratique pour indiquer la quantité.

En [[imprimerie]], on compose le texte par lignes, voir [[linotype]] ({{citation étrangère|langue=en|line of type}}), [[justification (typographie)]].

Dans la [[tactique]] militaire ancienne, une ligne est [[ligne (formation)|ligne]] est une formation de soldats disposés face à l'adversaire sans interruption, tandis qu'une [[Colonne (formation)|colonne]], aussi plus mobile, se déplace dans le sens de sa plus petite dimension. De cette distinction découle la dénomination, courante jusqu'à la [[Première Guerre mondiale]], d'infanterie de ligne, par opposition aux chasseurs, aux tirailleurs et à l'infanterie de forteresse. Une ligne peut être aussi un ensemble de fortifications comme la [[ligne Maginot]].

== Voir aussi ==
{{Autres projets
 | wiktionary = ligne
}}
* [[Contour]]
* [[Ligne d'horizon]]
* [[Géométrie descriptive]]

== Références ==
{{Références|groupe=alpha}}
{{Références}}
{{Portail|peinture|géométrie}}
[[Catégorie:Forme géométrique]]
[[Catégorie:Objet mathématique]]
[[Catégorie:Dessin]]
[[Catégorie:Concept d'esthétique]]