Voir la source de Ligne polygonale

{{à sourcer|date=juin 2013}}
{{ébauche|géométrie}}
[[Fichier:Chainline.svg|vignette|Ligne brisée]]
En [[mathématiques]], une '''ligne polygonale'''{{Sfn|Académie française|5=2016|loc=polygonal}} ou une '''ligne brisée'''{{Sfn|Académie française|5=2016|loc=brisé}} est une [[Forme (géométrie)|figure]] [[géométrie|géométrique]] formée d’une suite de [[Segment (mathématiques)|segments]] de droites reliant une suite de points. Une ligne brisée fermée constitue un [[polygone]].

En [[jargon]] [[informatique]]<ref>{{Lien web|titre=Le grand dictionnaire terminologique|url=http://gdt.oqlf.gouv.qc.ca/ficheOqlf.aspx?Id_Fiche=2076168|site=gdt.oqlf.gouv.qc.ca|consulté le=2017-01-09}}</ref>, notamment [[géomatique]]<ref>{{Lien web|titre=Le grand dictionnaire terminologique|url=http://gdt.oqlf.gouv.qc.ca/ficheOqlf.aspx?Id_Fiche=8402198|site=gdt.oqlf.gouv.qc.ca|consulté le=2017-01-09}}</ref>, une ligne polygonale est par [[apocope]] couramment nommée '''polyligne'''{{Sfn|Ginguay|5=1989|p=271–305|loc=Abréviations anglaises et françaises}}. Elle peut alors être formée de segments de droites ou de segments de courbes.

== Définition ==

Soient ''A''{{ind|1}}, ''A''{{ind|2}}, ''A''{{ind|3}}, … , ''A{{ind|n}}'', ''n'' points (''n'' ≥ 2) du [[Plan euclidien|plan affine euclidien]] usuel, ou d'un [[espace affine]] plus général.

On appelle alors ''ligne polygonale'' la figure notée ''A''{{ind|1}}''A''{{ind|2}}''A''{{ind|3}}…''A{{ind|n}}'' et constituée par la suite des ''n'' – 1 segments [''A''{{ind|1}}''A''{{ind|2}}], [''A''{{ind|2}}''A''{{ind|3}}], … , [''A''{{ind|''n''–1}}''A{{ind|n}}'']. Les points ''A{{ind|i}}'' sont appelés les ''[[sommet (géométrie)|sommets]]'' successifs de la ligne polygonale. De même, Les segments [''A''{{ind|i}}''A''{{ind|i+1}}] sont les segments successifs de la ligne polygonale. Le point ''A{{ind|i}}'' est nommé ''[[sommet (géométrie)|sommet]]'' commun des deux segments successifs [''A''{{ind|i-1}}''A''{{ind|i}}] et [''A''{{ind|i}}''A''{{ind|i+1}}].

[[Fichier:Closed polygonal line.svg|vignette|Polygone]]
La ligne polygonale est dite « fermée » si ''A''{{ind|1}} = ''A{{ind|n}}'' ; on parle alors de polygone. Elle est dite « [[Paramétrage#Point de paramètre t et point géométrique, multiplicité|simple]] » si les segments ne se coupent pas, c'est-à-dire lorsque l'intersection de deux segments distincts appartenant à la ligne polygonale est soit vide, soit réduite à leur sommet commun dans le cas de deux segments successifs.

Une ligne polygonale est une [[spline]] uniforme de degré 1<ref>{{Lien web|titre=fonction spline|url=http://publimath.univ-irem.fr/glossaire/FO174.htm|site=publimath.univ-irem.fr|consulté le=2017-01-11}}</ref>{{,}}{{Sfn|Grisoni|5=2005}}. On peut considérer une telle ligne dans un espace de [[dimension]] autre que 2.

== Longueur ==

Avec les notations précédentes, si l'espace est muni d'une [[norme (mathématiques)|norme]], on peut définir la ''longueur'' de la ligne polygonale par
{{Retrait|<math>L=\sum_{i=1}^{n-1}A_iA_{i+1}.</math>}}

Par application de l'[[inégalité triangulaire]], cette longueur est soit égale soit supérieure à la distance ''A''{{ind|1}}''A{{ind|n}}''.

* Dans un [[espace euclidien]], l'inégalité triangulaire (qui n'est autre que l'[[inégalité de Minkowski]]) ne devient égalité que quand les points sont tous alignés, et même rangés dans l'ordre des indices sur une même droite. Dans ce cas, parcourir la ligne polygonale revient à aller en ligne droite de ''A''{{ind|1}} à ''A{{ind|n}}''.{{Retrait|On résume cela en disant que « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » (parmi les lignes brisées).}}
* Dans un [[espace vectoriel normé]] général, la ligne droite est bien ''un'' plus court chemin, mais ''a priori'' parmi plusieurs autres.

Le concept de longueur d'une ligne polygonale sert de fondement à la définition générale de la [[longueur d'un arc]] de [[courbe]], et permet de prouver que le [[slogan]] « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » est vrai pour une plus grande classe de [[Chemin (topologie)|chemins]].

== Polyligne ==
[[Fichier:Ligne polygonale.svg|vignette|Polyligne composée de segments de courbes et de droites]]

Sur le modèle de l’anglais {{lang|en|''polyline''}}, les logiciels de [[Dessin assisté par ordinateur|DAO]], comme [[AutoCAD]], emploient exclusivement le terme polyligne.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Annexes ==

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Académie française]]|titre=[[Dictionnaire de l'Académie française]]|éditeur=|année=2016|numéro d'édition=9|isbn=|lire en ligne=http://www.cnrtl.fr/definition/academie9/}}
* {{Ouvrage|prénom1=Laurent|nom1=Grisoni|titre=Vers une simulation physique temps réel multi-modèle|lieu=Le Chesnay|éditeur=[[INRIA]]|nature ouvrage=Habilitation à diriger des recherches|année=2005|mois=décembre|jour=9|pages totales=145|passage=16|isbn=|issn=0249-6399|lire en ligne=http://www.cristal.univ-lille.fr/~grisoni/HDR.pdf|format électronique=PDF|consulté le=11 janvier 2017}}{{Citation bloc|Le cas de la ligne brisée [...] peut-être vu comme un cas particulier de B-spline uniforme, de degré 1 [...].}}
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Michel|nom1=Ginguay|titre=Dictionnaire anglais-français d'informatique|sous-titre=bureautique, télématique, micro-informatique|lieu=Paris|éditeur=[[Elsevier Masson|Masson]]|année=1989|pages totales=308|isbn=2-225-81180-6}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Ligne droite]]
[[Catégorie:Polygone]]