Voir la source de Limite (mathématiques)

{{autre4| le concept de limite en mathématiques, présenté de façon rigoureuse mais abstraite| une présentation plus intuitive| Limite (mathématiques élémentaires)}}
{{Confusion| texte=Ne pas confondre avec la notion de [[limite (théorie des catégories)|limite]] en théorie des catégories}}
{{Voir homonymes| Limite}}

En [[analyse (mathématiques)|analyse mathématique]], la notion de '''limite''' décrit l’[[approximation]] des valeurs d'une [[suite (mathématiques)|suite]] lorsque l'indice tend vers l’infini, ou d'une [[fonction (mathématiques)|fonction]] lorsque la [[variable (mathématiques)|variable]] se rapproche d’un point (éventuellement [[infini#Analyse|infini]]) au bord du domaine de définition. Si une telle limite {{page h'|existence (mathématiques)|existe}} dans l’ensemble d’arrivée, on dit que la suite ou la fonction est '''convergente''' (au point étudié). Si ce n’est pas le cas, elle est divergente, comme dans le cas de suites et fonctions [[fonction périodique|périodiques]] non [[fonction constante|constantes]] (telle la fonction [[sinus (mathématiques)|sinus]] en {{math|+∞}}).

Sous condition d’{{page h'|existence (mathématiques)|existence}}, le calcul des limites est simplifié par la compatibilité avec les [[opération (mathématiques)|opérations arithmétiques élémentaires]], mais plusieurs [[forme indéterminée|formes indéterminées]] font obstacle à cette technique calculatoire. La [[comparaison de croissance]] permet de lever bien souvent ces indéterminations.

La détermination d’une limite peut être raffinée par l’expression d’un [[équivalent]] (notamment dans le cas d’une limite nulle ou infinie), d’[[asymptote#Droite asymptote|asymptotes obliques]] ou de [[branche parabolique|branches paraboliques]], voire de [[développement limité]] ou [[développement asymptotique|asymptotique]].

La limite d’une fonction en un point appartenant à son [[domaine de définition]] est liée à la caractérisation de sa [[continuité (mathématiques)|continuité]]. Ce constat permet d’exprimer plus généralement la limite dans un cadre [[topologie|topologique]] à l’aide de la notion de [[voisinage (mathématiques)|voisinage]]. Elle peut même s’étendre hors de ce cadre avec la notion de [[filtre (mathématiques)|filtre]].

Pour une fonction d’une variable à valeurs vectorielles, et notamment une [[courbe intégrale]] d’un [[champ de vecteurs]] (par exemple associé à l’[[espace des phases]] pour une [[équation différentielle ordinaire]] du second ordre), l’absence de limite est parfois compensée par l’existence d’un [[cycle limite]].

== Limite de suite ==
{{Article détaillé|Limite d'une suite}}
=== Premiers exemples avec des suites réelles ===
Lorsque {{mvar|''n''}} est un très grand nombre (entier), son inverse <math>\frac 1n</math> est très proche de 0. Ce phénomène s’exprime par l’égalité <math>\lim_{n\to\infty} \frac 1n = 0</math>.

De même, on peut écrire <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt n = +\infty</math>, car la [[racine carrée]] peut être rendue arbitrairement grande en prenant l’entier {{mvar|''n''}} suffisamment grand (par exemple, pour obtenir <math>\sqrt n > 1000</math>, il suffit d’avoir {{math|{{mvar|''n''}} > {{formatnum:1000000}}}}).

A contrario, il n’existe pas de limite pour la [[suite périodique]] <math>((-1)^n)_{n\in\N}</math>, qui prend alternativement les valeurs {{math|1}} et {{math|−1}}, mais qui ne tend ni vers {{math|1}}, ni vers {{math|−1}}, ni vers quoi que ce soit d’autre dans l’intervalle {{math|]−1, 1[}} ou en dehors. En tant que suite bornée, elle ne peut pas non plus tendre vers {{math|+∞}} ou vers {{math|−∞}}.
=== Formalisation ===
==== Limite finie ====
La définition par [[Weierstrass]] de la convergence d’une suite réelle <math>(x_n)_{n\in\N}</math> vers une limite finie <math>L\in\R</math> s’exprime par la formule<ref>On obtient une définition équivalente lorsqu'on remplace <math>\forall n \geq n_0</math> par <math>\forall n>n_0</math> ou <math>|{x_n - L}| < \varepsilon</math> par <math>|{x_n - L}|\le\varepsilon</math>, par la même technique que [[Limite (mathématiques élémentaires)#Limites finies|dans « Limite (mathématiques élémentaires) »]].</ref> 
:<math>\forall \varepsilon>0\quad\exists n_0 \in \N\quad\forall n \geq n_0\quad L-\varepsilon < x_n < L+\varepsilon</math>
ou encore, par une formulation équivalente dans le cas des suites réelles, mais qui s’adapte au cas des suites à valeurs [[nombre complexe|complexes]],
:<math>\forall \varepsilon>0\quad\exists n_0 \in \N \quad\forall n \geq n_0\quad|{x_n - L}| < \varepsilon</math>.
Cette définition s’étend encore aux suites dans un [[espace vectoriel normé]] en remplaçant la [[valeur absolue]] par la [[norme (mathématiques)|norme]], et plus généralement aux suites dans un [[espace métrique]] avec la formulation
:<math>\forall \varepsilon>0\quad\exists n_0 \in \N \quad\forall n \geq n_0\quad \mathrm d(x_n, L) < \varepsilon</math>.
Dans chacun de ces cas, il ne peut y avoir deux limites différentes pour une même suite, ce qui permet d’exprimer la limite avec une égalité <math>\lim_{n\to\infty}x_n = L</math>. On trouve parfois aussi la notation <math>x_n \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} L</math>.

==== Limite infinie ====
On dit qu’une suite réelle <math>(x_n)_{n\in\N}</math> ''diverge'' vers {{math|+∞}} dans le cas suivant :
:<math>\lim_{n\to\infty}x_n = +\infty \iff \forall M\in\R\quad\exists n_0 \in \N \quad\forall n \geq n_0\quad x_n > M</math>.
Par analogie, elle diverge vers {{math|−∞}} dans le cas
:<math>\lim_{n\to\infty}x_n = -\infty \iff \forall M\in\R\quad\exists n_0 \in \N\quad\forall n \geq n_0\quad x_n < M</math>.
Les trois cas de limite (finie, infinie positive ou infinie négative) sont mutuellement exclusifs et ne recouvrent pas l’ensemble des suites réelles, puisque certaines n’ont pas de limite du tout. On dit alors qu’elles divergent sans limite.

==== Formulation topologique ====
Pour une suite <math>(x_n)_{n\in\N}</math> à valeurs dans un espace topologique {{mvar|''E''}}, on dit que la suite converge vers un élément {{math|{{mvar|''L''}} ∈ {{mvar|''E''}}}} si pour tout ouvert {{mvar|''U''}} contenant {{mvar|''L''}}, il existe un rang {{math|{{mvar|''n''}}{{ind|0}}}} tel que pour tout {{math|{{mvar|''n''}} > {{mvar|''n''}}{{ind|0}}}} on a {{math|{{mvar|''x''}}{{ind|{{mvar|''n''}}}} ∈ {{mvar|''U''}}}}. Mais l’unicité de la limite repose alors sur l’hypothèse que l’espace soit [[espace séparé|séparé]].

Cette définition recouvre celles des limites de suites à valeurs réelles, complexes ou dans des espaces métriques, mais s’applique également à d’autres espaces non métrisables, comme des [[Espace fonctionnel|espaces fonctionnels]] non normés. Pour une même [[suite de fonctions]], différentes normes ou topologies peuvent être prises en compte conduisant à l’existence ou non de limites ([[convergence simple]], [[convergence uniforme]], convergence en [[Norme (mathématiques)#En dimension infinie|norme {{mvar|p}}]] ou au sens des [[distribution (mathématiques)|distributions]]…)

=== Conditions d’existence ===
==== Cas des suites monotones ====
Toute suite réelle croissante a une limite, qui est finie si et seulement si la suite est majorée. Dans ce cas, la limite de la suite est égale à la [[borne supérieure]] de ses valeurs.

De même, toute suite réelle décroissante a une limite qui est finie si et seulement si la suite est minorée, et dans ce cas la limite de la suite est égale à la [[borne inférieure]] de ses valeurs.

Ces propriétés découlent de la [[propriété de la borne supérieure]] dans l’ensemble des [[nombre réel|réels]], et elles permettent de définir également la [[limite inférieure]] d’une suite minorée et la [[limite supérieure]] d’une suite majorée :
:<math>\liminf x_n = \lim_{n_0\to\infty}\inf\{x_n, n>n_0\} = \sup_{n_0\ge 0}\inf\{x_n, n>n_0\}</math>,
:<math>\limsup x_n = \lim_{n_0\to\infty}\sup\{x_n, n>n_0\} = \inf_{n_0\ge 0}\sup\{x_n, n>n_0\}</math>.

En particulier, une [[suite bornée]] converge si et seulement si sa limite inférieure est égale à sa limite supérieure, et dans ce cas la limite de la suite est cette valeur commune. Cette propriété se généralise avec l’étude des [[valeur d'adhérence|valeurs d’adhérence]] d’une suite à valeurs dans un [[espace compact]].

==== Autres conditions ====
Toute suite convergente est bornée mais une suite bornée n’est pas nécessairement convergente.

Deux [[suites adjacentes]] convergent toutes deux vers la même limite réelle.

Pour une suite <math>(x_n)_{n\in\N}</math> à valeurs réelles, complexes ou dans n’importe quel [[espace complet]], la convergence est équivalente au [[Suite de Cauchy|critère de Cauchy]] :
:<math>\forall \varepsilon > 0\quad \exists n_0\in\N\quad\forall (n,p)\in\N^2,\quad n_0<n<p\Rightarrow \mathrm d(x_n, x_p) < \varepsilon</math>.

Pour une [[suite récurrente]] {{math|({{mvar|x}}{{ind|{{mvar|n}}}})}} avec une fonction de récurrence {{mvar|f}}, si la suite converge vers un élément {{mvar|L}} en lequel la fonction {{mvar|f}} est [[Continuité (mathématiques)|continue]], alors {{mvar|L}} est un [[point fixe]] de {{mvar|f}}.

=== Application aux séries ===
Pour une suite <math>(x_n)_{n\in\N}</math> (à valeurs réelles complexes ou vectorielles), la [[série (mathématiques)|série]] associée est aussi une suite, définie pour tout entier {{math|{{mvar|''n''}} ≥ 0}} par
<math>S_n = \sum_{k=0}^n x_k</math>, et si elle converge sa limite est la somme de la série, notée <math>\sum_{k=0}^{+\infty} x_k</math>.

La convergence de la série n’est alors possible que si la suite initiale tend vers 0. Dans le cas contraire, on dit que la série ''diverge grossièrement''.

Dans le cas d’une suite réelle positive, la série est nécessairement croissante et admet toujours une limite finie ou infinie.

Dans le cas d’une [[série alternée]] s’écrivant <math>S_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k</math> pour tout entier {{math|{{mvar|''n''}} ≥ 0}}, si la suite <math>(a_n)_{n\in\N}</math> est (positive) décroissante de limite nulle, la suite des termes de rang pair <math>(S_{2p})_{p\in\N}</math> et la suite des termes de rang impair <math>(S_{2p+1})_{p\in\N}</math> forment des suites adjacentes donc la série converge, et le reste <math>R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k a_k</math> est toujours inférieur en valeur absolue au premier terme négligé <math>a_{n+1}</math>.

== Limite de fonction ==
La notion de limite de fonction ressemble à celle de la limite d’une suite, à ceci près que la variable de la fonction peut tendre vers n’importe quelle valeur de son [[domaine de définition]] ou à la [[frontière (topologie)|frontière]] de celui-ci. Ainsi, pour une fonction définie sur un intervalle {{math|]{{mvar|''a''}}, {{mvar|''b''}}[ ⊂ '''R'''}}, on peut étudier les éventuelles limites de la fonction en tout réel {{mvar|c}} de l’intervalle, mais aussi aux bornes {{mvar|''a''}} et {{mvar|''b''}}, que ces bornes soient finies ou infinies.

=== Limite finie en une valeur finie ===
==== Définition ====
Pour une fonction réelle ou complexe d’une variable réelle ou complexe, la formulation d’une limite finie en une valeur finie est semblable à celle de la limite d’une suite<ref>On obtient une définition équivalente lorsqu'on remplace « < δ » par « ≤ δ » ou « < ε » par « ≤ ε », comme le font {{Ouvrage|auteur=C. Deschamps|auteur2=F. Moulin|auteur3=[[André Warusfel|A. Warusfel]]|et al.=oui|titre=Mathématiques tout-en-un [[MPSI]]|éditeur=Dunod|numéro d'édition=4|année=2015|url={{Google Livres|caH1CQAAQBAJ|page=486}}|page=486}}, conformément au {{Lien web|url=http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_3_ESR/45/6/programme-MPSI_252456.pdf|titre=Programme de mathématiques de MPSI|site=[[Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche]]|année=2013|page=14|id=Programme de MPSI}}.</ref> :
:<math>\lim_{x\to a} f(x) = L \iff\quad\forall \varepsilon \in \R_+^*\quad\exists \delta \in \R_+^*\quad\forall x \in \mathcal D_f\quad(|{x - a}| < \delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon)</math>
Cette définition moderne, cohérente avec la définition topologique générale {{Infra|Généralisations pour les espaces topologiques}} et désormais en vigueur en France<ref>Selon les programmes publiés régulièrement au [[Bulletin officiel (France)|Bulletin officiel]]) dans l'[[Lycée en France|enseignement secondaire]] et les [[classes préparatoires]]</ref>, supplante la définition historique de Weierstrass, appelée aussi « '''limite épointée''' » ou « '''limite par valeurs différentes''' »<ref>{{Harvsp|Deschamps|Moulin|Warusfel|2015|p=506}}.</ref>, enseignée encore parfois dans les universités françaises et dans d’autres pays<ref>[[Cf.]]  par exemple ''Mathématiques L1, Cours complet avec {{Unité|1000|tests}} et exercices corrigés'' sous la direction de J.-P. Marco et L. Lazzarini (2007) Pearson, {{ISBN|9782744072581}}, p. 691-692, ou encore ''Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence. Niveau L1'' sous la direction de [[Jean-Pierre Ramis|J.-P. Ramis]] et [[André Warusfel|A. Warusfel]], {{2e}} éd., 2013, p. 568, {{Google Livres|K3gcey1WUXMC|page=568|aperçu}}, ou encore [http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit_of_a_function&oldid=324069338 Wikipédia (en)]</ref> :
:<math>\lim_{{x\to a}\atop{x \neq a}} f(x) = L \iff\quad\forall \varepsilon \in \R_+^*\quad\exists \delta \in \R_+^*\quad\forall x \in \mathcal D_f\setminus{\{a\}}\quad(|{x - a}| < \delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon)</math>.

Lorsque la fonction {{mvar|f}} est définie en un réel {{mvar|a}}, si elle admet une limite en {{mvar|a}} alors cette limite est nécessairement<ref>{{Harvsp|Programme de MPSI|p=14}}.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Deschamps|Moulin|Warusfel|2015|p=486}}.</ref> égale à {{math|{{mvar|f}}({{mvar|a}})}}. Plus précisément, la fonction admet une limite finie en un point {{mvar|a}} de son domaine de définition si et seulement si elle est [[continuité (mathématiques)|continue]] en {{mvar|a}}. Cette condition peut aussi s’exprimer par l’égalité avec la limite épointée :
:<math>f\ \text{continue en}\ a \iff \lim_{{x\to a}\atop{x \neq a}} f(x) = f(a)</math>.

==== Application ====
La définition de cette limite est particulièrement utile pour déterminer le [[nombre dérivé]] comme limite du [[taux d'accroissement]].

=== Limite à gauche ou à droite ===
[[Image:Hyperbole 1 sur x.png|vignette|alt=Représentation graphique de la fonction inverse|Les limites aux bornes du domaine de la [[fonction inverse]] : <math>\lim_{x\to-\infty}\tfrac 1x=\lim_{x\to+\infty}\tfrac 1x=0</math>, <math>\lim_{x\to 0^-}\tfrac 1x=-\infty</math>, <math>\lim_{x\to 0^+}\tfrac 1x=+\infty</math>]]
Pour une fonction {{mvar|f}} d’une variable réelle {{mvar|x}}, lorsque {{mvar|x}} se rapproche d’un réel {{mvar|a}}, il se peut que les valeurs {{mvar|f(x)}} soient très contrastées selon que la variable {{mvar|x}} soit inférieure ou supérieure à {{mvar|a}}, comme dans le cas particulier de la fonction inverse en 0, où l’on ne peut définir de limite cohérente. Dans ce cas, on peut définir une '''limite à gauche''' et une '''limite à droite''' éventuellement différentes.

La limite d’une fonction {{mvar|f}} à gauche en un réel {{mvar|a}} s’écrit <math>\lim_{x\to a\atop x<a} f(x)</math>
ou <math>\lim_{x\to a^-} f(x)</math>, voire {{math|{{mvar|f}}({{mvar|a}}{{exp|−}})}} ou {{math|{{mvar|f}}{{ind|g}}({{mvar|a}})}}.
Sa limite à droite en {{mvar|a}} s’écrit <math>\lim_{x\to a\atop x>a} f(x)</math> ou <math>\lim_{x\to a^+} f(x)</math>, voire {{math|{{mvar|f}}({{mvar|a}}{{exp|+}})}} ou {{math|{{mvar|f}}{{ind|d}}({{mvar|a}})}}.

Pour une fonction définie au voisinage à gauche et à droite d’un réel {{mvar|a}}, l’existence et l’égalité des limites à gauche et à droite est équivalente à l’existence d’une limite épointée (avec la même valeur).

=== Expression générale ===
Afin d’unifier les différentes formulations de limites, on recourt à la notion de [[voisinage (mathématiques)|voisinage]], qui s’applique à tout réel (éventuellement à droite ou à gauche) et à l’infini (en {{math|+∞}} ou en {{math|−∞}}). On utilise aussi la notation {{math|1={{surligner|'''R'''}} = '''R''' ∪ {−∞, +∞}<nowiki />}} de la [[droite réelle achevée]].

Soit {{mvar|f}} une fonction définie au voisinage<ref>''f'' est dite définie au voisinage de ''a'' si ''a'' est [[point adhérent|adhérent]] au [[domaine de définition]] de ''f'', c'est-à-dire si tout voisinage de ''a'' contient au moins un point où ''f'' est définie, ou encore s'il existe une suite <math>(x_n)_{n\in \N}</math> de réels convergeant vers ''a'' telle que <math>f(x_n)</math> soit défini pour tout ''n''.</ref> (éventuellement à gauche ou à droite) de {{math|{{mvar|a}} ∈ {{surligner|'''R'''}}}} et soit {{math|{{mvar|L}} ∈ {{surligner|'''R'''}}}}. On dit que la fonction {{mvar|f}} admet la limite {{mvar|L}} en {{mvar|a}} si pour tout voisinage {{mvar|V}} de {{mvar|L}}, il existe un voisinage {{mvar|U}} (à gauche ou à droite) de {{mvar|a}} tel que {{math|{{mvar|f}}({{mvar|U}}) ⊂ {{mvar|V}}}}.

On démontre que le réel ''L'' de la définition, lorsqu'il existe, est unique et on l'appelle limite de ''f'' au point ''p''. On le note :
:<math>\lim_{x \to a}f(x) = L\quad\text{ou}\quad\lim_af=L.</math>

;Critère séquentiel de la limite de fonction
:La fonction {{mvar|f}} admet la limite {{mvar|L}} en {{mvar|a}} si et seulement si pour toute suite <math>(x_n)_{n\in\N}</math> dans <math>\mathcal D_f</math> de limite {{mvar|a}}, la suite {{math|{{mvar|f}}({{mvar|x}}{{sub|{{mvar|n}}}})}} a pour limite {{mvar|L}}.

=== Exemples ===

* La limite de {{math|''x'' ↦ 1/''x''}} en l'infini est égale à 0 :{{Retrait|<math>\lim_{x\to\infty}\frac1x=0.</math>}}
* La limite de {{math|''x'' ↦ 1/''x''}} en 0 n'existe pas. La limite à droite est {{math|+∞}} :{{Retrait|<math>\lim_{x\to 0+}\frac1x=+\infty\qquad\lim_{x\to 0-}\frac1x=-\infty.</math>}}
* La limite de {{math|''x'' ↦ ''x''{{2}}}} en 3 est égale à 9 (dans ce cas la fonction est définie et continue en ce point et la valeur de la fonction est égale à la limite) :{{Retrait|<math>\lim_{x\to 3}x^2=9.</math>}}
* La limite de {{math|''x'' ↦ ''x{{exp|x}}''}} en 0 est égale à 1 :{{Retrait|<math>\lim_{x\to0}x^x=1.</math>}}
* La limite de {{math|''x'' ↦ ((''a + x''){{2}} – ''a''{{2}})/''x''}} en 0 est égale à 2{{math|''a''}} :{{Retrait|<math>\lim_{x\to0}\frac{(a+ x)^2-a^2}x=2a.</math>}}
* La limite à droite de {{math|''x'' ↦ {{!}}''x''{{!}}/''x''}} en 0 est égale à 1 et la limite à gauche est égale à –1 :{{Retrait|<math>\lim_{x\to0+}\frac{|x|}x=1,\qquad\lim_{x\to0-}\frac{|x|}x=-1.</math>}}
* La limite de {{math|''x'' ↦ ''x'' sin(1/''x'')}} en {{math|+∞}} est égale à 1 :{{Retrait|<math>\lim_{x\to+\infty}x\sin\frac1x=1.</math>}}
* La limite de {{math|''x'' ↦ (cos(''x'') – 1)/''x''}} en 0 est égale à 0 :{{Retrait|<math>\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}x=0.</math>}}

== Propriétés ==
{{article détaillé|Opérations sur les limites}}
=== Limite et opérations algébriques ===
:Le passage à la limite des fonctions est compatible avec les opérations algébriques :
:Si
::<math>\lim_{x \to p}f_1 (x) = L_1\qquad\text{et}\qquad\lim_{x \to p}f_2 (x) = L_2</math>
:alors
::<math>\lim_{x \to p}(f_1 (x) + f_2 (x)) = L_1 + L_2\quad\text{et}\quad\lim_{x \to p}(f_1 (x) \cdot f_2 (x)) = L_1 \cdot L_2\quad\text{et}\quad\lim_{x \to p} \left( \frac{f_1 (x)} {f_2 (x)}\right) = \frac{L_1} {L_2}.</math>

(La dernière propriété suppose que ''L''<sub>2</sub> n'est pas nulle.)

Ces propriétés sont aussi valables pour les limites à droite et à gauche, pour le cas ''p'' = {{math|±∞}}, et aussi pour les limites infinies en utilisant les règles suivantes :
* ''q'' + {{math|∞}} = {{math|∞}} pour ''q'' ≠ {{math|–∞}} ;
* ''q'' × {{math|∞}} = {{math|∞}} si ''q'' > 0 ;
* ''q'' × {{math|∞}} = {{math|–∞}} si ''q'' < 0 ;
* ''q'' / {{math|∞}} = 0 si ''q'' ≠ {{math|±∞}}.
(Voir l'article « [[Droite réelle achevée]] ».)

Remarquons qu'il n'y a pas de règle générale pour le cas ''q'' / 0 : cela dépend de la façon dont on s'approche de 0. Certains cas, comme 0/0, 0×{{math|∞}}, {{math|∞ – ∞}} ou {{math|∞/∞}}, ne sont pas non plus couverts par ces règles.

=== Limite et relation d'ordre ===
:* Si une fonction ''f'' d'une variable réelle à valeurs réelles est positive ou nulle au voisinage de ''p'', et si la limite de ''f'' en ''p'' existe, cette limite sera positive ou nulle.
:* Si une fonction ''f'' d'une variable réelle à valeurs réelles  est strictement positive au voisinage de ''p'', et si la limite de ''f'' en ''p'' existe, cette limite sera positive ou nulle, mais on ne peut pas garantir que cette limite soit strictement positive.
:* Si la limite de ''f'' en ''p'' d'une variable réelle à valeurs réelles est strictement positive (resp. négative) alors il existe un voisinage de ''p'' (épointé dans le cas de la limite épointée) dans lequel la fonction ''f'' est strictement positive (resp. négative). Par conséquent, si la limite de ''f'' en ''p'' est non nulle, il existe un voisinage de ''p'' (épointé dans le cas de la limite épointée) dans lequel la fonction ne s'annule pas.
:* Une variante de ce résultat est que si une fonction ''f'' d'une variable réelle à valeurs réelles admet une limite finie ''l'' au voisinage de ''p'', et qu'il existe un ''λ'' réel tel que ''l'' < ''λ'' (resp. ''l''  > ''λ''), alors il existe un voisinage de ''p'', tel que les valeurs prises par ''f'' en ce voisinage sont strictement inférieures à ''λ'' (resp. strictement supérieures à ''λ''). On le déduit du résultat précédent en appliquant ce dernier à la fonction ''λ -f'' (reps. ''f-λ''). Ce résultat est parfois appelé théorème du retour à la limite{{Référence nécessaire||date=avril 2024}}.
:* Si deux fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles sont rangées dans un certain ordre au voisinage de ''p'' et si ces deux fonctions admettent des limites en ''p'', ces limites sont rangées dans le même ordre que les fonctions.
:* [[Théorème des gendarmes]].

=== Indétermination ===
{{article détaillé|Forme indéterminée}}

Il existe certaines formes de limite où il n'est pas possible de conclure directement en utilisant des [[opérations sur les limites]], ce sont les formes dites « indéterminées » :
*{{math|0/0}} ;
*{{math|∞/∞}} ;
*{{math|∞ – ∞}} ;
*{{math|0 × ±∞}} ;
*[[0^0|{{math|0{{exp|0}}}}]] ;
*{{math|+∞{{exp|0}}}} ;
*{{math|1{{exp|±∞}}}}.

== Espaces métriques ==

Les nombres réels forment un [[espace métrique]] pour la fonction distance définie par la valeur absolue : ''d''(''x'' ; ''y'') = |''x – y''|. Il en est de même des [[Nombre complexe|nombres complexes]] avec le [[Module d'un nombre complexe|module]]. De plus, l'[[espace euclidien]] ℝ<sup>''n''</sup> forme un espace métrique avec la distance euclidienne. Voici quelques exemples motivant une généralisation des définitions de limite données précédemment.

Si (''x''<sub>''n''</sub>) est une suite dans un espace métrique (''M'' ; ''d''), alors on dit que [[Limite d'une suite#Espace métrique|la suite a pour limite ''L'']] si pour tout réel ε > 0, il existe un entier naturel ''n''<sub>0</sub> tel que pour tout entier ''n'' > ''n''<sub>0</sub> on ait ''d''(''x''<sub>''n''</sub> ; ''L'') < ε.

Si l'espace métrique (''M'', ''d'') est [[espace complet|complet]] (ce qui est le cas pour l'ensemble des nombres réels ou complexes et l'espace euclidien, et tout autre [[espace de Banach]]), alors toute [[suite de Cauchy]] de ''M'' converge. Ceci permet de montrer que la suite est convergente sans nécessairement connaître la limite.

Si ''M'' est un [[espace vectoriel normé]] réel ou complexe, alors l'opération de passage à la limite est linéaire, comme dans le cas des suites de nombres réels.

Maintenant supposons que ''M'' et ''N'' sont deux espaces métriques, ''A'' une partie de ''M'', ''p'' un élément de ''M'' [[Point adhérent|adhérent]] à ''A'', ''L'' un élément de ''N'' et ''f'' une application de ''A'' dans ''N''. On dit que la limite de ''f''(''x'') quand ''x'' tend vers ''p'' est égale à ''L'' et l'on écrit :

:<math>
\lim_{x \to p}f(x) = L
</math>

si :

:pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tout ''x'' dans ''A'' tel que d(''x'' ; ''p'') < δ, on ait ''d''(''f''(''x'') ; ''L'') < ε,

ce qui est équivalent à la caractérisation séquentielle de la limite d'une fonction sur un espace métrique {{infra|Généralisations pour les espaces topologiques}}.

Si l'espace d'arrivée est complet, on peut, de même que dans le cas particulier d'une suite, démontrer l'existence d'une limite pour ''f'' en ''p'' sans nécessairement connaître cette limite :

{{Théorème|Critère de Cauchy pour une fonction<ref>Voir {{Ouvrage|titre=Maths MP Tout en un|auteur=B. Beck|auteur2=I. Selon|auteur3=C. Feuillet|éditeur=Hachette|année=2006|url={{Google Livres|MXMX8GNXe7EC|page=55}}|page=55}} (la démonstration n'est donnée que dans le cadre des espaces vectoriels normés mais s'étend ''[[wikt:mutatis mutandis|mutatis mutandis]]'' aux espaces métriques).</ref>|Soient ''M'' un espace métrique, ''N'' un espace métrique ''complet'', ''A'' une partie de ''M'' et ''p'' un point de ''M'' adhérent à ''A''.

Une application ''f'' : ''A'' → ''N'' admet une limite en ''p'' si (et seulement si) pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tous ''x'', ''y'' dans ''A'' ∩ ''B''(''p'' ; δ), on ait ''d''(''f''(''x'') ; ''f''(''y'')) < ε.|style=display:table}}
(Ce théorème se généralise au [[#Généralisations pour les espaces topologiques|cas où ''M'' est seulement un espace topologique]], en remplaçant les [[Boule (topologie)|boules]] ''B''(''p'' ; δ) par des voisinages de ''p''<ref>Voir [[Oscillation (mathématiques)#Oscillation d'une fonction en un point|Oscillation d'une fonction en un point]].</ref>.)

Une application ''f'' de ''M'' dans ''N'' est [[Continuité (mathématiques)#Définition locale|continue en ''p'']] si et seulement si la limite de ''f''(''x'') quand ''x'' tend vers ''p'' existe (elle est alors égale à ''f''(''p'')). De manière équivalente, ''f'' transforme toute suite de ''M'' convergeant vers ''p'' en une suite de ''N'' convergeant vers ''f''(''p'').

À nouveau, si ''N'' est un espace vectoriel normé, alors l'opération de passage à la limite est linéaire dans le sens suivant : si la limite de ''f''(''x'') quand  ''x'' tend vers ''p'' est égale à ''L'' et la limite de ''g''(''x'') quand ''x'' tend vers ''p'' est égale à ''P'', alors la limite de ''f''(''x'') + ''g''(''x'') quand ''x'' tend vers ''p'' est égale à ''L'' + ''P''. Si ''a'' est un scalaire du corps de base, alors la limite de ''af''(''x'') quand ''x'' tend vers ''p'' est égale à ''aL''.

Si ''N'' est égal à ℝ, alors on peut définir des limites infinies ; si ''M'' est égal à ℝ, alors on peut définir des limites à droite et à gauche de manière analogue aux définitions précédentes.

=== Exemples ===
* Si ''z'' est un nombre complexe de module |''z''| < 1, alors la [[Suite géométrique|suite (1 ; ''z'' ; ''z''{{2}} ; ''z''{{3}} ; …)]] de nombres complexes converge et a pour limite 0. Géométriquement, ces nombres se rapprochent de l'origine en suivant une [[spirale logarithmique]].
* Dans l'espace métrique ''C''([''a'' ; ''b'']) de toutes les fonctions continues définies sur l'intervalle [''a'' ; ''b''], muni de la distance de la [[convergence uniforme]], tout élément peut être écrit comme limite d'une [[suite de fonctions]] [[Fonction polynôme|polynomiales]]. C'est ce qu'affirme le [[théorème d'approximation de Weierstrass]].

=== Propriétés ===

Toute [[sous-suite]] d'une suite convergente converge vers la même limite.

L'opération de passage à la limite est linéaire dans le sens suivant :
si (''x''<sub>''n''</sub>) et (''y''<sub>''n''</sub>) sont des suites réelles convergentes et que lim ''x''<sub>''n''</sub> = ''L'' et lim ''y''<sub>''n''</sub> = ''P'', alors la suite (''x''<sub>''n''</sub> + ''y''<sub>''n''</sub>) est aussi convergente et a pour limite ''L'' + ''P''. Si ''a'' est un nombre réel, alors la suite (''a'' ''x''<sub>''n''</sub>) est convergente de limite ''aL''. Ainsi, l'ensemble ''c'' de toutes les suites réelles convergentes est un [[espace vectoriel]] réel et l'opération de passage à la limite est une [[forme linéaire]] sur ''c'' à valeurs réelles.

Si (''x''<sub>''n''</sub>) et (''y''<sub>''n''</sub>) sont des suites réelles convergentes de limites respectives ''L'' et ''P'', alors la suite (''x''<sub>''n''</sub>''y''<sub>''n''</sub>) est convergente de limite ''LP''. Si ni ''P'' ni aucun des termes ''y''<sub>''n''</sub> n'est nul, alors la suite (''x''<sub>''n''</sub>/''y''<sub>''n''</sub>) est convergente de limite ''L''/''P''.

Toute suite convergente est une [[suite de Cauchy]] et est ainsi bornée.
Si (''x''<sub>''n''</sub>) est une suite de réels, ''bornée'' et ''croissante'' (''[[i. e.]]'' pour tout entier ''n'', ''x''<sub>''n''</sub> ≤ ''x''<sub>''n''+1</sub>), alors elle est nécessairement convergente.

Une suite de nombres réels est convergente si et seulement si ses [[limites inférieure et supérieure]] sont finies et égales.

=== Généralisations pour les espaces topologiques ===

Toutes les notions de limite ci-dessus peuvent être unifiées et généralisées encore à des [[espace topologique|espaces topologiques]] ''M'' et ''N'' arbitraires : si ''A'' est une partie de ''M'', ''p'' un élément de ''M'' [[point adhérent|adhérent]] à ''A'', ''L'' un élément de ''N'' et ''f'' une application de ''A'' dans ''N'', on dit que
*{{mvar|f}} admet {{mvar|L}} pour limite en {{mvar|p}} si pour tout [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] {{mvar|V}} de {{mvar|L}}, il existe un voisinage {{mvar|W}} de {{mvar|p}} tel que <math>\forall y\in W\cap A\quad f(y)\in V</math><ref>{{Bourbaki-Topologie}}, chap. I, § 7.</ref>.
(On ne modifie pas cette caractérisation en remplaçant l'ensemble des voisinages de {{mvar|L}} (ou de {{mvar|p}}) par une [[Glossaire de topologie#B|base de voisinages]] de ce point<ref>{{Ouvrage|auteur=E. Ramis|auteur2=C. Deschamps|auteur3=J. Odoux|titre=Cours de mathematiques speciales|titre tome=Topologie|tome=3|éditeur=Masson|date=1991|page=37}}.</ref>, par exemple par l'ensemble des [[Ouvert (topologie)|ouverts]] contenant ce point.)

Un espace ''N'' est [[Espace séparé|séparé]] si et seulement si toute application {{mvar|f}} : ''A'' → ''N'' (pour tout espace ''M'' et toute partie ''A'' de ''M'') possède, en tout point adhérent à ''A'', au plus une limite.

La définition de [[Limite d'une suite#Espace topologique|limite d'une suite]] est un cas particulier de la définition précédente :
* Une suite <math>(u_n)_{n\in\N}</math> admet ''L'' pour limite si pour tout voisinage ''V'' de ''L'', il existe un entier naturel ''N'' tel que <math>\forall n \geq N\quad u_n\in V.</math>

Si ''M'' est [[Espace métrisable|métrisable]] (ou plus généralement : [[Espace séquentiel#Espace de Fréchet-Urysohn|héréditairement séquentiel]]), on dispose de la ''caractérisation séquentielle des limites de fonctions'' :
*Si ''M'' est héréditairement séquentiel alors <math>f</math> admet <math>L</math> pour limite en <math>p</math> si (et seulement si) pour toute suite <math>(x_n)</math> dans <math>A</math> de limite <math>p</math>, <math>f(x_n)\to L</math>.
Si de plus ''N'' est T{{ind|1}} (ou même seulement [[Axiome de séparation (topologie)#Espaces à unique limite séquentielle|à unique limite séquentielle]]), <math>f</math> admet une limite en <math>p</math> si (et seulement si) pour toute suite <math>(x_n)</math> dans <math>A</math> de limite <math>p</math>, la suite <math>(f(x_n))</math> admet une limite.

D'autres généralisations de cette notion, permettant par exemple de parler de limites « à l'infini » pour un espace métrique quelconque, ou de dire qu'une [[Intégration (mathématiques)|intégrale]] est une limite de [[somme de Riemann|sommes de Riemann]], ont été définies ; les plus puissantes utilisent la notion de [[Filtre (mathématiques)|filtre]]. On en trouvera des exemples aux divers articles traitant de ''convergence'' : [[convergence simple]], [[convergence uniforme]], [[convergence normale]], [[Convergence de variables aléatoires#Convergence presque s.C3.BBre|convergence presque sûre]], [[Convergence de variables aléatoires#Convergence en moyenne d.27ordre r|convergence en moyenne]], etc.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wikiversity=Limites d'une fonction|wikiversity titre=Limites d'une fonction}}
=== Article connexe ===
[[Théorème d'interversion des limites]]

=== Liens externes ===
{{Dictionnaires}}

=== Bibliographie ===
[[Christian Houzel]], « Limite (notion de) », ''Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie'', [[Encyclopædia Universalis]] et Albin Michel, Paris 1997

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Topologie générale]]