Voir la source de Logarithme

{{homophone|Loga-Rythme}}
[[Fichier:Logarithm plots.png|vignette|Tracés des courbes des fonctions logarithmes en base 2, [[e (nombre)|{{math|e}}]] et 10.]]

: En [[mathématiques]], plus généralement en [[science]], le '''logarithme''' d'un nombre donné répond à la question "À quelle puissance faut-il élever un certain nombre fixé, appelé la base du logarithme, pour obtenir le nombre donné ?", dans les cas où une telle puissance existe.
Cela permet de substituer le problème d’effectuer une addition à celui d’effectuer une multiplication, et ainsi de simplifier certains calculs.{{exemple|Le logarithme en base dix de 1000 est 3 car 10{{exp|3}} {{=}} 10×10×10 {{=}} 1000.|nom=Exemple}}Dans ce cas, le plus simple, le logarithme est le nombre entier qui compte les répétitions de la base multipliée par elle-même. Dans cette opération, multiplier un nombre par la base équivaut à ajouter 1 à son logarithme. L'[[exponentiation]] généralise cette opération de multiplication par soi-même à des puissances intermédiaires entre les entiers, qu'on exprime en nombres réels.{{exemple|Le logarithme en base dix de la racine de 10, notée <math>\sqrt{10}</math>, est 0,5 car

<math>\sqrt{10}^2 = \sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10</math>, donc
<math>(\log_{10}\sqrt{10}) + (\log_{10}\sqrt{10}) = \log_{10}{10} = 1</math>|nom=Exemple}}Plus précisément, une '''fonction logarithme''' est la [[fonction réciproque]] d'une [[exponentiation]], c'est-à-dire que le logarithme de base <math>b</math> d'un [[nombre réel]] strictement positif est la [[Puissance d'un nombre|puissance]] à laquelle il faut élever la base <math>b</math> pour obtenir ce nombre.

Le logarithme de base <math>b</math> du nombre <math>x</math> se note {{math|log{{ind|''b''}} ''x''}}. Si la base est évidente d'après le contexte, ou si elle n'a pas d'importance, on peut écrire simplement {{math|log ''x''}}. Par définition, <math>b^{\log_bx}=x</math>.

[[John Napier]] a développé les logarithmes au début du {{s-|XVII}}. L'utilité du logarithme pour le calcul vient du fait que la fonction logarithme transforme un produit en somme : <math> \log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \,</math>. Pendant trois siècles, la [[table de logarithmes]] et la [[règle à calcul]], fondée sur une échelle logarithmique, ont servi pour le calcul, jusqu'à leur remplacement, dans le dernier quart du {{s-|XX}}, par des [[Calculatrice|calculatrices]] électroniques.

Le logarithme permet en outre de présenter sous une forme concise des relations entre nombres d'[[ordre de grandeur]] très différents.

== Logarithmes d'usage courant ==
Trois fonctions logarithmes sont d'usage courant :
* le [[logarithme népérien]] (ou ''naturel'') dont la base est le [[e (nombre)|nombre {{math|e}}]], est fondamental en [[Analyse (mathématiques)|analyse mathématique]] car il est la [[primitive]] de la fonction <math>x\mapsto\tfrac1x</math> s’annulant en 1 et la fonction réciproque de la [[fonction exponentielle]] ; il est souvent noté {{math|ln}} sauf en [[informatique]] ou en [[théorie des nombres]] où {{math|log}} sans autre précision signifie en général logarithme népérien ;
* le [[logarithme décimal]], dont la base est 10, reste le plus communément utilisé pour les calculs dans le domaine [[technologie|technologique]] ainsi qu'en chimie pour le calcul de [[Potentiel hydrogène|pH]] ;
* le [[logarithme binaire]], dont la base est 2, est utile en [[informatique théorique]] et pour certains calculs appliqués.

Le [[logarithme complexe]] généralise la notion de logarithme aux [[Nombre complexe|nombres complexes]].

== Motivation ==
Une [[échelle logarithmique]] permet de représenter sur un même graphique des nombres dont l'[[ordre de grandeur]] est très différent. Les [[Science appliquée|sciences appliquées]] les utilisent fréquemment dans les formules, comme celles qui évaluent la [[complexité]] des [[algorithmes]] ou des [[fractale]]s et celles qui dénombrent les [[nombre premier|nombres premiers]]. Ils décrivent les [[intervalle (musique)|intervalles musicaux]] et selon le modèle de [[Loi de Weber-Fechner|Weber-Fechner]] s'appliquent généralement en [[psychophysique]].

Tout logarithme transforme
* un [[multiplication|produit]] en [[addition|somme]] : <math> \log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \,</math>
* un [[division|quotient]] en [[soustraction|différence]] : <math> \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y \,</math>
* une puissance en produit : <math> \log_b(x^y) = y \log_b x. \,</math>

== Historique ==
{{article détaillé|Histoire des logarithmes et des exponentielles}}
[[Fichier:Mirifici Logarithmorum canonis Descriptio.jpg|vignette|Page de garde du livre de John Napier de 1614 : Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio]]
La présentation de correspondances entre suites arithmétiques et suites géométriques avec l'observation qu'une somme dans une suite correspond à un produit dans l'autre est ancienne et on la voit déjà chez [[Archimède]] ({{-s-|III}}), [[Nicolas Chuquet|Chuquet]] ({{s-|XV}}) et [[Michael Stifel|Stifel]] (début du {{s-|XVI}}) en Europe<ref>{{chapitre|auteur=Odile Kouteynikoff|titre=Invention de nombres : calculs ou résolutions|auteur ouvrage=Commissionn inter-Irem d'Épistémologie et d'histoire des mathématiques|titre ouvrage=Histoire de logarithmes|passage=11-38|éditeur=Ellipses|année=2006}}, p. 11</ref>,  [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|al-Samaw'al]]{{sfn|Kouteynoff|2006|p=20}} ({{s-|XII}}) et [[Ibn Hamza al-Maghribi]]<ref>{{Lien web |langue=fr |auteur=Pierre Ageron |titre=Ibn Hamza a-t-il découvert les logarithmes ? Constitution et circulation du discours islamocentré sur l’histoire des mathématiques |url=https://ageron.users.lmno.cnrs.fr/34%20-%20Actes%20-%20Section%20II-1%20-%2016%20Pierre%20Ageron%20-%20339-359#:~:text=Ibn%20Hamza%20s'intéressait%20aux,de%20la%20science%20des%20logarithmes. |format=pdf |site=IREM de Basse-Normandie & Université de Caen}}</ref> (fin du {{s-|XVI}}) dans le monde arabe , mais l'observation est plutôt tournée vers une utilisation algébrique{{sfn|Kouteynikoff|2006|p=11}}. 

Vers la fin du {{s-|XVI}}, le développement de l'[[astronomie]] et de la [[navigation maritime]] d'une part et les calculs bancaires d'[[intérêts composés]] d'autre part poussent les mathématiciens à chercher des méthodes de simplification de calculs et en particulier le remplacement des multiplications par des sommes<ref>Jean-Pierre Friedelmeyer, [https://lewebpedagogique.com/h4mathsts1/files/2013/12/105_122_AM61-4-1.pdf L'invention des logarithmes par Neper et le calcul des logarithmes décimaux par Briggs].</ref>. L'invention de tables dites logarithmique permettant de faciliter les calculs comportant des produits est l’œuvre de mathématiciens du début du {{s-|XVII}}: [[Jost Bürgi]]<ref name="pedm">''Petite encyclopédie de mathématiques'', [[Didier (maison d'édition)|Didier]], 1980, {{p.|72}}</ref>, [[John Napier|Neper]] et [[Henry Briggs|Briggs]]<ref>{{chapitre|auteur=Évelyne Barbin|titre=Présentation: pour une approche historique des logarithmes et des exponentielles|auteur ouvrage=Commissionn inter-Irem d'Épistémologie et d'histoire des mathématiques|titre ouvrage=Histoire de logarithmes|passage=5-10|éditeur=Ellipses|année=2006}}, p.6</ref>, travail poursuivi par [[Johannes Kepler]]<ref>{{lien web |url=https://www.e-rara.ch/zut/wihibe/content/titleinfo/1405839 |titre=Chilias Logarithmorum |site=e-rara.ch}}.</ref>, [[Ezechiel de Decker]] et [[Adriaan Vlacq]]<ref name="pedm" />.

En 1647, [[Grégoire de Saint-Vincent]], travaillant sur la quadrature de l’[[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]], définit la fonction primitive de la fonction <math>x \mapsto \tfrac 1 x</math> s’annulant en 1. [[Christian Huygens|Huygens]] remarquera en 1661 que cette fonction se trouve être une fonction logarithme particulière : le [[Logarithme népérien|logarithme naturel]]<ref>{{Lien web |langue=fr |auteur=Emmanuel Ferrand, Laurent Koelblen, Matthieu Romagny |titre=Un peu d’histoire |url=https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/capes_0809/histoire.pdf |date=17 septembre 2008}}</ref>.

La correspondance entre les fonctions exponentielles et logarithmes n’apparaît qu'après le travail de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] sur la notion de [[fonction (mathématiques)|fonction]], en 1697, et se développe au cours du {{s|XVIII}} dans les écrits d'[[Leonhard Euler|Euler]]{{sfn|Barbin|2006|p=7}}.

La tentative d'application de la [[Logarithme complexe|fonction logarithmique à la variable complexe]] date du {{s-|XVIII}} et donne lieu à une controverse entre [[Jean Bernoulli|Bernoulli]] et [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] résolue par Euler<ref>{{chapitre|auteur=Jean-Luc Verley|titre=La controverse des logarithmes des nombres négatifs et imagianires|auteur ouvrage=Commissionn inter-Irem d'Épistémologie et d'histoire des mathématiques|titre ouvrage=Histoire de logarithmes|passage=269-288|éditeur=Ellipses|année=2006}}</ref>.

== Propriétés des fonctions logarithmes ==
Dans cette section, nous donnons des propriétés d'une fonction logarithme, quelle que soit sa base {{mvar|b}}.
=== Propriétés algébriques ===
{{article détaillé|Identités logarithmiques}}

Les fonctions logarithme sont par définition les [[morphisme de groupes|morphismes]] [[Continuité (mathématiques)|continus]] non [[Fonction nulle|constamment nuls]] de <math>(\R_+^{*},\times)</math> vers <math>(\R,+)</math>.

Pour tout réel {{mvar|b}} strictement positif et différent de 1, le logarithme de base {{mvar|b}} : {{math|log{{ind|''b''}}}} est la fonction continue définie sur <math>\R^*_+</math> vérifiant l'[[équation fonctionnelle]] :
: pour tous {{mvar|x}} et {{mvar|y}} réels strictement positifs,
: <math>\log_b(x y) = \log_b(x) + \log_b(y)</math>
et
:<math>\log_b(b) = 1</math>
Cette définition permet de déduire rapidement les propriétés suivantes :
: <math>\log_b(1) = 0</math>
: <math>\log_b(x/y) = \log_b(x) - \log_b(y)</math>
: <math>\log_b(x^y)=y \log_b(x)</math>
: <math>\log_b(b^n) = n</math> pour tout entier naturel {{mvar|n}}, puis pour tout entier relatif {{mvar|n}}
: <math>\log_b(b^r) = r</math> pour tout rationnel {{mvar|r}}.

Comme tout réel strictement positif {{mvar|x}} est la [[limite d'une suite]] dont le terme général est de la forme {{mvar|b{{exp|r{{ind|n}}}}}}, où {{math|(''r{{ind|n}}'')}} est une suite de rationnels convergeant vers un réel <math>\ell</math>, on détermine {{math|log{{ind|''b''}}(''x'')}} comme étant la limite de {{mvar|r{{ind|n}}}}.

=== Changement de base ===
Deux fonctions logarithmes ne diffèrent que d’une constante multiplicative : pour tous réels strictement positifs {{mvar|a}} et {{mvar|b}} différents de 1 et pour tout réel {{math|''x'' > 0}},
: <math>\log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}</math>.

Toutes les fonctions logarithmes peuvent donc s’exprimer à l’aide d’une seule, par exemple la fonction logarithme népérien : pour tout réel strictement positif {{mvar|b}} différent de 1 et pour tout réel {{math|''x'' > 0}},
:<math>\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}</math>.

=== Dérivée ===
La fonction {{math|log{{ind|''b''}}}} est [[dérivée|dérivable]] sur <math>\R_+^*</math> de dérivée :
:<math>\log_b'(x)=\frac1{x\ln(b)}</math> qui a même signe que {{math|ln(''b'')}}.
Donc la fonction {{math|log{{ind|''b''}}}} est strictement monotone, croissante quand {{mvar|b}} est supérieur à 1, décroissante dans le cas contraire.

=== Nombre de chiffres avant la virgule ===
Si {{mvar|b}} est un entier supérieur ou égal à 2 et {{math|''x'' > 0}}, la [[Base (arithmétique)#Développement en base entière|représentation propre de {{mvar|x}} en base]] ''{{mvar|b}}'' possède {{mvar|n}} chiffres avant la virgule si et seulement si <math>b^{n-1}\leqslant x<b^n</math>, soit <math>n-1\leqslant \log_bx<n</math>. Le nombre de chiffres {{mvar|n}} est donc égal à <math>\left\lfloor{\log_b x}\right\rfloor +1</math>.

Et lorsque {{mvar|x}} tend vers l'infini, on a donc <math>\log_b x\sim n(x)</math>.

== Fonction réciproque ([[antilogarithme]]) ==
{{Voir|Exponentielle de base a{{!}}Exponentielle de base {{mvar|b}}}}
{{Ancre|Fonction inverse}}
[[Fichier:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|right|thumb|Représentation dans le cas {{math|''b'' > 1}}. Le graphe de la fonction logarithmique {{math|log{{ind|''b''}}(''x'')}} (bleu) est obtenu en [[Réflexion (mathématiques)|reflétant]] celui de la fonction {{mvar|b{{exp|x}}}} (rouge) par rapport à la diagonale {{nobr|''x {{=}} y.''}}]]

La fonction <math>\log_b:\R_+^*\to\R</math> est la [[bijection]] [[bijection réciproque|réciproque]] de la fonction exponentielle de base {{mvar|b}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|nom1={{Lien|trad=James Stewart (mathematician)|James Stewart (mathématicien)|texte=James Stewart}}|titre=Single Variable Calculus|sous-titre=Early Transcendentals|éditeur=Thomson Brooks/Cole|année=2012|numéro d'édition=7|lire en ligne={{Google Livres|h4Auk70bJogC|page=58}}}}, section 1.6.</ref>, parfois appelée antilogarithme de base {{mvar|b}} :
:<math>\operatorname{antilog_b}:\R\to\R_+^*,\;x \mapsto b^x</math>.

Autrement dit, les deux façons possibles de combiner (ou [[Composition de fonctions|composer]]) les logarithmes et l’élévation à des puissances redonnent le nombre original :
*pour tout réel {{math|''x''}}, prendre la puissance {{nobr|{{math|''x''}}-ième}} de {{math|''b''}}, puis le logarithme en base {{math|''b''}} de cette puissance, redonne {{math|''x''}} :<center><math>\forall x\in\R_+^*\quad\log_b(b^x)=x\log_b(b)=x</math> ;</center>
*inversement, pour tout réel {{math|''y''}} strictement positif, prendre d'abord le logarithme en base {{math|''b''}}, puis élever {{math|''b''}} à sa puissance, redonne {{math|''y''}} :<center><math>b^{\log_b(y)} = y.</math></center>

Les fonctions réciproques sont étroitement liées aux fonctions originales.
Leurs [[Graphe d'une fonction|graphes]], qui se correspondent lorsqu’on échange les coordonnées {{math|''x''}} et {{math|''y''}} (ou par réflexion par rapport à la diagonale {{math|''x'' {{=}} ''y''}}), sont montrés à droite dans le cas où {{math|''b''}} est un réel strictement supérieur à 1 : un point {{math|(''u'', ''t'' {{=}} ''b{{exp|u}}'')}} sur le graphe (rouge) de la fonction antilogarithme {{math|''x'' ↦ ''b{{exp|x}}''}} fournit un point {{math|(''t'', ''u'' {{=}} log{{ind|''b''}}(''t''))}} sur le graphe (bleu) du logarithme et vice versa. Comme {{math|''b'' > 1}}, la fonction {{math|log{{ind|''b''}}}} est [[Fonction monotone|croissante]] et quand {{math|''x''}} tend vers {{math|+∞}}, {{math|log<sub>''b''</sub>(''x'')}} [[Limite (mathématiques)|tend vers]] {{math|+∞}}, tandis que lorsque {{math|''x''}} approche zéro, {{math|log<sub>''b''</sub>(''x'')}} tend vers {{math|–∞}}. Dans le cas où le réel {{math|''b''}} est strictement compris entre 0 et 1, la fonction {{math|log{{ind|''b''}}}} est décroissante et ces limites sont interverties.

En matière de calcul, l'antilog ramène des logarithmes aux valeurs. Soit à évaluer une formule {{mvar|F}} combinant multiplications, divisions et exponentiations, et soit {{mvar|f}} la formule définissant le logarithme de {{mvar|F}} en combinant sommes, différences et produits des (logarithmes) des données. La valeur de {{mvar|F}} peut s'obtenir comme l'antilog de la valeur de {{mvar|f}}, ce qui conclut le calcul. On peut ainsi remplacer l'évaluation <math>F = (x \times y \times z)^{1/3}</math>
par <center><math>F = \operatorname{antilog}_b\left(\frac{\log_b(x) + \log_b(y)+ \log_b (z)}3\right) </math>.</center>

== Fonctions logarithme courantes ==
=== Logarithme népérien ===
{{article détaillé|Logarithme népérien}}

Le logarithme népérien, ou logarithme naturel, est la fonction logarithme dont la [[dérivée]] est la [[fonction inverse]] définie de <math>\R_+^*</math> dans <math>\R</math> : <math> x \mapsto \frac 1 x</math>.

:La fonction de Neper est par convention notée « {{math|ln}} »<ref>La norme AFNOR NF X 02-1 01, de 1961, recommande la notation ln (''Tables numériques'' de J. Laborde, 1976, p. VI).</ref> ou « {{math|log}} », notation couramment utilisée en [[théorie des nombres]] et en informatique<ref>Langages [[C (langage)|C]], [[Java (technique)|Java]], [[Javascript]]{{etc}}</ref>.

:La base de la fonction logarithme népérien, notée [[e (nombre)|e]], est appelée nombre de Néper<ref>{{Ouvrage|auteur1=D. Guinin|auteur2=B. Joppin|titre=Mathématiques [[MPSI]]: Exercices|éditeur=[[Éditions Bréal|Bréal]]|année=2003|passage=33|lire en ligne={{Google Livres|iePuAqUjGoQC|page=33}}}}.</ref> ou nombre d'Euler<ref>{{Ouvrage|auteur1=O. Ferrier|titre=Maths pour économistes|sous-titre=L'Analyse en économie|volume=1|éditeur=[[De Boeck Supérieur|De Boeck Université]]|année=2006|passage=275|isbn=978-2-8041-4354-1}}.</ref>{{,}}<ref>Ne pas confondre avec divers [[Liste des sujets nommés d'après Leonhard Euler#Nombres|autres « nombres d'Euler »]].</ref>.

Une [[valeur approchée]] est :
:<math>\mathrm{e} \approx 2{{,}}718</math>.

=== Logarithme décimal ===
{{article détaillé|Logarithme décimal}}

C’est le logarithme le plus pratique dans les calculs numériques manuels, il est noté {{math|log}} ou {{math|log{{ind|10}}}}. La norme ISO 80000-2<ref>[http://www.iso.org/iso/fr/iso_catalogue/catalogue_tc/catalogue_detail.htm?csnumber=31887 ISO 80000-2:2009]. [[Organisation internationale de normalisation]]. Consulté le 19 janvier 2012.</ref> indique que log<sub>10</sub> devrait être noté ''lg'', mais cette notation est rarement utilisée.

On le retrouve dans la création des [[échelle logarithmique|échelles logarithmiques]], les [[repère semi-logarithmique|repères semi-logarithmiques]] ou [[repère log-log|log-log]], dans la [[règle à calcul]], dans le calcul du [[potentiel hydrogène|pH]], dans l’unité du [[décibel]].

Il précise à quelle puissance il faut élever 10 pour retrouver le nombre de départ : l'[[image (mathématiques)|image]] d'un nombre par {{math|log}} est l'[[entier relatif]] auquel il faut élever 10 pour obtenir l'[[antécédent (mathématiques)|antécédent]]. Par exemple :
: En base dix :
: <math>\log_{10}(10) = 1 \text{  car  } 10^1 = 10</math>
: <math>\log_{10}(100) = 2 \text{  car  }10^2 = 100</math>
: <math>\log_{10}(1000) = 3 \text{  car  }10^3 = 1000</math>
: <math>\log_{10}(0,01) = -2 \text{  car  } 10^{-2} = 0,01</math>

La valeur du logarithme d’autres nombres que des puissances de 10 demande un calcul approché. Le calcul de {{math|log(2)}} par exemple peut se faire à la main, en remarquant que 2{{exp|10}} ≈ 1000 donc {{math|10 log{{ind|10}}(2) ≈ 3}} donc {{math|log{{ind|10}}(2) ≈ 0,3}}.

Pour tout réel strictement positif {{mvar|b}} différent de 1 et pour tout réel {{math|''x'' > 0}},
:<math>\log_b(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)}</math>.

=== Logarithme binaire ===
{{article détaillé|Logarithme binaire}}
La norme ISO {{formatnum:80000}} recommande de noter {{math|lb}} le logarithme en base 2<ref>{{lien web|url=https://www.iso.org/fr/standard/64973.html |titre=ISO 80000-2:2019 |auteur=[[Organisation internationale de normalisation]] |consulté le=16 septembre 2012}}.</ref>.

Le [[logarithme binaire]], d'usage spécialisé dans le calcul des [[intervalle (musique)|intervalles musicaux]] à partir d'un rapport de [[fréquence]]s, pour obtenir des [[Octave (musique)|octaves]], des [[demi-ton]]s ou des [[Cent et savart|cents]], a trouvé beaucoup plus d'application en [[informatique]]. Les [[ordinateur]]s travaillant en [[système binaire]], le calcul d'un logarithme en base 2 se fait par l'algorithme le plus précis et le plus efficace.

Un nombre ''x'' codé en [[virgule flottante]] binaire se décompose en une [[mantisse]] ''m'', comprise entre 1 (inclus) et 2 (exclu) et un [[Exposant (mathématiques)|exposant]] ''p'', indiquant la [[Puissance de deux|puissance de 2]] qui multiplie la mantisse pour obtenir le nombre. L'exposant est la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] du logarithme binaire, tandis que le logarithme binaire de la mantisse est compris entre 0 (inclus) et 1 (exclu).
: <math>x = 2^p \times m \Longrightarrow \textrm{lb}(x) = p + \textrm{lb}(m).</math>

Ce qui ramène le calcul à celui du logarithme binaire d'un nombre entre 1 (inclus) et 2 (exclu). Si on multiplie ce nombre par lui-même, et que le résultat dépasse 2, c'est que le nombre est supérieur à {{racine|2}} : le chiffre suivant, après la virgule, est un 1, dans le cas contraire, c'est un 0. On continue par [[itération]] jusqu'à la précision souhaitée.

Les deux logarithmes précédents se déduisent de celui-ci par :
: <math>\ln(x) = \frac{\mathrm{lb}(x)}{\mathrm{lb}(\mathrm e)} \text{   et    } \log_{10}(x) = \frac{\mathrm{lb}(x)}{\mathrm{lb}(10)}</math>.

=== Cologarithme ===
{{article détaillé|Cologarithme}}
Le [[cologarithme]] d'un nombre est l'opposé du logarithme de ce nombre et le logarithme de son inverse<ref>{{ouvrage|prénom1=Alain |nom1=Bouvier |lien auteur1=Alain Bouvier |prénom2=Michel |nom2=George |prénom3=François |nom3=Le Lionnais |lien auteur3=François Le Lionnais |titre=Dictionnaire des mathématiques |année première édition=1979|année=2001|éditeur=[[Presses universitaires de France]]|passage=159}}.</ref> : <math>\operatorname{colog} _bx = - \log _bx = \log_b\frac{1}{x}</math>.

== Généralisations ==
Le [[logarithme complexe]] est la fonction réciproque de l'[[exponentielle complexe]] et généralise ainsi la notion de logarithme aux [[Nombre complexe|nombres complexes]]. Le [[logarithme discret]] généralise les logarithmes aux [[groupe cyclique|groupes cycliques]] et a des applications en [[Cryptographie asymétrique|cryptographie à clé publique]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Logarithm|408909865}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{catégorie principale}}
{{Autres projets
|wikiversity=Fonction logarithme
|wiktionary=logarithme
|commons=Category:Logarithm
|commons titre=Les logarithmes
|wikibooks=Photographie/Mathématiques|wikibooks titre=Photographie/Mathématiques (sections "Découverte des logarithmes" et "Que fait-on avec les logarithmes ?")}}
=== Articles connexes ===
{{colonnes|taille=15|
* [[Logarithme complexe]]
* [[Fonction polylogarithme]]
* [[Fonction holomorphe]]
* [[Loi de Benford]]
}}

==== Applications pratiques ====
{{colonnes|taille=15|
* [[Règle à calcul]]
* [[Échelle logarithmique]]
* [[Table de logarithmes]]
}}

=== Liens externes ===
{{Liens}}
* Simone Trompler, [https://sonocreatica.org.ve/wp-content/uploads/2018/03/Histoire_Logarithme.pdf Histoire des logarithmes], publié en ligne en 2002 par l’[[Université libre de Bruxelles]]

{{Palette|Fonctions mathématiques usuelles}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Logarithme|*]]