Voir la source de Logarithme népérien

{{Infobox Fonction mathématique
 | nom = Fonction logarithme népérien ou naturel 
 | image = Logarithme neperien.svg
 | légende = [[Courbe représentative]] de la fonction <math>x \mapsto \ln x</math>.
 | notation = <math>\ln</math>
 | réciproque = <math>\exp</math>
 | dérivée = <math>x \mapsto \frac{1}{x}</math>
 | primitives = <math>x \mapsto x\ln x-x+C</math>
 | ensemble de définition = <math>\R_+^*</math>
 | ensemble image = <math>\R</math>
 | parité = 
 | périodicité = 
 | zéro = 
 | plusinf = +∞
 | moinsinf = 
 | maxima = 
 | minima = 
 | asymptotes = <math>x=0</math>
 | zéros = 1
 | points critiques = 
 | points d'inflexion = 
 | points fixes = 
}}
Le '''logarithme népérien''', ou '''logarithme naturel''',  ou encore jusqu'au {{s-|XX}} '''logarithme hyperbolique''', transforme, comme les autres  [[fonction logarithme|fonctions logarithmes]], les produits en sommes. L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles. Il est souvent noté {{math|ln()}}.

Le logarithme naturel ou népérien est dit de base [[e (nombre)|{{math|e}}]] car {{math|1=ln(e) = 1}}.

Le logarithme népérien d'un nombre {{Mvar|x}} peut également être défini comme la puissance à laquelle il faut élever {{math|e}} pour obtenir {{Mvar|x}}. La fonction logarithme népérien est donc la [[bijection réciproque]] de la [[fonction exponentielle]]. C'est également la [[primitive]] définie sur les réels strictement positifs et qui s'annule en 1 de la [[fonction inverse]] {{math|''x'' ↦ {{sfrac|1|''x''}}}}.

Cette fonction fut notée '''{{math|l.}}''' ou '''{{math|l}}''', dès le début du {{s-|XVIII}}<ref>Voir par exemple {{Article|lang=la|auteur=[[Leonhard Euler]]|titre=Variae observationes circa series inﬁnitas|revue=Commentarii academiae scientarum Petropolitanae|vol=9|année=1737|p.=160-188}} ; aussi dans ''Opera Omnia'', Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Quartum Decimum, Teubner, 1925.</ref>, et jusque dans la première moitié du {{s-|XIX}}<ref>Voir par exemple [[Augustin Cauchy]], ''Exercices d'analyse et de physique mathématique'', {{vol.}}3, {{p.}}379, {{Google Livres|zQo7AAAAcAAJ|page=379|lire en ligne}}.</ref>, puis '''log.'''<ref>Voir par exemple [[Adrien-Marie Legendre]], ''Essai sur la théorie des nombres'', Paris, Duprat, an VI (1797 ou 1798).</ref> ou '''log'''<ref>Voir par exemple {{de}} [[Edmund Landau]], ''Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen'', Berlin, 1909 ({{2e}} éd. par Chelsea, New York, 1953).</ref> dès la fin du {{s-|XVIII}}, puis '''Log''' pour la différencier de la fonction log (logarithme de base quelconque, ou plus particulièrement [[logarithme décimal]])<ref>Voir les manuels scolaires en France jusqu'en 1972. Ou par exemple : [[Nikolaï Piskounov]], Calcul différentiel et intégral, {{5e}} éd., 1972, [[Éditions Mir]], Moscou [http://fr.scribd.com/doc/26412181/Calcul-Differentiel-Et-Integral-Tome1-N-Piskounov-Mir#scribd III.10 {{p.|91}}].</ref>, ou encore '''logh''' (« logarithme hyperbolique »)<ref>Voir par exemple {{en}} L. B. W. Jolley, ''Summation of Series'', {{2e|édition}} (révisée), [[Dover Publications]], New York, 1961, [http://plouffe.fr/simon/math/SummationofSeries.pdf lire en ligne].</ref>, avant que ne tente de s'imposer la notation préconisée par les normes AFNOR de 1961<ref>NF X 02-1 01 selon les tables numériques de J. Laborde, {{p.}}VI, 1976.</ref> et ISO 80000-2<ref>[http://www.iso.org/iso/fr/iso_catalogue/catalogue_tc/catalogue_detail.htm?csnumber=31887 ISO 80000-2:2009], [[Organisation internationale de normalisation]].</ref> : la notation '''ln'''. Avec un succès cependant  très relatif : la notation '''log''' est encore aujourd'hui utilisée dans plusieurs branches des [[mathématiques]], et tout particulièrement en théorie des nombres<ref>Voir par exemple cette note de {{HardyWright}} ({{6e}} éd., Oxford, 2008, 1.7) {{Citation étrangère|lang=en|log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest.}}</ref>, ainsi que dans plusieurs langages de programmation, comme [[C (langage de programmation)|C]], [[C++]], [[SAS (langage de programmation)|SAS]], [[R (langage)|R]], [[MATLAB]], [[Mathematica]], <!--[[Pascal programming language|Pascal]], -->[[Fortran]], et [[BASIC]].
== Historique ==

{{article connexe|Histoire des logarithmes et des exponentielles}}

[[Fichier:Table log 001 100 cinq decimales.svg|vignette|Table des logarithmes naturels de {{formatnum:0.01}} à 100 avec cinq chiffres après la virgule.]]

Ce logarithme est appelé népérien, en hommage au mathématicien écossais [[John Napier]] qui établit les premières [[Table de logarithmes|tables logarithmiques]] (lesquelles ne sont en fait pas des tables de logarithmes népériens<ref>{{DahanPeiffer}}, {{p.}}214.</ref>). On date en général l'origine des logarithmes népériens en 1647, lorsque [[Grégoire de Saint-Vincent]] travaille sur la [[quadrature (mathématiques)|quadrature]] de l'[[Hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété d'additivité des [[logarithme|fonctions logarithmes]]. Saint-Vincent ne voit cependant pas de lien avec les logarithmes de Napier, et c'est son disciple [[Alphonse Antoine de Sarasa]] qui l'expliquera en [[1649]]<ref>Jean-Pierre Le Goff, « De la méthode dite d'exhaustion - Grégoire de Saint Vincent », dans ''La démonstration mathématique dans l'histoire'', [[IREM]] de Besançon.</ref>. Le logarithme népérien s'est tout d'abord appelé « logarithme hyperbolique », en référence à l'aire sous l'hyperbole qu'il représente<ref>{{Lien web|auteur=Simone Trompler|url=https://sonocreatica.org.ve/wp-content/uploads/2018/03/Histoire_Logarithme.pdf|titre=L'histoire des logarithmes|éditeur=[[Université libre de Bruxelles|ULB]]|année=2002}}, {{p.}}11.</ref>. L’appellation « logarithme naturel », due à [[Pietro Mengoli]] en 1659<ref>{{Ouvrage|lang=la|auteur=Mengoli|titre=Geometriae speciosae Elementa}}. Références et liens collectés par {{Lien web|lang=en|auteur=Jeff Miller|url=http://jeff560.tripod.com/n.html|titre=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics — Natural logarithm}}.</ref>, est reprise en 1668 dans une note de [[Nicolaus Mercator]] sur la série qui porte son nom<ref>{{Article|lang=en|auteur=Mercator|titre=Some Illustration of the Logarithmotechnia|revue=[[Philosophical Transactions]]|vol=3|numéro=38|année=1668|p.=759-764|url=https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rstl.1668.0034}}. </ref>. Cette série, exploitée par [[Isaac Newton|Newton]] en 1671<ref>Méthode de Newton pour le calcul des logarithmes naturels, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62411f ''La méthode des fluxions et des suites infinies''] sur [[Gallica]], {{p.}}102-105.</ref>, permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent<ref>{{Harvsp|Trompler|2002|p=12}}.</ref>. Le calcul des autres logarithmes apparaît alors bien compliqué et, naturellement, celui de Grégoire de Saint-Vincent devient alors le logarithme le plus ''naturel''.

[[Fichier:Log-pole-x 1.svg|thumb|Pour tout réel a > 0, ln(a) peut être défini comme l'[[Aire (géométrie)|aire]] du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction x↦1/x, l'axe des abscisses et les droites d'abscisses 1 et a.]]

== La fonction logarithme naturel comme primitive de la fonction inverse ==

La fonction {{math|''x'' ↦ {{sfrac|1|''x''}}}} est [[Continuité (mathématiques)|continue]] sur {{math|]0, +∞[}}. Elle admet donc des [[primitive]]s dont une seule s'annule en 1. Cette primitive est appelée logarithme naturel et est donc définie par :<center><math>\forall x \in \R^*_+\quad\ln (x)=\int_1^x \frac1t~\mathrm dt.</math></center>

== [[Étude de fonction|Étude de la fonction]] ==
*La fonction logarithme naturel est définie et [[dérivable]] (donc continue) sur {{math|]0, +∞[}} et pour tout réel {{math|''x''}} strictement positif,<center><math>(\ln)'(x)=\frac1x.</math></center>
*Puisque cette dérivée est strictement positive, le logarithme naturel est strictement [[Fonction monotone|croissant]].
*Puisque cette dérivée est strictement décroissante, le logarithme naturel est strictement [[Fonction concave|concave]].
*Les limites de la fonction aux bornes de son intervalle de définition sont :<center><math>\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x \to + \infty}\ln(x) = + \infty.</math></center>[[Théorème de la bijection|C'est donc une bijection]] de {{math|]0, +∞[}} sur ℝ.
*Son [[nombre dérivé]] au point {{math|1}} (qui donne la [[Pente (mathématiques)|pente]] de la [[Tangente (géométrie)|tangente]] au [[Graphe d'une fonction|graphe]] au point de coordonnées {{math|(1, 0)}}) est :<center><math>\lim\limits_{h \to 0}\frac{\ln(1+h)}h=1.</math></center>

== Propriétés algébriques ==
{{article détaillé|Identités logarithmiques}}
Le logarithme naturel vérifie la même [[équation fonctionnelle]] que toute [[fonction logarithme]]. C'est une fonction continue vérifiant, pour tous réels {{math|''x''}} et {{math|''y''}} strictement positifs,<center><math>\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).</math></center>En effet, pour {{math|''y'' > 0}} fixé, la fonction {{math|''x'' ↦ ln(''xy'')}} (définie sur {{math|]0, +∞[}}) a la même dérivée que le logarithme naturel, donc en diffère d'une constante réelle {{math|''k''}} : {{math|ln(''xy'') {{=}} ln(''x'') + ''k''}}, avec {{math|''k'' {{=}} ln(''y'')}} puisque {{math|ln(1''y'') {{=}} ln(1) + ''k'' {{=}} ''k''}}.

De cette propriété algébrique, on déduit les suivantes, pour tous réels {{math|''a''}} et {{math|''b''}} strictement positifs :
* <math>\ln\left(\frac ab\right)=\ln(a)-\ln(b)</math>
* <math>\forall r\in\Q\quad\ln(a^r) = r \ln(a).</math>

Puis par continuité
* <math>\forall x\in\R\quad\ln(a^x) = x \ln(a).</math>

Le fait que toutes les fonctions logarithmes soient proportionnelles entre elles permet d'obtenir, pour tout réel {{math|''a''}} strictement positif, le [[Logarithme|logarithme de base {{math|''a''}}]] en fonction du logarithme népérien :<center><math>\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}.</math></center>

== La fonction logarithme naturel comme réciproque de la fonction exponentielle ==
L'[[#Étude de la fonction|étude de la fonction]] logarithme naturel a montré que c'est une [[bijection]] de {{math|]0, +∞[}} dans ℝ. Sa [[bijection réciproque]], de ℝ dans {{math|]0, +∞[}}, coïncide avec la [[fonction exponentielle]], puisqu'elle est sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. Ceci fournit une définition possible de la fonction exponentielle à partir du logarithme. Inversement, on aurait pu définir le logarithme comme la bijection réciproque de l'exponentielle et vérifier alors sa [[#La fonction logarithme naturel comme primitive de la fonction inverse|caractérisation ci-dessus]].
{{Démonstration|contenu=Soient {{math|''f'' : ]0, +∞[ → ℝ}} et {{math|''g'' : ℝ → ]0, +∞[}} deux bijections, réciproques l'une de l'autre. On a bien sûr : {{math|''f''(1){{=}}0}} si et seulement si {{math|''g''(0){{=}}1}}. Montrons, grâce au théorème sur la [[Opérations sur les dérivées#Bijection réciproque|dérivée d'une bijection réciproque]], que {{math|''f''}} est une primitive de {{math|''x''↦{{sfrac|1|''x''}}}} si et seulement si {{math|''g''}} est sa propre dérivée.

Si {{math|''f''}} est dérivable et si pour tout réel {{math|''x'' > 0}}, {{math|''f ''' (''x'') {{=}} {{sfrac|1|''x''}}}}, alors {{math|''g''}} est dérivable et
<center><math>\forall y\in\R\qquad g'(y)=\frac1{f'(g(y))}=g(y).</math></center>
Réciproquement, si {{math|''g''}} est dérivable et si pour tout réel {{math|''y''}}, {{math|''g ''' (''y'') {{=}} ''g''(''y'')}}, alors {{math|''f''}} est dérivable et
<center><math>\forall x\in]0,+\infty[\qquad f'(x)=\frac1{g'(f(x))}=\frac1{g(f(x))}=\frac1x.</math></center>
}}

Autrement dit :<center><math>\forall x\in\R^\star_+\quad{\rm e}^{\ln(x)}=x\qquad\text{et}\qquad\forall y\in\R\quad\ln({\rm e}^y)=y,</math></center>ce qui se résume en :<center><math>\forall x\in \R^*_+,~\forall y\in\R\quad y=\ln (x)\Leftrightarrow x={\rm e}^y</math></center>
et permet de résoudre des équations dans lesquelles l'inconnue apparaît en exposant.

Cette relation permet d'exprimer toutes les autres [[Exponentielle de base a|fonctions exponentielles de base un réel {{math|''a''}} strictement positif]] par (pour tout réel {{math|''x''}}) :<center><math>a^x={\rm e}^{x \ln(a)}.</math></center>

Cette définition coïncide évidemment avec celle de {{math|''a{{exp|r''}}}} pour {{math|''r''}} rationnel.

== Développement en série ==
[[Image:Mercator series.svg|thumb|La fonction logarithme naturel et son approximation par les premiers termes de la série de Mercator.]]
[[Image:Ln series positive real.svg|thumb|La fonction logarithme naturel et son approximation par les premiers termes de la série<br /><math>2\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{2k+1}\left(\frac{y-1}{y+1}\right)^{2k+1}.</math>]]

La fonction <math>\ln(x)</math> n'admet pas de développement en série de [[Série de Taylor|Taylor]], ni même de [[Série de Laurent|Laurent]] autour de <math>0</math>.

C'est [[Nicolaus Mercator]] qui a été le premier à proposer le développement en [[série entière]] de <math>\ln(1+x)</math>; le [[rayon de convergence]] de ce développement est {{math|1}}. On a donc la [[série de Taylor]] :
:<math>\begin{align}
\forall x\in\left]-1,1\right[\quad\ln(1 + x)
&=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-x)^n}n\\
&=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots\\
&=x\left(\frac11-x\left(\frac12-x\left(\frac13-x\left(\frac14-x\left(\frac15-\cdots\right)\right)\right)\right)\right).
\end{align}</math>
(Voir aussi [[Fonction hypergéométrique#Cas particuliers]].)

D'après la [[formule de Taylor-Lagrange]]<ref>{{Ouvrage|titre=Analyse et algèbre|sous-titre=cours de mathématiques de deuxième année avec exercices corrigés et illustrations avec Maple|auteur=S. Balac|auteur2=L. Chupin|éditeur=[[PPUR]]|date=2008|url={{Google Livres|Ihh2uOXnRQcC|page=56}}|page=56}}.</ref> ou le [[Théorème d'Abel (analyse)|théorème de convergence radiale d'Abel]], ce développement est encore valide pour {{math|1=''x'' = 1}}. On obtient ainsi la somme de la [[Série harmonique#La série harmonique alternée|série harmonique alternée]].

D'autre part, notons que [[Leonhard Euler]] a hardiment appliqué ce développement à {{math|''x'' {{=}} –1}}<ref>{{la}} Leonhard Euler, ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'', tome 1, Bousquet, Lausanne, 1748, exemple 1, {{p.|228}} ; aussi dans ''Opera Omnia'', Series Prima, Opera Mathematica, vol. 8, Teubner, 1922.</ref>. Sans se soucier de la convergence, il montre que la série harmonique est le logarithme naturel de {{sfrac|1|1 – 1}}, c'est-à-dire de l'infini. Aujourd'hui on formalise cette remarque d'Euler par : {{citation|la série harmonique tronquée en ''N'' est proche du logarithme de ''N'' lorsque ''N'' est grand}} ; plus précisément, les différences entre somme partielle de la série harmonique et logarithme naturel convergent vers la [[constante d'Euler-Mascheroni]].

Pour obtenir une meilleure [[vitesse de convergence]], on peut en déduire :
:<math>\begin{align}
\forall x\in\left]-1,1\right[\quad\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
&=2x\left(\frac11+\frac13x^2+\frac15x^4+\frac17x^6+\frac19x^8+\cdots\right)\\
&=2x\left(\frac11+x^2\left(\frac13+x^2\left(\frac15+x^2\left(\frac17+x^2\left(\frac19+\cdots\right)\right)\right)\right)\right),
\end{align}</math>
qui se réécrit :
:<math>\forall y\in\left]0,+\infty\right[\quad\ln(y)=2\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{2k+1}\left(\frac{y-1}{y+1}\right)^{2k+1}.</math>
{{clr}}

== Algorithme de calcul utilisant la méthode de Halley ==
Pour calculer avec précision, le logarithme népérien d'un réel ''{{Mvar|x}}'', l'approche de la série de Taylor n'est pas efficace car la convergence est lente. Surtout si ''{{Mvar|x}}'' est proche de 1, une bonne alternative est d'utiliser [[Méthode de Halley|la méthode de Halley]] ou [[Méthode de Newton|la méthode de Newton]] pour inverser la fonction exponentielle, car la série définissant la fonction exponentielle converge plus rapidement. Pour trouver la valeur de ''{{Mvar|y}}'' à donner <math>\exp(y)-x=0</math> en utilisant la méthode de Halley, ou de manière équivalente pour exprimer <math>\exp(y/2) -x \exp(-y/2)=0</math> en utilisant la méthode de Newton, l'itération se simplifie en <math display="block"> y_{n+1} = y_n + 2 \cdot \frac{ x - \exp ( y_n ) }{ x + \exp ( y_n ) } </math> qui a [[Vitesse de convergence des suites|une convergence cubique]] vers <math>\ln (x)</math> .

== Propriétés complémentaires ==
=== Étude des limites ===
Les limites suivantes permettent de déterminer les [[Théorème des croissances comparées|croissances comparées]] du logarithme naturel et d'une [[fonction puissance]] quelconque :<center><math>\mathrm{pour~tout~r\acute eel~}\alpha>0,\qquad\lim\limits_{x \to 0^+} x^{\alpha}\ln(x) = 0\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x \to + \infty}\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}} = 0.</math></center>

=== Dérivée logarithmique ===
{{Article détaillé|Dérivée logarithmique}}
Pour toute fonction réelle dérivable {{math|''u''}}, la [[fonction composée]] {{math|ln∘{{!}}''u''{{!}}}} (définie en tout point où {{math|''u''}} ne s'annule pas) est dérivable, de dérivée
<center><math>\left(\ln\circ|u|\right)'=\frac{u'}u.</math></center>
Cette dérivée s'appelle la [[dérivée logarithmique]] de la fonction {{math|''u''}}. Elle représente une variation instantanée relative. C'est donc une mesure utile tant en économie qu'en calcul d'erreur. Elle permet d'autre part un calcul plus simple de la dérivée de fonctions données sous forme de produits, quotients ou puissances.

=== Primitive ===
[[Intégration par parties#Intégration par parties|En appliquant la formule d'intégration par parties]] au produit des fonctions <math>\ln</math> et <math>x\mapsto 1</math>, on obtient :
:<math>\forall x>0\quad \int_1^x\ln{(t)}\ \mathrm dt=x\ln{(x)}-x+1</math>.
D'après le [[théorème fondamental de l'analyse]], les primitives de <math> \ln </math> sont donc les fonctions de la forme
:<math> x\mapsto x\ln{(x)}-x+k,\quad k\in\R</math>,
la plus simple étant la fonction <math>x\mapsto x\ln{(x)}-x</math>.

== La fonction logarithme naturel comme fonction de la variable complexe ==
{{article détaillé|Analyse complexe|Logarithme complexe}}

La question de savoir s'il est possible de prolonger le logarithme naturel (c'est-à-dire de le définir sur un ensemble plus grand que {{math|]0, +∞[}}) s'est posée dès la seconde moitié du {{s-|XVII}} avec les développements en série des fonctions. Le problème est qu'il n'existe aucune fonction univoque continue sur ℂ*, possédant la [[#La fonction logarithme naturel comme fonction logarithme|propriété algébrique des fonctions logarithmes]] et coïncidant sur {{math|]0, +∞[}} avec la fonction logarithme népérien réelle.

On peut cependant définir le logarithme d'un nombre négatif en posant, pour tout réel {{math|''a''}} strictement positif, {{math|ln(–''a'') {{=}} ln(''a'') + [[Identité d'Euler|iπ]]}}, mais la fonction ainsi définie n'a pas les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien réelle. On peut la rencontrer lorsqu'on travaille avec une calculatrice traitant les [[Nombre complexe|nombres complexes]] : si l'on étudie la fonction {{math|''x'' ↦ {{!}}ln(''x''){{!}}}}, la calculatrice peut être amenée à définir cette fonction sur ℝ* en interprétant la [[valeur absolue]] comme un module :
: <math>\left|\ln(-a)\right| = \sqrt{\ln^2(a) + \pi^2}</math> pour {{math|''a''}} réel strictement positif.

== Humour ==
Le logarithme népérien est à la base d'une [[Humour mathématique|blague mathématique]] en vogue chez les lycéens :

- Exponentielle et logarithme vont au restaurant : qui paye ?

- Exponentielle, parce que logarithme ne paie rien (mais il ne perd rien pour attendre !)<ref>{{Ouvrage|auteur1=Bruno Winkler|titre=Blagues mathématiques et autres curiosités|éditeur=Ellipses|année=2011|passage=23}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=Jean-baptiste Hiriart-Urruty|titre=Humour en mathématiques|éditeur=Auto-édition|année=2020|passage=41|isbn=978-2-9571868-0-8}}</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Natural logarithm}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
*[[Théorème de Gelfond-Schneider#Exemples d'applications|Exemple d'application du théorème de Gelfond-Schneider]] : ln(3)/ln(2) est [[Nombre transcendant|transcendant]]
*[[Logarithme népérien de deux]]
* [[Logarithme binaire]]
* [[Logarithme discret]]
* [[Logarithme intégral]]
* [[Fonction W de Lambert]]

=== Liens externes ===
{{liens}}
« Poser la modélisation comme question épistémologique pour l’introduction des propriétés des exponentielles dans les classes », conférence de [[Jean Dhombres]] : parties [http://www.univ-irem.fr/IMG/pdf/exponentielle_dhombres_partie_1.pdf 1], [http://www.univ-irem.fr/IMG/pdf/exponentielle_dhombres_partie_2.pdf 2] et [http://www.univ-irem.fr/IMG/pdf/exponentielle_dhombres_partie_3.pdf 3]

[https://www.youtube.com/watch?v=habHK6wLkic Une excellente vidéo en anglais expliquant l'origine des logarithmes naturels]

{{palette|Fonctions mathématiques usuelles|Nombre e}}
{{portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Logarithme|Naturel]]
[[Catégorie:Fonction de référence]]

[[de:Logarithmus#Natürlicher Logarithmus]]