Voir la source de Logarithmes musicaux

Les '''logarithmes musicaux''' sont un moyen de mesure fine des [[Intervalle (musique)|intervalles musicaux]] par les [[logarithme]]s.

En langage courant, on parle souvent d'additions d'intervalles, disant par exemple qu'une [[tierce majeure]] ''plus'' une [[tierce mineure]] forment une [[quinte]] alors que, du point de vue de la physique, il s'agit de ''multiplier'' les rapports (qu'ils soient de longueurs de cordes, ou de [[fréquences]], etc.), par exemple 5/4 x 6/5 = 3/2. Si les représentations logarithmiques des intervalles semblent à première vue complexes, elles sont en réalité plus intuitives. Notre perception des sons est elle-même logarithmique (voir [[Loi de Weber-Fechner]]).

== Histoire ==
[[File:Caramuel Mathesis nova.png|thumb|Logarithmes musicaux]]
L'intérêt pour l'utilisation musicale des logarithmes est presque aussi ancien que les logarithmes eux-mêmes, inventés par [[John Napier]] en 1614<ref>Ernest William Hobson (1914), ''John Napier and the invention of logarithms, 1614'', Cambridge, The University Press</ref>. Dès 1647, [[Juan Caramuel y Lobkowitz]] (1606-1682) décrit dans une lettre à [[Athanasius Kircher]] l'usage des [[logarithme binaire|logarithmes à base 2]] en musique<ref>Ramon Ceñal, « Juan Caramuel, su epistolario con Athanasio Kircher, S.J. », ''Revista de Filosofia'' XII/44, Madrid 1954, {{p.}}134 sq. J. Murray Barbour, ''Tuning and Temperament'', East Lansing, 1951, p. 3, décrit Caramuel comme "l'inventeur des logarithmes musicaux".</ref>. Dans cette base, l'octave vaut 1, le demi-ton 1/12, etc. Les logarithmes avaient été utilisés aussi probablement par [[René Descartes|Descartes]] vers 1635 et par [[Nicolaus Mercator]] avant 1657<ref>Benjamin Wardhaugh, "Musical logarithms in the seventeenth century: Descartes, Mercator, Newton", ''Historia Mathematica'' 35/1 (2008), p. 19-36, en ligne: [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086007000341 Wardhaugh]</ref>. Juan Caramuel publie en 1670 une image (ci-contre) qui montre, sur trois octaves de l'échelle diatonique, outre les noms des notes  en notation alphabétique et en syllabes de [[solmisation]] et les longueurs de cordes qui leur correspondent, les [[cologarithme|cologarithmes]] des logarithmes népériens (''Logarithmi Neperi & Kepleri''), les logarithmes décimaux (''Logarithmi Briggi & Kepleri''), les cologarithmes des précédents (''Logarithmi perfecti''), les logarithmes musicaux (''Logarithmi Musici'', logarithmes binaires) et le nom des intervalles<ref>L'ouvrage est disponible sur [https://books.google.be/books/download/Mathesis_biceps_Mathesis_nova.pdf?id=OILygaE7xx4C&hl=fr&output=pdf&sig=ACfU3U2IRsaWkaPMTab-mK1kAtZdte16ow Google Books] ; voir J. Murray Barbour, « Musical Logarithms », ''Scripta mathematica'' VII (1940), p. 27-28.</ref>.

Sauveur publie un système logarithmique musical dans ses ''Principes d'acoustique et de musique'', de 1701<ref>Joseph Sauveur, ''Principes d'acoustique et de musique ou Système général des intervalles des sons'', Genève, Minkoff, 1973, 68-[2] ; voir en ligne Mémoires de l'Académie royale des sciences, 1700, Acoustique [archive] ; 1701 Acoustique [archive].</ref>, fondé sur l'utilisation des logarithmes à base 10, probablement parce que les [[Table de logarithmes|tables]] en étaient disponibles ; il a utilisé des logarithmes calculés avec trois décimales. Le [[logarithme décimal]] de 2 vaut approximativement 0,301, que Sauveur propose de multiplier par 1000 pour obtenir des unités valant 1/301 d'octave. Comme 301 est le produit de deux [[nombre premier|nombres premiers]], 43 et 7, il suggère de prendre des unités d'un quarante-troisième d'octave, qu'il appelle « mérides », divisées en {{nobr|7 parties}}, les « heptamérides ». Il a envisagé aussi la possibilité de diviser chaque heptaméride en 10 « décamérides », mais il ne fait pas lui-même réellement usage de cette unité microscopique<ref>{{Ouvrage |auteur=[[Joseph Sauveur]] |titre=Principes d'acoustique et de musique ou Système général des intervalles des sons |éditeur=Minkoff |lieu=Genève |année=1973 |pages totales=68-[2] |isbn=}} ; voir en ligne ''Mémoires de l'Académie royale des sciences'', 1700, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3502d/f140 Acoustique] ; 1701 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3503q/f128 Acoustique].</ref>. Il propose d'utiliser ces unités pour la mesure de « systèmes orientaux », ce qui l'a fait considérer parfois comme le créateur de l'ethnomusicologie<ref name="Meeus">Nicolas Meeùs, « Joseph Sauveur ; ''Principes d'acoustique et de musique'', ''Lexikon Schriften über Musik'', Band I, ''Musiktheorie von der Antik bis zur Gegenwart'', Kassel, Bärenreiter, 2017, p. 440-443.</ref>.

Au début du  {{s-|XIX}} [[Gaspard de Prony]] propose {{citation|d'appliquer au calcul des intervalles en utilisant une graduation analogue à la nature des quantités soumises au calcul, et réunissant, à la simplicité et à la commodité des opérations, toute l'exactitude désirable.}} Il crée une [[échelle logarithmique]] à base <math>\sqrt[12]{2}</math>, dans laquelle l'unité correspond à un demi-ton du [[Gamme tempérée|tempérament égal]]<ref name="Prony">Gaspard de Prony, ''Instruction élémentaire sur les moyens de calculer les intervalles musicaux'', [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1083022 sur Gallica].</ref>. L'unité est plus tard connue sous le nom de [[prony]].

[[Alexander John Ellis]] décrit en 1880 un nombre élevé de diapasons anciens qu'il avait relevés ou calculés. Il indique l'intervalle en demi-tons avec deux décimales, c'est-à-dire avec une précision au centième de demi-ton, qui les sépare d'un diapason grave théorique, ''la''<sub>3</sub> = {{unité|370|Hz}}, pris comme point 0 de référence<ref name="Ellis1880">Alexander John Ellis, "On the History of Musical Pitch", ''Journal of the Society of Arts'', 1880, republié dans ''Studies in the History of Musical Pitch'', Frits Knuf, Amsterdam, 1968, {{p.}}11-62.</ref>. Il publie en 1885 {{citation étrangère|langue=en|Of the Musical Scales of Various Nations}} (''Des échelles musicales de différentes nations ''), dans lequel il compare les intervalles, exprimés cette fois en centièmes de demi-ton, d'échelles musicales décrites par diverses théories musicales non européennes<ref name="Ellis1885">{{article|prénom=Alexander John |nom=Ellis |lien auteur=Alexander John Ellis |titre=Of the musical scales of various nations |périodique=Journal of the Society of Arts |numéro=33|année=1885|passage=485sq|lire en ligne=https://fr.scribd.com/document/239042170/Alexander-J-Ellis-On-the-Musical-Scales-of-Various-Nations-Journal-of-the-Society-of-Arts-for-March-27-1885-vol-xxxiii}}.</ref>. La musicologie comparée, qui s'intitule [[ethnomusicologie]] depuis le milieu du {{s-|XX}}, utilise largement cette unité à laquelle Ellis a donné le nom de ''cent''.

En référence à [[Félix Savart]], le nom de « [[Savart (musique)|savart]] » a été donné en 1902 par A. Guillemin au logarithme décimal de l'intervalle qui s'exprime par le rapport 10/1, soit trois octaves et une tierce majeure pure – le logarithme décimal de 10 est évidemment 1; Guillemin propose aussi l'expression "millisavart" pour le millième du savart<ref>''Échelle universelle des mouvements périodiques, graduée en savarts et millisavarts'', Note de M. A. Guillemin, présentée par M. J. Violle, séance du 28 avril 1902, ''Comptes-rendus hebdomadaires des séances de l'académie des sciences'', tome 134, 1902, p. 980-982. [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k30902/f980 Note de A. Guillemin sur Gallica]. Guillemin ne mentionne pourtant pas l'heptaméride, dont il n'avait peut-être pas connaissance</ref>. Guillemin ne précise pas avec combien de décimales il faut calculer le logarithme des autres intervalles<ref>Il écrit cependant que le demi-ton vaut « plus exactement 25σ [millisavarts] + 1/12 », où σ veut dire « millisavarts », ce qui équivaudrait à 301 savarts dans l'octave.</ref>, de sorte que la valeur exacte du millisavart varie selon les sources. La ''Revue d’Acoustique'' propose en 1932 dans un « Vocabulaire acoustique » d'arrondir l'ancien millisavart, appelé désormais savart, à 1/300e d'octave<ref>''Revue d'Acoustique'', vol. I, fascicule 2 (mai 1932), p. 90. Alexander Wood, ''The Physics of Music'', Londres 1944, rééd. 2007, p. 53-54, considère la même valeur.</ref>. [[Émile Leipp]] donne cinq [[chiffre significatif|chiffres significatifs]], donc {{nobr|301,03 savarts}} dans l'octave<ref>[[Émile Leipp]], ''Acoustique et musique : Données physiques et technologiques, problèmes de l'audition des sons musicaux, principes de fonctionnement et signification acoustique des principaux archétypes d'instruments de musique, les musiques expérimentales, l'acoustique des salles'', Masson, 1989, {{4e}} {{éd.}}, {{p.}}16.</ref>.

D'autres subdivisions basées sur le logarithme décimal avaient été proposées auparavant, notamment la division de l'octave en {{nobr|30 103 parties}} (soit {{nobr|100 000 fois}} le logarithme décimal de 2), appelée ''jot'' par le mathématicien anglais [[Auguste De Morgan]] (1806 - 1871)<ref>A. J. Ellis, Appendix XX, in Helmholtz, ''On the Sensations of Tone'', p 437. Voir aussi [http://www.tonalsoft.com/enc/j/jot.aspx Jot] sur Tonalsoft.</ref>.

== Définitions des unités ==

=== Principe de base ===

L'écart des fréquences de deux notes distantes d'une [[octave (musique)|octave]] est un rapport de 2 à 1. Ainsi, si ''la''<sub>3</sub> du [[diapason]] actuel est fixé à [[la 440|{{unité|440|Hz}}]], ''la''<sub>2</sub>, plus grave d'une octave, a une fréquence de {{unité|220|Hz}}, et ''la''<sub>4</sub>, plus aigu d'une octave, {{unité|880|Hz}}. On définit encore en descendant vers les graves ''la''<sub>1</sub> à {{unité|110|Hz}} et ''la''<sub>0</sub> à {{unité|55|Hz}} et en montant dans les aigus ''la''<sub>5</sub> à {{unité|1760|Hz}}.
Il en résulte une progression [[échelle logarithmique|logarithmique]] de la perception des intervalles de notes : des différences de fréquence de plus en plus grandes à mesure que l'on monte (55, 110, 220, 440, 880, 1760 Hz) sont perçues comme égales.

La formule la plus générale pour le calcul de la valeur logarithmique d'un intervalle est
<center><math>l = K \cdot \log_x \left( \frac{f_2}{f_1}\right)</math></center>
où ''l'' est la valeur logarithmique recherchée, ''K'' une constante déterminant l'unité logarithmique utilisée, <math>\log_x</math> le type de logarithme (par exemple ''log'', le [[logarithme décimal]], ou <math>\log_2</math>, le [[logarithme binaire]], etc.) et <math>\frac{f_2}{f_1}</math> le rapport numérique qui décrit l'intervalle dont on veut connaître le logarithme<ref>Alexander Wood ''Acoustics'', Londres, 1923; réimpr. 1962, p. 316.</ref>. Par exemple, <math>\log(2/1)</math>, le logarithme décimal du rapport d'octave, vaut environ 0,30103. Pour obtenir des savarts, il faut multiplier cette valeur par K=1000. Le résultat est donc 301,03. Pour obtenir des cents, il faut choisir plutôt le logarithme binaire (<math>\log_2</math>) dans lequel, par définition, le rapport d'octave vaut 1, et multiplier cette valeur par K=1200. Pour le rapport de quinte (3/2), on aurait <math>\log (3/2) \approx 0,1761</math>, à multiplier par 1000 pour obtenir 176 savarts ; ou <math>log_2(3/2)\approx 0,585</math>, à multiplier par 1200 pour obtenir 702 cents.

Pour passer du logarithme décimal au logarithme binaire, il faut diviser le premier par log(2)<ref>Voir [[Logarithme#Changement_de_base]].</ref>.

=== L'heptaméride et le savart ===

Dans les deux cas, la constante est K=1000 et le logarithme est décimal. Ces logarithmes, en d'autres termes, sont égaux à 1000 fois le logarithme décimal du rapport<ref name="Benson">Dave Benson, « [https://homepages.abdn.ac.uk/d.j.benson/pages/html/music.pdf Music: a mathematical offering] », {{p.}}158, Department of Mathematics, Meston Building, University of Aberdeen, Aberdeen AB24 3UE, Scotland, UK</ref>{{,}}<ref name="Huygens-Fokker">{{lien web|url=http://www.huygens-fokker.org/docs/measures.html|site=huygens-fokker.org|langue=en|titre=Logarithmic Interval Measures}}.</ref> :<center><math>l = 1000 \cdot \log \left( \frac{f_2}{f_1}\right) savarts</math></center>

La différence entre l'heptaméride et le savart tient au nombre de décimales : l'heptaméride est fondé sur le logarithme décimal calculé avec trois décimales, alors que la définition du savart demeure imprécise, variant de trois à cinq décimales (ou plus). Quand une note est à l'[[octave (musique)|octave]] d'une autre, le rapport <math>f_2 / f_1 = 2</math>. Avec 5 décimales, le logarithme décimal de 2 vaut 0,30103, donnant {{unité|301.03|savarts}} dans l'octave<ref>Émile Leipp, ''Acoustique et musique : Données physiques et technologiques, problèmes de l'audition des sons musicaux, principes de fonctionnement et signification acoustique des principaux archétypes d'instruments de musique, les musiques expérimentales, l'acoustique des salles'', Masson, 1989, 4e éd., p.16. Il faut ajouter que jusqu'à huit décimales, l'arrondi du logarithme demeure le même.</ref>. Mais cette valeur est souvent arrondie à 301 ou même à 300<ref>Alexander Wood, ''The Physics of Music'', Londres, 1944, rééd. 2007, {{p.}}53-54.</ref>.

D'autres subdivisions fondées sur le logarithme décimal ont été proposées, notamment la division de l'octave en 30103 parties (soit K=100&nbsp;000, l'octave valant 100&nbsp;000 fois le logarithme décimal de 2), centième de savart, appelée ''jot'' par le mathématicien anglais [[Auguste De Morgan]]<ref>A. J. Ellis, annexe XX, section 24, dans sa traduction de H. von Helmholtz, ''Sensations of Tone'', Londres, 1895, {{p.}}438.</ref>. Des valeurs aussi petites n'ont cependant qu'un intérêt purement théorique. Alexander Wood, en 1923, a proposé aussi le ''centioctave'', centième d'octave, valant donc 3,01 savarts<ref>Alexander Wood, ''Acoustics'', Londres, 1923, rééd. 1962, {{p.}}316.</ref>.

=== Le prony ===

La constante est 12 et le logarithme est [[logarithme binaire|binaire]]. Le prony, en d'autres termes, vaut un douzième d'octave, c'est-à-dire un demi-ton au tempérament égal. L'intervalle en pronys vaut<ref name="Benson"/>{{,}}<ref name="Huygens-Fokker"/> :
<center><math>l = 12 \cdot \log_2 \! \left( \frac{f_2}{f_1}\right) \mathrm{ pronys}</math></center>

=== Le cent ===

Le cent est défini comme la centième partie du demi-ton tempéré. La constante est 1200 et le logarithme est binaire :<center><math>l = 1200 \cdot \log_2 \! \left( \frac{f_2}{f_1}\right) \mathrm{ cents }</math></center>

Le prony et le cent ont été définis indépendamment l'un de l'autre, mais sont en relation : {{unité|1|prony}} = {{unité|100|cent}}. Le demi-ton tempéré vaut {{unité|1|prony}} et {{unité|100|cents}}. Un intervalle d'une octave, soit 12 demi-tons, correspond à {{unité|12|pronys}} et à {{unité|1200|cents}}.

Plusieurs unités apparentées au cent ont été proposées. Le ''centitone'', appelé parfois aussi ''Iring'', par W. Iring en 1898<ref>Widogast Iring, ''Die reine Stimmung in der Musik'', Leipzig, 1898.</ref> puis par J. Yasser en 1932, qui propose aussi le ''decitone'' et le ''millitone''<ref>Joseph Yasser, ''A Theory of Evolving Tonality'', New York, 1932, p. 14. Yasser semble n'avoir pas connaissance du ''déciton'' de Guillemin, mentionné ci-dessous. Le centitone est mentionné par W. Apel, ''Harvard Dictionary of Music'', Cambridge, Mass., 1944, p. 363, où il signale en outre le millioctave.</ref>. A. Guillemin, en 1904, mentionne aussi deux autres unités apparentées au cent, la première le ''jamin'', centième de ton tempéré (équivalant donc à 2 cents), et le ''déciton'', dixième de ton (20 cents)<ref>A. Guillemin, ''Premiers éléments de l'acoustique musicale'', Paris, Alcan, 1904, p. 24-25. Le centième de ton est décrit dans le ''Cours de physique de l’École polytechnique'' de Jules Jamin (Tome III, fascicule 1, ''Acoustique'', 4e éd., Paris, Gauthier-Villars, 1887.p. 24-26), mais il ne lui donne pas son nom comme le fait Guillemin. Le déciton est une invention de Guillemin lui-même.</ref>.

=== Table d'équivalence ===
Le savart et le cent sont reliés par la relation :

<center><math>1 \, \text{savart} = 1{{,}}2 \cdot {\log(10) \over \log(2)} \, \text{cent} = {1{{,}}2 \over \log(2)} \, \mathrm{ cents } \approx 3{{,}}9863 \, \mathrm{ cents }</math></center>

Le tableau d'équivalence suivant donne les valeurs dans les diverses unités pour les rapports de fréquences de la [[Accord pythagoricien|gamme pythagoricienne]]<ref name="Benson"/>, ainsi que pour le demi-ton de la [[gamme tempérée]]. Pour les besoins de la comparaison, les valeurs sont données à trois décimales (sauf pour les heptamérides qui n'en comportent jamais plus d'une) mais dans la pratique ces décimales sont sans signification parce que les intervalles qu'elles décrivent sont loin en dessous du seuil de perception. L'heptaméride et le savart valent approximativement 4 cents, le prony vaut 100 cents ou approximativement 25 savarts.

{| class="wikitable centre"
|+ Comparaison des diverses unités<br>gamme pythagoricienne (et demi-ton tempéré)
|-
! scope=col | Note
! scope=col | Rapport de fréquence au Do
! scome=col | heptaméride
! scope=col | savart
! scope=col | prony
! scope=col | cent
|-
! scope=row | Do (C)
| style="text-align:center;" | 1/1
| style="text-align:center;" | 0
| style="text-align:center;" | 0
| style="text-align:center;" | 0
| style="text-align:center;" | 0 
|-
! scope=row | Ré (D)
| style="text-align:center;" | 9/8
| style="text-align:center;" | 51,2
| style="text-align:center;" | 51,153
| style="text-align:center;" | 2,039
| style="text-align:center;" | 203,910
|-
! scope=row | Mi (E)
| style="text-align:center;" | 81/64
| style="text-align:center;" | 102,3
| style="text-align:center;" | 102,305
| style="text-align:center;" | 4,078
| style="text-align:center;" | 407,820
|-
! scope=row | Fa (F)
| style="text-align:center;" | 4/3
| style="text-align:center;" | 124,9
| style="text-align:center;" | 124,939
| style="text-align:center;" | 4,980
| style="text-align:center;" | 498,045
|-
! scope=row | Sol (G)
| style="text-align:center;" | 3/2
| style="text-align:center;" | 176,1
| style="text-align:center;" | 176,091
| style="text-align:center;" | 7,020
| style="text-align:center;" | 701,955
|-
! scope=row | La (A)
| style="text-align:center;" | 27/16
| style="text-align:center;" | 227,2
| style="text-align:center;" | 227,244
| style="text-align:center;" | 9,059
| style="text-align:center;" | 905,865
|-
! scope=row | Si (B)
| style="text-align:center;" | 243/128
| style="text-align:center;" | 278,4
| style="text-align:center;" | 278,396
| style="text-align:center;" | 11,098
| style="text-align:center;" | 1109,775
|-
! scope=row | Do (C)
| style="text-align:center;" | 2/1
| style="text-align:center;" | 301,0
| style="text-align:center;" | 301,030
| style="text-align:center;" | 12,000
| style="text-align:center;" | 1200,000
|-
! scope=row | Demi-ton tempéré
| style="text-align:center;" | <math>\sqrt[12]{2}</math>
| style="text-align:center;" | 25,1
| style="text-align:center;" | 25,086
| style="text-align:center;" | 1,000
| style="text-align:center;" | 100,000
|}
[[Otto Abraham]] et [[Erich von Hornbostel]] ont publié en 1909 une « table pour la transformation de logarithmes en cents »<ref>Otto Abraham et Erich von Hornbostel, "Vorschläge für die Transkription exotischer Melodien", ''Sammelbände der Internationalen Musikgesellschaft'' 11/1 (1909), p. 20.</ref>, où le logarithme de l’octave est décrit comme 3010 – il s’agit donc plus précisément de logarithmes décimaux multipliés par 10 000 ou de savarts multipliés par 10 (mais Abraham et von Hornbostel n'utilisent pas ce nom). Ellis avait déjà donné en 1895 une table d'équivalence entre cents et "logarithmes", 1200 cents valant 30103 ''logs'' : ce sont plus précisément des jots, déjà mentionnés ci-dessus<ref>A. J. Ellis, ''loc. cit.''</ref>.

== Utilisation ==

Les logarithmes musicaux ont servi en particulier à calculer des systèmes d'accordage et des tempéraments ou à décrire et à commenter des systèmes non européens. Ils ont joué un rôle essentiel dans la description et le calcul du tempérament égal dès le 17e siècle<ref>Voir James Murray Barbour, ''Equal Temperament: its History from Ramis (1482) to Rameau (1737)'', thèse de doctorat, Cornell University, Ithaca NY, 1932. Eytan Agmon précise que « L'arrivée tardive de la théorie du tempérament égal a eu une raison ''technique'', l'inexistence avant le 17e siècle des outils mathématiques essentiels, en particulier du calcul logarithmique » ; Eytan Agmon, ''The Languages of Western Tonality'', Berlin, 2013, p. 199, note 14</ref>. Selon Rudolf Rasch,
:À un moment donné au 17<sup>e</sup> siècle, les mesures logarithmiques de la hauteur ont été ajoutées aux valeurs habituelles de longueurs de cordes, grâce à quoi une image psychologiquement plus réaliste des relations entre hauteurs a pu être donnée. Les logarithmes ont rendu plus faciles la description et le calcul de pratiquement n'importe quel système d'accordage imaginable<ref>Rudolf Rasch, « Tuning and Temperament », ''The Cambridge History of Western Music Theory, Th. Christensen ed., Cambridge University Press, 2002, p. 193.</ref>.
Curt Sachs, décrivant l'« atelier de l'ethnomusicologue », souligne la nécessité d'une description simple des intervalles, pour laquelle deux nécessités lui semblent évidentes :
:(1) Exprimer des distances semblables par des nombres identiques, indépendamment des hauteurs et des fréquences ;
:(2) Les exprimer de telle sorte que les nombres [...] donnent immédiatement une image claire de la dimension en question.
:Le seul moyen de rencontrer ces besoins est de transformer les valeurs de fréquence en logarithmes. Cette transformation implique automatiquement une transformation de la division originelle inconfortable en une soustraction aisée : log(x/y) = log(x)-log(y). Par la plus simple des opérations, cette soustraction peut être exprimée par un seul nombre qui, répondant au premier de nos besoins [...] est le logarithme de l'intervalle en question, ou log(i).
:Le deuxième besoin [...] a été rencontré par le Français Félix Savart (1791-1841) et son système de ''savarts'' logarithmiques. En dehors de la France, les ''savarts'' ont été supplantés par le système des ''cents'' de Ellis (1884). Un ''savart'' est égal à 3,99 ou, arrondi, à 4 ''cents'' et le demi-ton est exprimé par 25 ''savarts'' et 100 ''cents''<ref>Curt Sachs, ''The Wellsprings of Music'', J. Kunst ed., The Hague, Nijhoff, 1962, p. 24. On notera que Sachs est de ceux qui attribuent le savart à Félix Savart lui-même, alors qu'il n'a été proposé qu'en 1902, par Guillemin (voir ci-dessus).</ref>.
Les logarithmes sont parfois utilisés pour des opérations plus complexes, en analyse musicale par exemple, pour des opérations de segmentation de la musique<ref>Agustín Martorell et Emilia Gómez, « Contextual Set-Class Analysis », dans ''Computational Music Analysis'', D. Meredith ed., Cham, Springer, 2016, p. 81-110.</ref>.

== Références ==
<references />

== Bibliographie ==
* Anonyme, ''Dictionnaire Larousse de la musique'', Paris, 2005, p. 495, s.v. « Intervalle »
* Abraham, Otto, et Erich von Hornbostel (1909). "Vorschläge für die Transkription exotischer Melodien", ''Sammelbände der Internationalen Musikgesellschaft'' 11/1.
* Agmon, Eytan (2013). ''The Languages of Western Tonality'', Berlin.
* Barbaud, Pierre (1968). ''La musique, discipline scientifique'', Paris, Dunod.
* Barbour, J. Murray (1932). ''Equal Temperament: its History from Ramis (1482) to Rameau (1737)'', thèse de doctorat, Cornell University, Ithaca NY, 1932.
* ——— (1951). ''Tuning and Temperament'', East Lansing.
* Ceñal, Ramon (1954). « Juan Caramuel, su epistolario con Athanasio Kircher, S.J. », ''Revista de Filosofia'' XII/44.
* Chouard, Claude-Henri (2001). ''L'oreille musicienne : Les chemins de la musique de l'oreille au cerveau''. Paris, Gallimard.
* Delezenne, Charles (1857) ''Table de logarithmes acoustiques depuis1 jusqu'à 1200, précédée d'une instruction élémentaire'', Lille, Danel.
* Demany, Laurent (1999). « Perception de la hauteur tonale », dans Botte & alii, ''Psychoacoustique et perception auditive'', Paris, Tec & Doc.
* Ellis, Alexander John (1880). "On the History of Musical Pitch", ''Journal of the Society of Arts''.
* ——— (1885). "Of the musical scales of various nations", ''Journal of the Society of Arts'' 33.
* ——— (1895). Annexe XX, section 24, dans la traduction de H. von Helmholtz, ''Sensations of Tone''. [[Londres]].
* Guillemin, Auguste (1902) « Échelle universelle des mouvements périodiques, graduée en savarts et millisavarts », ''Comptes-rendus hebdomadaires des séances de l'académie des sciences'', tome 134, p. 980-982.
* ——— (1904). ''Premiers éléments de l'acoustique musicale''. Paris, Alcan.
* Hobson, Ernest William (1914). ''John Napier and the invention of logarithms, 1614'', Cambridge, [[Cambridge University Press]].
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