Voir la source de Logique floue

{{Voir homonymes|Fuzzy logic (homonymie)}}
{{à sourcer|date=novembre 2012}}

La '''logique floue''' (''fuzzy logic'', en anglais) est une [[logique polyvalente]] où les valeurs de vérité des variables — au lieu d'être vrai ou faux — sont des réels entre 0 et 1. En ce sens, elle étend la logique booléenne classique avec des valeurs de vérité partielles , c'est-à-dire situées entre les valeurs booléennes ''vrai'' et ''faux''<ref>{{Ouvrage|nom1=Novák, V.|nom2=Perfilieva, I.|nom3=Močkoř, J.|titre=Mathematical principles of fuzzy logic|lieu=Dordrecht|éditeur=Kluwer Academic|année=1999|pages totales=320|isbn=978-0-7923-8595-0|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=pJeu6Ue65S4C&printsec=frontcover}}</ref>. Elle consiste à tenir compte de divers facteurs numériques pour aboutir à une conclusion qu'on souhaite raisonnable.

== Introduction ==
Par ses aspects numériques, {{référence souhaitée |la logique floue s'oppose aux [[logique modale|logiques modales]].}}

Formalisée par [[Lotfi Zadeh]] en [[1965]], outil de l'[[intelligence artificielle]], elle est utilisée dans des domaines aussi variés que :
* {{référence souhaitée |l'[[automatique]] (freins [[Antiblockiersystem|ABS]], conduite de processus),}}
* la [[robotique]] (reconnaissance de formes)<ref>Kadri, M., Azouaoui, O., Kezerli, R., & Hariz, A. H. (2007). al, "Comportement d’évitement d’obstacles basé sur les réseaux de neurones et la logique floue pour un robot mobile autonome”. In {{4th}} International Conference on Computer Integrated Manufacturing, CIP ({{p.|03-04}})</ref>,
* la gestion de la circulation routière (feux rouges)<ref>{{Ouvrage|prénom1=Vratislav|nom1=Jerabek|titre=Contrôle flou des procédés avec application à la commande des feux de circulation|éditeur=Université de Sherbrooke|date=1994|isbn=978-0-315-98719-7|lire en ligne=https://savoirs.usherbrooke.ca/handle/11143/18041|consulté le=2022-09-30}}</ref>,
* le [[contrôle aérien]] ([[gestion du trafic aérien]])<ref>Baridam, Barilee. (2018). {{lang|en|texte=An Intelligent Air Traffic Control System using Fuzzy Logic Model}}. </ref>,
* l'environnement ([[météorologie]], [[climatologie]], [[sismologie]], [[analyse du cycle de vie]])<ref>{{Article|prénom1=Catherine|nom1=Freissinet|titre=Estimation des imprécisions dans la modélisation du devenir des produits phytosanitaires dans les sols : une méthode fondée sur la logique floue|périodique=La Houille Blanche|volume=84|numéro=8|date=1998-12-01|issn=0018-6368|issn2=1958-5551|doi=10.1051/lhb/1998085|lire en ligne=http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1998085|consulté le=2022-10-04|pages=14–16}}</ref>,
* la [[médecine]] (aide au [[Diagnostic (médecine)|diagnostic]])<ref>{{Article|langue=en|prénom1=A.|nom1=Messaoud|prénom2=M.|nom2=Messaoud|prénom3=Faïçal|nom3=Sellami|titre=Classification des arythmies cardiaques par logique floue à partir de signaux ECG|périodique=undefined|date=2005|lire en ligne=https://www.semanticscholar.org/paper/Classification-des-arythmies-cardiaques-par-logique-Messaoud-Messaoud/71723810302f058db06ef9c218d1fa63eaf9b27a|consulté le=2022-10-05}}</ref>,
* {{référence souhaitée |l'[[assurance]] (sélection et prévention des [[risque]]s)}} et bien d'autres<ref>{{Article|prénom1=Cédric|nom1=Lesage|titre=Évaluation du risque d'audit : proposition d'un modèle linguistique fondé sur la logique floue|périodique=Comptabilité - Contrôle - Audit|volume=5|numéro=2|date=1999|issn=1262-2788|doi=10.3917/cca.052.0107|lire en ligne=http://dx.doi.org/10.3917/cca.052.0107|consulté le=2022-10-07|pages=107}}</ref>.

Elle est formalisée par une ''théorie mathématique des [[ensemble flou|ensembles flous]]'' de [[Lotfi Zadeh]] qui présente une extension de la théorie des ensembles classiques aux ''ensembles définis de façon imprécise''.

Partant d'un concept de fonction d'appartenance à valeur dans [0, 1], [[Lotfi Zadeh]] :
* redéfinit ce qu'est un sous-ensemble d'un univers donné,
* bâtit un modèle complet de propriétés et de définitions formelles,
* montre que cette théorie des sous-ensembles flous se réduit à la {{Quoi |théorie des sous-ensembles}} classiques dans le cas où les fonctions d'appartenance ne prennent que les valeurs binaires{{quoi}} de {0,1}.

{{refnec | La logique floue présente l'intérêt d'être aisée à implémenter, sans prétendre à la rigueur d'une [[logique probabiliste|logique ''probabiliste'']] (qui elle aussi admet des valeurs de vérité sur l'intervalle [0,1]), bien que cette dernière seule soit ''stricto sensu'' cohérente (voir [[Théorème de Cox-Jaynes]]). Par exemple la courbe [[inférence bayésienne#Notation d'évidence|'''Ev(p)''']] peut être remplacée par trois segments de droite sans perte excessive de précision pour beaucoup d'applications considérées ci-dessus.}}

== Principe ==
{{section à recycler|date=janvier 2015}}
{{section à internationaliser | date = novembre 2021}}

{{comment | Assouplissant}} l'[[Algèbre de Boole (logique)|algèbre de Boole]], la logique floue remplace la valeur de vérité d'une proposition à choisir dans {''vrai'', ''faux''} par un degré de vérité, à choisir par exemple dans [0, 1]. En logique floue, il y a donc des degrés dans la satisfaction d'une condition.

Un exemple simple et ancien est la [[docimologie]], c'est-à-dire l'évaluation des élèves d'une classe : dans chaque discipline<ref>En France.</ref>, celui-ci est évalué par une note entre 0 (mauvais) et 20 (exceptionnel) et on estime, assez arbitrairement, le niveau de l'élève pour telle ou telle orientation par une pondération de ces notes avec divers coefficients selon l'orientation considérée.
=== Propriétés ===
Prenons l'exemple de la vitesse d'un véhicule sur une route où la vitesse normale est de {{unité|90|km/h}}. La vitesse est considérée élevée au-dessus de {{unité|100|km/h}} et réglementaire en dessous de {{unité|80|km/h}}. On souhaite caractériser la vitesse du véhicule en répondant par exemple à la question « La vitesse est-elle élevée ? ».
{| align="right"
|-----
| [[Fichier:fuzzy0.svg]]<br />''fig. 1''
|}
Dans ce modèle de réglementation routière, en logique booléenne, la réponse à la question s'énonce de la manière suivante (voir ''fig. 1'') :
* La vitesse est élevée à 100 % au-dessus de {{unité|100|km/h}} et à 0 % en dessous.
{{clr}}
En logique floue, on autorise différents degrés d'énoncés de réponse à la question « La vitesse est-elle élevée ? » (voir ''fig. 2'') :
* La vitesse est réglementaire en dessous de {{unité|80|km/h}}. On peut donc dire qu'en dessous de {{unité|80|km/h}}, la vitesse est élevée avec un taux de confiance de 0 %.
{| align="right"
|-----
| [[Fichier:fuzzy1.svg]]<br />''fig. 2''
|}
* La vitesse est élevée au-dessus de {{unité|100|km/h}}. La vitesse est non réglementaire avec un taux de confiance de 100 % au-dessus de {{unité|100|km/h}}.
* Aux stades intermédiaires, on considère que la vitesse est non réglementaire à 50 % de confiance à {{unité|90|km/h}} et à 25 % de confiance à {{unité|85|km/h}}.
{{clr}}
De même, on peut définir une fonction correspondant à la question « La vitesse est-elle peu élevée ? » de la manière suivante (voir ''fig. 3'') :
* La vitesse est peu élevée en dessous de {{unité|80|km/h}}. Elle est donc peu élevée à 100 %.
{| align="right"
|-----
| [[Fichier:fuzzy2.svg]]<br />''fig. 3''
|}
* La vitesse est considérée comme pas du tout peu élevée au-dessus de {{unité|100|km/h}}. Elle est donc peu élevée à 0 %.
* La vitesse est donc peu élevée à 50 % à {{unité|90|km/h}}, et à 25 % à {{unité|95|km/h}}.
{{clr}}
On peut aussi définir une fonction correspondant à la question « La vitesse est-elle moyenne ? » (voir fig. 4) :
* La vitesse est moyenne à {{unité|90|km/h}}. À cette allure, la vitesse est moyenne à 100 %.
{| align="right"
|-----
| [[Fichier:fuzzy3.svg]]<br />''fig. 4''
|}
* La vitesse n'est pas du tout moyenne en dessous de {{unité|80|km/h}} et au-dessus de {{unité|100|km/h}}. Hors de cet intervalle, la vitesse est moyenne à 0 %.
* La vitesse est donc moyenne à 50 % à {{unité|85|km/h}} et {{unité|95|km/h}}.
{{clr}}
Il n'est pas obligatoire que la transition soit linéaire. Des transitions [[fonction hyperbolique|hyperboliques]] (comme une [[Sigmoïde (mathématiques)|sigmoïde]] ou une [[fonction hyperbolique|tangente hyperbolique]]), [[fonction exponentielle|exponentielle]], [[Fonction gaussienne|gaussienne]] (dans le cas d'un état moyen) ou de toute autre nature sont utilisables (voir ''fig. 5'').
{|
|-----
| [[Fichier:fuzzy4.svg]][[Fichier:fuzzy5.svg]][[Fichier:Fuzzy6.svg|250px]]<br />''fig. 5''
|}

=== Relations ===
Le degré de vérité d'une relation floue entre deux ou t-objets est le degré d'appartenance de la paire ou du t-uple à l'ensemble flou associé à la relation.

Soit la relation ''est1'' (est-un/est-une). Pour dire que toute chaise est un meuble et que 30 % des meubles sont des chaises, on accordera un degré de vérité de 1 à ''est1(chaise, meuble)'' et un degré 0,3 à ''est1(meuble, chaise)''.

La connaissance topographique qu'un agent possède d'un monde clos pourra s'appuyer sur l'attribution de degrés de vérité à une relation du style ''x est_plus_près_de y que_de z'', construite et/ou affinée par apprentissage.

De façon générale, les relations floues permettront de coder des connaissances graduées, empiriques ou typiques, acquises directement ou par des heuristiques, des inductions...

== Combinaison d'énoncés ==
Dans le cas d'une combinaison d'énoncés (pour exemple : « Si ''le ciel est bleu'' et si ''j'ai le temps'' »), trois cas se présentent :

* Les énoncés sont liés par un « ET » : dans ce cas, on peut assigner à cette conjonction le degré de vérité le plus faible. En fait, il suffit de choisir un opérateur <math>\top</math> tel que <math>\top(x,y)\leq \min(x,y)</math> où <math>\top</math> est appelée une '''t-norme'''. <math>\min</math> est la plus ''optimiste'' des t-normes.
* Les entrées sont liées par un « OU » : dans ce cas, on peut assigner à cette adjonction le degré de vérité le plus élevé. En fait, il suffit de choisir un opérateur <math>\bot</math> tel que <math>\bot(x,y)\geq \max(x,y)</math> où <math>\bot</math> est appelée une '''t-conorme'''. <math>\max</math> est la plus ''pessimiste'' des t-conormes.
* Un ou plusieurs énoncés peuvent être niés. Dans ce cas, pour garder un maximum de propriétés logiques on associe à la négation le complément du degré de vérité de l'énoncé.

=== Premier système ===
En définissant les opérateurs logiques de base de la façon suivante<ref>système de Zadeh qu'on peut considérer comme inspiré de Lukasiewicz</ref>:
: <math> ET := min ; OU := max ; NON(x) := 1-x </math>

il devient possible de représenter toutes les opérations logiques de base en logique floue :

{| align="center" border="1" cellpadding="5" style="border: 1px solid #aaa; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; border-collapse:collapse;"
!Opérateur
!Abréviation
!Application
|-----
| OU 
| OR
| A ''OU'' B <math>= max(A,B)</math><sup>[</sup><ref>écriture allégée : en toute rigueur, on devrait distinguer l'énoncé A et son degré de vérité v(A), et écrire v(A OU B) = max(v(A), v(B))</ref><sup>]</sup>
|-----
| ET
| 
| A ''ET'' B <math>= min(A,B)</math>
|-----
| NON
|
| ''NON'' A <math>= 1 - A</math>
|-----
| OU Exclusif
| OUEX
| A ''OUEX'' B <math>= max(A,B) - min(A,B)</math>{{référence nécessaire}}
|-----
| NI
| NON-OU
| A ''NI'' B <math>= 1 - max(A,B)</math>
|-----
| ON
| NON-ET
| A ''ON'' B <math>= 1 - min(A,B)</math>
|-----
| EQV
| NON-OUEX
| A ''EQV'' B <math>= 1 + min(A,B) - max(A,B)</math>
|-----
| REPETEUR
| REP
| ''REP'' A <math>= A</math>
|}

; Propriétés et limitations
: Ce système conserve de nombreuses propriétés booléennes, mais pas la ''non contradiction'' :
: si <math>A</math> a pour degré de vérité <math>v</math>, <math>NON(A)</math> a pour degré de vérité <math>1-v</math> et leur conjonction <math>min(v, 1-v)</math>, à valeur dans <math>[0, 0.5]</math>...

=== Deuxième système ===
Par ailleurs, la dimension numérique des variables de la logique floue permet d'utiliser d'autres opérations :

* Le produit : A × B pour ET (ce qui fait perdre l'[[idempotence]] : A ET A devient alors une interprétation de ''très A'');
* La composition : A + B - A × B pour OU (la simple addition dépasserait les bornes de l'intervalle [0 1] dans certains cas)<ref>dans un style proche de George Boole (1854), ou de Vallée qui appelle cette composition ''produel'' dans son ''Analyse Binaire'' ; parfois vu aussi comme probabiliste</ref>.
* En conservant NON(v)=1-v, on garde encore de nombreuses propriétés logiques.

=== Autres systèmes ===
Pour combattre certains problèmes d'inférence, on peut vouloir un opérateur ''ET'' plus dur, associant à l'opération A ET B, le degré <math>max(A+B-1, 0)</math>.
: Dans un tel cas, OU et NON doivent être choisis de façon à conserver ou non certaines propriétés, par exemple pour sécuriser les raisonnements.
: On trouvera dans la ''Théorie des Possibilités'' (op. cit.) les relations entre axiomes logiques souhaités et équations fonctionnelles que doivent respecter les opérateurs correspondants.

On peut même changer l'espace de vérité, en préférant par exemple [-1 +1] pour certaines propriétés bipolaires.

== Opérateurs flous ==
Les opérateurs flous peuvent être définis de diverses manières, dès lors qu'ils dotent, selon Goguen, l'espace de vérité choisi d'une structure de treillis, souhaitable pour le ''ET'' et le ''OU'', [[Treillis (ensemble ordonné)|treillis]] de préférence complémenté pour un ''NON'' involutif.

Les familles paramétriques d'opérateurs flous permettront à un même moteur d'inférence d'incarner des logiques plus ou moins strictes. Une même application pourra ainsi faire appel à des implémentations différentes judicieusement choisies selon le contexte.

L'exemple ci-dessous montre à travers 3 modes de résolution l'influence du choix des opérateurs, au-delà d'une approche naïve d'un problème.

=== Exemple d'utilisation ===
{{section à recycler | date = novembre 2021}}
[[Fichier:Bletilla striata 1.jpg|vignette|Une [[Orchidée jacinthe]]|100px]]
Cet exemple montre comment combiner des opérateurs flous de divers types à travers le problème « confirmer l'appartenance d'une personne à un groupe » :

; Énoncé
: Une personne sera plus ou moins membre (à un niveau '''fzMembre''', compris entre 0 et 1, inclusivement) d'un groupe, disons les ''flower lovers'', '''soit''' si, pour n'importe quelle raison, elle en fait déjà plus ou moins partie (à un niveau '''fzDejaMembre'''),
: '''soit''' si elle a une assez bonne connaissance des orchidées ('''fzConnaitOrchidees''')
: '''et que''' la connaissance des orchidées
: est un critère assez déterminant ('''fzOrchideesAmis''') d'appartenance au groupe des ''flower lovers''.

==== Solution 1 ====

 fzMembre = '''Zadeh_OR'''(fzDejaMembre, '''Multiply_AND'''(fzConnaitOrchidees, fzOrchideesAmis))

<gallery>
Fichier:FuzzyOp_Zadeh_OR_@556x408.png|Zadeh OR
Fichier:FuzzyOp_AND_@505x442.png|Multiply AND<br /><small>(Paraboloïde hyperbolique)</small>
</gallery>

; Implémentation

 fzMembre = '''max'''(fzDejaMembre, (fzConnaitOrchidees '''*''' fzOrchideesAmis))

 pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0.778 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.7
 pour fzDejaMembre=0.7, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.72
 pour fzDejaMembre=0.72, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on retrouve 0.72
 pour fzDejaMembre=0.72, fzConnaitOrchidees=0.5 et fzOrchideesAmis=0.9, on conserve 0.72
 (ce qui est le résultat vraisemblablement attendu)

==== Solution 2 - Utilisation des seuls opérateurs de Zadeh ====
Une solution qui n'utiliserait que les opérateurs de Zadeh serait :

 fzMembre = '''Zadeh_OR'''(fzDejaMembre, '''Zadeh_AND'''(fzConnaitOrchidees, fzOrchideesAmis))
<gallery>
Fichier:FuzzyOp_Zadeh_OR_@556x408.png|Zadeh OR
Fichier:FuzzyOp_Zadeh_AND_@474x376.png|Zadeh AND
</gallery>

; Implémentation

 fzMembre = '''max'''(fzDejaMembre, '''min'''(fzConnaitOrchidees, fzOrchideesAmis))

 pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0.778 et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on trouve 0.778
 pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0.778 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve aussi 0.778
 (ce qui est trop élevé)
 pour fzDejaMembre=0.778, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.8
 pour fzDejaMembre=0.8, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on retrouve 0.8
 pour fzDejaMembre=0.8, fzConnaitOrchidees=0.5 et fzOrchideesAmis=0.9, on conserve 0.8
 (ce qui est stable mais trop élevé)

==== Solution 3 - Opérateurs représentables par des paraboloïdes hyperboliques ====
Une solution qui n'utiliserait que les opérateurs représentables par des paraboloïdes hyperboliques serait :

 fzMembre = '''Add_OR'''(fzDejaMembre, '''Multiply_AND'''(fzConnaitOrchidees, fzOrchideesAmis))
<gallery>
Fichier:FuzzyOp_OR_@574x438.png|Add OR<br /><small>(Paraboloïde hyperbolique)</small>
Fichier:FuzzyOp_AND_@505x442.png|Multiply AND<br /><small>(Paraboloïde hyperbolique)</small>
</gallery>

; Implémentation

 fzMembre = fzDejaMembre + (fzConnaitOrchidees*fzOrchideesAmis) - (fzDejaMembre*fzConnaitOrchidees*fzOrchideesAmis)

 pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0.778 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.7
 pour fzDejaMembre=0.7, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.916
 (ce qui est sûrement trop élevé)
 pour fzDejaMembre=0.916, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve {{formatnum:0.97648}}
 (ce qui est instable et sûrement beaucoup trop élevé)
 pour fzDejaMembre={{formatnum:0.97648}}, fzConnaitOrchidees=0.5 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve {{formatnum:0.987064}}
 (une augmentation bien malvenue)

==== Convergence - Critique des solutions présentées ====

Les trois méthodes exposées ci-dessus convergent lorsque les valeurs d'entrée sont booléennes :

 pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0 (faux) et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on trouve 0 (faux)
 pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=1 (vrai) et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on trouve 1 (vrai)
 pour fzDejaMembre=1 (vrai), fzConnaitOrchidees=1 (vrai) et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on retrouve 1 (vrai)
 pour fzDejaMembre=1 (vrai), fzConnaitOrchidees=0 (faux) et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on conserve 1 (vrai)

=== Opérateur ''implique'' ===
==== Définition ====

Pour l'exemple ''à l'orchidée'' ci-dessus, une situation normale est que la connaissance des orchidées '''implique''' l'appartenance au groupe. C’est-à-dire, plus précisément, qu'on '''ne peut pas''' connaître les orchidées '''et''', simultanément, '''ne pas être''' membre du groupe des ''amis des fleurs''.

 fzImpliqueOk = NOT(AND(fzConnaitOrchidees, NOT(fzMembre)))

De même qu'on a vu ci-dessus plusieurs manières d'implémenter les opérateurs OR et AND, il y a aussi plusieurs manières d'implémenter la notion d'implication.

 fzImpliqueOk = Bool_IMPLIES(fzConnaitOrchidees, fzMembre)
 fzImpliqueOk = Zadeh_IMPLIES(fzConnaitOrchidees, fzMembre)
 fzImpliqueOk = HypPar_IMPLIES(fzConnaitOrchidees, fzMembre)

<gallery>
Fichier:FuzzyOp Bool IMPLIES @620x402.png|Boolean IMPLIES
Fichier:FuzzyOp_Zadeh_IMPLIES_@544x396.png|Zadeh IMPLIES
Fichier:FuzzyOp_IMPLIES_@600x476.png|Hyperbolic Paraboloid<br />IMPLIES
</gallery>

==== Implémentation ====

Les opérateurs ci-dessus s'implémenteront respectivement comme ceci :

 fzImpliqueOk = fzConnaitOrchidees ⇐ fzMembre 
 fzImpliqueOk = 1 - min(fzConnaitOrchidees, (1 - fzMembre))
 fzImpliqueOk = 1 - fzConnaitOrchidees + (fzConnaitOrchidees*fzMembre)

* dans un cas extrême mais {{souligner|normal}}, avec fzConnaitOrchidees=0.8 et fzMembre=0.995, les valeurs trouvées seront respectivement :

  1 (true)
  0.995 (Zadeh)
  '''0.996''' (Hyperbolic Paraboloid)

* dans un cas considéré comme {{souligner|normal}}, avec fzConnaitOrchidees=0.8 et fzMembre=0.72, les valeurs trouvées seront respectivement :

  0 (false) (la personne est ''moins'' membre qu'elle ne connait)
  0.72 (Zadeh)
  '''0.776''' (Hyperbolic Paraboloid)

* dans un autre cas qui reste {{souligner|normal}}, la personne pouvant aussi être membre des ''amis des fleurs'' à cause de son amour des tulipes, avec fzConnaitOrchidees=0.66 et fzMembre=0.72, les valeurs trouvées seront respectivement :

  1 (true)(la personne est ''plus'' membre qu'elle ne connait)
  0.72 (Zadeh)
  '''0.772''' (Hyperbolic Paraboloid)

* dans un cas assez {{souligner|douteux}}, avec fzConnaitOrchidees=0.5 et fzMembre=0.5, les valeurs trouvées seront respectivement :

  1 (true) 
  0.5 (Zadeh)
  '''0.75''' (Hyperbolic Paraboloid)

* dans un cas {{souligner|anormal}}, avec fzConnaitOrchidees=0.8 et fzMembre=0.3, les valeurs trouvées seront respectivement :

  0 (false)
  0.3 (Zadeh)
  '''0.44''' (Hyperbolic Paraboloid)

* dans un cas {{souligner|anormal}} et extrême, avec fzConnaitOrchidees=0.8 et fzMembre=0.005, les valeurs trouvées seront respectivement :

  0 (false)
  0.2 (Zadeh)
  '''0.204''' (Hyperbolic Paraboloid)

==== Utilisation pratique ====

Une application informatique qui viserait à proposer à un opérateur humain de traiter les cas anormaux en commençant par les plus ''suspects'' utiliserait les valeurs indiquées ci-dessus en gras et obtenues par la méthode identifiée ''Hyperbolic Paraboloid'', particulièrement discriminante.

Il n'est pas sûr que cette application intéresse les ''amis des fleurs''. Par contre, l'intérêt pour un service de médecine préventive (ou même pour un fleuriste) est compréhensible.
Lorsque le nombre d'examens des cas ''suspects'' doit être plafonné (par exemple pour des raisons
de temps, de coût, de dangerosité, etc), un pré-classement ''intelligent'' fondé sinon sur une ''théorie'' incontestée, du moins sur une ''technologie'' opérationnelle, peut s'avérer utile.

=== Représentation graphique ===

L'article [[commons:Fuzzy operator]] fournit de nombreuses représentations graphiques de quelques implémentations possibles des opérateurs fuzzy. On trouvera ci-dessous, à titre d'exemple, la représentation de huit implémentations différentes d'une opération qui viserait à apprécier la simultanéité de deux faits (jugés de poids équivalents dans les six images à gauche mais de poids différents dans les deux images de droite).

<gallery>
Fichier:FuzzyOp_Zadeh_AND_@474x376.png|zadeh-AND
Fichier:FuzzyOp_AND_@505x442.png|multiply-AND
Fichier:FuzzyOp_Yager-2_AND_@504x429.png|yager-AND
Fichier:FuzzyOp_Meurrens_POA-75_@575x398.png|mm-WEIGHT-OR-AND
</gallery>
<gallery>
Fichier:FuzzyOp_Zadeh_OR_@556x408.png|zadeh-OR
Fichier:FuzzyOp_OR_@574x438.png|add-OR
Fichier:FuzzyOp_Yager-2_OR_@593x386.png|yager-OR
Fichier:FuzzyOp_Meurrens_PAO-75_@491x398.png|mm-WEIGHT-AND-OR
</gallery>
{{Clr}}
=== Opérateurs linguistiques ===
Soit v(x est chaud) = 0,8. On pourra poser v(x est ''très'' chaud) = 0,8² = 0,64 et a contrario v(x est ''assez'' chaud)= rac2(0,8) = 0,89, ce qui facilite le codage des connaissances empiriques.
== Commande floue ==

Une fois la valeur de l'entrée (« La vitesse est-elle élevée ? ») évaluée, une valeur peut être déterminée pour une fonction de sortie. Considérons la règle « Si la fièvre est forte, alors administrer de l'aspirine ». Une telle règle est appelée ''commande floue''. Elle est composée de deux parties :

* Une entrée : « La fièvre est-elle forte ? ». On considère qu'une fièvre n'est pas forte en dessous de {{unité|38|°C}}, et qu'elle est forte au-dessus de {{unité|40|°C}}.
* Une sortie : « Administrer de l'aspirine »

Ces deux parties sont liées. On peut les représenter ensemble comme sur la fig. 6.
{|
|-----
| [[Fichier:fuzzy7.png]]<br />''fig. 6''
|}

Il existe plusieurs techniques pour déterminer la valeur de la sortie (dans l'exemple : la quantité d'aspirine à administrer) :

* La droite ayant la même [[ordonnée]] que le point de la courbe de départ ayant pour [[abscisse]] la valeur de l'entrée coupe la courbe de sortie. L'abscisse de ce point d'intersection est une valeur de sortie possible (fig. 7).
{|
|-----
| [[Fichier:fuzzy8.png]]<br />''fig. 7''
|}
* La droite ayant la même [[ordonnée]] que le point de la courbe de départ ayant pour [[abscisse]] la valeur de l'entrée délimite un [[trapèze]] au niveau de la sortie. Le centre de gravité de ce trapèze est également une valeur de sortie possible (fig. 8).
{|
|-----
| [[Fichier:fuzzy9.png]]<br />''fig. 8''
|}

== Limites et critiques de la théorie ==
=== Insuffisances en tant que théorie ? ===

{{Passage évasif|Il existe une opinion qui dit que}} {{citnec|''« La théorie des ensembles flous présente la particularité de n'avoir aucun théorème à proposer. C'est-à-dire que si elle peut rendre quelques services techniques, elle ne peut pour autant prétendre à un quelconque statut de science, et encore moins de théorie ».'' }}

En fait, la logique floue {{refsou|a été formalisée}} et un théorème (élémentaire, cependant) montre que dans le cas particulier où les propositions traitées ne sont pas floues, la logique floue se réduit à la logique classique.

Dans son ouvrage ''Décisions rationnelles dans l'incertain'', [[Myron Tribus]] rappelle que le [[théorème de Cox-Jaynes]] montre d'une part que l'on peut représenter un état de connaissance incertaine par une probabilité, et d'autre part que tout moyen utilisé pour prendre des décisions sera soit isomorphe à la théorie des probabilités, soit incohérent. Les connaissances ''floues'' ne sont pas à proprement parler des connaissances ''incertaines'' : on peut par exemple savoir avec précision qu'un homme mesure {{unité|1.74|m}}. Néanmoins, ce qui est flou est de savoir s'il sera considéré comme « grand » ou « petit ».

''A contrario'', dire : « l'âge de cette personne est voisin de {{nobr|30 ans}} » représente une estimation floue de l'âge effectif de la personne, qui est pour sa part très précis. L'imprécision concerne l'estimation elle-même et non l'âge réel.

On pourrait dire aussi : « l'âge de cette personne est entre 27 et {{nobr|33 ans}}, avec une probabilité de 0.8 ». Là encore, la probabilité mesure un état de connaissance de l'observateur et non une caractéristique de ce qui est observé.

[[Jim Bezdek]] distingue pour sa part probabilité et imprécision : « On se trouve dans un désert, après des jours d'errance… Presque mort de soif, on trouve alors deux bouteilles remplies d'un liquide. Sur la bouteille A, une étiquette annonce « Potable avec un ''degré'' de 0,9 », et sur la bouteille B, l'étiquette dit « potable avec une ''probabilité'' de 0,9 ». Laquelle de ces deux bouteilles doit-on choisir ? ».
Si l'on traduit les indications des étiquettes, on en retire qu'en buvant la bouteille A, on pourra s'en tirer avec comme seuls risques, quelques problèmes intestinaux non mortels… Par contre, en buvant la bouteille B, il y a une probabilité non négligeable (10 % de chance) que le liquide puisse être très nocif (acide…) et absolument pas buvable.

Une [[théorie des possibilités]] a été introduite (aussi par Lotfi Zadeh en 1978) afin de permettre la prise en compte ''combinée'' à la fois de l'imprécision et de l'incertitude dans des connaissances.

=== La logique floue n'est pas la seule à parler d'incertitude ===
La [[logique modale]] a été introduite par [[Aristote]], puis continuée par [[Leibniz]] et des chercheurs contemporains pour prendre en compte des affaiblissements ou des renforcements d'affirmations présents dans les langues naturelles, en s'intéressant par exemple aux rapports du vrai, du faux, du nécessaire et du possible.

La [[théorie de la complexité algorithmique]] (ou complexité de [[Andreï Kolmogorov|Kolmogorov]]) est aussi une méthode plus ou moins rigoureuse pour envisager la difficulté de donner la description précise d'une chose (X peut apparaître plus complexe que Y pour une machine A et moins complexe que Y pour une machine B, par exemple un [[calculateur quantique]]. Il s'agit donc d'une complexité ''relative à une machine de référence donnée''.

Enfin, les [[probabilité bayésienne|probabilités bayésiennes]] utilisées en avenir incertain utilisent des approches voisines de celles de la logique floue, mais cette fois-ci sans aucun arbitraire : les distributions de probabilité ''a priori'' doivent y être celle d'entropie maximale…

== Notes et références ==
{{Références|colonnes=2}}
{{...}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* Godjevac J., ''Idées nettes sur la logique floue'', PPUR : Lausanne, collection informatique, 1999, 128p., {{ISBN|2-88074-378-8}}.
* Prade H., Dubois D. & al., ''Théorie des possibilités : Applications à la représentation des connaissances en informatique'', coll. (Méthode + programmes), Masson : Paris, 1985.

=== Articles connexes ===
* [[Ensemble flou]]
* [[Notion à contenu variable]]
* [[Arithmétique floue]]
* [[Information partielle linéaire]]
* [[Théorie du prototype]] (sémantique cognitive)
* [[Logique plurivalente]]
* [[Ebrahim Mamdani]]

{{Palette|Automatique|Logique|Inférences}}
{{Portail|logique|informatique théorique}}

[[Catégorie:Logique non classique|Floue, logique]]
[[Catégorie:Intelligence artificielle]]
[[Catégorie:Automatique]]