Voir la source de Loi bêta-binomiale

{{Infobox Distribution statistiques
|   name       = Loi bêta-binomiale
 | pmf_image   = Beta-binomial distribution pmf.png
 | pmf_légende = 
 | cdf_image   = Beta-binomial cdf.png
 | cdf_légende = 
|   parameters = <math>n\in\mathbb N</math> — nombre d'essais<br /> <math>\alpha > 0</math> <br /><math>\beta > 0</math>
|   support    = <math>k=\{0,\dots,n\}</math>
|   pmf        = <math>{n\choose k}\frac{\mathrm{B}(k+\alpha,n-k+\beta)} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}</math>
|   cdf        = <math>1- \tfrac{\mathrm{B}(\beta+n-k-1,\alpha+k+1)_3F_2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b};k)} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)\mathrm{B}(n-k,k+2) (n+1)}</math>  <br/><br/>où {{ind|3}}''F''{{ind|2}}('''a''','''b''',k) est la [[fonction hypergéométrique généralisée]]  <br/><math display=inline> _3 F_2(1,\alpha+k+1,-n+k+1;k+2;-\beta-n+k+2;1)</math>
|   mean       = <math>\frac{n\alpha}{\alpha+\beta}\!</math>
|   median     = 
|   mode       = 
|   variance   = <math>\frac{n\alpha\beta(\alpha+\beta+n)}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math>
|   skewness   = <math>\tfrac{(\alpha+\beta+2n)(\beta-\alpha)}{(\alpha+\beta+2)}\sqrt{\tfrac{1+\alpha+\beta}{n\alpha\beta(n+\alpha+\beta)}}</math>
|   kurtosis   = voir description
|   entropy    = 
|   mgf        = <math>_{2}F_{1}(-n,\alpha;\alpha+\beta;1-\mathrm{e}^{t})</math> <br/>pour <math>t<\ln(2)</math>
|   char       = <math>_{2}F_{1}(-n,\alpha;\alpha+\beta;1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})</math> <br/>pour <math>|t|<\ln(2)</math>
}}{{À sourcer|date=novembre 2023}}
En [[théorie des probabilités]], la '''loi bêta-binomiale''' est une [[loi de probabilité]] discrète à support fini, correspondant à un processus de [[Épreuve de Bernoulli|tirages Bernoulli]] dont la probabilité de succès est aléatoire (suivant une [[loi bêta]]). Elle est fréquemment utilisée en [[inférence bayésienne]].

La [[loi de Bernoulli]] en est un cas particulier pour le paramètre {{math|''n'' {{=}} 1}}. Pour {{math|''&alpha;'' {{=}} ''&beta;'' {{=}} 1}}, elle correspond à la [[loi uniforme discrète]] sur {{math|{0,..,''n''} }}. Elle approche également la [[loi binomiale]] lorsque les paramètres {{mvar|&alpha;}} et {{mvar|&beta;}} sont arbitrairement grands. La loi bêta-binomiale est une version unidimensionnelle de la [[loi de Pólya multivariée]], similairement aux lois [[Loi binomiale|binomiale]] et [[Loi bêta|bêta]] qui sont respectivement des cas spéciaux des lois [[Loi multinomiale|multinomiale]] et [[Loi de Dirichlet|de Dirichlet]].

== Obtention de la loi bêta-binomiale ==
[[Fichier:Coin Toss (3635981474).jpg|gauche|vignette|Par exemple, un lancer de pièce est une épreuve de Bernouilli avec probabilité de succès <math>p=1/2</math>. Ici on lance <math>n</math> pièces et <math>X</math> est le nombre de faces obtenues.]]
Soit <math>X</math> une [[variable aléatoire]] qui compte le nombre de succès de <math>n</math> [[Épreuve de Bernoulli|épreuves de Bernoulli]], chacune ayant une probabilité de succès <math>p</math>. La variable <math>X</math> suit donc une [[loi binomiale]] dont la [[Fonction de masse (probabilités)|fonction de masse]] est donnée par :

<math>  \begin{align} f(X=k|p) & = \operatorname{Bin}(n,p)= {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \end{align}</math>.

Ici, la probabilité de succès <math>p</math> est également une variable aléatoire, qui suit une [[loi bêta]] de paramètres {{mvar|&alpha;}} et {{mvar|&beta;}}. Sa fonction de densité est donnée par :

<math>  \begin{align} f(p|\alpha ,\beta) = \operatorname{Beta}(\alpha,\beta)= \frac{p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1}}{\operatorname{B}(\alpha,\beta)} \end{align}</math>

La loi bêta-binomiale s'obtient en considérant le couple <math>  (X,p)</math> comme une nouvelle variable aléatoire puis en calculant la [[Loi de probabilité marginale|densité marginale]] de <math>X</math> (cette densité marginale est une fonction de masse, puisque <math>X</math> est une variable aléatoire suivant une loi discrète). 

Par définition, la densité marginale de <math>X</math> s'obtient en intégrant la densité conjointe de <math>  (X,p)</math> sur l'espace de probabilité occupé par <math>p</math>. Ainsi, leur densité conjointe peut être décomposée, telle que : 

<math>  \begin{align} f(X=k,p)= f(X=k|p)\cdot f(p|\alpha ,\beta)
\end{align}</math>

En intégrant cette densité conjointe selon <math>p</math> sur <math>  [0,1]</math> (l'espace sur lequel est définie la densité de la loi bêta), il advient finalement :

<math>  \begin{align} f(X=k|\alpha ,\beta) & = \int_0^1 f(X=k,p) \mathrm{d}p \\
             & = \int_0^1 f(X=k|p)\cdot f(p) \mathrm{d}p \\
             & = {n\choose k}\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} \int_0^1 p^{k+\alpha-1}(1-p)^{n-k+\beta-1} \,\mathrm{d}p \\
             & = {n\choose k}\frac{\mathrm{B}(k+\alpha,n-k+\beta)} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}. 
\end{align}</math>

En remplaçant la [[fonction bêta]] par sa définition <math>\Beta(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}</math> où {{math|Γ}} est la [[fonction gamma]], on obtient :
:<math>  \begin{align} f(X=k|\alpha ,\beta) = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)} \frac{\Gamma(\alpha+k)\Gamma(n+\beta-k)}{\Gamma(\alpha+\beta+n)} \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}
\end{align} </math>
Dans ce contexte, la loi bêta-binomiale apparaît souvent en inférence bayésienne : la loi bêta-binomiale est la loi prédictive d'une variable aléatoire binomiale avec une probabilité de succès donnée par une loi bêta.

== Utilisation de la loi bêta-binomiale dans un modèle d'urnes ==
La loi bêta-binomiale peut également être représentée par un modèle d'urnes, pour des paramètres {{mvar|&alpha;}} et {{mvar|&beta;}} [[Entier relatif|entiers]] positifs. Plus précisément, on considère une urne contenant {{mvar|&alpha;}} boules rouges et &beta; boules noires, on effectue alors des tirages aléatoires. Si une boule rouge est tirée, alors deux boules rouges sont replacées dans l'urne (elle-même plus une autre). De la même manière, si une boule noire est tirée, elle est remise avec une autre boule noire dans l'urne. Si on répète cette opération {{mvar|n}} fois, alors la probabilité de tirer {{mvar|k}} boules rouges suit une loi bêta-binomiale de paramètres {{mvar|n}}, {{mvar|&alpha;}} et {{mvar|&beta;}}.

Il est à noter que si après les tirages on replace une unique boule, alors la loi est binomiale, et si les tirages sont effectués sans remise, alors la loi est [[loi hypergéométrique|hypergéométrique]].

== Moments et propriétés ==
Les trois premiers [[Moment (mathématiques)|moments]] sont
:<math>  \begin{align}
   \mu_1 & =\frac{n\alpha}{\alpha+\beta} \\
   \mu_2 & =\frac{n\alpha[n(1+\alpha)+\beta]}{(\alpha+\beta)(1+\alpha+\beta)}\\
   \mu_3 & =\frac{n\alpha[n^{2}(1+\alpha)(2+\alpha)+3n(1+\alpha)\beta+\beta(\beta-\alpha)]}{(\alpha+\beta)(1+\alpha+\beta)(2+\alpha+\beta)}
 \end{align}
</math>

et le [[kurtosis]] est
:<math> \begin{align}
\gamma_2 &= \frac{(\alpha + \beta)^2 (1+\alpha+\beta)}{n \alpha \beta( \alpha + \beta + 2)(\alpha + \beta + 3)(\alpha + \beta + n) }\\
&\times \left[ (\alpha + \beta)(\alpha + \beta - 1 + 6n) + 3 \alpha\beta(n - 2) + 6n^2 -\frac{3\alpha\beta n(6-n)}{\alpha + \beta} - \frac{18\alpha\beta n^{2}}{(\alpha+\beta)^2} \right].
\end{align}</math>

Si on pose <math display=inline>\mathrm{p}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}</math>, on remarque que la moyenne peut être écrite sous la forme <math display=inline> \mu = \frac{n\alpha}{\alpha+\beta}=n\mathrm{p}</math> et la [[Variance (mathématiques)|variance]] par
:<math>\sigma^2 = \frac{n\alpha\beta(\alpha+\beta+n)}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}
 = n\pi(1-\pi) \frac{\alpha + \beta + n}{\alpha + \beta + 1} = n\mathrm{p}(1-\mathrm{p})[1+(n-1)\rho]</math>
où <math display=inline>\rho= \frac{1}{\alpha+\beta+1}</math> est la corrélation deux à deux entre les {{mvar|n}} tirages de Bernoulli et est appelé le paramètre de surdispersion.

== Estimations ponctuelles ==
=== Méthode des moments ===
L'estimation par la [[Méthode des moments (statistiques)|méthode des moments]] peut être obtenue par l'utilisation des premier et deuxième moments de la loi bêta-binomiale, c'est-à-dire
:<math>  \begin{align}
   \mu_1 & =\frac{n\alpha}{\alpha+\beta} \\
  \mu_2 & =\frac{n\alpha[n(1+\alpha)+\beta]}{(\alpha+\beta)(1+\alpha+\beta)}
 \end{align} </math>
et en les considérant égaux aux moments empiriques
:<math>  \begin{align}
   \hat{\mu}_1 & = m_1 \\
  \hat{\mu}_2 & =m_2.
 \end{align}</math>
En résolvant en {{mvar|&alpha;}} et en {{mvar|&beta;}}, on obtient
:<math> \begin{align}
   \hat{\alpha} & =\frac{nm_1-m_2}{n(\frac{m_2}{m_1}-m_1-1)+m_1} \\
   \hat{\beta} & =\frac{(n-m_1)(n-\frac{m_2}{m_1})}{n(\frac{m_2}{m_1}-m_1 - 1)+m_1}.
 \end{align}</math>

=== Maximum de vraisemblance ===
Alors que la méthode du [[maximum de vraisemblance]] est inutilisable, sachant que la densité de probabilité est la densité d'un couple de fonction ([[fonction gamma]] et/ou [[fonction bêta]]), elles peuvent être facilement calculée via une optimisation numérique directe. Les estimées du maximum de vraisemblance à partir des données empiriques peuvent être calculées en utilisant des méthodes générales adaptées aux lois de Pólya multinomiales décrites dans (Minka 2003).

=== Exemple ===
Les données suivantes donnent le nombre de garçons parmi les 12 premiers enfants de familles de 13 enfants, pour 6115 familles prises dans des données d’hôpital en [[Saxe (Land)|Saxe]] au {{s-|XIX|e}} (Sokal et Rohlf, {{p.|59}} de Lindsey). Le {{13e|enfant}} est ignoré pour considérer le fait non aléatoire que des familles s'arrêtent quand elles obtiennent le genre attendu.
{| class="wikitable"
|-
| '''Garçons'''|| 0|| 1|| 2|| 3|| 4|| 5|| 6|| 7|| 8|| 9|| 10|| 11|| 12
|-
| '''Familles'''|| 3|| 24|| 104|| 286|| 670|| {{unité|1033}}|| {{unité|1343}}|| {{unité|1112}}|| 829|| 478|| 181|| 45|| 7
|}
Les deux premiers moments empiriques sont
:<math> \begin{align}
   m_1 & = 6{,}23\\
   m_2 & = 42{,}31 \\
     n & = 12
 \end{align}</math>
et ainsi les estimées par la méthode des moments sont
:<math>  \begin{align}
   \hat{\alpha} & = 34{,}135\,0\\
   \hat{\beta} & = 31{,}608\,5.
 \end{align}</math>

Les estimées par le maximum de vraisemblance peuvent être trouvées numériquement
:<math>  \begin{align}
   \hat\alpha_\mathrm{mle} & = 34{,}095\,58\\
   \hat\beta_\mathrm{mle} & = 31{,}571\,5
 \end{align}</math>
et le maximum de log-vraisemblance est
:<math>   \log \mathcal{L} = -12\,492{,}9</math>

== Références ==
<cite id=Minka2003>* Minka, Thomas P. (2003). [http://research.microsoft.com/~minka/papers/dirichlet/ Estimating a Dirichlet distribution]. Rapport technique de Microsoft.</cite>

== Liens externes ==
* [http://it.stlawu.edu/~msch/biometrics/papers.htm {{en}} Utilisation de la loi bêta-binomiale pour vérifier les performances en identification biométrique]
* [http://research.microsoft.com/~minka/software/fastfit/ Fastfit] contient des codes [[MATLAB|Matlab]] pour adapter la loi bêta-binomiale (dans le contexte d'une loi de Pólya bi-dmensionelle) aux données.

{{Palette|Lois de probabilités|Probabilités et statistiques}}
{{Portail|probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Loi de probabilité|Beta-binomiale]]