Voir la source de Loi binomiale

{{En-tête label|BA|année=2015}}
{{Infobox Distribution statistiques
 | name        = Loi binomiale
 | pmf_image   = Binomial distribution pmf.svg
 | pdf_légende = 
 | cdf_image   = Binomial distribution cdf.svg
 | cdf_légende = 
 | parameters  = <math>n \in \mathbb{N}</math> <br /><math>p\in[0,1]</math> 
 | support     = <math>k \in \{0,\dots,n\}\!</math>
 | pmf         = <math>{n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!</math>
 | cdf         = <math>I_{1-p}(n-\lfloor k \rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!</math>
 | mean        = <math>np</math>
 | median      = <math>\lfloor np\rfloor</matH> ou <math>\lfloor np\rfloor+1</math>
 | mode        = <math>\lfloor(n+1)\,p\rfloor\!</math>
 | variance    = <math>np(1-p)\!</math>
 | skewness    = <math>\frac{1-2p}{\sqrt{npq} }\!</math>
 | kurtosis    = <math>\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!</math>
 | entropy     = <math> \frac{1}{2} \ln \left(2 \pi n \mathrm{e} p (1-p) \right) + O \left(\frac{1}{n} \right) </math>
 | mgf         = <math>(1 + p(\mathrm{e}^t - 1))^n \!</math>
 | char        = <math>(1 + p(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t} - 1))^n \!</math>
 | pgf         = <math>(1 + p(t-1))^n</math>
}}

En [[théorie des probabilités]] et en [[statistique]], la '''loi binomiale''' modélise la fréquence du nombre de succès obtenus lors de la réalisation de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes.

Plus mathématiquement, la loi binomiale est une [[loi de probabilité discrète]] décrite par deux paramètres : {{math|''n''}} le nombre d'expériences réalisées, et {{math|''p''}} la probabilité de succès. Pour chaque expérience appelée [[épreuve de Bernoulli]], on utilise une [[variable aléatoire]] qui prend la valeur {{math|1}} lors d'un succès et la valeur {{math|0}} sinon. La variable aléatoire, somme de toutes ces variables aléatoires, compte le nombre de succès et suit une loi binomiale. Il est alors possible d'obtenir la probabilité de {{math|''k''}} succès dans une répétition de {{math|''n''}} expériences :
:<math>\mathbb{P}(X = k)= {n \choose k} \, p^k (1-p)^{n-k}.</math>
Cette formule fait intervenir le [[coefficient binomial]] <math>{n\choose k}</math> duquel provient le nom de la loi.

L'importance de cette loi est d'abord historique puisqu'elle a été l'objet d'étude du [[théorème de Moivre-Laplace]], résultat du {{s-|xviii|e}} fondateur des [[Théorie des probabilités#Convergences et résultats limites|théorèmes de convergence]]. Une loi binomiale peut également être utilisée pour modéliser des situations simples de succès ou échec, un jeu de [[pile ou face]] par exemple. Le calcul de sa [[Fonction de masse (probabilités)|fonction de masse]] devient rapidement fastidieux lorsque {{math|''n''}} est grand, il est alors possible d'utiliser des approximations par d'autres [[loi de probabilité|lois de probabilité]] telles que la [[loi de Poisson]] ou la [[loi normale]] et d'utiliser des tables de valeurs.

La loi binomiale est utilisée dans divers domaines d'étude, notamment à travers des [[test statistique|tests statistiques]] qui permettent d'interpréter des données et de prendre des décisions dans des situations dépendant de l'aléa. De par la simplicité de sa définition, c'est l'une des lois de probabilité étudiées dans les cours d'introduction à la théorie des probabilités.

== Explication intuitive ==
[[Fichier:Pile ou face.png|gauche|vignette|Pile ou face.|199x199px]]

=== Premiers exemples ===

==== Pile ou face ====
Considérons ''n'' lancers successifs d'une pièce de monnaie. Alors le nombre de fois où la pièce apparaît du côté pile suit la loi binomiale où le nombre d'expériences réalisées est ''n'' et où la probabilité de succès est <math>p = \frac 1 2</math>.

==== Lancer de dé ====
Considérons ''n'' lancers successifs d'un dé à 6 faces. Alors le nombre de fois où l'on obtient un 1, suit la loi binomiale où le nombre d'expériences réalisées est ''n'' et où la probabilité de succès est <math>p = \frac 1 6</math>.

=== Définition intuitive ===
Une [[loi de Bernoulli]] décrit le comportement d'une [[expérience aléatoire]] qui possède deux résultats possibles traditionnellement appelés succès et échec<ref name="gossett310">{{Harvsp|Gossett|2009|p=310}}.</ref>. Une telle expérience s'appelle une [[épreuve de Bernoulli]]. Par exemple, lors d'un lancer de [[pile ou face]], on peut considérer qu'obtenir face est un succès et obtenir pile est un échec. Dans ce modèle, la probabilité de succès est une valeur fixe, c'est-à-dire qui reste constante à chaque renouvellement de l'expérience aléatoire. Cette probabilité de succès est notée ''p''. Nous pouvons noter sa loi de probabilité : 

<center><math>
 x \in\{0 ;1\}, \;\;\; \mathbb{P}(X=x) = p^x (1-p)^{1-x}</math></center>

On considère la situation où une telle expérience aléatoire (deux résultats possibles et une probabilité fixe) est répétée un certain nombre de fois de manière indépendante ; notons {{math|''n''}} ce nombre de fois. Cette répétition indépendante d'épreuves  de Bernoulli s'appelle un [[Épreuve de Bernoulli#Schéma de Bernoulli|schéma de Bernoulli]] ou simplement des [[épreuve de Bernoulli|épreuves de Bernoulli]]<ref name="dodge175">{{Harvsp|Dodge|2007|p=175}}.</ref>. Une loi binomiale décrit le nombre de fois où le ''succès'' apparaît sur les {{math|''n''}} expériences effectuées. Le nombre de succès obtenus étant une valeur aléatoire, une loi binomiale est décrite grâce à la donnée des probabilités que le succès apparaisse précisément {{math|''k''}} fois sur les {{math|''n''}} essais.

=== Arbre de probabilité ===
[[File:Wiki arbre.svg|vignette|alt=arbre de probabilité|upright=1.5|[[Arbre de probabilité]] pour une loi binomiale associée à 3 épreuves de Bernoulli.|gauche]]Une manière visuelle de représenter une suite d'expériences est d'utiliser un [[arbre de probabilité]]. Chaque épreuve est représentée par deux branches : l'une pour le succès, l'autre l'échec. À chaque extrémité, on rajoute deux branches (succès et échec) pour l'épreuve suivante. On recommence jusqu'au nombre total d'épreuves. À chaque extrémité finale, on peut compter le nombre de succès obtenus. Il suffit de multiplier le nombre de fois où il y a {{math|''k''}} succès par la probabilité d'obtenir {{math|''k''}} succès pour obtenir la probabilité correspondante de la loi binomiale.

Par exemple, on lance 3 fois de suite un dé équilibré à six faces et on s'intéresse au nombre de fois que le {{math|1}} apparaît. Il apparaît 0, 1, 2 ou 3 fois. Chaque lancer est indépendant des autres et la probabilité d'obtenir le {{math|1}} est de {{math|1/6}} sur chacun d'entre eux, autrement dit la probabilité qu'il n'apparaisse pas est de {{math|5/6}} à chaque lancer. Ainsi, pour chaque lancer, on considère une loi de Bernoulli de paramètre {{math|1/6}}. Il y a trois configurations pour obtenir une seule fois le {{math|1}} : il apparaît au premier lancer ou au deuxième ou au troisième. Chacune de ces issues a la même probabilité d'apparaître : <math>\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}</math>. La probabilité pour avoir une fois le {{math|1}} est alors : <math>3\times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}</math>. On retrouve bien <math>\mathbb P(X=1)={3\choose 1} \left(1/6\right)^1\left(5/6\right)^{3-1}</math> pour une loi binomiale {{math|''b''(3, 1/6)}}. Il est possible de retrouver les autres probabilités de la même façon.

== Définition mathématique ==
La '''loi binomiale''' est une [[loi de probabilité#Lois discrètes|loi de probabilité discrète]]<ref name="dodge287"/> à deux paramètres : <math>n\in \mathbb N^*</math> et <math>p\in[0;1]</math>. Il est fréquent d'utiliser également le paramètre {{math|1=''q'' = 1 – ''p''}} pour avoir des expressions plus concises. Elle possède plusieurs définitions équivalentes :

[[file:Binomial Distribution.PNG|vignette|upright=1.5|alt=fonctions de masse d'unela loi binomiale| [[diagramme en bâtons|Diagrammes en bâtons]] de trois fonctions de masse de lois binomiales. Les paramètres sont {{math|1=''n'' = 20}} et {{math|1=''p'' = 0,1}} (en bleu), {{math|1=''p'' = 0,5}} (en vert) et {{math|1=''p'' = 0,8}} (en rouge).]]

{{Théorème|Définition 1<ref>{{Harvsp|Ruegg|1994|p=38}}.</ref>{{,}}<ref name="gossett310"/>|La loi binomiale, de paramètres {{math|''n''}} et {{math|''p''}}, est la [[loi de probabilité]] d'une variable aléatoire {{math|''X''}} égale au nombre de succès rencontrés au cours d'une répétition de {{math|''n''}} [[Épreuve de Bernoulli|épreuves de Bernoulli]], {{math|''p''}} étant la probabilité de ''succès'' dans chacune d'entre elles.|style=display:table
}}

{{Théorème|Définition 2<ref name="bogaert50">{{Harvsp|Bogaert|2005|p=50}}.</ref>|La loi binomiale, de paramètres {{math|''n''}} et {{math|''p''}}, est la [[loi de probabilité]] d'une variable aléatoire {{math|''X''}} telle que :
:<math>X=Y_1+Y_2+\dots +Y_n,</math>
où <math>Y_1,Y_2,\dots ,Y_n,</math> sont des [[Indépendance (probabilités)#Cas des variables discrètes|variables aléatoires indépendantes]] de [[loi de Bernoulli]] de même paramètre {{math|''p''}}.|style=display:table
}}

{{Théorème|Définition 3<ref name="dodge287">{{Harvsp|Dodge|2007|p=287}}.</ref>|La loi binomiale, de paramètres {{math|''n''}} et {{math|''p''}}, est la [[loi de probabilité#Lois discrètes|loi de probabilité discrète]] d'une variable aléatoire {{math|''X''}} dont la [[Fonction de masse (probabilités)|fonction de masse]] est donnée par :
:<math>\mathbb P(X=k)={n\choose k}p^kq^{n-k}</math> pour <math>k=0,1 \dots ,n</math>.|style=display:table
}}

On rappelle que des variables aléatoires <math>Y_1</math> et <math>Y_2</math> de loi discrète sont [[Indépendance (probabilités)#Cas des variables discrètes|indépendantes]] si <math>\mathbb P(Y_1=k,Y_2=h)=\mathbb P(Y_1=k)\mathbb P(Y_2=h)</math>.

La fonction de masse donnée dans la définition 3 a bien un sens puisque la [[formule du binôme de Newton]] donne<ref name="gossett316">{{Harvsp|Gossett|2009|p=316}}.</ref> : <math>\sum_{k=0}^n \mathbb P(X=k)=\sum_{k=0}^n{n\choose k}p^kq^{n-k}=(p+1-p)^n=1</math>. La définition 2 est l'écriture mathématique de la définition 1<ref name="ruegg39">{{Harvsp|Ruegg|1994|p=39}}.</ref>.

La définition 3 est équivalente aux deux autres : on calcule explicitement la probabilité que {{math|''k''}} succès apparaissent dans {{math|''n''}} essais. Puisque les {{math|''n''}} répétitions sont indépendantes, la probabilité d'obtenir {{math|''k''}} succès et donc {{math|''n – k''}} échecs est : <math>p^k(1-p)^{n-k}</math>, dans le cas où on ne tient pas compte de la place des résultats<ref name="bogaert50" />{{,}}<ref name="gossett311">{{Harvsp|Gossett|2009|p=311}}.</ref>. Il suffit alors de s'intéresser à la place des {{math|''k''}} succès et {{math|''n – k''}} échecs. C'est-à-dire, combien y a-t-il de manière de placer {{math|''k''}} succès parmi {{math|''n''}} résultats (sans s'occuper de l'ordre entre les succès) ? C'est le nombre de [[Combinaison (mathématiques)|combinaisons]] de {{math|''k''}} éléments parmi {{math|''n''}} éléments<ref>{{Harvsp|Bogaert|2005|p=305}}.</ref> donné par le [[coefficient binomial]] <math>{n\choose k}</math>. On retrouve alors la fonction de masse de la définition 3.

;Notation
Le fait qu'une variable aléatoire {{math|''X''}} suive une loi binomiale de paramètres {{math|''n''}} et {{math|''p''}} est noté<ref name="dodge287"/>{{,}}<ref name="bogaert50"/> : <math>X\sim b(n,p)</math> ; <math>X\sim B(n,p)</math> ou <math>X\sim Bi(n,p)</math>.

;Mesure de probabilité
Puisque la loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} est une loi discrète, il est possible de la définir grâce à sa [[mesure de probabilité]]<ref name="foata68">{{Harvsp|Foata|Fuchs|Ranchi|2012|p=68}}.</ref> :
:<math>\mathbb P = \sum_{k=0}^n {n\choose k}p^kq^{n-k}\delta_k</math> , où <math>\delta_k</math> est la [[mesure de Dirac]] au point {{math|''k''}}.

== Historique ==
[[File:Galton-Brett.svg|vignette|upright=0.75|alt=Schéma constitué de formes géométriques|La [[planche de Galton]] : les billes rouges (les points rouges sur la figure) empilées dans le bas de l'appareil correspondent à la [[Fonction de masse (probabilités)|fonction de masse]] de la loi binomiale, la courbe bleue correspond à la densité de la loi normale.]]
La loi binomiale fait partie des plus anciennes lois de probabilités étudiées<ref name="dodge287"/>. Elle a été introduite par [[Jacques Bernoulli]] qui y fait référence en 1713 dans son ouvrage ''[[Ars Conjectandi]]''. Entre 1708 et 1718, on découvre aussi la [[loi multinomiale]] (généralisation multi-dimensionnelle de la loi binomiale), la [[loi binomiale négative]] ainsi que l'approximation de la loi binomiale par la [[loi de Poisson]], la [[loi des grands nombres]] pour la loi binomiale et une approximation de la [[Queue d'une loi de probabilité|queue]] de la loi binomiale<ref name="hald">{{Harvsp|Hald|2005|p=5}}.</ref>.

Grâce à l'expression de sa [[Fonction de masse (probabilités)|fonction de masse]], la loi binomiale a été utilisée par plusieurs scientifiques pour réaliser des calculs dans des situations concrètes. C'est le cas d'[[Abraham de Moivre]]<ref name="fuchs" group="a">{{Lien web|langue=fr|auteur=Aimé Fuchs|titre=Plaidoyer pour la loi normale|url=http://www-irma.u-strasbg.fr/~foata/fuchs/FuchsNormale.pdf}}.</ref> qui réussit à trouver une approximation de la loi binomiale par la [[loi normale]], il publie d'abord ses résultats en 1733 en latin<ref name="hald485">{{Harvsp|Hald|2005|p=485}}.</ref> : ''{{Langue|la|Approximatio ad summam terminorum binomii'' {{math|(''a + b''){{exp|''n''}}}} ''in seriem expansi}}'', puis les traduit pour les publier en 1738 dans ''{{Langue|en|{{Lien|The Doctrine of Chances}}}}''<ref name="hald485"/>. En 1812, [[Pierre-Simon de Laplace]] reprend ces travaux. [[Francis Galton]] crée la [[planche de Galton]] qui permet d'avoir une représentation physique de cette convergence<ref name="fuchs" group="a"/>. En 1909, [[Émile Borel]] énonce et prouve, dans le cas de la loi binomiale, la première version de la [[loi forte des grands nombres]]<ref name="hazewinkel438">{{Harvsp|Hazewinkel|1994|p=438}}.</ref>.

Plus récemment, en 1914, [[Anderson Gray McKendrick|McKendrick]] démontre que la loi binomiale est la solution d'un processus simple [[Processus de naissance et de mort|de naissance et d'émigration]]<ref name="johnson109">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=109}}.</ref>. D'après les travaux de [[William Feller]] en 1957, elle peut aussi être vue comme la [[Probabilité stationnaire d'une chaîne de Markov#Convergence vers la loi stationnaire|loi stationnaire]] pour le [[modèle des urnes d'Ehrenfest]]. Cette même année, Haight montre que la loi binomiale est liée à un [[Théorie des files d'attente|problème de file d'attente]]<ref name="johnson109"/>.

La loi binomiale apparaît dans de nombreuses applications au {{s-|XX|e}}<ref name="johnson136">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=136}}.</ref> : en [[génétique]], en [[biologie animale]], en [[écologie végétale]], pour les [[test (statistique)|tests statistiques]], dans différents modèles physiques tels que des réseaux téléphoniques<ref name="johnson140">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=140}}.</ref> ou le modèle des urnes d'Ehrenfest, etc.

Le nom « binomiale » de cette loi provient<ref name="ruegg39"/>{{,}}<ref name="fuchs" group="a"/> de l'écriture de sa fonction de masse (voir ci-dessous) qui contient un [[coefficient binomial]] issu du développement du binôme : {{math|(''p + q''){{exp|''n''}}}}.

== Représentation sous la forme d'un arbre ==
{{article détaillé|Arbre de probabilité}}
[[Fichier:Loi binomiale.svg|vignette|Représentation de la loi binomiale sous forme d'un arbre.]]
Puisque la loi binomiale est une suite d'épreuves de Bernoulli, il est possible de la représenter grâce à un [[arbre de probabilité]] : chaque nœud représente le résultat d'une épreuve, les probabilités de succès et d'échecs sont représentés par deux branches distinctes rattachées à un nœud. Le graphique est donc un [[arbre binaire]] équilibré. Un arbre contenant {{math|''n''}} générations correspond à une loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}}.

Si on indique les résultats de chaque épreuve sur les arêtes de l'arbre, il est possible de visualiser les différentes issues de la loi binomiale<ref name="gossett274">{{Harvsp|Gossett|2009|p=274}}.</ref>. Si ce sont les valeurs des probabilités qui sont indiquées sur les arêtes, alors les probabilités de la loi binomiale apparaissent au bout des branches<ref name="ruegg23">{{Harvsp|Ruegg|1994|p=23}}.</ref> (voir le graphique ci-contre).

Le graphique est un arbre de probabilité pour une loi binomiale de paramètre {{math|1=''n'' = 3}}. Sur chaque branche sont indiquées les probabilités des différentes issues : par exemple branches droite, gauche puis droite ; c'est-à-dire échec, succès puis échec. Au bout des branches de l'arbre, apparaissent les probabilités de chaque issue de la loi binomiale {{math|''b''(3, ''p'')}}. C'est-à-dire pour les valeurs {{math|1=''k'' = 0, 1, 2}} ou {{math|3}}, on obtient <math>\mathbb P(X=0)=q^3</math>, <math>\mathbb P(X=1)=3pq^2</math>, <math>\mathbb P(X=2)=3qp^2</math> et <math>\mathbb P(X=3)=p^3</math>. On retrouve ainsi les différents [[Coefficient binomial|coefficients binomiaux]] : <math>{3 \choose 0} = 1 \text{ ; } {3 \choose 1} = 3 \text{ ; } {3 \choose 2} = 3 \text{ ; } {3 \choose 3} = 1 \text{.}</math>

== Propriétés ==

=== Moments ===
Les plus connus sont l'[[Espérance mathématique|espérance]] et la [[Variance (statistiques et probabilités)|variance]], que l'on déduit classiquement<ref group="a">Suivre par exemple le [[#Voir aussi|lien en bas de cette page]] vers la leçon sur [[Wikiversité]].</ref> de la [[#Définition mathématique|définition 2 ci-dessus]] :
:<math>\mathbb E(X)=np\quad\text{et}\quad\operatorname{Var}(X)=npq</math>.

Les [[Moment factoriel|moments factoriels]] de la loi binomiale de paramètres {{math|''n''}} et {{math|''p''}} sont<ref group="a">{{Article|langue=en|auteur={{Lien|Renfrey Potts|texte=R. B. Potts}}|titre=Note on the factorial moments of standard distributions|revue={{Lien|Australian Journal of Physics|texte=Austr. J. Phys.}}|vol=6|année=1953|url=http://adsabs.harvard.edu/full/1953AuJPh...6..498P|passage=498}}.</ref>{{,}}<ref group="a">{{Lien web|auteur=Marc Diener|url=http://math.unice.fr/~diener/probas/FoncGene.pdf|titre=Probabilités élémentaires — Chap. 7 : Fonctions génératrices|année=2006|site=[[Université Nice Sophia Antipolis]]}}, {{p.|33}}.</ref> :

{{Retrait|<math>\mathbb E\left((X)_k\right)=\mathbb E\left(X(X-1)...(X-k+1)\right)=\frac{n!}{(n-k)!}~p^k</math>.}}

Par conséquent<ref>{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=53}}.
</ref>, ses [[Moment (mathématiques)|moments ordinaires]] sont<!--
attention, coquilles d'indices dans "johnson110"
--><ref>{{Harvsp|Dette|Studden|1997|p=16}}.
</ref> :

{{Retrait|<math>\mu'_r=\mathbb E(X^r)=\sum_{k=0}^r\frac{n!}{(n-k)!}</math>{{math| [[nombre de Stirling de seconde espèce|''S''(''r'', ''k'')]] ''p{{exp|k}}''}},}}
avec comme premières valeurs<ref name="johnson110">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=110}}.
</ref> :

{| class="wikitable"
|----------
| <math>\mu'_1=\mathbb E(X)=</math> || <math>np</math> (espérance)
|----------
| <math>\mu'_2=\mathbb E(X^2)=</math> || <math>np+n(n-1)p^2</math>
|----------
| <math>\mu'_3=\mathbb E(X^3)=</math> || <math>np+3n(n-1)p^2+n(n-1)(n-2)p^3</math>
|}

On peut aussi les obtenir par la [[Suite définie par récurrence|formule de récurrence]]

{{Retrait|<math>\mu'_{r+1}=pq\left(\frac nq\mu'_r+\frac{{\rm d}\mu'_r}{{\rm d}p}\right)</math>,}}

où le terme <math>\frac{\rm d}{{\rm d}p}</math> désigne la [[dérivée]] par rapport à la variable {{math|''p''}}.

Les moments inverses, c'est-à-dire <math>\mathbb E(X^{-r})</math> avec <math>r\in \mathbb N^*</math>, sont infinis<ref name="johnson111">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=111}}.
</ref>.

;Moments centrés

Les [[Moment (mathématiques)#Moment centré|moments centrés]] sont les moments de la différence entre la variable et sa moyenne<ref name="hazewinkel">{{Harvsp|Hazewinkel|1994|p=397}}.</ref>{{,}}<ref name="johnson110"/>.

{| class="wikitable"
|----------
| <math>\mu_2 = Var(X) = \mathbb E\left((X-np)^2\right)=</math> || <math>npq \;</math>  ;  (variance)
|----------
| <math>\mu_3 = \mathbb E\left((X-np)^3\right)=</math> || <math>np(1-p)(1-2p)=npq(q-p)</math>
|----------
| <math>\mu_{r}=\mathbb E((X-np)^r)=</math> || <math>npq\sum_{k=0}^{r-2}{r-1\choose k}\mu_k - p\sum_{k=0}^{r-2}{r-1\choose k}\mu_{k+1}</math>
|}

L'expression de la variance donne l'[[écart type]]<ref name="courtin1G17">{{Harvsp|Courtin|2012|p=1 G 17}}.</ref> : <math>\sigma{(X)} = \sqrt{npq}</math>.

Les moments centrés se calculent aussi par cette autre relation de récurrence<ref group="a">{{Article|lang=en|auteur=[https://books.google.fr/books?id=UzTBBAAAQBAJ&pg=PA647 V. Romanovsky]|titre=Note on the moments of the binomial {{math|(''p + q''){{exp|''n''}}}} about its mean|revue=[[Biometrika]]|vol=15|numéro=3-4|année=1923|doi=10.2307/2331875|p.=410-412}}.
</ref>{{,}}<ref name="johnson110"/> :

{{Retrait|<math>\mu_{r+1}=pq\left(nr\mu_{r-1}+\frac{{\rm d}\mu_r}{{\rm d}p}\right)</math>.}}

;Écart moyen
L'[[Écart moyen]] (ou déviation moyenne) est la moyenne des écarts à la moyenne ; il est donné par<ref name="johnson111" /> :

{{Retrait|<math> \mathbb E(|X-np|)=2n{n-1\choose \lfloor np\rfloor} p^{\lfloor np\rfloor+1}q^{n-\lfloor np\rfloor}</math>,}}

où <math>\lfloor np\rfloor</math> est la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] de {{math|''np''}}.

Par exemple, si <math>X\sim B(2n,1/2)</math>,  <math> \mathbb E(|X-n|)=n\frac{{2n\choose n}} {2^{2n}}\sim {\sqrt{n\over \pi}}</math>, valeur à comparer avec l'écart-type : <math>  \sqrt{\mathbb {E}((X-n)^2)}= {\sqrt{n\over 2}}</math>.

;Fréquence de succès
Grâce aux formules précédentes, on obtient les moments de la fréquence des succès<ref name="courtin1G17"/> : <math>\frac Xn</math> :

{| class="wikitable"
|----------
| moment d'ordre {{math|1}} (ou espérance) de la fréquence de succès || <math>\mathbb E\left[\frac Xn\right]=</math> || <math>p</math>
|----------
| moment centré d'ordre {{math|2}} (ou variance) de la fréquence de succès || <math>\mathbb E\left[\left(\frac Xn-p\right)^2\right]=</math> || <math>\frac{p(1-p)}n=\frac{pq}n</math>
|----------
| moment centré d'ordre {{math|4}} de la fréquence de succès || <math>\mathbb E\left[\left(\frac Xn-p\right)^4\right]=</math> || <math>\frac{pq(1-6pq)}{n^3}+3\frac{p^2q^2}{n^2}</math>
|}

L'expression de la variance de la fréquence donne l'écart type de la fréquence des succès : <math>\sigma_{X/n} =\sqrt{\frac{p(1-p)}n}=\frac\sqrt{pq}\sqrt n</math>.

;Covariance
On considère deux variables aléatoires <math>X_1</math> et <math>X_2</math>, pas forcément [[Indépendance (probabilités)|indépendantes]], de lois binomiales respectives <math>b(n,p_1)</math> et <math>b(n,p_2)</math>. La [[covariance]] permet d'évaluer la dépendance entre les deux variables :
:<math> \mathrm{Cov}(X_1,X_2)= n\mathbb P(X_1=1 \text{ et }X_2=1) -np_1p_2</math>.

=== Propriétés et caractérisations ===
;Valeurs descriptives de la loi
*Le [[Asymétrie (statistiques)|coefficient d'asymétrie]] d'une loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} est<ref name="bogaert329">{{Harvsp|Bogaert|2005|p=329}}.</ref> : <math>\gamma = \frac{q-p}{\sqrt{npq}}</math>. L'[[Asymétrie (statistiques)|asymétrie]] de la loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} est positive<ref name="johnson114">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=114}}.</ref> si {{math|''p'' < 1/2}} et négative si {{math|''p'' > 1/2}}. La loi est symétrique si et seulement si {{math|1=''p'' = 1/2}}.
*La [[Médiane (statistiques)|médiane]] de la loi binomiale est <math>m=\lfloor np\rfloor</math> ou <math>m=\lfloor np\rfloor+1</math>, le signe <math>\lfloor .\rfloor</math> désigne la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]]. Ces valeurs s'obtiennent grâce à la formule<ref group="a">{{article|langue=en|auteur1=Kais Hamza|titre=The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions|périodique=Statist. Probab. Lett.|volume=23|année=1995|lire en ligne=https://www.researchgate.net/publication/23632573|pages=21-25}}.</ref> : <math>|m-np|<\ln(2)</math> (cette borne étant optimale).
* Le [[Mode (statistiques)|mode]] de la loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} est la valeur <math>\lfloor(n+1)p\rfloor</math>, elle est la valeur de plus grande probabilité.

Si {{math|''np''}} est un [[Entier naturel|entier]], alors le mode, la moyenne et la médiane valent tous trois {{math|''np''}}.

;Propriétés de stabilité
*Si {{math|''X''}} suit une loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}}, alors<ref name="bogaert50"/> {{math|1=''Y = n – X''}} suit une loi {{math|''b''(''n'', 1 – ''p'')}}. Cette symétrie donne les relations suivantes pour la fonction de répartition et pour la fonction de masse<ref name="Mittag515">{{Harvsp|Mittag|Rinne|1993|p=515}}.</ref>{{,}}<ref name="Mittag105">{{Harvsp|Mittag|Rinne|1993|p=105}}.</ref> : <math>\mathbb P(X\leq k)=\mathbb P(Y\geq n-k)</math> et <math>\mathbb P(X = k)=\mathbb P(Y = n-k)</math>.
*Si les [[Variable aléatoire|variables aléatoires]] indépendantes <math>X_1</math> et <math>X_2</math> sont de lois binomiales respectives <math>b(n_1,p)</math> et <math>b(n_2,p)</math>, alors la variable aléatoire <math>X_1+X_2</math> est de loi binomiale <math>b(n_1+n_2,p)</math>. Cette propriété peut s'obtenir grâce à l'expression des fonctions caractéristiques ou grâce à l'écriture sous forme de somme de variables de Bernoulli<ref name="johnson115">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=115}}.</ref>.

;Inégalités
*L'[[inégalité de Bienaymé-Tchebychev]] pour une variable aléatoire {{math|''X''}} suivant la loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} est obtenue grâce aux moments<ref name="courtin1G17"/> :
*:<math>\mathbb P\left(\left| \frac Xn-p  \right|>x \right) \leq \frac{p(1-p)}{nx^2}</math>.
*L'[[inégalité de Hoeffding]] pour une variable aléatoire {{math|''X''}} de loi {{math|''b''(''n'', ''p'')}} est plus précise que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev lorsque {{math|''x''}} est grand, elle s'écrit<ref name="pfister104">{{Harvsp|Pfister|2012|p=104}}.</ref> :
*:<math>\mathbb P\left(\left| \frac Xn-p  \right|>x \right) \leq 2\mathrm{e}^{-2nx^2}</math>.
*L'[[inégalité de Kolmogorov]] s'écrit pour une somme de variables aléatoires indépendantes. Pour des variables aléatoires indépendantes <math>X_1,X_2\dots,X_n</math> de [[loi de Bernoulli]], la somme <math>Y_k=\sum_{i=1}^k X_i-kn</math> suit une loi binomiale {{math|''b''(''k'', ''p'')}} recentrée, l'inegalité s'écrit alors<ref name="courtin1G16">{{Harvsp|Courtin|2012|p=1 G 16}}.</ref> : 
*:<math>\mathbb P\left(\sup\left(\left| Y_k\right|\, ; \, k=1,\dots,n \right)  >\varepsilon \right) \leq \frac{np(1-p)}{\varepsilon^2}</math>.

;Caractérisations
*En 1964, un cas particulier d'un théorème de Patil et Seshadri énonce<ref name="johnson135">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=135}}.</ref> : si la [[Loi de probabilité#Loi conditionnelle|loi conditionnelle]] de {{math|''X + Y''}} sachant {{math|''X''}} est une [[loi hypergéométrique]] de paramètres {{math|''m''}} et {{math|''n''}}, alors {{math|''X''}} et {{math|''Y''}} suivent des lois binomiales de paramètres respectifs <math>(m,\theta)</math> et <math>(n,\theta)</math> où <math>\theta</math> est arbitraire.
*En 1973, Kagan, Linnik et Rao donnent plusieurs caractérisations en considérant des [[Marche aléatoire|marches aléatoires]] à pas binomiaux sur un réseau avec des [[Propriété de Markov#Temps d'arrêt|temps d'arrêt markoviens]]<ref name="johnson135"/>.
*En 1991, Ahmed démontre qu'une variable aléatoire {{math|''X''}} suit une loi binomiale variable aléatoire {{math|''b''(''n'', ''p'')}} [[si et seulement si]]<ref name="johnson135"/> <math>\mathbb E(X|X>k)=np+qkh_k</math> où <math>h_k=\mathbb P(X=k)/\sum_{i=k}^np_i</math>.

=== Fonction de répartition ===
[[File:Fonction repartition binomiale.svg|thumb|Graphique de 3 fonctions de répartition de lois binomiales avec paramètres : {{math|1=''n'' = 20}} et {{math|1=''p'' = 0,1}} (en bleu), {{math|1=''p'' = 0,5}} (en vert) et {{math|1=''p'' = 0,8}} (en rouge).]]
La [[fonction de répartition]] d'une variable aléatoire {{math|''X''}} suivant la loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} est donnée par<ref name="hazewinkel"/> :
:<math> F(x)=\mathbb P(X\leq x) = \begin{cases} 1 & \textrm{si}\; x\geq n\\[4pt] \displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}{n\choose k} p^k(1-p)^{n-k}  & \textrm{si}\; 0\leq x < n\\[4pt] 0 &  \textrm{si}\;  x< 0 \end{cases} </math>
où <math>\lfloor x\rfloor</math> est la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] de {{math|''x''}}.

Même s'il existe une expression de la fonction de répartition, son calcul n'est pas facile<ref name="johnson116">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=116}}.</ref> à cause des coefficients binomiaux <math>{n\choose k}</math>, notamment lorsque {{math|''n''}} est grand. Il existe alors des tables de valeurs (voir [[#Valeurs de la fonction de répartition|ci-dessous]]). Des théorèmes d'approximation ont été développés<ref name="johnson116"/> pour approcher de manière théorique et calculatoire cette fonction de répartition (voir [[#Convergences et approximations|ci-dessous]]). L'expression suivante provient du lien entre la loi binomiale et la [[loi bêta]]<ref name="hazewinkel"/> (voir [[#Lien avec d'autres lois|ci-dessous]]) : pour <math>0\leq x < n</math>
:<math> F(x)= \frac{1}{\mathrm{B}\left(\lfloor x\rfloor+1,n-\lfloor x\rfloor \right)} \int_p^1 t^{\lfloor x\rfloor} (1-t)^{n-\lfloor x\rfloor-1}{\rm d}t</math>
où {{math|B}} est la [[fonction bêta]].
il est alors possible d'écrire la fonction de répartition grâce à la [[Fonction bêta#Fonction bêta incomplète|fonction bêta incomplète]]<ref name="johnson125">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=125}}.</ref> : 
:<math> F(x)= I_{1-p}(n-\lfloor x \rfloor, 1+\lfloor x\rfloor)</math>.

=== Fonctions caractéristique et génératrice ===
La [[Fonction caractéristique (probabilités)|fonction caractéristique]] d'une variable aléatoire {{math|''X''}} suivant la loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} est donnée par<ref name="courtin1G17"/> :
:<math>\phi(t)=\mathbb E\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}tX}\right)=\left(q+p\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\right)^n\;,\; \forall t\in \R</math>.

La [[fonction génératrice des moments]] d'une variable aléatoire {{math|''X''}} suivant la loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} est donnée par<ref name="hazewinkel" /> :
:<math>M(t)=\mathbb E\left(\mathrm{e}^{tX}\right)=\left(q+p\mathrm{e}^t\right)^n\;,\; \forall t\in\R</math>.

On déduit directement la [[Cumulant (statistiques)|fonction génératrice des cumulants]]<ref name="johnson109"/> :
:<math>\ln(M(t))=n\ln\left(q+p\mathrm{e}^t\right)\;,\; \forall t\in \R</math>,

et la [[fonction génératrice des cumulants factoriels]]<ref name="johnson109"/> :
:<math>\ln\left(\mathbb E\left[(1+t)^X\right]\right)=n\ln\left(1+pt\right)\;,\; \forall t\in \R_+</math>.

== Lien avec d'autres lois ==

=== Loi de Bernoulli ===

Rappelons que la loi binomiale de paramètres <math>n\in \mathbb N^*</math> et <math>p\in [0,1]</math> est la loi de la somme de {{math|''n''}} variables aléatoires indépendantes de [[loi de Bernoulli]] de même paramètre {{math|''p''}}.

Ainsi, la loi binomiale {{math|''b''(1, ''p'')}} est une loi de Bernoulli de paramètre {{math|''p''}}.

C'est par cette représentation du nombre de succès et d'échecs dans une suite d'épreuves que la loi binomiale est source de nombreuses applications<ref name="lesigne4eme">{{Harvsp|Lesigne|2005|p=4ème couv.}}</ref>.

=== Lois réciproques ===
Les lois suivantes ont un lien avec la loi binomiale grâce à leur fonction de répartition. Lorsque le nombre de succès {{math|''k''}} est fixé, elles donnent la loi du nombre d'épreuves nécessaires (loi binomiale négative) ou la loi du paramètre {{math|''p''}} (lois bêta ou de Fisher). En ce sens, elles peuvent servir de ''lois réciproques''.

*La loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} donne le nombre de succès dans une succession de {{math|''n''}} épreuves indépendantes. La '''[[loi binomiale négative]]''', ou loi de Pascal, <math>Pa(k,p)</math> est le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir {{math|''k''}} succès<ref name="bogaert54">{{Harvsp|Bogaert|2005|p=54}}.</ref>. le terme ''négatif'' provient de l'écriture de la fonction de masse qui contient un coefficient binomial avec un terme négatif<ref name="morice" group="a">{{article|auteur=E. Morice|titre=Quelques modèles mathématiques de durée de vie|périodique=Revue de statistique appliquée|tome=14|numéro=1|année=1966|lire en ligne=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RSA/RSA_1966__14_1/RSA_1966__14_1_45_0/RSA_1966__14_1_45_0.pdf|passage=45-126}}, {{p.|68}}.</ref>.<br />De plus, si {{math|''X''}} suit une loi <math>Pa(k,p)</math> et si {{math|''Y''}} suit une loi {{math|''b''(''n + k'', ''p'')}} alors<ref name="johnson218">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=218}}.</ref>{{,}}<ref name="Mittag109">{{Harvsp|Mittag|Rinne|1993|p=109}}.</ref>, pour {{math|''k''}} entre {{math|0}} et {{math|''n''}} :<br /><math>\mathbb P(Y\leq k)= 1-I_p(k,n+1) = \mathbb P(X\geq n) </math>, où <math>I_p</math> est la [[Fonction bêta#Fonction bêta incomplète|fonction bêta incomplète]]. Autrement dit : la probabilité qu'il faille au moins {{math|''n''}} épreuves pour avoir {{math|''k''}} succès est égale à la probabilité qu'il y ait au plus {{math|''k''}} succès en {{math|''n + k''}} épreuves.
*Grâce au calcul de la fonction de répartition de la '''[[loi bêta]]''' donnée par la [[Fonction bêta|fonction bêta incomplète]] <math>I_p</math>, on obtient<ref group="a" name="morice"/>{{,}}<ref name="Mittag105" />, pour {{math|''k''}} entre {{math|0}} et {{math|''n''}} : 
:<math>\mathbb P(Y\leq k)= 1-I_p(k+1,n-k) = \mathbb P(X \geq p)</math> où {{math|''X''}} suit une loi bêta de paramètres {{math|''k'' + 1 , ''n – k''}} et {{math|''Y''}} suit une loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}}.
*La loi binomiale est liée à la '''[[loi de Fisher]]''' par la propriété suivante<ref name="morice" group="a" />{{,}}<ref name="Mittag116">{{Harvsp|Mittag|Rinne|1993|p=116}}.</ref> : si {{math|''Y''}} suit une loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} alors, pour {{math|''k''}} entre {{math|0}} et {{math|''n''}} :
:<math>\mathbb P(Y \le k) = \mathbb P(F> \frac{\nu_2}{\nu_1}\cdot\frac{p}{1-p})</math> où {{math|''F''}} suit une loi de Fischer de paramètres <math>\nu_1=2(k+1)\, , \, \nu_2=2(n-k)</math>.
:La relation précédente permet de trouver les [[quantile]]s de la loi binomiale<ref name="Mittag116"/>.

=== Autres lois ===
*La '''loi binomiale (doublement) tronquée''' de paramètres <math>n,p,r_1</math> et <math>r_2</math> est la loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} avec <math>r_1<n-r_2</math> telle que les valeurs dans <math>[0,r_1[</math> et dans <math>]n-r_2,n]</math> sont enlevées<ref name="johnson137">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=137}}.</ref>. La [[fonction de masse (probabilités)|fonction de masse]] de cette loi est donnée par l'expression : pour <math>k=r_1,\dots, n-r_2</math>
:<math>\mathbb P(X=k)={n\choose k}p^kq^{n-k}/\sum_{i=r_1}^{n-r_2} {n\choose i}p^iq^{n-i}.</math>
:De la même manière, il est possible de définir la loi binomiale (simplement) tronquée<ref name="johnson137"/> en omettant uniquement les valeurs entre {{math|0}} et <math>r_1</math> ou entre <math>n-r_2</math> et <math>n</math>.

*La '''loi binomiale positive''' ou '''loi binomiale tronquée en 0''' est la loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} dont on retire la valeur 0. Sa fonction de masse est : <math>\mathbb P(X=k)={n\choose k}\frac{p^kq^{n-k}}{1-q^n}</math>. De la même manière il est possible de définir la '''loi binomiale négative'''.
*La '''[[loi multinomiale]]''' est la généralisation multi-dimensionnelle de la loi binomiale<ref name="hazewinkel"/> dans le sens où la loi multinomiale modélise une succession d'épreuves dont chacune possède plusieurs issues, pas uniquement succès ou échec. Cette loi multidimensionnelle donne les probabilités du nombre d'apparition des différentes issues dans une succession d'épreuves indépendantes<ref group="a" name="morice"/>. 
*La '''[[loi bêta-binomiale]]''' est construite grâce à un mélange de loi<ref name="johnson253">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=253}}.</ref> : une variable aléatoire qui suit une loi binomiale <math>b(n,\pi)</math> dont le paramètre <math>\pi</math> est une variable aléatoire qui suit une [[loi bêta]] <math>  B(\alpha,\beta)</math>, est de loi bêta-binomiale de paramètres <math>n,\alpha,\beta</math>. Cette loi binomiale est similaire à la {{Lien|trad=Negative hypergeometric distribution|loi hypergéométrique négative}}, il suffit de changer les paramètres<ref name="johnson254">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=254}}.</ref>.
*La fonction de masse d'une variable {{math|''Y''}} de '''[[loi hypergéométrique]]''' de paramètres <math>A,p=1-q,n</math> est donnée par : <math>\mathbb P(Y=k)=\frac{{k\choose pA}{n-A\choose qA}}{{n\choose A}}</math>. Elle correspond au nombre tirages gagnants dans une expérience de {{math|''n''}} tirages simultanés dans une urne contenant {{math|''A''}} boules et une proportion de {{math|''p''}} boules gagnantes.
:Si le nombre de boules augmente, c'est-à-dire {{math|''A''}} tend vers l'infini, et si {{math|''p''/''A''}} tend vers une valeur <math>p'\in [0,1]</math>, alors la loi hypergéométrique converge vers une loi binomiale<ref name="courtin1G18">{{Harvsp|Courtin|2012|p=1 G 18}}.</ref> {{math|''b''(''n'', ''p{{'}}'')}}.
:Autrement dit, si la taille de la population ({{math|''A''}}) est grande par rapport à la taille de l'échantillon ({{math|''n''}}), alors les tirages peuvent être convenablement représentés par une loi binomiale de paramètre {{math|''p{{'}}''}} égal au pourcentage ({{math|''p''}}) d'éléments ayant le caractère étudié.
:De plus, si <math>X_1</math> et <math>X_2</math> sont deux variables aléatoires indépendantes de loi binomiale respectives <math>b(n_1,p)</math> et <math>b(n_2,p)</math>, alors la loi de <math>X_1</math> sachant que <math>X_1+X_2=k</math> est la loi hypergéométrique de paramètres<ref name="johnson115"/> : <math>k, \frac{n_1}{n_1+n_2}</math> et <math>n_1+n_2</math>.

== Convergences et approximations ==
Pour de grandes valeurs de {{math|''n''}}, le calcul des fonctions de masse et de répartition deviennent vite fastidieux. Une méthode est d'approcher ces valeurs grâce aux théorèmes limites. La loi (faible ou forte) des grands nombres permet d'approcher la moyenne de la loi binomiale. Pour obtenir des valeurs approchées de la fonction de répartition, il est possible d'utiliser l'approximation normale ou l'approximation par la [[loi de Poisson]]. L'approximation normale est plus performante lorsque le paramètre {{math|''p''}} n'est pas trop proche de {{math|0}} ou de {{math|1}}, sinon l'approximation par la loi de Poisson donne de meilleurs résultats<ref name="siegmund14">{{Harvsp|Siegmund|Yakir|2007|p=14}}.</ref>.

=== Loi des grands nombres ===
{{article détaillé|loi des grands nombres}}
La [[loi faible des grands nombres]], appliquée à un [[processus de Bernoulli]] de paramètre {{math|''p''}}, garantit que pour toute suite {{math|(''X{{ind|n}}'')}} de variables aléatoires, définies sur un même [[espace probabilisé]], et de lois respectives {{math|''b''(''n'', ''p'')}} (cf. définition 2 [[#Définition mathématique|ci-dessus]]), on a, pour tout <math>\varepsilon>0</math> :
{{retrait|<math>\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}\left(\left|\frac{X_n}n-p\right|<\varepsilon\right)=1.</math>}}
Plus précisément, puisque l'[[#Moments|espérance et la variance de {{math|''X{{ind|n}}''}}]] sont respectivement égales à {{math|''np''}} et {{math|''np''(1 – ''p'')}}, l'[[inégalité de Bienaymé-Tchebychev]] montre que<ref name="courtin1G17"/> :
{{retrait|<math>\mathbb{P}\left(\left|\frac{X_n}n-p\right|>\varepsilon\right)<\frac{p(1-p)}{n\,\varepsilon^2}.</math>}}
Cela peut s'interpréter grossièrement de la manière suivante. Si l'on sait que lors d'une expérience aléatoire (tirage d'un individu dans une population de grande taille, lancer d'une pièce…) la probabilité d'apparition de la propriété {{math|''A''}} est {{math|''p''(''A'')}}, alors la fréquence d'apparition de la propriété {{math|''A''}} au cours de {{math|''n''}} expériences de ce type (tirages de {{math|''n''}} individus dans une population de taille très supérieure à {{math|''n''}}, {{math|''n''}} lancers de pièce…) est souvent voisine de {{math|''p''(''A'')}}, avec une probabilité d'autant meilleure que {{math|''n''}} est grand et que {{math|''p''(''A'')}} est proche de {{math|0}} ou {{math|1}}.

Il existe de meilleures majorations de cette probabilité, l'[[inégalité de Hoeffding]] donne<ref group="a">{{Article|langue=en|auteur1=Wassily 
Hoeffdin|titre=Probability inequalities for sums of bounded random variables|périodique=Journal of the American Statistical Association|volume=58|numéro=301|mois=mars|année=1963|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/2282952|pages=13-30}}.</ref> :
{{retrait|<math>\mathbb{P}\left(\frac{X_n}n-p>\varepsilon\right)<\mathrm{e}^{-2n\varepsilon^2}.</math>}}

=== Convergence vers la loi de Poisson ===
;Convergence
Considérons une loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} telle que les paramètres {{math|''n''}} et {{math|''p''}} sont liés par la formule : <math>np=\lambda>0</math> où <math>\lambda</math> est fixé. Lorsque {{math|''n''}} tend vers l'infini, et donc {{math|''p''}} tend vers 0, alors<ref name="foata73">{{Harvsp|Foata|Fuchs|Ranchi|2012|p=73}}.</ref> : <math>\lim_{n\rightarrow +\infty} {n\choose k}p^kq^{n-k} = \mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}</math>. Autrement dit, la probabilité qu'une variable de loi binomiale prenne la valeur {{math|''k''}} converge (lorsque {{math|''n''}} devient grand) vers la probabilité qu'une variable de [[loi de Poisson]] prenne la valeur {{math|''k''}}. Le paramètre {{math|''p''}} converge alors vers 0, il correspond donc à un évènement de probabilité très faible, la loi de Poisson est alors appelée loi des évènements rares<ref name="foata73"/>. Par sommation, on obtient alors le résultat<ref name="hald215">{{Harvsp|Hald|2005|p=215}}.</ref> :
:<math>\lim_{n\rightarrow +\infty}\mathbb P(X\leq x)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor} {n\choose k}p^kq^{n-k} =  \mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}\frac{\lambda^k}{k!}=\mathbb P(Y\leq x)</math>
où <math>\lfloor \cdot\rfloor</math> est la partie entière, {{math|''X''}} est une variable de loi binomiale et {{math|''Y''}} de loi de Poisson <math>\mathcal P(\lambda)</math>. Cette limite montre la [[convergence en loi]] de la loi binomiale (avec les conditions précédentes) vers la loi de Poisson. Une expression plus détaillée de la convergence peut être donnée par la formule<ref name="johnson121">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=121}}.</ref>{{,}}<ref name="hazewinkel"/> : <math>\mathbb P(X\leq x) = \mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}\frac{\lambda^k}{k!}+\mathcal O\left(\frac{1}{n^2}\right)</math> avec <math>\lambda = \frac{(2n-\lfloor x\rfloor)p}{2-p}</math> lorsque {{math|''n''}} tend vers l'infini et <math>\mathcal O(\cdot)</math> est le [[Comparaison asymptotique|comparateur asymptotique]].

[[File:Binomiale poisson.svg|vignette|Fonctions de masse d'une loi binomiale <math>b(24\,;\,0,5)</math> (en violet), <math>b(60\,;\,0,2)</math> (en rouge) et d'une loi de poisson <math>\mathcal P(12)</math> (en bleu).]]

En 1953, [[Iouri Prokhorov]] donne une majoration de l'erreur totale d'approximation entre la fonction de répartition d'une loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} et une [[loi de Poisson]] <math>\mathcal P(np)</math><ref name="johnson123">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=123}}.</ref> : <math> \sum_{k=0}^{+\infty}\left|{n\choose k}p^kq^{n-k}-\frac{\mathrm{e}^{-np}(np)^k}{k!}\right| \leq \min (2np^2,3p) </math>. Il est également possible de borner le ratio entre les deux fonctions de répartition<ref name="johnson123"/> : <math>\mathrm{e}^{np}\left(1-\frac{k}{n}\right)^k q^n  \leq  \frac{{n\choose k}p^kq^{n-k}}{\mathrm{e}^{-np}(np)^k/k!} \leq \mathrm{e}^{np} q^{n-k}.</math>

;Approximation
Grâce à la convergence ci-dessus, il est possible d'approcher les probabilités de la loi binomiale par la loi de Poisson. En pratique, le cas s'applique lorsque {{math|''n''}} est grand et donc {{math|''p''}} petit. Différentes valeurs sont proposées<ref name="johnson121" />{{,}}<ref name="foata73"/>{{,}}<ref name="Bogaert p348">{{Harvsp|Bogaert|2005|p=348}}.</ref>{{,}}<ref name="Mittag106">{{Harvsp|Mittag|Rinne|1993|p=106}}.</ref> :
*<math>p<0,4</math>, lorsque <math>n=3</math> (ce qui fait <math>np<1,2</math>) ;
*<math>p<0,3</math>, lorsque <math>n=30</math> (ce qui fait <math>np<9</math>) ;
*<math>p<0,2</math>, lorsque <math>n=300</math> (ce qui fait <math>np<60</math>) ;
*<math>0<np<10</math> ;
*<math>p<0,1</math>, lorsque <math>n\geq 30</math> ;
*<math>np\leq 10</math> et <math>n\geq 1500 p</math>.
L'idée commune de toutes ces propositions est d'avoir la valeur {{math|''np''}} stable lorsque {{math|''n''}} est grand et {{math|''p''}} petit.

=== Convergence vers la loi normale ===
{{article détaillé|Théorème de Moivre-Laplace}}
[[File:De moivre-laplace.gif|vignette|alt=convergence de la loi binomiale|Illustration de la convergence de la fonction de masse de la loi binomiale vers la loi normale lorsque {{math|''n''}} grandit.]]
;Convergence
Le théorème de Moivre-Laplace, énoncé en 1733, montre qu'une variable aléatoire de loi binomiale, convenablement renormalisée, [[convergence en loi|converge en loi]] vers une variable aléatoire de [[loi normale]]. Ce résultat peut s'énoncer grâce aux fonctions de répartition des deux lois. Considérons une variable aléatoire {{math|''X''}} de loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}}, la variable aléatoire {{math|''X''}} renormalisée est la variable aléatoire centrée et réduite, c'est-à-dire : <math>\frac{X-\mathbb E(X)}{\sigma_X}=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}</math>.
Si l'on note <math>\Phi</math> la fonction de répartition de la loi normale, alors :
:'''Théorème de Moivre-Laplace :''' pour tout <math>x\in \mathbb R</math> , <math>\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P} \left(\frac{X- np}{\sqrt{npq}}\leq x \right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}{\rm d}t = \Phi(x).</math>
Bien qu'[[Abraham de Moivre]] n'ait énoncé ce résultat que dans le cas d'une loi binomiale<ref name="hald492">{{Harvsp|Hald|2005|p=492}}.</ref>, cette convergence est généralisée dans le cas d'autres lois, c'est le [[théorème central limite]]. Ce théorème permet d'approcher une loi discrète par une loi continue, il est alors utile d'ajouter un coefficient, dit ''correction de continuité'', afin d'améliorer les approximations futures (voir ci-dessous). La convergence précédente peut alors s'écrire sous forme d'[[Équivalent|équivalence]] lorsque {{math|''n''}} tend vers l'infini<ref name="ruegg93">{{Harvsp|Ruegg|1994|p=93}}.</ref> : pour tout <math>a,b\in \mathbb R</math>
:<math>\mathbb P\left(a \leq X \leq b\right) \approx \mathbb P\left(\frac{a-\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}} \leq \frac{X-np}{\sqrt{npq}}\leq \frac{b+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}} \right) \operatorname{\sim}_{n\rightarrow +\infty} \Phi\left(\frac{b+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\right) - \Phi\left(\frac{a-\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\right).</math>

L'erreur commise par l'approximation est estimée par l'[[inégalité de Berry-Esseen]] dont la constante est régulièrement améliorée, elle fournit une borne de la différence entre les deux fonctions de répartition lorsque {{math|''n''}} est grand<ref name="hazewinkel369">{{Harvsp|Hazewinkel|1994|p=369}}.</ref>{{,}}<ref group="a">{{article|langue=en|auteur=Victor Korolev|auteur2=Irina Shevtsova|titre=An improvement of the Berry–Esseen inequality with applications to Poisson and mixed Poisson random sums|périodique=Scandinavian Actuarial Journal|volume=2|année=2012|lire en ligne=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03461238.2010.485370#.VD7aaRYe2EM|pages=81-105}}.</ref>, pour {{math|''X''}} une variable aléatoire de loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} et {{math|''Y''}} de loi normale <math>\mathcal N(0,1)</math> de fonction de répartition notée <math>\Phi</math> : <math>\sup_{x\in \mathbb R}\left| \mathbb P\left(\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\leq x \right) - \Phi(x) \right| \leq \frac{0,4748}{\sqrt{npq}}</math>. Une expression plus détaillée de la convergence peut être donnée par la formule avec correction de continuité<ref name="hazewinkel"/> : <math>\mathbb P(X\leq x) = \Phi\left(\frac{x-np+1/2}{\sqrt{npq}} \right)+\mathcal O(\frac{1}{\sqrt{n}})</math> [[Convergence uniforme|uniformément]] pour toute variable {{math|''x''}}, lorsque {{math|''n''}} tend vers l'infini et où <math>\mathcal O(\cdot)</math> est le [[Comparaison asymptotique|comparateur asymptotique]]. D'autres approximations plus fines ont été étudiées<ref name="johnson118">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=118}}.</ref>, par exemple par [[Pierre-Simon de Laplace|Laplace]] (1820), [[Iouri Prokhorov|Prokhorov]] (1953) ou [[David B. Peizer|Peizer]] et {{Lien|John W. Pratt|texte=Pratt}} (1968).

;Approximation
Grâce aux théorèmes de convergence ci-dessus, lorsque {{math|''n''}} est grand, les probabilités de la binomiale renormalisée peuvent être approchées par les valeurs des probabilités de la loi normale. Il existe plusieurs règles sur les paramètres {{math|''n''}} et {{math|''p''}} pour que l'approximation soit valable<ref name="johnson117">{{Harvsp|Johnson|Kemp|Kotz|2005|p=117}}.</ref>{{,}}<ref name="Mittag106"/>{{,}}<ref name="lesigne34">{{Harvsp|Lesigne|2005|p=34}}.</ref>{{,}}<ref name="bogaert71">{{Harvsp|Bogaert|2005|p=71}}.</ref> :
*<math>n>30</math>, <math>np>5</math> et <math>nq>5</math> ;
*<math>npq>9</math> ou <math>npq>18</math> ;
*<math>np>9</math> et <math>p<1/2</math>.
L'influence de ces paramètres sur l'approximation a été finement étudiée dans les années 1990, par exemple<ref name="johnson117"/> : pour {{math|''n''}} fixé, l'erreur absolue minimale est atteinte pour {{math|1=''p'' = 1/2}} ; l'erreur absolue est inférieure à <math>0,0212/\sqrt{npq}</math>.

== Tables de la loi binomiale ==
Des tables de la [[fonction de masse (probabilités)|fonction de masse]] et de la [[fonction de répartition]] de la loi binomiale ont été publiées en 1950 par le [[National Bureau of Standards]] puis en 1955 dans ''National of the Computation Laboratory'' et par Rao {{et al.}} en 1985<ref>{{Harvsp|Dodge|2007|p=288}}.</ref>.

Grâce aux relations de symétrie (voir [[#Propriétés immédiates et caractérisations|ci-dessus]]), il suffit<ref name="Mittag515"/>{{,}}<ref name="Mittag105"/> de donner des tables de valeurs pour <math>p\leq 0{,}5</math>.

=== Valeurs de la fonction de masse ===
Les tables de valeurs suivantes<ref name="Bogaert p348" /> donnent les valeurs de la fonction de masse de la loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} pour différentes valeurs de {{math|''n''}}.

:Exemples : Si {{math|''X''}} suit une loi <math>b(10\,;\,0,15)</math>, alors <math>\mathbb P(X=4)\simeq 0,0401</math>. Si {{math|''Y''}} suit une loi <math>b(10\,;\,0,85)</math>, alors <math>\mathbb P(Y=4)=\mathbb P(X=6)\simeq 0,0012</math>.

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=== Valeurs de la fonction de répartition ===
Les tables de valeurs suivantes<ref>{{Harvsp|Bogaert|2005|p=349}}.</ref> donnent les valeurs de la fonction de répartition de la loi binomiale {{math|''b''(''n'', ''p'')}} pour différentes valeurs de {{math|''n''}}.

:Exemples : Si {{math|''X''}} suit une loi <math>b(10\,;\,0,15)</math>, alors <math>\mathbb P(X\leq 4)\simeq 0,9901</math>. Si {{math|''Y''}} suit une loi <math>b(10\,;\,0,85)</math>, alors <math>\mathbb P(Y\leq 4)=\mathbb P(X\geq 6)=1-\mathbb P(X\leq 5)\simeq 1-0,9986=0,0014</math>.

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== Tests et applications ==
=== Tests ===
D'une manière générale, un [[test statistique]] permet de rejeter, ou non, une hypothèse dite [[hypothèse nulle]]. L'idée principale est de prendre un [[Échantillon (statistiques)|échantillon]] et de vérifier si l'hypothèse est vraie pour chaque élément de l'échantillon. Si on considère que les éléments sont indépendants, on compte donc le nombre d'éléments vérifiant une propriété, il y a donc présence de la loi binomiale. On compare si la proportion observée est significativement éloignée de la probabilité théorique de la loi binomiale<ref name="dagnelie122">{{Harvsp|Dagnelie|1998|p=122}}.</ref>. Ce test est appelé un ''test binomial''. On peut utiliser aussi la loi normale lorsque la taille de l'échantillon est grand.

Il est possible d'effectuer un test statistique sur la conformité des valeurs des paramètres d'une loi de probabilité, notamment d'une loi binomiale, par rapport aux paramètres théoriques attendus pour la population étudiée<ref name="dagnelie76">{{Harvsp|Dagnelie|1998|p=76}}.</ref>. Le test de conformité de l'indice de dispersion s'applique dans ce cas<ref name="dagnelie78">{{Harvsp|Dagnelie|1998|p=78}}.</ref>. Cet indice de dispersion est le quotient de la somme des carrés des écarts et de la moyenne. Si <math>x_k,\,k=1\dots n</math> sont les valeurs étudiées de moyenne notée <math>\bar{x}</math> alors l'indice est : <math>\frac{1}{\bar{x}} \sum_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2</math>. Grâce à une [[Loi du χ²]] ou une [[loi normale]], le test rejette l'hypothèse de la valeur que prend le paramètre {{math|''p''}} de la loi binomiale<ref name="dagnelie78"/>.

Il est également possible de tester l'égalité de deux variables aléatoires de lois binomiales. Soient <math>X_1</math> et <math>X_2</math> deux [[variable aléatoire réelle|variables aléatoires]] de lois respectives <math>b(n_1,p_1)</math> et <math>b(n_2,p_2)</math>. On souhaite tester si <math>p_1=p_2=p</math>, c'est l'[[Test d'hypothèse|hypothèse]] <math>H_0</math> du test. Par le [[théorème central limite]], l'[[Estimateur (statistique)|estimateur]] <math>\hat{p}_1=X_1/n_1</math> suit une [[loi normale]] <math>\mathcal N(p_1, p_1(1-p_1)/n_1)</math> lorsque <math>n_1</math> est grand. Il en est de même avec <math>\hat{p}_2</math>. En considérant l'hypothèse <math>H_0</math> vraie, on peut montrer que <math>Z=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{p(1-p)(1/n_1+1/n_2)}}</math> suit une loi normale centrée réduite<ref name="siegmund17">{{Harvsp|Siegmund|Yakir|2007|p=17}}.</ref>. On rejette alors l'hypothèse <math>H_0</math> au niveau de confiance 0,95 si <math>|Z|>1,96</math>.

=== Autres applications ===
Par définition la somme de variables aléatoires indépendantes de [[loi de Bernoulli]] suit une loi binomiale. Un exemple typique de phénomène suivant une loi de Bernoulli est le lancer d'une pièce pour un [[pile ou face]]<ref name="lesigne4eme"/>. Le nombre de succès, par exemple le nombre de fois où l'on obtient pile, suit donc une loi binomiale. De nombreuses situations peuvent être modélisées par cet exemple ce qui donne son importance à la loi<ref name="lesigne4eme" />.

En [[génétique]], lors de la reproduction, chaque [[gène]] est composée de deux [[allèle]]s qui sont issus des deux parents. Soit les deux allèles proviennent du même parent, soit chaque parent transmet un allèle. Il est alors possible de faire une liste de différents allèles et de noter ces deux cas. Le nombre d'allèles issus du même parent peut être modélisé par une variable aléatoire de loi binomiale<ref name="siegmund11">{{Harvsp|Siegmund|Yakir|2007|p=11}}.</ref>. Pour savoir s'il y a égale probabilité d'allèle de même provenance ou de provenance différente, on peut étudier un test statistique<ref name="siegmund11" />. Inversement, pour simuler les allèles d'un individu, il est possible de simuler les fréquences des allèles par des variables aléatoires binomiales<ref name="siegmund240">{{Harvsp|Siegmund|Yakir|2007|p=240}}.</ref>.

[[File:SRW (n=100).jpg|vignette|alt=marche aléatoire|Exemple de marche aléatoire (renormalisée). La position de la marche suit une loi binomiale.]]
En [[linguistique]], la loi binomiale est utilisée pour étudier la richesse du vocabulaire d'un texte<ref group="a">{{article|langue=fr|auteur1=Étienne Évrard|titre=Les mystères des vocables|périodique=Revue Informatique et Statistique dans les Sciences humaines - CIPL|volume=XXX (30 ?)|numéro=1 à 4|année=1994|lire en ligne=http://promethee.philo.ulg.ac.be/RISSHpdf/Annee1994/Comptes/EEvrard1.pdf|pages=272-274}}.</ref>. C'est un outil quantitatif qui permet de mesurer la fréquence d'un mot dans un texte indépendamment de la longueur du texte. Plus précisément la méthode de Müller permet d'évaluer la richesse théorique du vocabulaire d'un texte grâce au vocabulaire d'un texte plus long, et ainsi comparer avec la richesse du vocabulaire du texte court en question. Techniquement, si <math>N_a</math> est le nombre de mots d'un texte et <math>N_b</math> celui d'un autre texte. Alors <math>p=\frac{N_a}{N_a+N_b}</math> est la probabilité d'apparition d'un mot tiré au hasard dans le premier texte ; de même pour <math>q=\frac{N_b}{N_a+N_b}</math> dans le deuxième texte<ref group="a">{{article|langue=fr|auteur1=Étienne Brunet|titre=Müller le lexicomaître|périodique=CIPL|année=2009|lire en ligne=http://www.moliere-corneille.paris-sorbonne.fr/commun/images/base/Muller-Brunet-2009-bis.pdf|pages=99-119}}.</ref>. Le nombre de mots ayant la même fréquence d'apparition dans le premier texte suit alors une loi binomiale de paramètres <math>n=N_a+N_b</math> et {{math|''p''}}. Il est possible d'effectuer des tests statistiques pour conclure si la richesse du vocabulaire est grande ou non.

En 1908, [[Émile Borel]] étudie la fréquence des différents chiffres dans le [[développement décimal]] d'un [[nombre réel]]. Il considère les {{math|2''n''}} premières valeurs de la décomposition décimale et estime la probabilité d'obtention du nombre de fois où apparaît chaque entier dans cette décomposition grâce à l'approximation par la loi normale. Il démontre ainsi le théorème des [[nombre normal|nombres normaux]]<ref group="a">{{Article|langue=fr|prénom1=Émile|nom1=Borel|titre=Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques|périodique=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo|éditeur=[[Circolo Matematico di Palermo]]|volume=27|numéro=1|mois=décembre|année=1909|issn=0009-725X|issn2=1973-4409|doi=10.1007/BF03019651|url texte=http://www.springerlink.com/content/d82573l5k1n11722/|pages=247-271}}.</ref>.

Une [[marche aléatoire]] sur <math>\mathbb Z</math> est un [[processus stochastique]] <math>(S_n,n\in \mathbb N^*)</math> à temps entier<ref name="pfister154">{{Harvsp|Pfister|2012|p=154}}.</ref>. C'est-à-dire que la marche part d'une valeur initiale {{math|1=''S''{{ind|0}} = 0}} par exemple et à chaque unité de temps, le marcheur se déplace (indépendamment du chemin parcouru avant) d'un pas vers le haut avec une probabilité {{math|''p''}} ou d'un pas vers le bas avec une probabilité {{math|1 – ''p''}}, ainsi {{math|1=''S''{{ind|1}} = –1}} ou {{math|1}}. {{math|''S{{ind|n}}''}} donne la position du marcheur au bout d'un temps {{math|''n''}}. Si {{math|1=''p'' = 1 – ''p'' = 0,5}}, la marche est dite symétrique et le marcheur a autant de chance d'aller vers le haut que vers le bas. Dans ce cas, au bout du temps {{math|''n''}}, la variable aléatoire <math>\frac{1}{2}(S_{n}+n)</math> peut prendre comme valeurs <math>0,1 \dots n</math> et elle est de loi binomiale {{math|''b''(''n'', 0,5)}}. Cette considération ainsi que la convergence vers la loi normale (voir [[#Convergence vers la loi normale|ci-dessus]]) permet de démontrer qu'une marche aléatoire renormalisée converge vers le [[mouvement brownien]] (voir [[Théorème de Donsker]])<ref name="pfister155">{{Harvsp|Pfister|2012|p=155}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références|taille=20}}

;Articles et autres sources
{{références|groupe="a"}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Variables aléatoires discrètes/Loi binomiale}}
=== Bibliographie ===
{{Légende plume}}
*{{Ouvrage|auteur1=Patrick Bogaert|titre=Probabilités pour scientifiques et ingénieurs|sous-titre=Introduction au calcul des probabilités|éditeur=[[De Boeck Supérieur]]|année=2005|pages totales=402|isbn=2-8041-4794-0|lire en ligne={{Google Livres|vbO_UTOW-gUC}}}}{{plume}}
*{{Ouvrage|auteur1=Jean-Pierre Courtin|titre=L'Homme et les lois de la nature|volume=1|éditeur=[[Lulu.com]]|année=2012|isbn=978-1-4710-3427-5|lire en ligne={{Google Livres|7U2MAwAAQBAJ}}}}{{plume}}
*{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Pierre Dagnelie|titre=Statistique théorique et appliquée|volume=2|lieu=Paris/Bruxelles|éditeur=De Boeck Supérieur|année=1998|pages totales=659|isbn=2-8041-2802-4}}{{plume}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Holger Dette|auteur2=William J. Studden|titre=The Theory of Canonical Moments with Applications in Statistics, Probability, and Analysis|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=1997|lire en ligne={{Google Livres|NilaWh3eQncC}}}}{{plume}}
*{{Ouvrage|auteur1=Yadolah Dodge|titre=Statistique|sous-titre=Dictionnaire encyclopédique|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|année=2007|pages totales=662|isbn=978-2-10-058102-3|lire en ligne={{Google Livres|mc0_AAAAQBAJ}}}}{{plume}}
*{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Dominique Foata|auteur2=Aimé Fuchs|auteur3=Jacques Ranchi|titre=Calcul des probabilités|sous-titre=Cours, exercices et problèmes corrigés|lieu=Paris/Berlin/Heidelberg etc.|éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]|année=2012|numéro d'édition=3|pages totales=368|isbn=978-2-287-72093-2|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=Lhr_casv0YcC}}{{plume}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Eric Gossett|titre=Discrete Mathematics with Proof|lieu=Hoboken (N.J.)|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=2009|pages totales=904|isbn=978-0-470-45793-1|lire en ligne={{Google Livres|NuFeW8N2hlkC}}}}{{plume}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Anders Hald|titre=A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=2005|pages totales=608|isbn=0-471-47129-1|lire en ligne={{Google Livres|pOQy6-qnVx8C}}}}{{plume}}
*{{Ouvrage|langue=en|langue originale=ru-Latn|auteur1=Michiel Hazewinkel|titre=Encyclopaedia of Mathematics (set)|volume=2|lieu=Dordrecht/Boston/London|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|année=1994|pages totales=963|isbn=1-55608-010-7|lire en ligne={{Google Livres|PE1a-EIG22kC&dq}}}}{{plume}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Hans-Joachim Mittag|auteur2=Horst Rinne|titre=Statistical Methods of Quality Assurance|éditeur=[[CRC Press]]|année=1993|pages totales=664|isbn=0-412-55980-3|lire en ligne={{Google Livres|b-XFrpBQ7d0C}}}}{{plume}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Norman Johnson|auteur2=Adrienne Kemp|auteur3=Samuel Kotz|titre=Univariate Discrete Distributions|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=2005|pages totales=646|isbn=0-471-27246-9|lire en ligne={{Google Livres|JchiadWLnykC}}}}{{plume}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Emmanuel Lesigne|titre=Heads or tails|sous-titre=an introduction to limit theorems in probability|lieu=Providence (R.I.)|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=2005|pages totales=150|isbn=0-8218-3714-1|lire en ligne={{Google Livres|CS-7fW9VRegC}}}}{{plume}}
*{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Charles-Edouard Pfister|titre=Théorie des probabilités|sous-titre=cours d'introduction avec application à la statistique mathématique|lieu=Lausanne|éditeur=[[PPUR]]|année=2012|pages totales=229|isbn=978-2-88074-981-1|lire en ligne={{Google Livres|MrHvk0ktEgcC}}}}{{plume}}
*{{Ouvrage|auteur1=Alan Ruegg|titre=Probabilités et statistique|volume=3|éditeur=PPUR|année=1994|pages totales=153|isbn=2-88074-286-2|lire en ligne={{Google Livres|PiiQruF2FWoC}}}}{{plume}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=David Siegmund|auteur2=Benjamin Yakir|titre=The Statistics of Gene Mapping|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|année=2007|pages totales=354|lire en ligne={{Google Livres|kXs_AAAAQBAJ}}}}{{plume}}

=== Articles connexes ===
{{colonnes|nombre=3|
* [[Arbre de probabilité]]
* [[Loi de Bernoulli]]
* [[Loi de Poisson]]
* [[Loi de probabilité]]
* [[Loi multinomiale]]
* [[Loi normale]]
* [[Théorème de Moivre-Laplace]]
* [[Loi binomiale négative]]}}

=== Liens externes ===
{{Liens}}
* {{mathworld|nom_url=BinomialDistribution|titre=Binomial Distribution}}

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[[Catégorie:Coefficient binomial]]