Voir la source de Loi de Morrie

{{langue du titre|en}}
[[Fichier:RichardFeynman-PaineMansionWoods1984 copyrightTamikoThiel bw.jpg|vignette|redresse|Richard Feynman en {{date|1984}}, quelques années avant sa mort. Il se souvenait encore de cette curiosité apprise pendant l'enfance.]]

La '''loi de Morrie''' est l'[[identité trigonométrique]] suivante :

:<math alt="cosinus de 20 degrés multiplié par cosinus de 40 degrés multiplié par cosinus de 80 degrés égale un huitième"> \cos(20^\circ) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \cos(80^\circ) = \frac{1}{8}</math>.

Le nom de cette « [[Mathématiques récréatives|curiosité]] » est dû au physicien [[Richard Feynman]], qui la tient d'un ami d'enfance, Morrie Jacobs.

Cette identité est intrigante parce qu'aucun des facteurs du produit n'est [[Nombre rationnel|rationnel]], mais que le produit l'est{{sfn|Anderson|1998|p=85}}{{,}}{{sfn|Brouwer|2017}}{{,}}<ref>{{harvsp|Van Brummelen|2020|p=79 {{lire en ligne|url={{Google Livres|OPDGDwAAQBAJ|page=79}}}}}}.</ref>.

== Histoire ==

Dans son enfance, Richard Feynman avait l'habitude d'échanger des anecdotes mathématiques avec ses amis. C'est l'un d'eux, nommé Morrie Jacobs, qui lui a fait connaître cette égalité. Il s'en est ensuite souvenu toute sa vie, de même que les circonstances dans lesquelles il en a appris l'existence (dans le magasin de cuir du père de Morrie). Il y fait référence dans une lettre à Morrie datée du {{date|27 janvier 1987}}<ref>{{harvsp|Gleick|1992|p=450 {{lire en ligne|url={{Google Livres|j42RD66g72oC|page autre=PT684}}}}}} : {{citation étrangère|langue=en|[{{p.}}]47 IF A BOY NAMED MORRIE JACOBS: Feynman to Morris Jacobs, {{nobr|27 January 1987}}, CIT}}. Le sigle CIT signifie que la lettre est conservée dans les archives du {{lang|en|[[California Institute of Technology]]}} à [[Pasadena]] ({{cf.}} « {{lang|en|Acknowledgments}} », {{p.}}441 {{lire en ligne|url={{Google Livres|j42RD66g72oC|page autre=PT672}}}}, et « {{lang|en|Notes - Abbreviations}} », {{p.}}445 {{lire en ligne|url={{Google Livres|j42RD66g72oC|page autre=PT676}}}}), où Feynman a été chercheur et enseignant.</ref>.

Après la mort de Feynman en {{date|1988}}, [[James Gleick]] raconte cet épisode en {{date|1992}} dans ''{{lang|en|Genius}}'', la biographie qu'il a écrite du physicien<ref>{{harvsp|Gleick|1992|p=47 {{lire en ligne|url={{Google Livres|j42RD66g72oC|page autre=PT74}}}}}} : {{citation étrangère|langue=en|He and his friends traded mathematical tidbits like baseball cards. If a boy named Morrie Jacobs told him that the cosine of {{nobr|20 degrees}} multiplied by the cosine of {{nobr|40 degrees}} multiplied by the cosine of {{nobr|80 degrees}} equaled exactly one-eighth, he would remember that curiosity for the rest of his life, and he would remember that he was standing in Morrie's father's leather shop when he learned it.}}</ref>.

En {{date|1996}}, Beyer {{et al.}} appellent cette égalité {{citation étrangère|langue=en|Morrie Jacobs's identity}}{{sfn|Beyer|Louck|Zeilberger|1996}} ({{litt.}} {{citation|identité de Morrie Jacobs}}). En {{date|1998}}, Anderson l'appelle {{citation étrangère|lang=en|Morrie's Law}} ({{litt.}} {{citation|loi de Morrie}}){{sfn|Anderson|1998|p=86}}. En {{date|2011}}, [[Paul J. Nahin|Nahin]] l'appelle {{citation étrangère|langue=en|Jacobs-Feynman equality}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Paul J. Nahin]]|titre=Number-Crunching |sous-titre=Taming Unruly Computational Problems from Mathematical Physics to Science Fiction|lieu=Princeton et Oxford|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=2011|pages totales=376|passage=12|isbn=978-0-691-14425-2|doi=10.1515/9781400839582}}, Challenge Problem 1.2 {{lire en ligne|url={{Google Livres|pxz8G-KF3ZgC|page=12}}}}.</ref> ({{litt.}} {{citation|égalité de Jacobs-Feynman}}).

== Identités similaires ==

En [[radian]]s, la loi de Morrie s'exprime ainsi :
:<math> \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) \cdot \cos \left(\frac{2 \pi}{9}\right) \cdot \cos\left(\frac{4 \pi}{9}\right) = \frac{1}{8}</math>.

Elle utilise la [[Cosinus|fonction cosinus]], mais des identités similaires existent pour d'autres [[Fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]], sans toutefois que le membre de droite soit rationnel comme avec le cosinus :
* l'identité pour la [[Sinus (mathématiques)|fonction sinus]] est<ref name="CRC">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Eric W. Weisstein]]|titre={{lien|CRC Concise Encyclopedia of Mathematics}}|éditeur=[[Chapman & Hall]] / [[CRC Press|CRC]]|année=2003|numéro d'édition=2|pages totales=3242|isbn=1-58488-347-2|titre chapitre=Trigonometry Values Pi/9|passage=3057–3058 {{lire en ligne|url={{Google Livres|D_XKBQAAQBAJ|page=3057}}}}}}, et éditions suivantes, notamment en ligne : {{MathWorld|nom_url=TrigonometryAnglesPi9|titre=Trigonometry Angles--Pi/9}}.</ref> :

:<math> \sin\bigg(\frac{\pi}{9}\bigg) \cdot \sin\bigg(\frac{2 \pi}{9}\bigg) \cdot \sin\bigg(\frac{4 \pi}{9}\bigg) = \frac{\sqrt 3\ }{8}</math> ;

* l'identité pour la [[Tangente (trigonométrie)|fonction tangente]] (qu'on obtient en divisant l'identité pour la fonction sinus par la loi de Morrie) est<ref name="CRC" /> :

:<math>\tan\bigg(\frac{\pi}{9}\bigg) \cdot \tan\bigg(\frac{2 \pi}{9}\bigg) \cdot \tan\bigg(\frac{4 \pi}{9}\bigg) = \sqrt 3 = \tan\bigg(\frac{\pi}{3}\bigg)</math>.

== Généralisations ==

=== Première généralisation ===
La loi de Morrie est le cas particulier, où <math>n = 3</math> et <math>\alpha = \frac{\pi}{9} = 20^\circ</math>, de l'identité plus générale{{sfn|Beyer|Louck|Zeilberger|1996}} :

:<math> 2^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha) = \frac{\sin(2^n \alpha)}{\sin(\alpha)}</math>
:avec <math>\alpha \in \Complex</math> et <math>n \in \N^*</math><ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Dennis S. Bernstein|titre=Scalar, Vector, and Matrix Mathematics|sous-titre=Theory, Facts, and Formulas|lieu=Princeton et Oxford|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=2018|pages totales=1547|isbn=978-0-691-15120-5|isbn2=978-0-691-17653-6|passage=244–245, {{nobr|{{lang|en|fact}} 2.16.17}} {{lire en ligne|url={{Google Livres|L5g0DwAAQBAJ|page=244}}}}}}.</ref>.

La curiosité tient au fait que si on choisit <math>\alpha = \frac {\pi}{2^n \pm 1}</math>, le membre de droite vaut ±1 (on le montre en remplaçant le dénominateur <math>\sin(\alpha)</math> par <math>\sin(\pi - \alpha)</math> ou <math>-\sin(\pi + \alpha)</math>), et l'égalité devient alors<ref name="Feinsilver ">{{lien web|url=http://chanoir.math.siu.edu/MATH/SlidePresentations/WKUSymposium.pdf|langue=en|titre=Numeration, Trigometric Identities, and Cantor-Type Distributions |auteur1=Philip Feinsilver |responsabilité1=[[Université du Sud de l'Illinois à Carbondale|Southern Illinois University Carbondale]]|éditeur=[[Université de Western Kentucky|Western Kentucky University]]|lieu=Bowling Green (Kentucky) |série=28th Annual Mathematics Symposium|date={{période|31 octobre 2008-|1er novembre 2008}}|passage=4–6}}.</ref> :
:<math>2^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \cos \left (\frac{2^k}{2^n \pm 1} \pi\right) = \pm 1</math>. 

On en tire les identités suivantes :

{| class="wikitable centre"
! 
! scope=col width="50%" | <math>\alpha = \frac {\pi}{2^n - 1}</math>
! scope=col width="50%" | <math>\alpha = \frac {\pi}{2^n + 1}</math>
|-
! scope=row | <math>n = 2</math>
|
| <math> \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right) = \frac{1}{4}</math><ref name="Van Brummelen p80">{{harvsp|Van Brummelen|2020|p=80 {{lire en ligne|url={{Google Livres|OPDGDwAAQBAJ|page=80}}}}}}.</ref>
|-
! scope=row | <math>n = 3</math>
| valign=top | 
{{article connexe|Formules trigonométriques en kπ/7{{!}}Formules trigonométriques en {{math|kπ/7}}}}

<math> \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) \cdot \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{4 \pi}{7}\right) = -\frac{1}{8}</math>
<math>\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) \cdot \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{3 \pi}{7}\right) = \frac{1}{8}</math>{{sfn|Moreno|García-Caballero|2016|p=214}}
| valign=top | 
{{article connexe|Formules trigonométriques en kπ/9{{!}}Formules trigonométriques en {{math|kπ/9}}}}

<math> \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) \cdot \cos \left(\frac{2 \pi}{9}\right) \cdot \cos\left(\frac{4 \pi}{9}\right) = \frac{1}{8}</math> (loi de Morrie)
|-
! scope=row | <math>n = 4</math>
| <math> \cos\left(\frac{\pi}{15}\right) \cdot \cos \left(\frac{2 \pi}{15}\right) \cdot \cos\left(\frac{4 \pi}{15}\right) \cdot \cos\left(\frac{8 \pi}{15}\right) = - \frac{1}{16}</math><ref>{{harvsp|Van Brummelen|2020|p=81 {{lire en ligne|url={{Google Livres|OPDGDwAAQBAJ|page=81}}}}}}.</ref>
| <math> \cos\left(\frac{\pi}{17}\right) \cdot \cos \left(\frac{2 \pi}{17}\right) \cdot \cos\left(\frac{4 \pi}{17}\right) \cdot \cos\left(\frac{8 \pi}{17}\right) = \frac{1}{16}</math><ref name="Van Brummelen p80" />
|}

=== Deuxième généralisation ===

La première généralisation est elle-même le cas particulier, où <math>b = 2</math>, de l'identité plus générale<ref name="Feinsilver " /> :
:<math> \prod_{k=0}^{n-1} \left (\sum_{j=0}^{b-1} \cos \Big ((b-2j-1) b^k \alpha \Big )\right )=\frac{\sin(b^n \alpha)}{\sin(\alpha)}</math>
:avec <math>b \in \N^*</math>.

En effet, en choisissant <math>b = 2</math> le membre de gauche devient <math>\prod_{k=0}^{n-1} \Big (\cos (2^k \alpha) + \cos (-2^k \alpha)\Big) = \prod_{k=0}^{n-1} \Big (2 \cos (2^k \alpha)\Big) = 2^n \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)</math>, ce qui permet de retrouver la première généralisation.

=== Autres généralisations ===
Il existe diverses autres généralisations de la loi de Morrie, citées notamment dans un [[Manuel scolaire|livre d'exercices]] de [[trigonométrie]] de {{date|1930}}{{sfn|Tee|1999}}{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Clement Vavasor Durell|Clement V. Durell]]|auteur2=Alan Robson|titre=Advanced Trigonometry|éditeur=George Bell & Sons|année=1930|lire en ligne=https://web.archive.org/web/20220130044921/http://www.knowledge-dojo.com/papers/1930%20Advanced%20Trigonometry%20-%20Durell%20&%20Robson.pdf}}, exercice {{XII}}.b, 24, 25, 29, 30 et 31, {{p.}}225–226, et réponses {{p.}}322.</ref>, telles que :
:<math>\prod_{r=1}^{m} \cos\left(\frac{r \pi}{2 m +1}\right) = 2^{-m}</math>
dont la loi de Morrie est le cas particulier où <math>m = 4</math>.

== Démonstrations ==

=== Preuve algébrique ===
La [[Démonstration (logique et mathématiques)|preuve]] de la loi de Morrie s'appuie sur la [[Identité trigonométrique#Formules de l'angle double|formule de l'angle double]] pour la fonction sinus :

:<math> \sin(2 \alpha) = 2 \sin\alpha\cos\alpha</math>

qui permet de trouver l'expression de <math>\cos(\alpha)</math> et, par suite, de <math>\cos(2 \alpha)</math>, <math>\cos(4 \alpha)</math> ... <math>\cos(2^{n-1} \alpha)</math>{{sfn|Beyer|Louck|Zeilberger|1996}}{{,}}{{sfn|Tee|1999}} :

:<math> 
\begin{align}
\cos\alpha&= \frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin\alpha} \\
\cos(2 \alpha) & = \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \\
\cos(4 \alpha) & = \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \\
& {}\,\,\,  \vdots \\
\cos(2^{n-1} \alpha) & = \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}.
\end{align}
</math>

En multipliant toutes ces expressions les unes avec les autres, on obtient :

:<math> \cos\alpha\cos(2 \alpha) \cos(4 \alpha) \cdots \cos(2^{n-1} \alpha)=
\frac{\cancel {\sin(2 \alpha)}}{2 \sin\alpha} \cdot \frac{\cancel{\sin(4 \alpha)}}{2 \ \cancel{\sin(2 \alpha)}} \cdot \frac{\cancel {\sin(8 \alpha)}}{2 \ \cancel {\sin(4 \alpha)}} \cdots \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \ \cancel {\sin(2^{n-1} \alpha)}}</math>.

Dans la partie droite de l'expression, les numérateurs et dénominateurs intermédiaires s'éliminent deux à deux, ne laissant que le premier dénominateur <math>\sin\alpha</math> et le numérateur final <math>\sin (2^n \alpha)</math> (on dit qu'il s'agit d'un [[Somme télescopique#Produit télescopique|produit télescopique]]<ref name="Van Brummelen p80" />), ainsi qu'une [[Puissance de deux|puissance de 2]] au dénominateur (<math>2^n</math> car il y a <math>n</math> termes) ; il vient alors :

:<math> \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{2^n \sin\alpha}</math>,

ce qui est équivalent à la première généralisation de l'identité.

=== Preuves géométriques ===
[[Fichier:Morries law geometric proof.svg|vignette|Preuve géométrique utilisant un ennéagone.]]

Pour démontrer les identités de la forme <math>2^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha) = \pm 1</math> avec <math>\alpha = \frac {\pi}{2^n \pm 1}</math>, une [[Preuve sans mots|preuve géométrique]] utilisant un [[polygone régulier]] à <math>2^n \pm 1</math> côtés peut être utilisée.

Ainsi, pour démontrer la loi de Morrie (<math>n = 3</math> et <math>\alpha = \frac{\pi}{9}</math>), une telle preuve utilisant un [[ennéagone]] régulier ({{nobr|9 côtés}}) a été publiée en {{date|2008}}{{sfn|Miles|Pritchard|2008}}, puis une autre en {{date|2015}}{{sfn|Moreno|García-Caballero|2015}}.

Cette dernière s'appuie sur l'ennéagone <math>ABCDEFGHI</math> ci-contre, de côté 1. Soient <math>M</math>, <math>J</math>, <math>K</math> et <math>L</math> les milieux de <math>[AB]</math>, <math>[BD]</math>, <math>[DF]</math> et <math>[BF]</math>, respectivement.

On montre que <math>\alpha = \widehat{CBD} = \frac{\pi}{9}</math>, <math>\beta = \widehat{DBF} = \frac{2\pi}{9}</math>, et <math>\gamma = \widehat{FBM} =  \frac{4\pi}{9}</math>.

{{Démonstration|déroulante=oui|style=text-align: left;|titre=Calcul des angles|contenu=
<math>\widehat{DEF} = \widehat{CDE} = \widehat{ABC} = \frac{7\pi}{9}</math> car ce sont des [[Angle interne|angles internes]] d'un ennéagone régulier.
* La somme des angles de <math>\triangle KEF</math> vaut <math>\pi</math>, donc <math>\alpha = \pi - \widehat{KEF} - \widehat{EKF} = \pi - \frac{\widehat{DEF}}{2} - \frac{\pi}{2} = \pi - \frac{7\pi}{18} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{9}</math>.
* <math>\widehat{BDL} = \widehat{CDL} - \alpha = \frac{\widehat{CDE}}{2} - \frac{\pi}{9} = \frac{7\pi}{18} - \frac{\pi}{9} = \frac{5\pi}{18}</math>.<br/>La somme des angles de <math>\triangle BDL</math> vaut <math>\pi</math>, donc <math>\beta = \pi - \widehat{BDL} - \widehat{BLD} = \pi - \frac{5\pi}{18} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{9}</math>.
* <math>\gamma = \widehat{ABC} - \alpha - \beta = \frac{7\pi}{9} - \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{9} = \frac{4\pi}{9}</math>.
}}

<math>\triangle KEF</math> est rectangle en <math>K</math>, donc <math display=inline> \cos(\alpha)=\frac{|KF|}{|EF|}</math>. Or <math>|DF|=2 \cdot |KF|</math> car <math>K</math> est milieu de <math>[DF]</math>, donc :
:<math>|DF| = 2 \cdot |EF| \cdot \cos\left(\frac{\pi}{9}\right)</math>.

<math>\triangle DFL</math> est rectangle en <math>L</math>, donc <math display=inline> \cos(\beta)=\frac{|LF|}{|DF|}</math>. Or <math>|BF|=2 \cdot |LF|</math> car <math>L</math> est milieu de <math>[BF]</math>, donc :
:<math>|BF| = 2 \cdot |DF| \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{9}\right)</math>.

<math>\triangle BFM</math> est rectangle en <math>M</math>, donc <math display=inline> \cos(\gamma) = \frac{|BM|}{|BF|}</math>. Or <math>|AB| = 2 \cdot |BM|</math> car <math>M</math> est milieu de <math>[AB]</math>, donc :
:<math>|AB| = 2 \cdot |BF| \cdot \cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)</math>.

Or <math>|AB| = |EF| = 1</math> car ce sont des côtés de l'ennéagone, et en remplaçant <math>|BF|</math> et <math>|DF|</math> par les expressions ci-dessus, on obtient :
:<math>1 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{9}\right) \cdot \cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)</math>, d'où la loi de Morrie.

Les auteurs de cette preuve ont par la suite publié, en {{date|2016}}, une preuve géométrique de l'identité où <math>n = 3</math> et <math>\alpha = \frac{\pi}{7}</math>, en utilisant un [[heptagone]] régulier ({{nobr|7 côtés}}){{sfn|Moreno|García-Caballero|2016}}.

De même, l'identité où <math>n = 2</math> et <math>\alpha = \frac{\pi}{5}</math> peut être prouvée en utilisant un [[pentagone]] régulier ({{nobr|5 côtés}})<ref>{{harvsp|Van Brummelen|2020|p=81 {{lire en ligne|url={{Google Livres|OPDGDwAAQBAJ|page=81}}}} et {{fig.|49}}, {{p.}}82 {{lire en ligne|url={{Google Livres|OPDGDwAAQBAJ|page=82}}}}}}.</ref>.

== Références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
'''Source primaire :'''
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[James Gleick]]|titre=Genius|sous-titre=The Life and Science of Richard Feynman|lieu=New York|éditeur={{lang|en|[[Pantheon Books]]}}|année=1992|pages totales=532|isbn=0-679-40836-3|lire en ligne={{Google Livres|j42RD66g72oC|couv=1}}}}.

'''Sources secondaires centrées :'''
* {{article|langue=en |auteur1=Ernest C. Anderson |titre=Morrie's Law and Experimental Mathematics |périodique={{lang|en|[[Journal of Recreational Mathematics]]}} |volume=29 |numéro=2 |passage=85–88 |année=1998}}.
* {{MathWorld|titre=Morrie's Law |nom_url=MorriesLaw}}.
* {{chapitre|langue=en|titre ouvrage=Trigonometry|sous-titre ouvrage=A Very Short Introduction|collection=Very Short Introductions Series|numéro dans collection=626|pages totales=163|auteur1=[[Glen Van Brummelen]]|lieu=Oxford|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=2020|isbn=978-0-19-881431-3|doi=10.1093/actrade/9780198814313.001.0001|titre chapitre=Morrie's Law and friends|passage=79–83 {{lire en ligne|url={{Google Livres|OPDGDwAAQBAJ|page=79}}}}}}.

'''Généralisations :'''
* {{article|langue=en |auteur1=William A. Beyer |auteur2=James D. Louck |auteur3=[[Doron Zeilberger]] |titre=Math Bite |sous-titre=A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life |périodique={{lang|en|[[Mathematics Magazine]]}} |volume=69 |numéro=1 |pages=43–44 |date=février 1996 |doi=10.2307/2691393 |jstor=2691393 |url=http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/feynman.pdf|math reviews=1573132}}.
* {{article|langue=en |auteur1=Garry J. Tee |titre=Math Bite |sous-titre=Further Generalizations of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life |périodique={{lang|en|[[Mathematics Magazine]]}} |date=février 1999 |volume=72 |numéro=1 |pages=44 |doi=10.1080/0025570X.1999.11996697 |jstor=2691313 |url texte=http://www.maa.org/sites/default/files/269131327207.pdf |math reviews=1573369}}.
* {{article|langue=en|titre=A Generalization of the Angle Doubling Formulas for Trigonometric Functions|auteur1=Gaston Brouwer|périodique={{lang|en|[[Mathematics Magazine]]}}|volume=90|numéro=1|date=février 2017|pages=12–18|doi=10.4169/math.mag.90.1.12|jstor=10.4169/math.mag.90.1.12|math reviews=3608695}}.

'''Preuves géométriques :'''
* {{article|langue=en|titre=Three Trigonometric Results from a Regular Nonagon|auteur1=David Miles|auteur2=Chris Pritchard|périodique=Mathematics in School|volume=37|numéro=5|date=novembre 2008|pages=12–13|jstor=30212315}}.
* {{article|langue=en|titre=A Geometric Proof of Morrie's Law|auteur1=Samuel G. Moreno|auteur2=Esther M. García-Caballero|pages=168|périodique=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=122|numéro=2|date=février 2015|doi=10.4169/amer.math.monthly.122.02.168|math reviews=3324692|jstor=10.4169/amer.math.monthly.122.02.168}}.
* {{article|langue=en|titre=A Geometric Proof of Morrie's Law|auteur1=Samuel G. Moreno|auteur2=Esther M. García-Caballero|pages=233|périodique=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=122|numéro=3|date=mars 2015|doi=10.4169/amer.math.monthly.122.03.233|math reviews=3327712|jstor=10.4169/amer.math.monthly.122.03.233}}.
* {{article|langue=en|titre=A Geometric Proof of a Morrie-Type Formula|auteur1=Samuel G. Moreno|auteur2=Esther M. García-Caballero|doi=10.4169/math.mag.89.3.214|périodique=[[Mathematics Magazine]]|volume=89|numéro=3|date=juin 2016|pages=214–215|math reviews=3519084}}.

{{Portail|mathématiques}}

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