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{{à sourcer|date=mars 2011}}

En [[mathématiques]], et plus précisément en [[algèbre générale]], une '''loi de composition interne''', [[Liste d'abréviations en mathématiques|abrégé]] en "lci" ou simplement "loi"  est une [[application (mathématiques)|application]]  qui, à deux éléments d'un [[ensemble]] <math>E</math>, associe un élément de <math>E</math><ref>{{Lien web |titre=Langage des lois de composition |url=http://www.normalesup.org/~sage/Enseignement/TSI/cours/21EnsLois.pdf |site=normalesup.org |consulté le=27 septembre 2024}}</ref>. Autrement dit, c'est une [[opération binaire]]<ref>Cette utilisation de l'expression « opération binaire » est inspirée de l'expression anglaise ''« binary operation »'', utilisée en lieu et place de « loi de composition ». En mathématiques, le mot « [[opération (mathématiques)|opération]] » peut aussi désigner autre chose qu'une loi de composition interne.</ref> par laquelle <math>E</math> est [[Clôture (mathématiques)|stable]].

L'[[addition]] et la [[multiplication]] dans l'ensemble des [[entiers naturels]] sont des exemples classiques de lois de composition internes.

Les [[Loi de composition|lois de composition]] internes et externes servent à définir les [[structure algébrique|structures algébriques]], qui occupent une place privilégiée en [[algèbre générale]].

== Présentation ==
Une opération dans un ensemble est une relation interne dans cet ensemble, qui, à deux éléments quelconques de cet ensemble, appelés ''opérandes'', en associe éventuellement un troisième, unique, nommé ''résultat'', toujours dans ce même ensemble.

Pour que l’opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux éléments  (on dit formellement que l'opération doit être définie partout). Ainsi :
* la division n’est pas une loi de composition interne dans [[Nombre réel|ℝ]], parce qu’on ne peut pas diviser par zéro : par exemple, « 3 / 0 » n’a pas de sens. Mais cette même division est une loi de composition interne dans ℝ* (ensemble des réels privé de 0). Enfin cette même opération n'est pas une loi de composition interne dans ℤ* car 2 / 3 n'est pas un [[entier relatif]].
* la soustraction peut être ou non une loi de composition interne selon l’ensemble de nombres considéré :
** s’il s’agit de l’ensemble des nombres usuels, dits [[entier naturel|entiers naturels]] { 0, 1, 2, 3,... }, ce n’en est pas une, puisque « 3 – 5 », par exemple, n’a pas pour résultat l’un de ces nombres usuels.
** si au contraire, on choisit l’ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les entiers négatifs { ..., –3, –2, –1}, alors la soustraction est bien une loi de composition interne.

En résumé, une '''loi de composition interne''' dans un ensemble <math>E</math>, ou, plus simplement une loi dans <math>E</math>, est une opération qui donne un résultat dans <math>E</math> pour tous les couples possibles d'éléments de <math>E</math>.

== Exemples ==

Dans l’ensemble des entiers relatifs, l’[[addition]] est une ''loi de composition interne'' ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l’article :
* 0 est [[élément neutre|élément '''neutre''']] pour cette loi : l’ajouter à n’importe quel nombre redonne ce nombre : par exemple, &nbsp; 5 + 0 = 5 &nbsp;, et &nbsp; 0 + 8 = 8 ;
* pour tout entier, il existe un autre nombre, son '''[[Opposé (mathématique)|opposé]]''' (le terme général est ''[[élément symétrique]]''), tel qu’ajouté au premier, il redonne l’élément neutre 0. L’''opposé'' se note comme l’entier initial changé de signe. Ainsi : &nbsp; 3 + (–3) = 0 ;
* on peut échanger les deux éléments autour du signe « <math>+</math> » : &nbsp; 3 + 5 = 5 + 3 = 8 &nbsp;. On dit que l’opération est '''[[commutativité|commutative]]''' ;
* on peut grouper les éléments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux : &nbsp; 3 + 5 + 4 &nbsp; peut se calculer de deux manières :
** en calculant d’abord &nbsp; 3 + 5 = 8 &nbsp; puis en ajoutant &nbsp; 4 &nbsp; au résultat,
** ou en calculant &nbsp; 5 + 4 = 9 &nbsp; avant de calculer &nbsp; 3 + 9 &nbsp;.
:Ces deux méthodes mènent au même résultat, ce que l’on note : &nbsp; (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4) &nbsp;. On dit que l’opération est '''[[associativité|associative]]'''.

Ces quatre propriétés, ''existence d’un élément neutre'', ''existence de symétriques'', ''commutativité'', ''associativité'', peuvent se retrouver pour d’autres ensembles et d’autres lois. Ainsi, on peut étudier l’ensemble des ''translations'' (c’est-à-dire les déplacements en ligne droite : par exemple, se déplacer de 3&nbsp;mètres vers la gauche et de 2&nbsp;mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la ''composition'' : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l’addition :
* le ''neutre'' est la translation nulle, consistant à ne pas se déplacer ;
* le ''symétrique'' d’une translation consiste à faire le même déplacement dans l’autre sens (3&nbsp;mètres à droite et 2&nbsp;mètres vers le bas pour l’exemple précédent) : si on fait successivement les deux, c’est comme si on faisait le déplacement nul ;
* on peut faire les déplacements dans l’ordre qu’on veut, on retrouve la ''commutativité'' et l’''associativité''.

L’ensemble des entiers relatifs avec l’addition, et l’ensemble des translations avec la composition ont ces propriétés simples en commun. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés particulières s’appelle en algèbre un [[groupe abélien]]. L'[[algèbre générale]] s’attache ensuite à rechercher d’autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatre premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables aussi bien pour l’ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et toute autre loi de composition interne ayant la structure d’un groupe abélien, sans qu’il soit nécessaire de le [[Démonstration (logique et mathématique)|redémontrer]] pour chacun.

== Définition formelle ==

On appelle '''loi de composition interne''' sur un [[ensemble]] <math>E</math> toute [[fonction (mathématiques)|application]] <math>*\,</math> du [[produit cartésien]] <math>E\times E</math> dans <math>E</math>.

Un ensemble <math>E</math> muni d’une loi de composition interne <math>*\,</math> constitue une [[structure (mathématiques)|structure]] [[structure algébrique|algébrique]] appelée [[Magma (mathématiques)|magma]] et notée « ( <math>E</math>, <math>*\,</math> ) ».

Quelques exemples triviaux, pour un ensemble <math>E</math> non vide :
* les applications constantes : si '''''c''''' appartient à ''E'' : <math>\forall x\in E,\ \forall y\in E,\ x*y=c</math>
* l’application sélectionnant le terme de gauche : <math>\forall x\in E,\ \forall y\in E,\ x* y=x</math> 
* l’application sélectionnant le terme de droite :<math>\forall x\in E,\ \forall y\in E,\ x * y=y</math>

== Éléments particuliers ==

=== Carrés et dérivés ===
* un élément <math> c \,</math> est dit '''[[carré]]''' si : &nbsp; <math> \exists\ x \in E ,\ x * x = c \,</math>
:En sens inverse, tout élément ''x''&nbsp;a un carré unique, noté habituellement « ''x''<sup>2</sup> ».
:Si la loi est notée additivement, le terme de '''double''' sera employé de préférence à celui de ''carré''.
::Exemple : dans ℤ, le ''double'' de 3 (pour l'addition) est 6, et son ''carré'' (pour la multiplication) est 9.
* un élément <math> s \,</math> est dit '''[[idempotent]]''' (d'ordre 2) ou '''projecteur''' si : &nbsp; <math> s * s = s \,</math>
:En d’autres termes, cet élément est son propre ''carré''.
::Exemples :
::* tout élément neutre d'une loi est idempotent pour cette loi ;
::* dans tout ensemble numérique les contenant, 0 et 1 sont les seuls éléments idempotents pour la multiplication.

=== Neutres et dérivés ===
Un élément <math>e</math> est dit :
* ''neutre à gauche'' si <math>\forall x\in E\quad e*x=x</math> ;
* ''neutre à droite'' si <math>\forall x\in E\quad x*e=x</math> ;
* ''[[élément neutre|neutre]]'' lorsqu’il est neutre à droite et à gauche.
;Exemples
:*Dans ℝ, l'élément neutre de l'addition est 0, et celui de la multiplication est 1.
:*Dans l'[[ensemble des parties d'un ensemble]] ''X'', l'[[ensemble vide]] est neutre pour l'[[Union (mathématiques)|union]] et l'ensemble ''X'' est neutre pour l'[[Intersection (mathématiques)|intersection]].
Tout élément neutre à gauche ou à droite est idempotent.

S'il existe un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite, alors la loi admet un unique élément neutre, et tout élément neutre à gauche ou à droite lui est égal.

Lorsqu'il existe un élément neutre <math>e</math> :
*un élément <math>s</math> est dit ''[[Involution (mathématiques)|involutif]]'' si <math>s*s=e</math>.
*:Le seul élément involutif et idempotent est l'élément neutre ;
*un élément <math>a</math> est dit ''[[élément symétrique|symétrique]]'' à gauche de l'élément <math>b</math> si <math>a*b=e</math>. L'élément <math>b</math> est alors symétrique à droite de l'élément <math>a</math>.

=== Absorbants et dérivés ===
Un élément <math>a</math> est dit :
*'''absorbant à gauche''' si : <math>\forall x\in E\quad a*x=a</math> ;
*'''absorbant à droite''' si : <math>\forall x\in E\quad x*a=a</math> ;
*'''[[élément absorbant|absorbant]]''' s'il est absorbant à droite et à gauche.

;Exemples
:*Dans ℝ, 0 est absorbant pour la multiplication.
:*Dans l'ensemble des parties d'un ensemble ''X'', l'ensemble vide est absorbant pour l'intersection et l'ensemble ''X'' est absorbant pour l'union.

Tout élément absorbant à gauche ou à droite est idempotent.

S'il existe un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, alors la loi admet un unique élément absorbant, et tout élément absorbant à gauche ou à droite lui est égal.

Lorsque la loi admet un élément absorbant <math>0</math>, un élément <math>x</math> est dit '''[[nilpotent]]''' (d'ordre 2) si <math>x*x=0</math>.

=== Centre d'une structure ===
Un élément <math>c</math> est dit '''central''' si <math>\forall x\in E\quad x*c=c*x</math>.

Les éléments neutre et absorbant bilatères sont centraux.

On appelle '''[[Centre (algèbre)|centre]]''' de ''E'', et on note ''Z''(''E''), l’ensemble des éléments centraux de ''E''.

=== Réguliers et dérivés ===
Un élément <math> s\in E</math> est dit
* '''régulier à gauche''' ou '''simplifiable à gauche''' si :
:<math> \forall\ ( x , y ) \in E^2\ ( s * x = s * y\Rightarrow x = y )</math> ; autrement dit si la multiplication à gauche <math>x\mapsto s*x</math> est [[Injection (mathématiques)|injective]].
*'''régulier à droite''' ou '''simplifiable à droite''' si :
:<math> \forall\ ( x , y ) \in E^2\ ( x * s = y * s\Rightarrow  x = y )</math>; autrement dit si la multiplication à droite <math>x\mapsto x*s</math> est [[Injection (mathématiques)|injective]].
*'''régulier''' ou '''simplifiable''' lorsqu’il est ''régulier'' ''à droite'' et ''à gauche'' ;
*'''[[diviseur de zéro]] à gauche''' s'il existe un ''élément absorbant'' <math>a</math> (évidemment unique), différent de <math> s</math>, et si :<math> \exists\ r \in E \ ( r \neq a\wedge s * r = a )</math>;
*'''diviseur de zéro à droite''' s'il existe un ''élément absorbant'' <math> a</math>, différent de <math>s</math>, et si : <math> \exists\ r \in E\ ( r\neq a\wedge r * s = a )</math>.

Les ''diviseurs de zéro'' sont ''irréguliers''. Les éléments ''nilpotents'' autres que l’élément ''absorbant'' sont des ''diviseurs de zéro''.

=== Paires d'éléments ===
Des paires d’éléments peuvent aussi présenter des propriétés particulières :

* deux éléments <math> r \,</math>et <math> s \,</math>seront dits '''permutables''' ou '''commutants''' si : <math> r * s = s * r \,</math>
* deux éléments ''permutables'' <math> r \,</math>et <math> s \,</math>seront dits '''[[Élément symétrique|symétriques]]''' ou '''[[élément inversible|inversibles]]''' si :
**il existe un élément ''neutre'' <math> e \,</math>,
**et : <math> r * s = e</math>;
* deux éléments ''permutables'' <math> r \,</math>et <math> s \,</math>seront dits '''[[diviseurs de zéro]]''' ou '''désintégrants''' si :
**il existe un élément ''absorbant'' <math> a \,</math>,
**et aucun des deux éléments n’est égal à <math> a \,</math>,
**et : <math> r * s = a</math>;

Exemple : pour les entiers relatifs, 0 est ''neutre'' pour l’addition, ''absorbant'' pour la multiplication, et ''neutre à droite'' pour la soustraction.

== Propriétés ==
Certaines propriétés des lois de composition internes, particulièrement intéressantes, ont reçu un nom. Soit un magma (''E'', <math>*\,</math>) ; la loi <math>*\,</math> peut y présenter les propriétés suivantes :

=== Existence d’éléments remarquables ===
Une loi est dite
*''unifère à gauche'' s’il existe un élément [[#Neutres et dérivés|neutre]] à gauche. Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à droite ;
* ''unifère à droite'' s’il existe un élément neutre à droite. Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à gauche ;
* ''unifère'' (parfois ''unitaire'') s’il existe un élément neutre (qui est alors unique).

=== Régularité et propriétés liées ===
* <math>*\,</math> est dite '''régulière à gauche''' ou '''simplifiable à gauche''' si tous les éléments de ''E'' sont ''réguliers à gauche'', c'est-à-dire si :
:<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x * y = x * z ) \Rightarrow ( y = z ) \,</math>
* <math>*\,</math> est dite '''régulière à droite''' ou '''simplifiable à droite''' si tous les éléments de ''E'' sont ''réguliers à droite'', c'est-à-dire si :
:<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( y * x = z * x ) \Rightarrow ( y = z ) \,</math>
* <math>*\,</math> est dite '''régulière''' ou '''simplifiable''' si tous les éléments de ''E'' sont ''réguliers'', c’est-à-dire si :
:<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ [\ ( x * y = x * z ) \lor ( y * x = z * x )\ ] \Rightarrow ( y = z ) \,</math>
:Une loi est ''régulière'' si et seulement si elle est ''régulière à gauche'' et ''régulière à droite''.

=== Associativité et propriétés analogues ===
Une loi <math>*</math> est dite :
*'''[[associativité|associative]]''' si :
*:<math>\forall\left(x,y,z\right)\in E^3\quad x * ( y * z ) = ( x * y ) * z</math>.
*:L’associativité d’une loi permet de se passer des parenthèses quand on répète la loi ; la plupart des lois intéressantes sont associatives (exemples : l’addition, la multiplication, la [[Relation binaire#Composition|composition des relations binaires]]…) ;
*'''[[alternativité|alternative]]''' si :
*:<math>\forall\left(x,y\right)\in E^2\quad\left[x * ( x * y ) = ( x * x ) * y\quad\text{et}\quad( x * y ) * y = x * ( y * y )\right]</math>.
*:Cette propriété est moins forte que l'associativité ;
*'''[[associativité des puissances|associative des puissances]]''' si, lorsqu'un élément est composé par lui-même plusieurs fois, l'ordre dans lequel sont effectuées ces compositions n'influe pas sur le résultat (ce qui implique en particulier : <math>x * ( x * x ) = ( x * x ) * x </math>).
*:Quand cette propriété est vérifiée, il est possible d’introduire la notion de '''puissance''' d’un élément (d’où le nom de la propriété) :
**la puissance ''n''-ième d’un élément ''x'', notée habituellement ''x{{exp|n}}'', est égale au résultat de la composition de ''x'' selon <math>*</math>, (''n'' – 1) fois avec lui-même ; ainsi, ''x''{{1}} = ''x'', ''x''{{2}} = ''x'' <math>*</math> ''x'', ''x''{{3}} = ''x'' <math>*</math> ''x'' <math>*</math> ''x''{{etc.}}
**si de plus la loi <math>*</math> présente un élément neutre ''e'', on pose ''x''{{exp|0}} = ''e''
**si en outre l'élément ''x'' est inversible {{infra|Inversibilité}}, on pose  ''x{{exp|–n}}'' = (''x{{exp|n}}''){{-1}}.

=== Autres propriétés ===
Une loi <math>*</math> est dite
*'''intègre''' si elle admet un élément absorbant et si aucun élément n’est diviseur de zéro ;
*'''[[commutativité|commutative]]''' si <math> \forall\ ( x , y ) \in E^2\quad x * y = y * x</math>.

La liste de propriétés ci-dessus n’est pas exhaustive, loin de là. Toutefois, nous n'aborderons dans ce paragraphe qu’un seul autre cas : dans des structures algébriques comportant plusieurs lois, certaines de ces lois ont des propriétés relatives à d’autres lois. La plus importante de ces lois relatives est la distributivité.

* Une loi <math>*</math> est '''[[Distributivité|distributive]]''' '''à gauche''' par rapport à une autre loi <math>\bot </math> si : <math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3\quad x * ( y \bot z ) = ( x * y ) \bot ( x * z ) \,</math>
*Une loi <math>*</math> est '''distributive''' '''à droite''' par rapport à une autre loi <math>\bot </math> si : '''<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3\quad( x \bot y ) * z = ( x * z ) \bot ( y * z ) \,</math>'''
*Une loi <math>*</math> est '''distributive''' par rapport à une autre loi <math>\bot </math> si elle est à la fois distributive à droite et à gauche par rapport à <math>\bot </math>

''Par exemple, la multiplication est distributive par rapport à l’addition.''

Remarque : si de plus <math>\bot </math> est ''régulière'' et unifère, alors son élément neutre est nécessairement absorbant pour la loi <math>*</math>. Cela explique entre autres pourquoi, dans un [[corps commutatif]], l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la deuxième loi.

== Inversibilité ==

Cette propriété importante mérite un paragraphe séparé.
Nous nous placerons dans un magma (''E'', <math>*\,</math>) dont nous supposerons la loi ''unifère'' donc disposant d'un élément neutre <math> e \,</math>.
Il est alors possible de définir les notions suivantes :
* un élément <math> s \,</math> est dit '''symétrisable à gauche''' ou '''inversible à gauche''' si :
:<math> \exists\ s' \in E ,\ s' * s = e \,</math>
: ''s' '' est alors appelé ''élément symétrique à gauche'' de ''s'' ;
* un élément <math> s \,</math> est dit '''symétrisable à droite''' ou '''inversible à droite''' si :
:<math> \exists\ s' \in E ,\ s * s' = e \,</math>
: ''s' '' est alors appelé ''élément symétrique à droite'' de ''s'' ;
*Tout élément inversible à gauche est régulier à gauche, et de même à droite. Si ''E ''est fini, la [[réciproque]] est vraie car toute [[Injection (mathématiques)|injection]] de ''E ''dans ''E ''est alors [[surjective]] (voir les [[Bijection#Propriétés|propriétés des bijections]]).
* un élément <math> s \,</math> est dit '''symétrisable''' ou '''inversible''' lorsqu'il est inversible à droite et à gauche et que les deux symétriques sont égaux ;
: ''s' '' est alors appelé ''élément symétrique'' de ''s''.
* la loi <math> * \,</math> est dite '''symétrisable à gauche''' ou '''inversible à gauche''' si tous les éléments de ''E'' sont ''inversibles à gauche'';
* la loi <math> * \,</math> est dite '''symétrisable à droite''' ou '''inversible à droite''' si tous les éléments de ''E'' sont ''inversibles à droite'' ;
* la loi <math> * \,</math> est dite '''symétrisable''' ou '''inversible''' si tous les éléments de ''E'' sont ''inversibles''.

Si la loi <math> * \,</math> est de plus ''associative'', il y a unicité, pour les éléments ''symétrisables à gauche'' (respectivement ''à droite''), de leur symétrique à gauche (resp. à droite). Et si un élément ''s'' est symétrisable à droite et à gauche alors ses symétriques à gauche et à droite sont forcément égaux entre eux et cet élément est donc symétrisable. Son symétrique est alors noté habituellement « ''s'' <sup> -1</sup> ».

Exemples :
* 2 n'est pas symétrisable pour l'[[addition]] dans les [[entier naturel|entiers naturels]] ;
* 2 est symétrisable, de symétrique –2, pour l’addition dans les [[entier relatif|entiers relatifs]] ;
* 2 n’est pas inversible pour le [[multiplication|produit]] dans les entiers relatifs ;
* 2 est inversible, d’inverse 1/2, pour le produit dans les [[nombre rationnel|rationnels]].

Remarque :

Lorsque la loi est notée additivement, le symétrique est plutôt appelé ''opposé'', et quand la loi est notée multiplicativement le symétrique est plutôt appelé ''inverse''.

== Dénombrements concernant les lois de composition internes sur un ensemble à ''n'' éléments ==
Soit <math>E</math> un ensemble à <math>n</math> éléments.

Le nombre de lois de composition internes sur <math>E</math> est le [[Application (mathématiques)#Ensemble des applications entre deux ensembles|nombre d'applications]] de <math>E\times E</math> dans <math>E</math>, soit
<center><math>n^{(n^2)}</math> ; voir la {{OEIS|A002489}}.</center>

Pour le nombre de lois à [[isomorphisme]] près (il en existe par exemple 10 sur les 16 pour <math>n=2</math> ), voir la {{OEIS|A001329}}. Ce nombre est asymptotiquement équivalent à <math>n^{(n^2)}/n!</math>.

On peut compter combien de lois sur <math>E</math> sont commutatives. Une telle loi est entièrement déterminée par sa valeur <math>x*y=y*x</math> pour les [[paire]]s <math>\{x,y\}</math> et sa valeur <math>x*x</math> pour les [[Singleton (mathématiques)|singletons]] <math>\{x,y\}</math>. Le [[Combinaison avec répétition|nombre de ces paires et singletons]] étant <math>\Gamma_n^2={n+1\choose2}=\frac{n(n+1)}2</math>,<br>
le nombre de lois commutatives sur <math>E</math> est donc
<center><math>n^{n(n+1)/2}~</math> ; voir la {{OEIS|A023813}}</center>Pour le nombre de lois associatives, soit le nombre de structures de [[demi-groupe]] sur <math>E</math>, il n'y a pas actuellement de formule « fermée » ; voir la {{OEIS|A023814}}.

Le nombre de lois possédant un élément neutre (forcément unique) est<center><math>n^{(n-1)^2+1}</math> ; voir la {{OEIS|A090602}}</center>Le nombre de lois commutatives possédant un élément neutre est<center><math>n^{n(n-1)/2+1}</math> ; voir la {{OEIS|A090599}}</center>Le nombre de lois régulières à gauche (ou à droite) est <center><math>(n!)^n</math> ; voir la {{OEIS|A036740}}</center>Pour le nombre de lois régulières, soit le nombre de structures de [[Quasigroupe|quasi-groupe]] sur ''<math>E</math>,'' et aussi le nombre de [[Carré latin|carrés latins]] formés avec <math>n</math> objets, voir la {{OEIS|A002860}}.

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | wikiversity = Loi (mathématiques)
  | wikiversity titre = Loi (mathématiques)
}}
* [[Algèbre universelle]]
* [[Morphisme]]
* [[Table de Cayley|Table d'une loi de composition interne]]

== Références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==

* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=N.|nom1=Bourbaki|lien auteur1=N. Bourbaki|titre=[[Éléments de mathématique]]|volume=II|titre volume=Algèbre, Chapitres 1 à 3|lieu=Berlin|éditeur=Springer|année=1970|numéro d'édition=2|réimpression=2007|isbn=978-3-540-33849-9|présentation en ligne=https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-540-33849-9}}
*{{Lang1}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Opération]]
[[Catégorie:Algèbre générale]]