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12/2/2005 : Laisser \, en début de certaines formules TeX, cela permet de contourner un bogue.
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[[Image:Triangle and circumcircle with notations.png<!--24/2/2016 : pas trouvé un .svg vraiment équivalent-->|thumb|right|Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.]]
En [[trigonométrie]], la '''loi des sinus''' est une relation de [[proportionnalité]] entre les [[longueur]]s des côtés d'un [[triangle]] et les [[sinus (mathématiques)|sinus]] des [[angle]]s respectivement opposés. Elle permet, connaissant deux angles et un côté, de calculer la longueur des autres côtés. 

Il existe une '''formule des sinus''' de présentation analogue en [[trigonométrie sphérique]].

Ces lois sont énoncées et démontrées,  pour la forme sphérique, par [[Abu Nasr Mansur]] au début du {{s-|XI|e}} et, pour la forme plane, par [[Nasir al-Din al-Tusi]] au début du {{s-|XIII|e}}<ref>{{chapitre|auteur1=Marie-Thérèse Debarnot|titre chapitre= Trigonométrie|auteurs ouvrage=[[Roshdi Rashed]] (dir.)|titre ouvrage=Histoire des sciences arabes|sous-titre ouvrage=Mathématiques et physiques|tome=2|passage=161-198|année=1997|édition=Seuil}}, pp. 173 et 184</ref>. 

== Loi des sinus en géométrie plane ==
=== Énoncé ===
On considère un triangle quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :
* ''a'' = BC et ''α'' = angle formé par [AB] et [AC] ;
* ''b'' = AC et ''β'' = angle formé par [BA] et [BC] ;
* ''c'' = AB et ''γ'' = angle formé par [CA] et [CB].
La formule dite des sinus est alors :
:<math>\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} </math>,
On a même mieux :
:<math>\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R</math>,
où ''R'' est le rayon du [[Triangle#Médiatrices et centre du cercle circonscrit|cercle circonscrit]] au triangle ABC et 
:<math>S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>
est l'aire du triangle donnée à partir du demi-périmètre ''p'' par la [[formule de Héron]].

La relation de proportionnalité est parfois résumée ainsi :
:<math>a:b:c = \sin\alpha:\sin\beta:\sin\gamma</math>

Le théorème peut être utilisé
* pour déterminer le rayon du cercle circonscrit<br /><math>\,R = \frac{a}{2\sin\alpha}</math>
* pour [[résolution d'un triangle|résoudre un triangle]] dont on connaît deux angles et un côté. 

{{Clr}}

=== Démonstrations ===
==== En exprimant une hauteur de deux manières ====
[[Image:Law of sines proof.svg|thumb|Fig.2]]
On considère un triangle de côtés ''a'', ''b'', et ''c'', et α, β, γ ses angles aux sommets ''A'', ''B'', et ''C'' respectivement. La hauteur issue de ''C ''divise le triangle ABC en deux triangles rectangles. Notons ''h'' cette hauteur ; on peut appliquer la définition du sinus dans les deux petits triangles rectangles pour exprimer ''h '':

:<math>\sin \alpha = \frac hb\text{ et } \sin \beta = \frac{h}{a}.</math>

Dont on tire deux expressions pour ''h '':
:<math>h = b \sin \alpha = a\sin \beta \,</math>

et donc :
:<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}.</math>

En faisant de même avec la hauteur issue de ''A'' on obtient :
:<math>\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.</math>

==== Par le calcul de l'aire du triangle ====
L'aire ''S'' du triangle peut se calculer en choisissant le côté ''AB = c'' comme base et ''h'' comme hauteur. On obtient alors :
:<math>S=\frac{c\times h}2=\frac{c\times b\sin\alpha}2.</math>
En multipliant par <math>\tfrac a{S\sin\alpha}</math>, on en déduit :
:<math>\frac a{\sin\alpha}=\frac{abc}{2S}.</math>
Par symétrie des notations,
:<math>\frac b{\sin\beta}=\frac{abc}{2 S}\quad{\rm et}\quad\frac c{\sin\gamma}=\frac{abc}{2S}.</math>

==== Par le [[théorème de l'angle inscrit]] ====
{{Images
|image1=Dowód sinusów2.svg
|légende1=Fig. 3. [[Théorème de l'angle inscrit|{{math|1=''γ = δ''}}]] et {{math|1=sin ''γ'' = [[Angle inscrit dans un demi-cercle|sin ''δ'' = {{sfrac|''c''|2''R''}}]]}}.
|image2=Dowód sinusów3.svg
|légende2=Fig. 4. [[Théorème de l'angle inscrit|{{math|1=''γ = π – δ''}}]] et {{math|1=[[Angles supplémentaires|sin ''γ'' = sin ''δ'']] = {{sfrac|''c''|2''R''}}}}.
|image3=Dowód sinusów1.svg
|légende3=Fig. 5. {{math|1=''γ'' = [[Angle droit|{{sfrac|''π''|2}}]]}}.
}}
En remplaçant {{math|''C''}} par le point {{math|''D''}} diamétralement opposé à {{math|''A''}} sur le [[Cercle circonscrit à un triangle|cercle circonscrit]], on trouve (Fig. 3 et 4)<ref>{{Ouvrage|titre=Maths 4|auteur=R. Bastin|auteur2=B. Baudelet|auteur3=S. Bouzette|auteur4=P. Close|éditeur=de Boeck|collection=Adam|année=2009|isbn=978-2-80410143-5|url={{Google Livres|i2kpAwAAQBAJ|page=241}}|page=241-242}}.</ref>{{,}}<ref>{{lien web|url=https://blogdemaths.wordpress.com/2011/06/18/loi-des-sinus-une-demonstration-simple|titre=Loi des sinus – Une démonstration simple|site=blogdemaths.wordpress.com|année=2011}}.</ref> :
:<math>\sin\gamma=\frac c{2R}\quad{\rm donc}\quad\frac c{\sin\gamma}=2R.</math>
[[Angle inscrit dans un demi-cercle|Si {{math|''A''}} et {{math|''B''}} sont diamétralement opposés]], cette construction n'est pas possible mais l'égalité est immédiate (Fig. 5).

On démontre de même que
:<math>\frac b{\sin\beta}=2R\quad{\rm et}\quad\frac a{\sin\alpha}=2R.</math>

== Formule des sinus en trigonométrie sphérique ==
On considère un [[Triangle sphérique|triangle {{formule|''ABC''}} sur une sphère]] de centre ''O''. On note ''α'' (respectivement ''β'' et  ''γ'') l'angle du triangle au sommet ''A'' (respectivement ''B'' et ''C''). On note ''a'', ''b'' et ''c'' les angles sous-tendus au centre ''O'' de la sphère par la partie de grand cercle correspondante. Ainsi ''a'' désigne l'angle ''BOC'', etc. Bien entendu les longueurs des côtés se déduisent de ''a'', ''b'' et ''c'' en les multipliant par le rayon de la sphère.

La formule des sinus s'énonce alors de la manière suivante :
{{retrait|<math>\frac{\sin a}{\sin \alpha} = \frac{\sin b}{\sin \beta} = \frac{\sin c}{\sin \gamma}.</math>}}

Elle met en évidence une dualité entre les angles au centre et les angles aux sommets.

== En dimensions supérieures ==
Plus généralement, pour un ''n''-[[simplexe]] (par exemple un [[tétraèdre]] ({{math|''n'' {{=}} 3}}), un [[pentachore]] ({{math|''n'' {{=}} 4}}), etc. ; le triangle correspond au cas ''n'' = 2) d'un [[espace euclidien]] de dimension ''n'',  la [[valeur absolue]] du [[sinus polaire]] de l'ensemble des vecteurs normaux aux faces autour d'un sommet, divisée par l'aire de la face opposée à ce sommet, ne dépend pas de ce sommet, et vaut <math>\frac{(nV)^{n-1}}{(n-1)! P}</math>, où ''V''  est le volume du simplexe, et ''P'' le produit des aires de ses faces.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Law of sines|452737070|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Law of sines}}

=== Liens externes ===
*{{MathWorld|nom_url=LawofSines|titre=Law of Sines}}
*{{MathWorld|nom_url=GeneralizedLawofSines|titre=Generalized Law of Sines}}

=== Articles connexes ===
* [[Trigonométrie]] :
** [[sinus (mathématiques)|sinus]] ;
** [[fonction trigonométrique]] ;
** [[trigonométrie sphérique]] ;
** [[triangulation]].
* [[Géométrie]] du [[triangle]] :
** [[loi des cosinus]] ;
** [[loi des tangentes]] ;
** [[résolution d'un triangle]].

{{Palette|Trigonométrie|Triangle}}
{{Portail|géométrie}}

{{DEFAULTSORT:Loi sinus}}
[[Catégorie:Théorème de géométrie|Sinus]]
[[Catégorie:Trigonométrie]]
[[Catégorie:Mathématiques élémentaires]]
[[Catégorie:Géométrie du triangle]]