Voir la source de Loi du χ²

{{Autre|les méthodes expérimentales|Test du χ²{{!}}Test du {{Formule|χ{{exp|2}}}}|méthode des moindres carrés}}
{{Infobox Distribution statistiques
|   name       = Loi du {{Formule|χ{{exp|2}}}}
 | pdf_image   = Chi-square pdf.svg
 | pdf_légende = 
 | cdf_image   = Chi-square cdf.svg
 | cdf_légende = 
|   parameters = <math>k \in \N_0</math>  degrés de liberté
|   support    = <math>x \in [0, +\infty[\,</math>
|   pdf        = <math>\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} {\rm e}^{-x/2}\,</math>
''où <math>\Gamma</math> est la [[fonction gamma]]''
|   cdf        = <math>\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,</math>
''où <math>\gamma</math> est la [[fonction gamma incomplète]]''
|   mean       = <math>k\,</math>
|   median     = <math>\approx k-2/3\,</math>
|   mode       = <math>k-2\,</math> si <math>k\geq 2\,</math>
|   variance   = <math>2\,k\,</math>
|   skewness   = <math>\sqrt{8/k}\,</math>
|   kurtosis   = <math>\frac{12}{k}\,</math>
|   entropy    = <math>\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)</math>
|   mgf        = <math>(1-2\,t)^{-k/2}</math> pour <math>2\,t<1\,</math>
|   char       = <math>(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,</math>
}}

En [[Statistique|statistiques]] et en [[théorie des probabilités]], la '''loi du {{Formule|χ{{exp|2}}}}''' centrée (prononcé « khi carré » ou « khi-deux ») avec ''k'' degrés de liberté est la [[Loi de probabilité|loi]] de la somme de carrés de ''k'' [[Loi normale|lois normales]] centrées réduites [[Indépendance (probabilités)|indépendantes]].

La loi du {{Formule|χ{{exp|2}}}} est utilisée en [[inférence statistique]] et pour les [[Test (statistique)|tests statistiques]] notamment le [[test du χ²]].

La [[loi du χ² non centrée]] généralise la loi du {{Formule|χ{{exp|2}}}}.

== Définition et caractéristiques ==

=== Définition ===
Soient ''k'' variables aléatoires {{math|''X''{{ind|1}}, ... , ''X{{ind|k}}''}} indépendantes suivant la [[loi normale]] centrée et réduite, c'est-à-dire la loi normale <math>\mathcal N(0, 1)</math> de moyenne 0 et d'écart-type 1. Alors par définition la variable {{mvar|X}} définie par 

:<math>X:=\sum_{i=1}^k X_i^2</math>

suit une loi du {{math|χ{{2}}}} à ''k'' degrés de liberté. La loi de {{mvar|X}} est notée {{math|χ{{2}} (''k'')}}{{Référence nécessaire|date=18 juin 2022}} ou {{math|χ {{indexp|''k''|2}}}}.

=== Caractéristiques ===
La [[densité de probabilité]] de {{mvar|X}} notée {{mvar|f{{ind|X}}}} est :

:<math>f_X(x; k)=\frac{1}{2^\frac{k}{2}\Gamma(\frac{k}{2})} x^{\frac{k}{2} - 1} {\rm e}^{-\frac{x}{2}}\,</math> pour tout ''x'' positif

où {{math|Γ}} est la [[fonction gamma]]<ref>La loi de ''X'' est un cas particulier de loi plus générale dite [[loi Gamma]].</ref>.

Sa [[fonction de répartition]] est :

:<math> F_X(x;\,k) = \frac{\gamma(\frac{k}{2},\,\frac{x}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}</math> où <math>\gamma(s,t)</math> est la [[fonction gamma incomplète]].

== Approximation ==

Conformément au [[théorème central limite]], lorsque ''k'' est « grand » (''k'' > 100<ref>{{article |lang=en |titre=Exploring How to Simply Approximate the P-value of a Chi-Squared Statistic |auteur=Eric J. Beh |périodique=Austrian Journal of Statistics |date=juin 2018 |volume=47 |pages={{p.|63–75}} |lire en ligne=http://www.ajs.or.at/
doi:10.17713/ajs.v47i3.757 }}</ref>), la loi d'une variable de {{math|χ{{2}}}}, somme de [[Variable aléatoire|variables aléatoires]] indépendantes, peut être approchée par une [[loi normale]] d'espérance ''k'' et de [[Variance (mathématiques)|variance]] 2''k''.

D'autres fonctions en {{math|χ{{2}}}} peuvent converger plus rapidement vers la loi normale, notamment en ayant {{math|''X'' ~ χ{{2}}(''k'')}} et {{math|''k'' > 30}} :
* {{racine|2''X''}} – {{racine|2''k''–1}} peut être approchée par une loi normale centrée réduite (approximation de [[Ronald Aylmer Fisher]]<ref>{{ouvrage |lang=en |titre=Statistical Methods for Research Workers |auteur=Ronald Aylmer Fisher |année=1928 |édition=2}}</ref>).
* {{racine|''X''/''k''|n=3}} peut être approchée par une loi normale de moyenne {{math|1 – {{sfrac|2|9''k''}}}} et de variance {{sfrac|2|9''k''}} (approximation de Wilson et Hilferty, 1931<ref>{{ouvrage |lang=en |auteur1=Edwin B. Wilson |auteur2=Margaret M. Hilferty, |titre=The distribution of Chi-square |lieu=Department of vital statistics, Harvard school of public health |date=6 novembre 1931 |lire en ligne=https://water.usgs.gov/osw/bulletin17b/Wilson_Hilferty_1931.pdf |pages={{p.|687}}}}</ref>).
* {{racine|''X''}} peut être approchée par <math display=inline> - 1,37266 + 1,06807\sqrt{k} + (2,13161 -0,0458\sqrt{k})\sqrt{-\log_{10}(\alpha)}</math> (approximation de Hoaglin<ref>{{article |lang=en |auteur1=DC Hoaglin |titre=Approximations for Chi-squared Percentage Points |périodique=Journal of the
American Statistical Association |année=1977 |volume=2 |pages={{p.|508 – 515}}}}</ref>).

== Utilisation ==
{{Section vide ou incomplète}}
Cette loi est principalement utilisée dans le [[test du chi2|test du χ{{2}}]] basé sur la [[loi multinomiale]]  pour vérifier l'adéquation d'une distribution empirique à une loi de probabilité donnée. Plus généralement elle s'applique dans le test d'hypothèses à certains seuils (indépendance notamment).

Elle est également utilisée pour établir des [[Intervalle de confiance|intervalles de confiance]] concernant la variance ou l'écart-type de variables aléatoires gaussiennes.

== Histoire ==
Cette loi a été décrite pour la première fois par le géodésiste et statisticien allemand [[Friedrich Robert Helmert]] dans des articles de 1875–6,{{sfn|Hald|1998|pp=633–692|loc=27. Distributions d'échantillonnage sous normalité}}<ref>{{ouvrage |lang=de |auteur1=[[Friedrich Robert Helmert]] |lire en ligne=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN599415665_0021 |titre chapitre=Ueber die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und über einige damit im Zusammenhange stehende Fragen |titre=Zeitschrift für Mathematik und Physik |année=1876 |pages=192–218}}</ref> où il a calculé la distribution d'échantillonnage de la variance de l'échantillon d'une population normale. Ainsi, en allemand, cela était traditionnellement connu sous le nom de ''Helmert'sche'' ("Helmertien") ou "distribution d'Helmert".

Cette loi a été redécouverte indépendamment par le mathématicien anglais [[Karl Pearson]] dans le contexte de la [[qualité de l'ajustement]], pour lequel il a développé son [[test du χ² de Pearson]], publié en 1900, avec une table calculée de valeurs publiées dans {{Harv|Elderton|1902}}, recueillies dans {{Harv|Pearson|1914|pp=xxxi–xxxiii, 26–28|loc=Table XII}}.
Le nom "chi-carré" dérive finalement de la [[sténographie]] de Pearson pour l'exposant dans une [[loi normale multidimensionnelle]] avec la lettre grecque [[Chi]], écrivant {{math|−{{sfrac|1|2}}χ<sup>2 </sup>}} pour ce qui apparaîtrait dans la notation moderne comme {{math|−{{sfrac|1|2}}'''x'''<sup>T</sup>Σ<sup>−1</sup>'''x{{'}}'''}} (Σ étant la [[matrice de covariance]])<ref>{{article |lang=en |titre=Karl Pearson and the Chi-Squared Test |auteur=R. L. Plackett |périodique=International Statistical Review |volume=51 |numéro=1 |date=avril 1983 |pages={{pp.|59-72}} |jstor=1402731}}
Voir aussi Jeff Miller, [http://jeff560.tripod.com/c.html Early Known Uses of Some of the Words of Mathematics].</ref>.

L'idée d'une famille de "distributions du chi carré", cependant, n'est pas due à Pearson mais est apparue comme un développement ultérieur dû à [[Ronald Aylmer Fisher]] dans les années 1920{{sfn|Hald|1998|pp=633–692|loc=27. Distributions d'échantillonnage sous normalité}}.

== Liens avec d'autres lois ==
Soient {{mvar|X{{ind|i}}}} des variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales d'espérance {{mvar|μ{{ind|i}}}} et de variance {{math|''σ{{ind|i}}''{{2}}}}.

{| class="wikitable"
|+Différentes lois du {{Formule|χ}} et {{Formule|χ{{exp|2}}}}

|-
! Lois !! en fonction de variables de loi normale
|-
| loi du χ{{2}} || <math>\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2</math>
|-
| [[Loi du χ² non centrée|Loi du χ{{2}} non centrée]] || <math>\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2</math>
|-
| [[Loi inverse-χ²|Loi inverse-χ{{2}}]] || <math>\left[\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2\right]^{-1}</math>
|-
| [[loi du χ]] || <math>\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}</math>
|-
| [[loi du χ non centrée]] || <math>\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2}</math>
|}

Si ''X'' est une variable aléatoire de [[loi normale]] centrée et réduite et ''Y'' suit une loi du {{Formule|χ{{exp|2}}}} à ''n'' degrés de liberté, ''X'' et ''Y'' étant indépendantes, alors <math>\frac{X}{\sqrt{Y/n}}</math> suit une [[loi de Student]] à ''n'' degrés de liberté.

Si ''X'' suit une loi du {{Formule|χ{{exp|2}}}} à ''n'' degrés de liberté, et ''Y'' une loi du {{Formule|χ{{exp|2}}}} à ''m'' degrés de liberté, et si ''X'' et ''Y'' sont indépendantes, alors <math>\frac{X/n}{Y/m}</math> suit une [[loi de Fisher]] à ''n'' et ''m'' degrés de liberté.

== Table de valeurs des quantiles ==
Le tableau suivant fournit les valeurs de certains [[Quantile|quantiles]] de la loi du {{Formule|χ{{exp|2}}}} pour différents degrés de liberté ''k''. Pour chaque valeur de {{math|α}}, le quantile donné est tel que la probabilité pour qu'une variable suivant une loi de {{Formule|χ{{exp|2}}}} à ''k'' degrés de liberté lui soit inférieur est de {{math|1 – α}}. Par exemple, pour {{math|1 – α {{=}} 0,95}} et ''k'' = 7, si {{mvar|X}} suit une loi de {{Formule|χ{{exp|2}}}} à 7 degrés de liberté, on lit dans la table  que <math>\mathbb{P}(X \leqslant 14,07)=0,95.</math>
{| class="wikitable"
!Degrés de liberté
! colspan="11" |Valeur du {{Formule|χ{{exp|2}}}}
|-
| style="text-align:center;" |1
|0.004
|0.02
|0.06
|0.15
|0.46
|1.07
|1.64
|2.71
|3.84
|6.63
|10.83
|-
| style="text-align:center;" |2
|0.10
|0.21
|0.45
|0.71
|1.39
|2.41
|3.22
|4.61
|5.99
|9.21
|13.82
|-
| style="text-align:center;" |3
|0.35
|0.58
|1.01
|1.42
|2.37
|3.66
|4.64
|6.25
|7.81
|11.34
|16.26
|-
| style="text-align:center;" |4
|0.71
|1.06
|1.65
|2.20
|3.36
|4.88
|5.99
|7.78
|9.49
|13.28
|18.47
|-
| style="text-align:center;" |5
|1.14
|1.61
|2.34
|3.00
|4.35
|6.06
|7.29
|9.24
|11.07
|15.09
|20.52
|-
| style="text-align:center;" |6
|1.63
|2.20
|3.07
|3.83
|5.35
|7.23
|8.56
|10.64
|12.59
|16.81
|22.46
|-
| style="text-align:center;" |7
|2.17
|2.83
|3.82
|4.67
|6.35
|8.38
|9.80
|12.02
|14.07
|18.48
|24.32
|-
| style="text-align:center;" |8
|2.73
|3.49
|4.59
|5.53
|7.34
|9.52
|11.03
|13.36
|15.51
|20.09
|26.12
|-
| style="text-align:center;" |9
|3.32
|4.17
|5.38
|6.39
|8.34
|10.66
|12.24
|14.68
|16.92
|21.67
|27.88
|-
| style="text-align:center;" |10
|3.94
|4.87
|6.18
|7.27
|9.34
|11.78
|13.44
|15.99
|18.31
|23.21
|29.59
|-
| style="text-align:center;" |11
|4.57
|5.58
|6.99
|8.15
|10.3
|12.9
|14.6
|17.3
|19.7
|24.7
|31.3
|-
| style="text-align:center;" |12 
|5.23
|6.30
|7.81
|9.03
|11.3
|14.0
|15.8
|18.5
|21.0
|26.2
|32.9
|-
|style="text-align:center;" |13
|5.89
|7.04
|8.63
|9.93
|12.3
|15.1
|17.0
|19.8
|22.4
|27.7
|34.5
|-
| style="text-align:center;" |14
|6.57
|7.79
|9.47
|10.8
|13.3
|16.2
|18.2
|21.1
|23.7
|29.1
|36.1
|-
|style="text-align:center;" |15
|7.26
|8.55
|10.3
|11.7
|14.3
|17.3
|19.3
|22.3
|25.0
|30.6
|37.7
|-
! scope="row" style="text-align:right;" |{{math|1 – α}}
| 0.05
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.5
| 0.7
| 0.8
| 0.9
| 0.95
| 0.99
| 0.999
|-
|}

== Lien avec les méthodes bayésiennes ==
Dans son ouvrage ''Décisions rationnelles dans l'incertain'' (1974), qui constitue une somme des [[inférence bayésienne|techniques bayésiennes]] dont la grande émergence se fait à cette époque, le professeur  [[Myron Tribus]] montre que le {{math|χ{{2}}}} constitue un exemple de passage à la limite du ''psi-test'' (test de plausibilité) bayésien lorsque le nombre de valeurs en présence devient grand - ce qui est la condition de travail des statistiques classiques, mais pas nécessairement des bayésiennes. Le raccord entre les deux disciplines, qui sont asymptotiquement convergentes, est ainsi complet.

L'ouvrage de référence de [[Edwin Thompson Jaynes|Jaynes]] en donne également une démonstration en page 287<ref>[http://bayes.wustl.edu/etj/prob/book.pdf Introduction du livre]</ref>.

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Loi Gamma]]
* [[Loi de Rice]]
* [[Méthode des moindres carrés]]
* [[Test du χ²]]

=== Notes et références ===
{{Références}}

== Liens externes ==
* {{Mathworld |titre=Chi-Squared Distribution |nom_url=Chi-SquaredDistribution}}

== Bibliographie ==

* H. O. Lancaster (1969) ''The Chi-squared Distribution'', New York: Wiley.

{{Palette|Lois de probabilités}}
{{Portail|probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Loi de probabilité|chi deux]]
[[Catégorie:Méthode d'analyse]]