Voir la source de Loi log-normale

{{Infobox Distribution statistiques
 | name        = Loi Log-normale
 | pdf_image   = Lognormal_distribution_PDF.png
 | pdf_légende = μ=0
 | cdf_image   = Lognormal_distribution_CDF.png
 | cdf_légende = μ=0
| parameters =<math>\sigma > 0</math><br /><math>-\infty < \mu < \infty</math>|
  support    =<math> ]0; +\infty[\!</math>|
  pdf        =<math>\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\left[\ln(x)-\mu\right]^2}{2\sigma^2}\right)</math>|
  cdf        =<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]</math>|
  mean       =<math>\mathrm{e}^{\mu+\sigma^2/2}</math>|
  median     =<math>\mathrm{e}^{\mu}</math>|
  mode       =<math>\mathrm{e}^{\mu-\sigma^2}</math>|
  variance   =<math>(\mathrm{e}^{\sigma^2}\!\!-1) \mathrm{e}^{2\mu+\sigma^2}</math>|
  skewness   =<math>(\mathrm{e}^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{\mathrm{e}^{\sigma^2}\!\!-1}</math>|
  kurtosis   =<math>\mathrm{e}^{4\sigma^2}\!\!+2\mathrm{e}^{3\sigma^2}\!\!+3\mathrm{e}^{2\sigma^2}\!\!-6</math>|
  entropy    =<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu</math>|
  mgf        =|
  char       =
}}

En [[théorie des probabilités]] et [[statistique]], une [[variable aléatoire]] X est dite suivre une '''loi log-normale''' de paramètres <math>\mu</math> et <math>\sigma^2 </math> si la variable <math>Y=\ln(X)</math> suit une [[loi normale]] d'espérance <math>\mu </math> et de variance <math>\sigma^2 </math>.

Cette loi est parfois appelée loi de [[Francis Galton|Galton]]. Elle est habituellement notée <math>\operatorname{Log-\mathcal{N}}(\mu,\, \sigma^{2})</math> dans le cas d'une seule variable ou <math>\operatorname{Log-\mathcal{N}}(\mu,\, \Sigma) </math> dans un contexte multidimensionnel.

Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants<ref>Bernard Delmas, ''Statistique descriptive'', Paris, Nathan, 1996, {{p.|143}}.</ref>.

== Caractérisation ==
=== Densité ===
La loi log-normale de paramètres <math>\mu</math> et <math>\sigma</math> admet pour [[densité de probabilité]]

:<math>f_{X}(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} \exp\left(- \frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right) = \frac{1}{x}f_{Y}(\ln(x);\mu,\sigma)</math>

pour <math>x>0</math>.
Les paramètres <math>\mu</math> et <math>\sigma</math> sont l'[[Espérance mathématique|espérance]] et l'[[écart type]] du [[logarithme]] de la variable (puisque par définition, le logarithme de la variable est distribué selon une loi normale d'espérance <math>\mu</math> et d'écart-type <math>\sigma</math>).

=== Fonction de répartition ===
Par intégration de la fonction de densité, il vient que la [[fonction de répartition]] s'exprime en fonction de la [[fonction d'erreur]] {{math|erf}} :

:<math>F_{X}(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right] = F_{Y}(\ln(x);\mu,\sigma).</math>

=== Moments ===
Tous les [[moment (mathématiques)|moments]] existent et sont donnés par :
:<math>\mu_k=\mathrm{e}^{k\mu+k^2\sigma^2/2}.</math>

=== Espérance et écart-type ===
L'[[Espérance mathématique|espérance]] est 

:<math>\mathrm{E}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \sigma^2/2}</math>

et la [[Variance (statistiques et probabilités)|variance]] est

:<math>\mathrm{Var}(X) = (\mathrm{e}^{\sigma^2} - 1) \mathrm{e}^{2\mu + \sigma^2}.\,</math>

Des relations équivalentes permettent d'obtenir <math>\mu</math> et <math>\sigma</math> étant données l'espérance et l'écart-type :

:<math>\left\{
\begin{align}
\mu &= \ln(\mathrm{E}(X))- \frac{1}{2} \sigma^2\\
\sigma^2 &= \ln\left(1+\frac{\mathrm{Var}(X)}{(\mathrm{E}(X))^2}\right)
\end{align}
\right.</math>

=== Autres relations ===

:<math>\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathrm{E}(X) \, \sigma^{2}(Y)</math>
:<math>\mathrm{Cov}(X, Z) = \mathrm{E}(X) \, \mathrm{Cov}(Y, Z)</math>
:<math>\mathrm{Cor}(X, Z) = \mathrm{Cor}(Y, Z) \, \sigma(Y) \, (\mathrm{e}^{\sigma^{2}(Y)}-1)^{-1/2}</math>

où <math>Z</math> est une variable normale quelconque de variance <math>\sigma^{2}(Z)</math>.

Pour deux variables log-normales, les relations sont indiquées dans le contexte multidimensionnel ci-dessous.

=== Comportement de la densité ===
Il suffit de [[Dérivée|dériver]] la densité de la loi log-normale pour vérifier les résultats suivants :
*En ''x'' = 0, la [[Singularité (mathématiques)|singularité]] de la densité n’est qu’apparente car elle satisfait
::<math>\lim_{x \to 0+} f_{X}(x;\mu,\sigma) = 0.</math>
:La fonction peut ainsi être prolongée en 0 de manière continue en lui attribuant la valeur 0.
:Lorsque la valeur du mode est très faible (<math>\mu = 0 \,</math> et <math>\sigma=10 \,</math> comme dans le cartouche ci-dessus), le graphe de la densité semble diverger en 0, ce qui n’est formellement pas le cas.
*Comme l’indique son [[Mode (statistiques)|mode]], la densité admet un maximum en <math>x_{m} = \exp(\mu-\sigma^2)</math> où sa valeur atteint
::<math>f_{X}(x_{m};\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \, \exp\left(\frac{\sigma^2}{2} - \mu\right).</math>

== Loi log-normale multidimensionnelle ==
Un vecteur aléatoire <math>\boldsymbol{X}</math> est dit suivre une '''loi log-normale multidimensionnelle''' de paramètres <math>\boldsymbol{\mu}\in\mathbb{R}^N</math> et <math>\boldsymbol{\Sigma}\in\mathcal{M}_N(\R)</math> si le vecteur <math>\boldsymbol{Y}=\ln(\boldsymbol{X})</math> (composante par composante) suit une [[loi normale multidimensionnelle]] dont le vecteur des espérances est <math>\boldsymbol{\mu}</math> et la [[Covariance#Définition de la matrice de covariance|matrice de covariance]] est <math>\boldsymbol{\Sigma}</math>.

Cette loi est habituellement notée <math>\operatorname{Log-\mathcal{N}}(\boldsymbol{\mu},\, \boldsymbol{\Sigma}) </math>.


La densité de probabilité et la fonction de répartition sont les suivantes :
:<math>f_{\boldsymbol{X},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}}\left(\boldsymbol{x}\right)=
\frac{1}{\prod_{i=1}^N x_i} \; f_{\boldsymbol{Y},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}}\left(\ln(\boldsymbol{x})\right)</math>   où  <math>f_{\boldsymbol{Y},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}}()</math> est la densité de  <math>\boldsymbol{Y}</math>.

:<math>F_{\boldsymbol{X},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}}\left(\boldsymbol{x}\right)=
F_{\boldsymbol{Y},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}}\left(\ln(\boldsymbol{x})\right)</math>   où  <math>F_{\boldsymbol{Y},\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}}()</math> est la fonction de répartition de <math>\boldsymbol{Y}</math>.


Les espérances et covariances sont données par les relations (valables également dans le [[cas dégénéré]]) :
:<math>\operatorname{E}\left([\boldsymbol X]_i \right)=\mathrm{e}^{\boldsymbol{\mu}_i+\frac{1}{2}\boldsymbol{\Sigma}_{ii}} ,</math>

:<math>\operatorname{Cov}\left([\boldsymbol X]_i , [\boldsymbol X]_j\right)=\operatorname{E}\left( [\boldsymbol{X}]_i  \right)\operatorname{E}\left( [\boldsymbol{X}]_j \right) \; (\mathrm{e}^{\boldsymbol{\Sigma}_{ij}} - 1) . </math>

{{Démonstration|titre=Eléments de justification|contenu=
Une évaluation de la densité de <math>\boldsymbol{X}</math> peut se baser sur la [[Densité de probabilité#Définition informelle de la densité de probabilité|définition informelle de la densité]], en exploitant celle de <math>\boldsymbol{Y}</math> (loi normale multidimensionnelle) après avoir effectué le changement de variable 
:<math>[\boldsymbol X]_i = \exp{\left( [\boldsymbol Y]_i \right)}.</math>


Les expressions relatives à l’espérance et à la covariance se déduisent de la [[fonction génératrice des moments]] de la loi normale multidimensionnelle, soit
:<math>M_\boldsymbol{Y}(\boldsymbol{t})= \exp\left( \boldsymbol{\mu}^\top \boldsymbol{t} + \frac{1}{2} \boldsymbol{t}^\top \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{t}\right).</math>

A l’aide du même changement de variable, on obtient respectivement

* avec  <math>t_k = \delta_{ik}</math> ([[symbole de Kronecker]]) :{{Retrait|<math>\operatorname{E}\left( [\boldsymbol X]_i \right)= \exp\left( \boldsymbol{\mu}_i + \frac{1}{2} \boldsymbol{\Sigma}_{ii} \right)</math>}}
* avec  <math>t_k = \delta_{ik} +  \delta_{jk}</math> :{{Retrait|<math>\operatorname{E}\left( [\boldsymbol X]_i \, [\boldsymbol X]_j \right)= \exp\left( \boldsymbol{\mu}_i +\boldsymbol{\mu}_j + \frac{1}{2} \boldsymbol{\Sigma}_{ii} + \frac{1}{2} \boldsymbol{\Sigma}_{jj} + \boldsymbol{\Sigma}_{ij} \right).</math>}}La conclusion découle de <math>\operatorname{Cov}\left([\boldsymbol X]_i , [\boldsymbol X]_j\right) = \operatorname{E}\left( [\boldsymbol X]_i \, [\boldsymbol X]_j \right) - \operatorname{E}\left( [\boldsymbol X]_i \right) \operatorname{E}\left( [\boldsymbol X]_j \right).</math>
}}


'''Remarques''' :
* Attention : la matrice de terme générique <math>\mathrm{e}^{\boldsymbol{\Sigma}_{ij}}</math> n’a rien à voir avec l’[[Exponentielle d'une matrice|exponentielle de la matrice]] <math>\boldsymbol{\Sigma}.</math>
* <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> peut être singulière (cas dégénéré) sans nécessairement impliquer que <math>C</math> le soit. Exemple :{{Retrait|<math>\boldsymbol{\Sigma}=\begin{pmatrix}
1 & -0,5 & 0,5\\
-0,5 & 1 & 0,5\\
0,5 & 0,5 & 1\\
\end{pmatrix}.</math>}}
* À toute matrice [[Matrice autoadjointe positive|semi-définie positive]], on peut associer un [[Normale (géométrie)|vecteur normal]] dont elle est la covariance. Par contre, il n’existe pas nécessairement un vecteur log-normal dont elle soit la covariance. En effet, avec la relation  <math>C_{ij} = \mathrm{e}^{\boldsymbol{\Sigma}_{ij}} - 1</math>, toute matrice <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> semi-définie positive conduit à une matrice <math>C</math> semi-définie positive, mais l’inverse n’est généralement pas vrai. Un [[contre-exemple]] où <math>C</math> est définie positive alors que <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> ne l’est pas :{{Retrait|<math>C=\begin{pmatrix}
1 & -0,5 & 0,9\\
-0,5 & 1 & -0,5\\
0,9 & -0,5 & 1\\
\end{pmatrix}.</math>}}

=== Positivité de la covariance ===

Les relations caractérisant les espérances et les covariances pouvant se déduire de la [[fonction génératrice des moments]] de la loi normale multidimensionnelle, la matrice de covariance doit naturellement être [[Matrice autoadjointe positive|semi-définie positive]]. Ce résultat est ici présenté de manière directe.

Puisque les espérances <math>\operatorname{E}\left([\boldsymbol X]_i \right)</math> sont strictement positives, <math>\operatorname{Cov}\left([\boldsymbol X]_i , [\boldsymbol X]_j\right)</math> est semi-définie positive si et seulement si <math>\mathrm{e}^{\boldsymbol{\Sigma}_{ij}} - 1</math> l’est : il suffit alors de considérer uniquement cette dernière matrice. Puisque la positivité de <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> est la seule propriété qui est exploitée, on notera cette matrice <math>A</math> qui ne fait plus référence à une covariance.

{{théorème|Lemme|
Soit <math>A</math> une matrice semi-définie positive et <math>p</math> un entier positif. Alors la matrice <math>A^{(p)}</math> définie par <math>(A^{(p)})_{ij}=(A_{ij})^p</math> l’est également.
}}
{{théorème|Proposition 1|
Si <math>A</math> est semi-définie positive, alors <math>C_{ij} = \mathrm{e}^{A_{ij}} - 1 \,</math> l’est également.
}}

Résultats relatifs au [[Spectre d'un opérateur linéaire|spectre]] de <math>C</math> indiquant des bornes pour ses [[valeur propre|valeurs propres]] :

{{théorème|Proposition 2|
Soit <math>A</math> semi-définie positive et notons
:*<math>0 \leq d_{-} \leq d_{+}</math> les valeurs extrêmes des coefficients diagonaux <math>A_{ii}</math>,
:*<math>0 \leq \lambda_{-} \leq \lambda_{+}</math> les valeurs propres extrêmes de <math>A</math>,
:*<math>0 \leq \lambda_{-}^{(p)} \leq \lambda_{+}^{(p)}</math> les valeurs propres extrêmes de <math>A^{(p)}</math>,
:*<math>0 \leq \mu_{-} \leq \mu_{+}</math> les valeurs propres extrêmes de <math>C_{ij} = \mathrm{e}^{A_{ij}} - 1.</math>
:Alors
#<math>\lambda_{-}^{(p)} \, d_{-} \leq \lambda_{-}^{(p+1)} \leq \lambda_{+}^{(p+1)} \leq \lambda_{+}^{(p)} \, d_{+},</math>
#<math>\lambda_{-} \, \mathrm{e}^{d_{-}} \leq \mu_{-} \leq \mu_{+} \leq \lambda_{+} \, \mathrm{e}^{d_{+}}.</math>
}}

{{Démonstration|titre=Preuves|contenu=
'''Preuve du Lemme :'''

Puisque <math>A</math> est  [[Matrice diagonalisable|diagonalisable]], elle peut s’écrire sous la forme
<math>A = ODO^{T}</math> où <math>O</math> est une [[matrice orthogonale]] (dont les colonnes sont les [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|vecteurs propres]] de <math>A</math>) et où <math>D</math> est une [[matrice diagonale]] dont les coefficients sont précisément les valeurs propres de <math>A</math>.

Supposons par induction sur <math>p</math> que <math>A^{(p)}</math> soit positive.
Pour tout vecteur <math>x</math>, on peut ainsi écrire
:<math>x^{T} A^{(p+1)} x = \sum_{ij} (A_{ij})^{p+1} x_{i} x_{j} = \sum_{ij} (A_{ij})^{p} A_{ij} \, x_{i} x_{j} = \sum_{ijk} (A_{ij})^{p} \, (O_{ik} D_{k} O_{jk}) \, x_{i} x_{j} =</math>
::<math>= \sum_{k} D_{k}  \sum_{ij} (A_{ij})^{p} \, (O_{ik} x_{i}) \, (O_{jk} x_{j}) = \sum_{k} \, D_{k} \, (y^{(k)})^T \, A^{(p)} \, y^{(k)} 
\geq 0</math>
où <math>y^{(k)}</math> est un vecteur défini par <math>y^{(k)}_{i} = O_{ik} \, x_{i}.</math>

L’inégalité découle de la positivité de <math>A</math> (impliquant <math>D_{k} \geq 0</math>) et de celle de <math>A^{(p)}</math> par hypothèse d’induction.

Cette inégalité montre que la positivité se préserve de proche en proche.



'''Preuve de la Proposition 1 :'''

Il suffit de remarquer que <math>C</math> est une somme de matrices semi-définies positives par la relation
:<math>C = \sum_{p \geq 1} \frac{1}{p !} A^{(p)}.</math>



'''Preuve de la Proposition 2 :'''

En repartant de l’égalité du Lemme où <math>x</math> est un vecteur propre de <math>A^{(p)}</math> de norme 1 pour la plus petite valeur propre <math>\lambda_{-}^{(p+1)}</math>, on en tire
:<math>\lambda_{-}^{(p+1)} = \sum_{k} \, D_{k} \, (y^{(k)})^T \, A^{(p)} \, y^{(k)} \geq \lambda_{-}^{(p)} \sum_{k} \, D_{k} \, \left\| y^{(k)} \right\| ^{2} =  \lambda_{-}^{(p)} \sum_{i} \, A_{ii} \, (x_{i})^{2} \geq \lambda_{-}^{(p)} \, d_{-}.</math>
Le même procédé s’appliquant pour <math>\lambda_{+}^{(p+1)}</math>, on en déduit le point 1.

Finalement, il suffit de reprendre le développement de <math>C</math> indiqué dans la preuve de la proposition 1 pour montrer le point 2.

Remarque : au vu des minorations (majorations) brutales (en particulier celles de la seconde inégalité), les bornes obtenues ne sont pas ''optimales''. 
}}

== Loi de Gibrat ==
{{Article détaillé| Loi de Gibrat}}
Historiquement nommée  ''loi de l'effet proportionnel'', puis parfois ''loi log-normale à 3 paramètres'', cette loi est une généralisation de la loi log-normale obtenue par l’ajout d’une simple [[Translation (géométrie)|translation]] en posant 
:<math>Y=\ln(X-X_0)</math>.

Elle est notée <math>\operatorname{Log-\mathcal{N}}(X_0,\, \mu,\, \sigma^{2})</math> et ne concerne que des valeurs <math>X > X_0.</math> Son utilisation devrait se limiter aux situations où cette borne inférieure possède un sens physique et dont la valeur est connue.

== Domaines d'application ==

=== Marchés financiers ===
La loi log-normale est souvent utilisée en [[Analyse quantitative (économie)|analyse quantitative]] pour représenter les [[Cours boursier|cours]] des [[Instrument financier|instruments financiers]] (notamment les [[Action (finance)|actions]], [[Taux de change|cours de change]], [[taux d'intérêt]]). Avec la loi multidimensionnelle, il est possible d’envisager des modèles susceptibles de considérer différents [[Actif financier|titres]] et leurs [[Corrélation (statistiques)|corrélations]], ce qui permet ainsi d’appréhender et de quantifier les [[Gestion des risques|risques]] d'un [[Portefeuille (finance)|portefeuille]].

Les cours n’étant pas négatifs, il est pertinent d'exprimer leurs variations sous forme relative (en pourcentage) et, en première approximation, les cours sont décrits par une loi log-normale.

D’autre part, une raison plus profonde réside dans l’estimation de la '''[[Volatilité (finance)|volatilité]]''' du cours d’une action qui peut être définie par l’'''écart-type du [[rendement]]''' :
:Si le prix d’une cotation passe de ''P1'' à ''P2'' durant une période d’un jour, le rendement journalier est ''r = P2 / P1 -1'' et, à ce rythme, l’expression continue du rendement ''R'' annuel satisfait  (''T'' = 365 jours) :
::<math>\mathrm{e}^R = (1+r)^T = (P_{2} / P_{1})^T , \;  ie \; R = T \, [\ln(P_{2})-\ln(P_{1})].</math>

On voit alors apparaître le lien entre la volatilité <math>\sigma(R)</math> et la variable aléatoire qui affecte le logarithme du cours.

=== Autres domaines ===
*Le nombre de mots dans une phrase peut être modélisé par une loi log-normale<ref>Stéphane Tufféry, ''Data mining et statistique décisionnelle : l'intelligence des données'', {{Refins|date=2/9/15|{{Google Livres|XHSPydK5Qr0C|page=347|{{p.|347}}}}}}.</ref>.
*La répartition des revenus dans la population peut également être approchée par une loi log-normale.
*En [[biologie]], on peut l'utiliser pour modéliser le poids des organismes vivants.
*En [[hydrologie]], les débits mensuels de petits [[Bassin versant|bassins versants]] à [[Régime pluvial|régimes pluviaux]].
*En [[génomique]], il a été observé que les taux de mutations varient le long des chromosomes et leur distribution peut être approximée par une loi log-normale.
*En [[mécanique des fluides]], la loi log-normale donne une bonne approximation de la fonction de distribution en taille de gouttes à la sortie d'un aérosol ou d'un jet pulvérisé.

==Notes et références==
<references/>

==Articles connexes==
* [[Probabilité]]
* [[Loi normale]]
* [[Loi normale multidimensionnelle]]

{{Palette|Lois de probabilités}}
{{portail|probabilités}}

[[Catégorie:Loi de probabilité|log-normale]]