Voir la source de Loi normale

{{En-tête label|BA|année=2013}}
{{Confusion|texte=Ne doit pas être confondu avec : des {{Page h'|Théorème de Gauss|théorèmes et lemmes de Gauss}} parfois appelés lois de Gauss, les autres {{Page h'|Loi de Laplace|lois de Laplace}} ou les autres sens du terme {{Page h'|Normal}}.}}
{{Infobox Distribution statistiques
 | name        = Loi normale
 | pdf_image   = Normal Distribution PDF.svg
 | pdf_légende = La courbe rouge représente la [[#Définition par la fonction de densité|fonction <math>\varphi</math>]],<br />densité de probabilité de la loi normale centrée réduite.
 | cdf_image   = Normal Distribution CDF.svg
 | cdf_légende = La courbe rouge représente la [[#Définition par la fonction de répartition|fonction <math>\Phi</math>]],<br />fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
 | parameters  = <math>\mu</math>, [[espérance (mathématiques)|espérance]] ([[nombre réel]])<br /><math>\sigma^2>0</math>, [[Variance (statistiques et probabilités)|variance]] (nombre réel)
 | support     = <math>\R</math>
 | pdf         = <math>\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!~</math>
 | cdf         = <math>\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right)\right) \!~</math>
 | mean        = <math>\mu</math>
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 | mode        = <math>\mu</math>
 | variance    = <math>\sigma^2</math>
 | skewness    = 0
 | kurtosis    = 0
 | entropy     = <math>\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,{\rm e}}\right)\!~</math>
 | mgf         = <math>\exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}2\right)</math>
 | char        = <math>\exp\left(\mu\,{\rm i}\,t-\frac{\sigma^2 t^2}2\right)</math>
}}
En [[théorie des probabilités]] et en [[statistique]], les '''lois normales''' sont parmi les [[Loi de probabilité|lois de probabilité]] les plus utilisées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires. Elles sont en lien avec de nombreux objets [[mathématiques]] dont le [[mouvement brownien]], le [[bruit blanc|bruit blanc gaussien]] ou d'autres lois de probabilité. Elles sont également appelées '''lois gaussiennes''', '''lois de Gauss''' ou '''lois de Laplace-Gauss''' des noms de [[Pierre-Simon de Laplace|Laplace]] (1749-1827) et [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] (1777-1855), deux mathématiciens, astronomes et physiciens qui les ont étudiées.

Plus formellement, une loi normale est une [[loi de probabilité]] [[loi de probabilité#Lois absolument continues|absolument continue]] qui dépend de deux paramètres : son [[Espérance mathématique|espérance]], un [[nombre réel]] noté {{mvar|μ}}, et son [[écart type]], un [[Nombre positif|nombre réel positif]] noté {{mvar|σ}}. La [[densité de probabilité]] de la loi normale d'espérance {{mvar|μ}} et d'[[écart type]] {{mvar|σ}} est donnée par :
<center><math>f(x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>.</center>
La courbe de cette densité est appelée ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche'', entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois. Lorsqu'une [[variable aléatoire]] {{mvar|X}} suit une loi normale, elle est dite ''gaussienne'' ou ''normale'' et il est habituel d'utiliser la notation avec la [[Variance (mathématiques)|variance]] {{mvar|σ}}{{2}} :<center><math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.</center>
La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, <math>\mathcal N(0, 1)</math>, est appelée '''loi normale centrée réduite''' ou '''loi normale standard'''.

Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au [[théorème central limite]]. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des [[Intervalle de confiance|mesures d'erreurs]] ou des [[tests statistiques]], en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.

== Définition et explications informelles ==
[[Fichier:Dice sum central limit theorem.svg|vignette|upright=1.5|alt=Cinq diagrammes en bâtons convergeant vers la densité d'une loi normale|{{Ancre|fig_clt}} Les diagrammes en bâtons représentent les lois discrètes de la somme de 1, 2, 3, 4 ou 5 dés. La courbe noire est la densité d'une loi normale vue comme limite des diagrammes en bâtons.]]
Les lois de probabilité permettent de décrire de manière théorique le caractère aléatoire d'une expérience qui est considérée comme aléatoire. Les lois normales en sont des cas particuliers. La manière historique de l'aborder est par approximation<ref name="Yadolah310"/>.

Lorsque le résultat de cette [[expérience aléatoire]] est à valeurs discrètes, par exemple la somme du lancer de deux dés vaut 2, 3… ou 12, une loi dite discrète modélise l'expérience. Les probabilités d'apparition de chaque valeur peuvent être représentées par des diagrammes en bâtons ou [[histogramme]]s (voir la [[#fig_clt|figure ci-contre]]). Plusieurs scientifiques (voir [[Histoire de la loi normale]]) se sont intéressés à la réalisation d'un grand nombre d'expériences et au comportement de la [[loi de probabilité]] associée. Il apparaît que les fréquences d'apparition des valeurs possibles sont de plus en plus « lissées »<ref name="Quinio36">{{Harvsp|Quinio Benamo|2005|p=36}}.</ref> (voir la figure ci-contre). Il existe une certaine répartition autour d'une valeur centrale ; ces probabilités peuvent être alors représentées par une [[Fonction gaussienne|courbe de Gauss]] ou courbe en cloche obtenue par calcul ou par expérience<ref name="Grinstead351">{{Harvsp|Grinstead|Snell|1997|p=351}}.</ref>. Cette courbe est celle de la [[densité de probabilité]] d'une loi normale. Le rôle central de ces lois de probabilité vient du fait qu'elles sont la limite d'un grand nombre de lois de probabilité définies à partir de sommes, comme le montre le [[théorème central limite]]<ref>{{ouvrage|présentation en ligne =https://books.google.fr/books?id=CQ3i_xaY5i4C&pg=PA50#v=onepage&q&f=false|auteur=Béatrice Beaufils|titre=Statistiques appliquées à la psychologie, Volume 2|édition=Bréal|année=1996|page=50}}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=VFoGF97GPiwC&pg=PA43#v=onepage&q&f=false| auteur= Gilbert Saporta|titre=Probabilités, analyse des données et statistique|édition=TECHNip|année=2011|page=43}}</ref>.

Une autre manière visuelle de voir apparaître cette courbe est réalisée par la [[planche de Galton]]. Des billes sont lâchées en haut de la planche ; à chaque étage, elles ont deux possibilités : aller à droite ou aller à gauche. Après plusieurs étages, elles ont donc eu plusieurs choix aléatoires. Lorsque le nombre de billes est grand, la répartition des billes suivant leur position est approximativement une loi normale<ref>{{Lien web |titre=Planche de Galton |url=http://sorciersdesalem.math.cnrs.fr/Vulgarisation/Galton/galton_plus.html |site=sorciersdesalem.math.cnrs.fr |consulté le=2020-06-06}}.</ref>.

Comme pour toute loi de probabilité, plusieurs définitions équivalentes des lois normales existent : par leur densité de probabilité (la courbe de Gauss), par leur fonction de répartition, par leur fonction caractéristique, etc. Une loi normale dépend de deux paramètres : le premier donne la [[moyenne]], c'est-à-dire la valeur « centrale » (ou « médiane ») des valeurs possibles<ref name="Grinstead212">{{Harvsp|Grinstead|Snell|1997|p=212}}.</ref> (par exemple, la moyenne de la somme de deux dés est 7) ; le deuxième paramètre renseigne sur la [[Indicateur de dispersion|dispersion]] des valeurs autour de cette valeur centrale<ref name="Grinstead212"/> : plus ce paramètre est faible, plus les valeurs proches de la valeur centrale auront une forte probabilité d'apparaître. Beaucoup de [[Grandeur physique|grandeurs physiques]] peuvent être représentées par ces deux paramètres<ref name="Protassov30">{{Harvsp|Protassov|2002|p=30}}.</ref>.

Lors de l'étude statistique d'une série d'observations d'une même grandeur, la moyenne des valeurs observées peut être considérée comme une [[variable aléatoire]] suivant une loi normale. La moyenne de cette loi normale est alors considérée comme la valeur « réelle » de la grandeur observée, et la dispersion de la loi renseigne sur l'« erreur » d'observation<ref name="Protassov29">{{Harvsp|Protassov|2002|p=29}}.</ref>. C'est-à-dire qu'il est possible de calculer<ref name="Protassov29"/> une [[valeur approchée]] de la probabilité qu'une variable suivant une loi normale soit dans un intervalle {{math|[''μ'' – ''σ'', ''μ'' + ''σ'']}} autour de la moyenne {{mvar|μ}}. Il s'agit de pouvoir obtenir une approximation de la grandeur observée dans l'expérience en considérant les erreurs dues aux instruments de mesure ou autres<ref name="Quinio36"/>.

== Histoire ==
{{multiple image
 | width = 100
 | footer = Le théorème central limite, {{ouvrage|langue=fr|prénom1=Pierre-Simon de |nom1=Laplace|lien auteur1=Pierre-Simon de Laplace|titre=Essai sur la philosophie des probabilités |numéro d'édition=6|année=1840|passage=90}}
 | image1 = Laplace Essai sur la philosophie des probabilitésTitre.jpg
 | alt1 = page de couverture de l'essai de Laplace
 | caption1 = 
 | image2 = Laplace Essai philosophique sur les probabilités 90.jpg
 | alt2 = p90 de l'essai de Laplace
 | caption2 = 
}}
{{article détaillé|Histoire de la loi normale|Histoire des probabilités}}
Une des premières apparitions d'une loi normale est due<ref group="a" name="Bru">{{article |prénom1=Bernard|nom1=Bru|titre=La courbe de Gauss ou le théorème de Bernoulli raconté aux enfants|périodique=Mathematics and Social Sciences|volume=175|numéro=3|année=2006|pages=5-23|url texte=https://msh.revues.org/3556}}.</ref> à [[Abraham de Moivre]] en 1733 en approfondissant l'étude de la [[factorielle]] {{math|''n''!}} lors de l'étude d'un jeu de [[pile ou face]]. Il publie ''The Doctrine of Chances'' en 1756 dans lequel une loi normale apparaît comme limite d'une [[loi binomiale]], ce qui sera à l'origine du [[théorème central limite]]<ref group="a" name="fuchs">{{article|prénom1=Aimé|nom1=Fuchs|titre=Plaidoyer pour la loi normale|périodique=Pour la Science|pages=17|année=1995|date=|url texte=https://irma.math.unistra.fr/~foata/fuchs/FuchsNormale.pdf|format=pdf}}.</ref>. En 1777, [[Pierre-Simon de Laplace]] reprend ces travaux et obtient une bonne approximation de l'erreur entre cette loi normale et une loi binomiale grâce à la [[fonction gamma]] d'Euler<ref group="a" name="Bru"/>. Dans son ouvrage publié en 1781{{Référence souhaitée}}, Laplace donne une première [[Table des lois de probabilités|table de cette loi]]. En 1809, [[Carl Friedrich Gauss]] assimile des erreurs d'observation en [[astronomie]] à la courbe, dite des erreurs, de la densité d'une loi normale<ref group="a" name="fuchs"/>.

Une loi normale est alors pleinement définie lorsque le premier [[théorème central limite]], alors appelé ''théorème de Laplace'', est énoncé par Laplace en 1812<ref group="a" name="Bru"/>. Son nom « normale » est donné par [[Henri Poincaré]] à la fin du {{s-|XIX|e}}<ref name="Stigler407">{{Harvsp|Stigler|1999|p=407}}.</ref>. Les lois normales portent également les noms de ''lois de Gauss'' ou ''lois de Laplace-Gauss''<ref name="Stigler406">{{Harvsp|Stigler|1999|p=406}}.</ref> en fonction de l'attribution de la paternité de la création de ces lois ; la dénomination de ''deuxième loi de Laplace'' est également utilisée occasionnellement<ref>Voir par exemple {{ouvrage|nom1=Lévy|prénom1=Paul|lien auteur1=Paul Lévy (mathématicien)|titre=Théorie de l'addition des variables aléatoires|éditeur=Gauthier-Villars|année=1937|passage=42}} ou, plus récemment, {{ouvrage|nom1=Lejeune|prénom1=Michel|titre=Analyse statistique des données spatiales|éditeur=Technip|année=2006|isbn=9782710808732|passage=2}}.</ref>.

Les études sur les lois normales se poursuivent durant le {{s-|XIX}}. Ainsi, de nouvelles tables numériques sont données en 1948 par [[Egon Sharpe Pearson]], en 1952 par le ''[[National Bureau of Standards]]''<ref>{{Harvsp|NBS|1952}}.</ref> et en 1958 par Greenwood et Hartley<ref name="Dodge502">{{Harvsp|Dodge|2004|p=502}}.</ref>.

== Loi normale centrée réduite ==
Une loi normale est une [[loi de probabilité]] (c'est-à-dire une [[Mesure (mathématiques)|mesure]] {{mvar|N}} de masse totale unitaire<ref group="a" name="Kahane"/>) unidimensionnelle (c'est-à-dire à [[Support d'une mesure|support]] réel <math>\R</math>). C'est une [[loi de probabilité#Lois absolument continues|loi absolument continue]], c'est-à-dire que la mesure est [[absolue continuité|absolument continue]] par rapport à la [[mesure de Lebesgue]]. Autrement dit, il existe une [[densité de probabilité]], souvent notée {{mvar|φ}} pour la loi normale centrée réduite, telle que : {{math|''N''(d''x'') {{=}} ''φ''(''x'') d''x''}}. Elle est généralisée par la ''[[loi normale multidimensionnelle]]''. La loi normale centrée réduite est appelée ''loi normale standard''<ref name="Lifshits1"/>.

=== Définition par la fonction de densité ===
[[Fichier:Gauss reduite.svg|vignette|droite|alt=Courbe de Gauss|Fonction de densité de la loi normale centrée réduite (dite ''[[Fonction gaussienne|courbe de Gauss]]'' ou ''courbe en cloche'').]]
{{article détaillé|Fonction gaussienne|Intégrale de Gauss}}
La loi normale centrée réduite est la [[loi de probabilité]] [[absolue continuité|absolument continue]] dont la [[densité de probabilité]] est donnée par la fonction <math>\varphi:\R\to\R_+</math> définie par<ref name="Yadolah309"/> :
{{Retrait|<math>\varphi(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac 12 t^2}</math>, pour tout <math>t\in\R</math>.}}
Cette loi est dite centrée puisque son [[Moment (mathématiques)|moment]] d'ordre 1 ([[Espérance mathématique|espérance]]) vaut 0 et réduite puisque son [[Moment (mathématiques)|moment]] d'ordre 2 ([[Variance (statistiques et probabilités)|variance]]) vaut 1, tout comme son [[écart type]]. Le [[Graphe d'une fonction|graphe]] de la densité {{mvar|φ}} est appelé ''[[fonction gaussienne]]'', ''courbe de Gauss'' ou ''courbe en cloche''. Cette loi est notée grâce à la première lettre de « normal », une [[variable aléatoire]] {{mvar|X}} qui suit la loi normale centrée réduite est notée :
{{Retrait|<math>X \sim \mathcal N(0,1)</math>.}}

Quelques remarques et propriétés immédiates (voir également [[#Remarques et propriétés immédiates|les propriétés ci-dessous]]) :
* le calcul de l'[[intégrale de Gauss]] permet de démontrer que la fonction {{mvar|φ}} est une densité de probabilité par la formule : <math>\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{exp}\left(-\frac{t^2}2\right)\,\mathrm dt= \sqrt{2\pi}</math> ;
* la densité {{mvar|φ}} est [[Continuité (mathématiques)|continue]], uniformément bornée et [[Parité d'une fonction|paire]]<ref name="Lifshits2">{{Harvsp|Lifshits|1995|p=2}}.</ref> ;
* cette parité fait que l'espérance et les moments d'ordres impairs sont nuls ;
* les moments d'ordres pairs sont donnés par <math>m_{2k}=(2k-1)\cdots 3 \cdot 1=\frac{(2k)!}{2^k k!}</math><ref name="Cramér50"/>(en particulier, {{math|Var(''X'') {{=}} ''m''{{ind|2}} {{=}} 1}}), d'après la [[Suite définie par récurrence|relation de récurrence]] {{math|''m''{{ind|2''k''}} {{=}} (2''k''–1)''m''{{ind|2''k''–2}}}} pour {{math|''k'' ≥ 1}}, qui provient de l'[[intégration par parties]] suivante :{{Retrait|<math>m_{2k}=\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2k-1}t\varphi(t)\,\mathrm dt=-\int_{-\infty}^{+\infty}t^{2k-1}\varphi'(t)\,\mathrm dt=(2k-1)\int_{-\infty}^{+\infty}t^{2k-2}\varphi(t)\,\mathrm dt</math>.}}
* le [[Mode (statistiques)|maximum]] de la fonction {{mvar|φ}} est atteint en la moyenne 0 et vaut<ref name="Lifshits2"/> <math>\frac1{\sqrt{2\pi}}</math> ;
* la fonction vérifie : <math>\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=\lim_{x\to-\infty}\varphi(x)=0</math> ;
* la densité {{mvar|φ}} est [[Classe de régularité|infiniment dérivable]] ; un [[raisonnement par récurrence]] permet d'obtenir la formule<ref name="Tassi128">{{Harvsp|Tassi|Legait|1990|p=128}}.</ref> : <math>\varphi^{(n)}(x)=(-1)^n H_n(x)\varphi(x)</math> où {{mvar|H{{ind|n}}}} est le {{mvar|n}}-ième [[polynôme d'Hermite]] ;
* la densité possède<ref group="a" name="Kahane"/> deux [[Point d'inflexion|points d'inflexion]] en 1 et en –1. Ce sont les points en lesquels la [[dérivée seconde]] {{mvar|φ{{''}}}} s'annule et change de signe. Les deux points se situent approximativement aux trois cinquièmes de la hauteur totale.

=== Définition par la fonction de répartition ===
[[Fichier:CumulativeSD.svg|vignette|droite|alt=Fonction de répartition|Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.]]
Historiquement, une loi normale est apparue comme la loi limite dans le théorème central limite à l'aide de sa [[fonction de répartition]]. Il est alors utile de définir la loi par cette fonction. La loi normale est la loi de probabilité dont la fonction de répartition est donnée par la fonction <math>\Phi:\R\to\R_+</math> définie par<ref name="Cramér50">{{Harvsp|Cramér|1970|p=50}}.</ref> :
{{Retrait|<math>\Phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x\operatorname e^{-\frac12t^2}\,\mathrm dt</math>, pour tout <math>x\in\R</math>.}}
Elle donne la probabilité qu'une variable aléatoire de loi normale appartienne à un intervalle <math>[a,b]</math> : <math>\mathbb P(X\in[a,b])=\Phi(b)-\Phi(a)</math> (pour plus de détails de calcul, voir la section ''[[#Tables numériques et calculs|Tables numériques et calculs]]'').

Quelques remarques et propriétés immédiates :
* il n'existe pas d'expression analytique de la fonction de répartition {{math|Φ}}, c'est-à-dire qu'elle ne s'exprime pas à partir de fonctions usuelles mais devient elle-même une fonction usuelle<ref name="Grinstead330"/> ;
* elle s'exprime en fonction de la [[fonction d'erreur]] grâce aux deux formules équivalentes suivantes<ref group="a" name="Marsaglia">{{article|langue=en|prénom1=George|nom1=Marsaglia|titre=Evaluating the Normal Distribution|périodique=Journal of Statistical Software|volume=11|numéro=4|année=2004|pages=1-11|doi=10.18637/jss.v011.i04}}.</ref> :
*# <math>\Phi(x)=\frac12+\frac12\operatorname{erf}\left(\frac x{\sqrt2}\right)</math>,
*# <math>\operatorname{erf}(x)=2\Phi\left(x\sqrt2\right)-1</math> ;
* elle est dérivable une infinité de fois et vérifie {{math|Φ'(''x'') {{=}} ''φ''(''x'')}}. L'écriture équivalente {{math|dΦ(''x'') {{=}} ''φ''(''x'')d''x''}} permet de définir l'[[Intégrale de Stieltjes|intégrale de Lebesgue-Stieltjes]] par rapport à la loi normale ;
* elle est [[Absolue continuité|absolument continue]] et [[Fonction monotone|strictement croissante]], c'est donc une [[bijection]]<ref group="a" name="eduscol"/> de <math>\R</math> dans {{math|]0 ; 1[}}. Sa [[Fonction réciproque|réciproque]] {{math|Φ{{-1}}}} existe et s'appelle la fonction [[probit]]. Cette fonction est utilisée pour le [[modèle probit]]<ref name="Droesbeke104">{{Harvsp|Droesbeke|Lejeune|Saporta|2005|p=104}}.</ref> ;
* par parité de la loi, {{math|Φ(–''x'') {{=}} 1 – Φ(''x'')}} et ainsi {{math|Φ(0) {{=}} {{sfrac|1|2}}}}. Ceci montre<ref group="a" name="eduscol"/> que la [[Médiane (statistiques)|médiane]] de la loi normale centrée réduite est 0 ;
* par définition de la fonction de répartition, <math>\Phi(x)=\mathbb P(X\leq x)</math> lorsque la variable aléatoire {{mvar|X}} suit la loi normale centrée réduite, <math>X\sim\mathcal N(0,1)</math>. Pour obtenir les valeurs de cette probabilité, il faut approcher cette fonction par d'autres fonctions usuelles et il existe des tables de valeurs (voir la section ''[[#Tables numériques et calculs|Table de la loi normale]]'' ci-dessous).

=== Définition par la fonction caractéristique ===
[[Fichier:Fonction caracteristique normale.svg|vignette|alt=Fonction caractéristique|Fonction caractéristique et [[fonction génératrice des moments]] de la loi normale centrée réduite.]]
La caractérisation d'une loi normale par sa [[Fonction caractéristique (probabilités)|fonction caractéristique]] présente un intérêt pour démontrer certaines propriétés, comme la [[#Stabilités et famille normale|stabilité par addition]] ou le [[théorème central limite]]. Cette fonction caractéristique <math>\phi:\R\to\R_+</math>, [[Intégrale de Gauss#Transformée de Fourier d'une fonction gaussienne|qui se calcule à partir de la densité de probabilité]]<ref name="Cramér50"/>{{,}}<ref name="Bogaert121">{{Harvsp|Bogaert|2006|p=121}}.</ref> et caractérise la loi, est donnée par :
{{Retrait|<math>\phi(t)={\rm e}^{-\frac{t^2}2},\, \forall t\in\R</math>.}}
Cette fonction caractéristique est égale, à une constante multiplicative près, à la [[densité de probabilité]] de la loi : on dit que la fonction caractéristique d'une gaussienne est gaussienne<ref group="a" name="Kahane"/>.

Si une variable aléatoire {{mvar|X}} suit la loi normale centrée réduite de fonction caractéristique {{mvar|ϕ}} définie ci-dessus, alors<ref name="Bogaert123">{{Harvsp|Bogaert|2006|p=123}}.</ref> la transformation linéaire {{math|''Y'' {{=}} ''aX''+''b''}} admet pour fonction caractéristique : <math>\phi_Y(t)={\rm e}^{{\rm i}bt}\phi(at)</math>. C'est donc une variable aléatoire de loi normale de moyenne {{mvar|b}} et de variance {{math|''a''{{2}}}}.

=== Définition par la fonction génératrice des moments ===
Une autre manière de définir une loi normale est par l'utilisation de sa [[fonction génératrice des moments]] <math>M:\R\to\R_+,\;t\mapsto\sum_{n=0}^\infty m_n\frac{t^n}{n!}=\mathbb E\left(\operatorname e^{tX}\right)</math>. Cette fonction, qui se calcule à partir de la fonction de densité<ref group="b">Pour une généralisation, voir la section ''[[#Moments|Moments]]'' ci-dessous.</ref> et caractérise la loi, est donnée par<ref name="Protassov27">{{Harvsp|Protassov|2002|p=27}}.</ref> :
{{Retrait|<math>M(t)={\rm e}^{\frac{t^2}2}</math>, pour tout <math>t\in\R</math>.}}
On retrouve ainsi les valeurs des moments {{mvar|m{{ind|n}}}} {{supra|Définition par la fonction de densité}}.

== Loi normale générale ==
=== Définition ===
Plus généralement que la loi normale centrée réduite, une loi normale (non centrée et non réduite) est une [[Loi de probabilité#Lois absolument continues|loi de probabilité absolument continue]] dont l'un des quatre points suivants est vérifié :
* la [[densité de probabilité]] <math>\varphi:\R\to\R_+</math> est donnée par<ref name="Yadolah309">{{Harvsp|Dodge|2004|p=309}}.</ref> :{{Retrait|<math>\varphi(t)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\operatorname e^{-\frac12\frac{(t-\mu)^2}{\sigma^2}}</math>, pour tout <math>t\in\R</math> ;}}
* la [[fonction de répartition]] <math>F:\R\to\R_+</math> est donnée par :{{Retrait|<math>F(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x\mathrm e^{-\frac 12 \frac{(t-\mu)^2}{\sigma^2}}\,\mathrm dt</math>, pour tout <math>x\in\R</math> ;}}
* la [[Fonction caractéristique (probabilités)|fonction caractéristique]] <math>\phi:\R\to\Complex</math> est donnée par<ref name="Cramér51">{{Harvsp|Cramér|1970|p=51}}.</ref> :{{Retrait|<math> \phi(t)={\rm e}^{\mu{\rm i}t-\frac12\sigma^2t^2}</math>, pour tout <math>t\in\R</math> ;}}
* la [[fonction génératrice des moments]] <math>M:\R\to\R_+</math> est donnée par<ref name="Ross408">{{Harvsp|Ross|2007|p=408}}.</ref>{{,}}<ref name="Protassov27commentaire">{{Harvsp|Protassov|2002|p=27}}, utilise le changement de variable <math>y=(x-\mu)/(\sigma\sqrt2)</math>.</ref>{{,}}<ref group="b">Pour son calcul à partir de la densité, voir aussi le [[#Voir aussi|lien en bas de page]] vers la leçon sur [[Wikiversité]].</ref> :{{Retrait|<math>M(t)={\rm e}^{\mu t+\frac12\sigma^2t^2}</math>, pour tout <math>t\in\R</math>,}}où <math>\mu\in\R</math> et <math>\sigma\in\R_+^\star</math>.

Pour le cas où {{math|1=''σ'' = 0}}, c'est une forme dégénérée de la loi normale, parfois appelée ''loi normale impropre''<ref name="Cramér51"/>. C'est alors la [[mesure de Dirac]] au point {{mvar|μ}} qui n'est pas absolument continue.

La valeur {{mvar|μ}} est la [[moyenne]] de la loi et {{mvar|σ}} est l'[[écart type]] alors que {{mvar|σ}}{{2}} en est la [[Variance (mathématiques)|variance]]. Cette loi est notée grâce à la première lettre de « normal ». Une [[variable aléatoire]] {{mvar|X}} qui suit une loi normale est notée de deux manières différentes suivant les auteurs<ref name="Quinio169">{{Harvsp|Quinio Benamo|2005|p=1699}}.</ref>{{,}}<ref name="Lifshits1">{{Harvsp|Lifshits|1995|p=1}}.</ref> :{{Retrait|<math>X \sim \mathcal N(\mu,\sigma) \text{    ou    } X \sim \mathcal N(\mu,\sigma^2).</math>}}
La deuxième notation a l'intérêt de pouvoir noter la [[#Stabilités et famille normale|stabilité par addition]] de manière simple<ref group="a" name="eduscol">{{Ouvrage | auteur = Ministère de l'éducation nationale de la jeunesse et de la vie associative | url = http://media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/11/5/LyceeGT_ressources_Math_T_proba-stat_207115.pdf |format=pdf | titre = Ressources pour la classe terminale générale et technologique - Probabilités et statistique | année = 2012}}.</ref> ; elle sera utilisée dans cet article.

=== Remarques et propriétés immédiates ===
* Si la variable aléatoire {{mvar|X}} suit la loi normale centrée réduite <math>\mathcal N(0,1)</math>, alors la variable aléatoire {{math|''σX'' + ''μ''}} suit la loi normale <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math> de moyenne {{mvar|μ}} et de variance {{math|σ{{2}}}}. Réciproquement, si {{mvar|Y}} suit la loi normale <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>, alors {{sfrac|''Y'' – ''μ''|''σ''}} suit la loi normale centrée réduite<ref name="Yadolah310">{{Harvsp|Dodge|2004|p=310}}.</ref>. Dit autrement, toute loi normale peut s'obtenir par [[Translation (géométrie)|translation]] (''{{lang|en|shifting}}'' en anglais) et par [[Dilatation (géométrie)|dilatation]] (''scaling'' en anglais) de la loi centrée réduite.{{Retrait|Cette première propriété permet d'obtenir la formule très utile<ref name="Bogaert116">{{Harvsp|Bogaert|2006|p=116}}.</ref> :{{Retrait|<math>\mathbb P (Y\leq x) = \mathbb P\left(\frac{Y-\mu}{\sigma}\leq\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\mathbb P\left(X\leq \frac{x-\mu}{\sigma}\right)</math>.}}Il est alors possible de déduire les propriétés d'une loi normale à partir de celles de la loi normale centrée réduite, et vice versa. La variable {{sfrac|''Y'' – ''μ''|''σ''}} est parfois<ref name="Ross239">{{Harvsp|Ross|2007|p=239}}.</ref> appelée la « standardisation » de {{mvar|Y}} ou « variable {{mvar|Y}} centrée réduite ».|taille=4em }}
*Plus généralement, si <math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math> alors <math>aX+b\sim\mathcal N(a\mu+b,a^2\sigma^2)</math> (on peut le lire sur les fonctions génératrices des moments<ref name="Protassov28">{{Harvsp|Protassov|2002|p=28}}.</ref>, ou sur les densités).
* La densité {{mvar|f}} est symétrique par rapport à {{mvar|μ}}<ref name="Lifshits2"/>.
* Le maximum de la fonction {{mvar|f}} est atteint en {{mvar|μ}} et vaut<ref name="Lifshits2"/> <math>\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}</math>.
* La décroissance de la densité à droite et à gauche de {{mvar|μ}} est [[Décroissance exponentielle|surexponentielle]]<ref name="Lifshits2"/>.
* Puisqu'une loi normale est une [[Loi de probabilité#Lois absolument continues|loi de probabilité absolument continue]], l'[[Événement (probabilités)|événement]] {{math|[''X'' {{=}} ''x'']}} est [[Ensemble négligeable|négligeable]], c'est-à-dire que [[Ensemble négligeable|presque sûrement]] une variable aléatoire de loi normale {{mvar|X}} n'est jamais égale à une valeur fixée {{mvar|x}}. Ceci se traduit mathématiquement par : <math>\mathbb P(X=x)=0</math>.
* La [[largeur à mi-hauteur]] permet de donner une valeur d'amplitude de la loi. C'est la largeur de la courbe à une hauteur qui vaut la moitié de la hauteur totale. Cette largeur à mi-hauteur de la loi normale est proportionnelle à l'écart type<ref group="a" name="mathworld">{{MathWorld|nom_url=GaussianFunction|titre=Gaussian Function}}.</ref> : {{math|''H'' {{=}} 2 {{racine|2 ln (2)}} ''σ'' ≈ 2,3548 ''σ''}}. Le facteur 2 est issu de la propriété de symétrie de la loi normale.
* La densité possède<ref group="a" name="Kahane"/> deux [[Point d'inflexion|points d'inflexion]] en {{math|''μ'' + ''σ''}} et en {{math|''μ'' – ''σ''}}. Ce sont les points en lesquels la [[dérivée seconde]] {{mvar|f{{''}}}} s'annule et change de signe. Les deux points se situent approximativement aux trois cinquièmes de la hauteur totale.
* Les lois normales sont des lois de la [[famille exponentielle]], c'est-à-dire que leur densité s'écrit sous la forme :{{Retrait|<math>f(x)=a(\theta)b(x)\mathrm e^{-c(\theta)d(x)} </math>}} ou, de manière équivalente, sous la forme<ref name="Droesbeke85">{{Harvsp|Droesbeke|Lejeune|Saporta|2005|p=85}}.</ref>{{Retrait|<math>f(x)=\exp\left(\frac{x\theta_1 - \beta(\theta_1)}{\alpha(\theta_2)}\right),\ \textrm { avec }\ \theta_1=\mu,\,\theta_2=\sigma,\,\beta(\mu)=\mu^2/2\ \textrm{ et }\ \alpha(\sigma)=\sigma^2</math>.}}

== Propriétés ==
=== Autres caractérisations ===
En addition de la densité de probabilité, de la fonction de répartition, de la fonction caractéristique et de la fonction génératrice des moments, il existe d'autres caractérisations des lois normales.
* Caractérisation due à [[Georges Darmois]] (1951) et [[Sergueï Natanovitch Bernstein|Sergueï Bernstein]] (1954)<ref group="a" name="fuchs"/> : si deux variables aléatoires {{math|''X''{{ind|1}}}} et {{math|''X''{{ind|2}}}} sont indépendantes et de même loi et si les deux variables aléatoires {{math|''X''{{ind|1}} + ''X''{{ind|2}}}} et {{math|''X''{{ind|1}} – ''X''{{ind|2}}}} sont également indépendantes, alors la loi commune {{math|''X''{{ind|1}}}} et {{math|''X''{{ind|2}}}} est une loi normale.
* Caractérisation due à [[Charles Stein]] (1972)<ref group="a" name="Kahane"/> : les lois normales sont les seules lois de probabilité (mesures de probabilité) <math>\mathbb P</math> telles que, pour toute fonction {{mvar|g}} [[fonction de classe C1|de classe C¹]] (c'est-à-dire dérivable et de dérivée continue) :{{Retrait|<math>\int_{\R}g'(x)\mathrm d\mathbb P(x)=\int_{\R}xg(x)\mathrm d\mathbb P(x)</math>.}}

=== Moments ===
Le [[Moment (mathématiques)|moment]] d'ordre 1 est appelé la moyenne ({{mvar|μ}}) et est donné en paramètre d'une loi normale <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>. Le deuxième paramètre est son [[écart type]] ({{mvar|σ}}), c'est-à-dire la [[racine carrée]] de la [[Variance (statistiques et probabilités)|variance]] qui est par définition la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Il est alors également intéressant d'obtenir les [[Moment (mathématiques)#Moment centré|moments centrés]] d'une loi normale, ils sont donnés par<ref name="Protassov28"/> :

{{Retrait|<math>\begin{cases}
\mu_{2k} = \mathbb E[(X-\mu)^{2k}] = \frac{(2\, k) !}{2^k k!}\sigma^{2k}\\
\mu_{2k+1} = \mathbb E[(X-\mu)^{2k+1}] = 0
\end{cases}</math>}}
pour <math>k\ge0</math> et {{mvar|X}} une variable aléatoire de loi normale <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.

Le moment ordinaire {{mvar|m{{ind|n}}}} peut s'obtenir à partir des moments d'ordre inférieur à ''n'' – 1 et du moment centré d'ordre ''n'', en utilisant la formule qui exprime {{mvar|μ{{ind|n}}}} en fonction de {{math|''m''{{ind|0}}, ''m''{{ind|1}}, ..., ''m{{ind|n}}''}}. Les premiers moments d'une loi normale sont alors<ref name="Bogaert120">{{Harvsp|Bogaert|2006|p=120}}.</ref> :
{{Retrait|<math>m_1= \mathbb E[X] =\mu,\quad m_2= \mathbb E[X^2] =\sigma^2+\mu^2,\quad m_3= \mathbb E[X^3] =3\mu\sigma^2+\mu^3,\quad m_4= \mathbb E[X^4] = 3 \sigma^4+  6 \sigma^2 \mu^2 + \mu^4</math>.}}

==== Calcul direct ====
Grâce à la symétrie autour de {{mvar|μ}} de la fonction de densité d'une loi normale, les moments centrés d'ordre impair sont tous nuls<ref name="Protassov28"/>.

Des moments d'ordre pairs de la loi normale centrée réduite {{Supra|Définition par la fonction de densité}}, on déduit la formule des moments centrés : <math>\mu_{2k} = \frac{(2\, k) !}{2^k k!}\sigma^{2k}</math>.

==== Par la fonction génératrice des moments ====
Les [[Moment (mathématiques)#Moment centré|moments centrés]] {{math|(''μ{{ind|n}}'', ''n'' ≥ 0)}} d'une loi peuvent s'obtenir à partir de la fonction génératrice des moments centrés. Le cas particulier {{math|''μ'' {{=}} 0}} de la fonction génératrice des moments {{Supra|Définition}} donne :
{{Retrait|<math>M_{\text{centré}}(t)={\rm e}^{\frac{\sigma^2t^2}2}=\sum_{k=0}^\infty \frac1{k!}\left(\frac{\sigma^2t^2}2\right)^k</math>.}}

Comme par ailleurs on a (pour toute loi)
{{Retrait|<math>M_{\text{centré}}(t)=\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}\mu_n t^n</math>,}}
on en déduit, par identification des coefficients des deux séries<ref name="Protassov28"/>, les moments centrés d'une loi normale {{Supra|Moments}}.

Quant aux moments ordinaires, leur fonction génératrice permet d'établir la relation de récurrence<ref group="b">Voir par exemple le [[#Voir aussi|lien en bas de page]] vers la leçon sur Wikiversité.</ref> :
:<math>m_{n+1}=\mu m_n+n\sigma^2m_{n-1}\quad(n\ge1)</math>.

[[Fichier:Standard symmetric pdfs.svg|vignette|upright=1.5|alt=Densités de lois avec différents kurtosis|Densités de probabilités de lois de kurtosis différents. [[Loi de Laplace (probabilités)|Loi de Laplace]] en rouge, [[loi sécante hyperbolique]] en orange, [[loi logistique]] en vert, loi normale en noir, [[loi du cosinus surélevé]] en cyan, [[loi du demi-cercle]] en bleu et [[Loi uniforme continue|loi uniforme]] en violet.]]

==== Asymétrie et aplatissement ====
L'[[Asymétrie (statistiques)|asymétrie]] {{math|''γ''{{ind|1}}}}, le [[kurtosis]] {{math|''β''{{ind|2}}}} et le kurtosis normalisé {{math|''γ''{{ind|2}}}} s'obtiennent à partir des formules des moments<ref name="Bogaert119">{{Harvsp|Bogaert|2006|p=119}}.</ref> :

{{Retrait|<math>\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = 0</math> ;<br><math>\beta_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} = 3</math> ;<br><math>\gamma_2=\beta_2-3=0</math>.}}

Les lois normales servent de point de référence pour la comparaison des épaisseurs de [[Longue traîne|traîne]] : si une loi possède un kurtosis normalisé {{math|''γ''{{ind|2}} > 0}}, alors la loi possède une traîne plus épaisse qu'une loi normale et est dite ''[[wikt:leptokurtique|leptokurtique]]'' ; à l'inverse si {{math|''γ''{{ind|2}} < 0}}, la loi possède une traîne moins épaisse qu'une loi normale et est appelée ''[[wikt:platikurtique|platikurtique]]'' ; les lois de kurtosis normalisé nul possèdent une traîne comparable à la loi normale et sont dites ''[[wikt:mésokurtique|mésokurtiques]]''.

==== Cumulants ====
La fonction caractéristique permet d'obtenir la [[Cumulant (statistiques)|fonction génératrice des cumulants]] par la formule <math>\ln (\phi(t))=\sum_{n=1}^{+\infty} K_n \frac{({\rm i}t)^n}{n!} </math> et permet d'obtenir les [[Cumulant (statistiques)|cumulants]]<ref name="Abramowitz930">{{Harvsp|Abramowitz|Stegun|1972|p=930}}.</ref> : {{math|''K''{{ind|1}} {{=}} ''μ''}}, {{math|''K''{{ind|2}} {{=}} ''σ''{{2}}}} et {{math|''K{{ind|n}}'' {{=}} 0}} pour {{math|''n'' ≥ 3}}.

=== Théorèmes de convergence ===
[[Fichier:De moivre-laplace.gif|droite|vignette|alt=Animation montrant la convergence d'une loi discrète vers une loi continue.|Lorsque le nombre {{mvar|n}} de variables augmente, la [[densité de probabilité]] de la variable {{mvar|S{{ind|n}}}} (centrée réduite) se rapproche de la courbe en cloche d'une loi normale.]]
{{article détaillé|Théorème central limite|Théorème de Moivre-Laplace}}
La première version du théorème central limite, appelé alors [[théorème de Moivre-Laplace]], a été énoncée dans le cas de variables aléatoires de [[loi de Bernoulli]]. De manière plus générale, si {{math|''X''{{ind|1}}, ''X''{{ind|2}}, ..., ''X{{ind|n}}''}} sont des [[variables indépendantes et identiquement distribuées]] de variance finie et si la somme est notée {{math|''S{{ind|n}}'' {{=}} ''X''{{ind|1}} + ''X''{{ind|2}} + ... + ''X{{ind|n}}''}}, alors<ref name="Grinstead330">{{Harvsp|Grinstead|Snell|1997|p=330}}.</ref> pour tout {{math|''a'' < ''b''}}
{{Retrait|<math>\lim_{n\to+\infty}\mathbb P\left(a\leq \frac{S_n-\mathbb E[S_n]}{\sqrt{\operatorname{Var}(S_n)}} \leq b\right) = \int_a^b \varphi(x)\,\mathrm dx</math>}}
où {{mvar|φ}} est la [[densité de probabilité]] de la loi normale centrée réduite.

Ce théorème signifie que tout ce qui peut être considéré comme étant la somme d'une grande quantité de petites valeurs aléatoires indépendantes et identiquement distribuées est approximativement de loi normale<ref name="Grinstead345">{{Harvsp|Grinstead|Snell|1997|p=345}}.</ref>. Ceci montre le caractère central des lois normales en théorie des probabilités. Un énoncé physique de ce théorème peut être formulé<ref name="Protassov44">{{Harvsp|Protassov|2002|p=44}}.</ref> :
{{Retrait|Si une grandeur physique subit l'influence additive d'un nombre important de facteurs indépendants et si l'influence de chaque facteur pris séparément est petite, alors la distribution de cette grandeur est une distribution gaussienne.}}

Ce théorème central limite est valide pour toute loi de probabilité initiale des variables [[iid]] {{math|''X''{{ind|1}}, ''X''{{ind|2}}, ..., ''X{{ind|n}}''}} ayant un écart type fini, il permet d'obtenir de bonnes approximations de la somme {{mvar|S{{ind|n}}}}, par exemple<ref name="Bogaert223">{{Harvsp|Bogaert|2006|p=223}}.</ref> :
* si les variables {{mvar|X{{ind|i}}}} sont de [[loi de Bernoulli]] <math>\mathcal B(p)</math>, alors {{mvar|S{{ind|n}}}} suit approximativement une loi normale <math>\mathcal N(np,np(1-p))</math>. Cette approximation est satisfaisante<ref name="Ross240">{{Harvsp|Ross|2007|p=240}}.</ref> dans le cas où {{math|''np''(1–''p'') > 10}} ;
* si les variables {{mvar|X{{ind|i}}}} sont de [[loi du χ²]] : {{math|''χ''{{2}}(1)}}, alors {{mvar|S{{ind|n}}}} suit approximativement une loi normale <math>\mathcal N(n,4n^2)</math> ;
* si les variables {{mvar|X{{ind|i}}}} sont de [[loi exponentielle]] : <math>\mathcal E(\lambda)</math>, alors {{mvar|S{{ind|n}}}} suit approximativement une loi normale <math>\mathcal N\left(\frac n{\lambda},\frac n{\lambda^2}\right)</math>.

Il existe des versions plus générales de ce théorème, par exemple en considérant des variables aléatoires indépendantes, pas de même loi mais ayant des variances petites comparées à celle de leur moyenne<ref name="Yger651">{{Harvsp|Yger|Weil|2009|p=651}}.</ref>. Un théorème de [[Boris Vladimirovitch Gnedenko|Gnedenko]] et [[Andreï Kolmogorov|Kolmogorov]] (1954) stipule qu'''une variable aléatoire normale est la somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes petites dont aucune n'est prépondérante'' :
{{théorème|titre=Théorème<ref group="a" name="fuchs"/>|énoncé=Considérons une suite de variables aléatoires {{math|(''X{{ind|n}}'', ''n'' ≥ 1)}} dont chacune est la somme d'un nombre fini de variables aléatoires <math>X_{n,1},\dots,X_{n,k_n}</math> avec <math>k_n\to+\infty</math>.

Pour tout {{math|''ε'' > 0}}, introduisons la variable aléatoire tronquée :
:<math>X^\varepsilon =\begin{cases}X &\text{ si }|X|\le\varepsilon\text{ ;}\\0 &\text{ sinon}\end{cases}</math>
et supposons :
*<math>\sum_{1\leq k \leq n}|X_{nk}| \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0</math> ([[Convergence de variables aléatoires#Convergence en probabilité|en probabilité]]) ;
*pour tout {{math|''ε'' > 0}}, <math>\sum_{1\leq k \leq n}\mathbb E[X_{nk}^\varepsilon] \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu</math> et <math>\sum_{1\leq k \leq n}\text{Var}[X_{nk}^\varepsilon] \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\sigma^2</math>.
Alors la loi de {{mvar|X{{ind|n}}}} converge vers la loi normale <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
}}

=== Stabilités et famille normale ===
==== Stabilité par additivité (propriété de conservation) ====
Les lois normales sont stables par additivité<ref group="a" name="fuchs"/>, c'est-à-dire que la somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois normales est elle-même une variable aléatoire de loi normale. Plus explicitement : si <math>X_1\sim \mathcal N(\mu_1,\sigma_1^2)</math>, <math>X_2\sim \mathcal N(\mu_2,\sigma_2^2)</math> et {{math|''X''{{ind|1}}}} et {{math|''X''{{ind|2}}}} sont indépendantes, alors la variable aléatoire <math>X_1+X_2</math> suit la loi normale <math>\mathcal N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)</math>.

Cette propriété se généralise pour {{mvar|n}} variables, c'est-à-dire que si pour tout <math>i\in \{1,2,\dots,n\}</math>, les variables aléatoires {{mvar|X{{ind|i}}}} suivent une loi normale <math>\mathcal N(\mu_i,\sigma_i^2)</math> et sont indépendantes, alors<ref name="Ross299">{{Harvsp|Ross|2007|p=299}}.</ref> la somme {{math|''X''{{ind|1}} + ''X''{{ind|2}} + ... + ''X{{ind|n}}''}} suit une loi normale <math>\mathcal N(\mu_1+\mu_2+\dots+\mu_n,\sigma_1^2+\sigma_2^2+\dots+\sigma_n^2)</math>.

Cette propriété se démontre directement au moyen des fonctions caractéristiques. La densité de probabilité de la somme de deux variables indépendantes de loi normale est donnée par la [[Produit de convolution|convolution]] des deux densités. Ceci se traduit par les formules de [[produit de convolution|convolution de fonctions]]<ref name="Cramér51"/> ou de [[produit de convolution#Produit de convolution de mesures|convolution de mesures]] normales<ref name="Lifshits4">{{Harvsp|Lifshits|1995|p=4}}.</ref> que l'on note <math>\mathcal N_{\mu_1,\sigma_1^2}</math> :
{{Retrait|<math>\varphi\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right) \ast \varphi\left(\frac{x-\mu_2}{\sigma_2}\right) = \varphi\left(\frac{x-(\mu_1+\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\right)</math> et <math>\mathcal N_{\mu_1,\sigma_1^2} \ast \mathcal N_{\mu_2,\sigma_2^2} = \mathcal N_{\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2} </math>.}}

Il ne faut pas confondre avec la loi dont la densité est la somme de densités de lois normales (voir la section ''[[#Constructions à partir d'une loi normale|Constructions à partir de la loi normale]]'' ci-dessous).

[[Fichier:Levy distributionPDF.png|vignette|upright=1.5|alt=densités de lois stables|Différentes densités de probabilité de lois stables dont la loi normale est un cas particulier : la courbe noire est la courbe en cloche.]]

==== Famille normale ====
L'ensemble de fonctions <math>\{ \varphi(\frac{x-\mu}{\sigma})\mid\mu\in\R,\sigma>0\}</math> forme la famille dite ''famille normale''. La ''famille normale'' est également le nom de l'ensemble des lois normales<ref name="Lifshits4"/> <math>\{ \mathcal N_{\mu,\sigma^2}\mid\mu\in\R,\sigma>0\}</math>. La famille de fonctions est fermée pour la convolution au sens où<ref name="Cramér52"/> : la fonction {{mvar|φ}} est la seule qui [[Famille génératrice|engendre]] la famille ; si la convolution de deux densités est dans la famille alors les deux fonctions sont dans la famille ; et toute densité [[Produit de convolution|convolée]] un nombre suffisamment grand de fois et convenablement renormalisée est proche d'une fonction de la famille normale. Les trois théorèmes suivants donnent plus de précisions mathématiques.

# ''Théorème''<ref name="Cramér52">{{Harvsp|Cramér|1970|p=52}}.</ref> : si pour une fonction de densité {{mvar|f}} de moyenne 0 et d'écart type 1, il existe <math>\mu\in\R</math> et <math>\sigma\in\R_+^*</math> satisfaisant :{{Retrait|<math>f\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right) \ast f\left(\frac{x-\mu_2}{\sigma_2}\right) = f\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)</math>,}}alors <math>f\equiv\varphi</math> est la densité de la loi normale centrée réduite.
# ''Théorème de Lévy-Cramér'' (1936) ([[Conjecture|conjecturé]] par [[Paul Lévy (mathématicien)|Paul Lévy]] en 1935)<ref name="Cramér53">{{Harvsp|Cramér|1970|p=53}}.</ref>{{,}}<ref group="a" name="fuchs"/> : si deux fonctions de densité, {{math|''f''{{ind|1}}}} et {{math|''f''{{ind|2}}}}, vérifient :{{Retrait|<math>f_1(x) \ast f_2(x) = \varphi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)</math>,}}alors{{Retrait|1=<math>f_1(x)=\varphi\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)</math> et <math>f_2(x)=\varphi\left(\frac{x-\mu_2}{\sigma_2}\right)</math> avec {{mvar|μ}}{{ind|1}} + {{mvar|μ}}{{ind|2}} = {{mvar|μ}} et {{mvar|σ}}{{ind|1}} + {{mvar|σ}}{{ind|2}} = {{mvar|σ}}.}} Autrement dit, si la somme de deux variables aléatoires indépendantes est normale, alors les deux variables sont de lois normales.
# ''Théorème''<ref name="Cramér53"/> : si {{mvar|f}} est la densité commune de {{mvar|n}} variables aléatoires indépendantes de moyenne 0 et d'écart type 1, alors la [[Produit de convolution|convolée]] {{mvar|n}} fois de {{mvar|f}} [[Convergence uniforme|converge uniformément]] en {{mvar|x}} : <math>\left( f(x/\sqrt n)\right)^{\ast n}\to\varphi(x)</math> (ce théorème est équivalent au théorème central limite). Il ne faut pas confondre cette ''famille normale'' avec la [[famille normale]] de [[Fonction holomorphe|fonctions holomorphes]].

==== Stabilité par linéarité ====
Les lois normales sont stables par linéarité : si {{math|''α'' ≥ 0}} et {{mvar|β}} sont deux réels et <math>X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>, alors<ref name="Ross235">{{Harvsp|Ross|2007|p=235}}.</ref> la variable aléatoire {{math|''αX'' + ''β''}} suit la loi normale <math>\mathcal N(\alpha \mu + \beta, \alpha^2 \sigma^2)</math>.

Grâce aux stabilités par addition et par linéarité, une loi normale est un cas particulier de [[loi stable]]<ref group="a" name="Mandelbrot"/> avec pour paramètre de stabilité {{math|α {{=}} 2}}. Parmi les lois stables, les lois normales, la [[loi de Lévy]] ({{math|α {{=}} 1/2}}) et la [[Loi de Cauchy (probabilités)|loi de Cauchy]] ({{math|α {{=}} 1}}) sont les seules à posséder une expression analytique de leur fonction de densité.

==== Stabilité par moyenne ====
Les lois normales sont stables par moyennisation, c'est-à-dire si {{math|''X''{{ind|1}}, ''X''{{ind|2}}, ..., ''X{{ind|n}}''}} sont des variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois normales <math>\mathcal N(\mu_1,\sigma_1^2),\mathcal N(\mu_2,\sigma_2^2),\dots,\mathcal N(\mu_n,\sigma_n^2)</math>, alors la moyenne {{math|{{sfrac|1|''n''}}(''X''{{ind|1}} + ''X''{{ind|2}} + ... + ''X{{ind|n}}'')}} suit la loi <math>\mathcal N\left(\tfrac {\mu_1+\mu_2+\dots+\mu_n} n,\tfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\dots+\sigma_n^2}{n^2}\right)</math>.

==== Convexité ====
Les lois normales ne sont pas [[Fonction convexe|convexe]]<ref name="Lifshits125">{{Harvsp|Lifshits|1995|p=125}}.</ref>, c'est-à-dire que l'inégalité <math>\lambda\mathbb P(A)+(1-\lambda)\mathbb P(B)\le\mathbb P(\lambda A+(1-\lambda)B)</math> pour tous [[Tribu borélienne|boréliens]] {{mvar|A}} et {{mvar|B}} n'est pas vérifiée lorsque la mesure <math>\mathbb P</math> est normale. Cependant, lorsque l'on normalise cette inégalité avec l'inverse de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on obtient le théorème suivant, analogue à l'[[inégalité de Brunn-Minkowski]]-Lusternik pour la [[mesure de Lebesgue]] dans <math> \R^n </math> :

{{théorème|nom=Inégalité de Ehrhard|1=Pour la [[Mesure gaussienne|mesure normale]] standard <math>\mathcal N_{0,1}</math>, pour tous ensembles boréliens {{mvar|A}} et {{mvar|B}} et pour tout {{math|''λ'' ∈ ]0 ; 1[}},

<center><math>\lambda\Phi^{-1}\left( \mathcal N_{0,1}(A)\right) + (1-\lambda)\Phi^{-1}\left(\mathcal N_{0,1}(B)\right) \leq \Phi^{-1}\left(\mathcal N_{0,1}(\lambda A+(1-\lambda)B)\right)</math></center>.}}

En fait, les lois normales font partie de la famille des distributions de mesures log-concaves, c'est-à-dire vérifiant pour tous [[Tribu borélienne|boréliens]] {{mvar|A}} et {{mvar|B}} et tout <math> \lambda \in ]0,1[ </math>, 

<center><math>\mathbb P(\lambda A+(1-\lambda)B) \ge \mathbb P(A)^{\lambda}\mathbb P(B)^{1-\lambda}. </math> </center>

=== Entropie et quantité d'information ===
==== Entropie de Shannon ====
L'[[entropie de Shannon]] d'une loi de probabilité [[Loi de probabilité#Lois absolument continues|absolument continue]] de densité donnée par {{mvar|f}} permet de mesurer une quantité d'information et est définie par :
{{Retrait|<math>H=-\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ln f(x)\,\mathrm dx</math>.}}
Dans l'ensemble des lois absolument continues de variance {{mvar|σ}}{{2}} fixée, les lois normales <math>\mathcal N(\cdot,\sigma^2)</math> sont [[Loi de probabilité d'entropie maximale|d'entropie maximum]]<ref group="a" name="shannon">{{article|langue=en|auteur=[[Claude Shannon]]|titre=[[A Mathematical Theory of Communication]]|périodique=The [[Bell System Technical Journal]]|volume=27|année=1948|pages=379-423}}.</ref>. L'entropie maximum, pour une loi normale donc, est donnée par : {{math|''H'' {{=}} ln (''σ'' {{racine|2πe}})}}. Ainsi la théorie de maximisation de l'entropie dit que, même si elle n'est pas la meilleure loi adaptée aux valeurs, une loi normale ajustée aux valeurs est adéquate pour prendre une décision.

Il y a également une connexion entre la convergence de suites de lois de probabilité vers une loi normale et la croissance de l'entropie, ce qui en fait un outil majeur dans la [[théorie de l'information]]<ref group="a" name="fuchs"/>.

==== La quantité d'information de Fisher ====
L'[[information de Fisher]] d'une loi à densité de probabilité est une autre notion de quantité d'information. Pour une densité {{mvar|f}}, elle est donnée par :
{{Retrait|<math>I=\int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2 f(x)\,\mathrm dx</math>.}}
Pour toute densité suffisamment régulière d'une loi centrée réduite, cette information vérifie {{math|''I'' ≥ 1}}. Les lois normales se distinguent des autres densités puisque l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si la densité est celle de la loi normale centrée réduite<ref group="a" name="fuchs"/>.

==== Distance entre lois ====
La [[divergence de Kullback-Leibler]] entre deux lois permet de mesurer une distance entre les deux lois, ou une ''perte d'information'' entre les deux lois. La divergence de Kullback-Leibler entre les deux lois normales <math>\mathcal N(\mu_1,\sigma_1^2)</math> et <math>\mathcal N(\mu_2,\sigma_2^2)</math> est :
{{Retrait|<math>D_{KL}(\mathcal N(\mu_1,\sigma_1^2) \|\mathcal N(\mu_2,\sigma_2^2)) = \log \left( \frac{\sigma_2}{\sigma_1} \right) + \frac12\left( \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} +  \frac{(\mu_2 - \mu_1)^2}{\sigma_2^2} -1 \right) </math>.}}
Cette divergence est nulle pour {{mvar|μ}}{{ind|1}} = {{mvar|μ}}{{ind|2}} et {{mvar|σ}}{{ind|1}} = {{mvar|σ}}{{ind|2}} ; de plus, elle croît lorsque <math>|\mu_1-\mu_2|</math> croît<ref group="a" name="Allison">{{Lien web|lang=en|auteur=Lloyd Allison|url=http://www.allisons.org/ll/MML/KL/Normal/|titre=Normal, Gaussian|année=2012}}.</ref>.

=== Approximation de la fonction de répartition ===

Il n'existe pas d'expression analytique pour la fonction de répartition {{math|Φ}} de la loi normale centrée réduite, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de formule simple entre la fonction de répartition et les fonctions classiques telles que les [[Fonction polynomiale|fonctions polynomiales]], exponentielle, logarithmique, trigonométriques, etc. Cependant la fonction de répartition apparaît dans plusieurs résultats à vocation à être appliqués, il est donc important de mieux cerner cette fonction. Différentes écritures sous forme de [[série de Taylor|séries]] ou de [[Fraction continue généralisée|fractions continues généralisées]] sont possibles<ref name="Abramowitz932">{{Harvsp|Abramowitz|Stegun|1972|p=932}}.</ref>.

Pour les valeurs de <math>0<x \ll 1</math>, la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite s'écrit sous la forme<ref group="a" name="mathworldnormal">{{MathWorld|nom_url=NormalDistributionFunction|titre=Normal Distribution Function}}.</ref> :
{{Retrait|<math> \Phi(x) = \frac12+\frac1{\sqrt{2\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n! 2^n (2n+1)} x^{2n+1} = \frac12+ \frac1{\sqrt{2 \pi}} \left(x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{40}+\dots\right)</math>,}}
ou sous la forme :
{{Retrait|<math> \Phi(x) = \frac12+\varphi(x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac1{1 \cdot 3 \cdot 5\dots (2n+1)} x^{2n+1} = \frac12+ \varphi(x) \left(x+\frac{x^3}3+\frac{x^5}{15}+\dots\right)</math>.}}

Pour <math>1\ll x</math>, la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite s'écrit sous la forme<ref name="Abramowitz932"/>{{,}}<ref group="a" name="mathworldnormal"/> :
{{Retrait|<math> \Phi(x) = 1-\frac{\varphi(x)}x\left(1-\frac1{x^2}+\frac{1 \cdot 3}{x^4}-\frac{1 \cdot 3\cdot 5}{x^6}+\dots+\frac{1 \cdot 3\dots (2n-1)}{x^{2n}}\right)+R_n </math> avec <math>R_n=(-1)^{n+1}1 \cdot 3\dots (2n+1) \int_x^\infty \frac{\varphi(y)}{y^{2n+2}}\,\mathrm dy</math>.}}

De manière plus numérique et facilement calculable, les approximations suivantes donnent des valeurs de la fonction de répartition {{math|Φ}} de la loi normale centrée réduite avec :
* une erreur de l'ordre de<ref name="Tassi126">{{Harvsp|Tassi|Legait|1990|p=126}}.</ref> 10{{-5}} : pour {{math|''x'' > 0}}, <math>\Phi(x) = 1- \frac{{\rm e}^{-\frac{x^2}2}}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{0{,}4361836}{1+0{,}33267\,x} + \frac{-0{,}1201676}{(1+0{,}33267\,x)^2}+ \frac{0{,}9372980}{(1+0{,}33267\,x)^3} \right)+\epsilon(x)</math> où <math>|\epsilon(x)| < 10^{-5} </math> ;
* une erreur de l'ordre de<ref name="Tassi126"/> <math>2{,}5\,.\,10^{-4}</math> : pour <math>x>0</math> : <math>\Phi(x) \approx 1- \frac1{2\left(1+0{,}196854\, x + 0{,}115194\, x^2 + 0{,}000344\, x^3 + 0{,}019527\, x^4\right)^4}</math> ;
* une erreur de l'ordre de<ref group="a" name="mathworldnormal"/> <math>10^{-2}</math> : <math>\Phi(x)=\begin{cases}0{,}1 x(4{,}4-x)+0,5 & \text{ pour }0\leq x \le2{,}2 \\ 0{,}99 & \text{ pour }2{,}2\leq x\le2{,}6 \\ 1 & \text{ pour } x\ge2{,}6.\end{cases}</math> 

Voici un exemple d'algorithme<ref group="a" name="Marsaglia"/> pour le langage [[C (langage)|C]] :

<syntaxhighlight lang="C">
double Phi(double x){
   long double s=x,t=0,b=x,q=x*x,i=1;

   while(s!=t)
      s = (t=s) + (b*=q/(i+=2));
   return 0.5 + s*exp(-0.5*q - 0.91893853320467274178L);
}
</syntaxhighlight>

Une autre écriture de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite utilise une [[fraction continue généralisée]]<ref group="a" name="Marsaglia"/> :
{{Retrait|<math>\Phi(x\sqrt2)=\frac 12-\cfrac1{\sqrt{\pi}}\cfrac{\cfrac12{\rm e}^{-x^2}}{x+\cfrac1{2x+\cfrac2{x+\cfrac3{2x+\cfrac4{x+\dots}}}}}</math>.}}

=== Tables numériques et calculs ===
[[Fichier:Fonction quantile d'une loi normale.png|vignette|[[Fonction quantile]] d'une loi normale centrée réduite.]]
{{refnec|Comme mentionné dans la section précédente, il est utile de bien connaître la fonction de répartition {{math|Φ}} pour les applications numériques. Des tables de valeurs ont alors été calculées pour la fonction de répartition, mais également pour son [[Bijection réciproque|inverse]], ce qui permet d'obtenir les quantiles et les intervalles de confiance pour un seuil de tolérance fixé.}}
{{Boîte déroulante/début|align=left|titre=Table de valeurs de la fonction de répartition}}
La table suivante donne les valeurs de la fonction de répartition <math>\Phi(x)=\mathbb P[X\leq x]</math>, lorsque {{mvar|X}} suit la loi normale centrée réduite <math>\mathcal N(0,1)</math>.

Les valeurs en début de lignes donnent la première partie de la variable, les valeurs en début de colonnes donnent la deuxième partie. Ainsi la case de la deuxième ligne et troisième colonne donne : {{math|Φ(0,12) {{=}} 0,54776}}.

<center>
[[Fichier:DisNormal04.svg|vignette|alt=Aire sous la courbe de la densité|La courbe en cloche est la fonction de densité. La droite verticale est la valeur {{mvar|x}}. La surface de la partie colorée sous la courbe est la valeur de <math>\mathbb P[X\leq x]=\Phi(x)</math>.]]
[[Fichier:DisNormal05.svg|vignette|alt=Aire sous la courbe de la densité|La courbe en cloche est la fonction de densité. Les droites verticales sont les valeurs {{math|''x''{{ind|1}}}} et {{math|''x''{{ind|2}}}}. La surface de la partie colorée sous la courbe est la valeur de <math>\mathbb P[x_1\leq X\leq x_2]=\Phi(x_2)-\Phi(x_1)</math>.]]
[[Fichier:DisNormal09.svg|vignette|alt=Aire sous la courbe de la densité|La courbe en cloche est la fonction de densité. La droite verticale est la valeur {{mvar|x}}. La surface de la partie colorée sous la courbe est la valeur de <math>\mathbb P[X\geq x]=1-\Phi(x)</math>.]]

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Table de valeur de la fonction de répartition de la loi normale
!! scope=col |<math>\Phi(x)</math>
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|----
|}
</center>
{{Boîte déroulante/fin}}

{{Boîte déroulante/début|align=left|titre=Tables de valeurs des quantiles}}
Les deux tables suivantes donnent<ref name="Bogaert354">{{Harvsp|Bogaert|2006|p=354}}.</ref> les valeurs du [[fonction quantile|quantile]] <math>q_p</math> de la loi normale centrée réduite <math>\mathcal N(0,1)</math> défini par <math>q_p=\Phi^{-1}(p)</math>.

Les valeurs en début de ligne donne la première partie de la variable, les valeurs en début de colonne donne la deuxième partie. Ainsi la case de la deuxième ligne et troisième colonne donne : <math>q_{0{,}62}=\Phi^{-1}(0{,}62)=0{,}3055</math>.
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Table de valeurs des quantiles <math>q_p</math>
!! scope=col |<math>q_p</math>
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| 1,282
| 1,341
| 1,405
| 1,476
| 1,555
| 1,645
| 1,751
| 1,881
| 2,054
| 2,326
|----
|}
</center>

Cette table donne les valeurs des quantiles pour {{mvar|p}} grand.
<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Table de valeur des quantiles <math>q_p</math>
!! scope=col |p
! scope=col | 0,975
! scope=col | 0,995
! scope=col | 0,999
! scope=col | 0,9995
! scope=col | 0,9999
! scope=col | 0,99995
! scope=col | 0,99999
! scope=col | 0,999995
|----
! scope=row | <math>q_p</math>
| 1,9600
| 2,5758
| 3,0902
| 3,2905
| 3,7190
| 3,8906
| 4,2649
| 4,4172
|----
|}
</center>
{{Boîte déroulante/fin}}

Les tables sont données pour les valeurs positives de la loi normale centrée réduite. Grâce aux formules de la fonction de répartition, il est possible d'obtenir d'autres valeurs.

Les valeurs négatives de la fonction de répartition sont données par la formule<ref name="Dodge502" /> {{math|Φ(–''x'') {{=}} 1 – Φ(''x'')}}. Par exemple :
{{Retrait|<math>\Phi(-1{,}07)=\mathbb P[X\leq -1{,}07]\approx 1-0{,}85769=0{,}14231</math> pour <math>X\sim \mathcal N(0,1)</math>.}}

Les valeurs de la fonction de répartition de la loi générale s'obtiennent par la formule<ref name="Grinstead213"/> <math>F(y)=\Phi(\frac{y-\mu}{\sigma})</math>. Par exemple<ref name="Grinstead214">{{Harvsp|Grinstead|Snell|1997|p=214}}.</ref> :
{{Retrait|<math>F(12{,}14)=\mathbb P[Y\le12{,}14]=\mathbb P\left[\frac{Y-10}2\le\frac{12{,}14-10}2\right]=\mathbb P[X\le1{,}07]=\Phi(1{,}07)\approx0{,}85769</math>, pour <math>Y\sim\mathcal N(10{,}2^2)</math>.}}

La table de valeurs permet également d'obtenir la probabilité qu'une variable aléatoire de loi normale <math>X\sim\mathcal N(0,1)</math> appartienne à un intervalle donné {{math|[''a'' , ''b'']}} par la formule : <math>\mathbb P\left[X\in [a,b]\right]=\mathbb P[X\leq b]-\mathbb P[X < a]=\Phi(b)-\Phi(a)</math>. Par exemple :
* <math>\mathbb P[X\geq 1{,}07]=1-\mathbb P[X < 1{,}07]=1-\mathbb P[X \leq 1{,}07]\approx 0{,}14231</math> pour <math>X\sim \mathcal N(0,1)</math> ;
* <math>\mathbb P[0\leq X\leq 1{,}07]=\Phi(1{,}07)-\Phi(0)=\Phi(1{,}07)-0{,}5\approx 0{,}85769-0{,}5=0{,}35769</math> pour <math>X\sim \mathcal N(0,1)</math>.

==== Plages de normalité, intervalles de confiance ====
Un des intérêts de calculer des probabilités sur des intervalles est l'utilisation des intervalles de confiance pour les tests statistiques. Une loi normale est définie par deux valeurs : sa moyenne {{mvar|μ}} et son écart type {{mvar|σ}}. Ainsi il est utile de s'intéresser aux intervalles<ref name="Protassov72">{{Harvsp|Protassov|2002|p=72}}.</ref> du type {{math|[''μ'' – ''rσ'', ''μ'' + ''rσ'']}}.
{{Retrait|<math>\mathbb P[\mu-r\sigma\leq Y\leq \mu+r\sigma] = \Phi(r) - (1 - \Phi(r)) = 2\Phi(r) - 1</math> pour <math>Y\sim \mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.}}

{{Boîte déroulante/début|align=left|titre=Table de valeurs des intervalles de confiance}}
[[Fichier:Standard deviation diagram micro.svg|vignette|La courbe en cloche est la densité de probabilité. Les surfaces des zones colorées sous la courbe correspondent aux probabilités des intervalles {{math|[''μ'' – ''rσ'', ''μ'' + ''rσ'']}}.]]
La table suivante s'obtient grâce aux tables précédentes<ref name="Protassov72"/> et donne les probabilités :
{{Retrait|<math>\mathbb P_r=\mathbb P[\mu-r\sigma\leq Y\leq \mu+r\sigma] = 2\Phi(r) - 1 \text{    pour    } Y\sim \mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>.
<center> }}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Table de valeurs des intervalles de confiance
! scope=col | {{mvar|r}}
! scope=col | 0,0
! scope=col | 0,5
! scope=col | 1,0
! scope=col | 1,5
! scope=col | 2,0
! scope=col | 2,5
! scope=col | 3,0
! scope=col | 3,5
|----
! scope=row | <math>\mathbb P_r</math>
| 0,00
| 0,3829
| 0,6827
| 0,8664
| 0,9545
| 0,9876
| 0,9973
| 0,9995
|----
|}
</center>
{{Boîte déroulante/fin}}
[[Fichier:Boxplot vs PDF.svg|vignette|alt=boite à moustache et courbe de Gauss|Représentation d'une [[boîte à moustaches]] et le lien avec les quantiles d'une loi normale.]]

Cette table de valeurs des intervalles de confiance permet d'obtenir les plages de normalité pour un niveau de confiance donné. Pour <math>Y\sim \mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>, le tableau donne<ref name="Protassov29" /> :
* <math>\mathbb P(\mu - \sigma \leq Y \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}6827</math>.{{Retrait|L'intervalle {{math|[''μ'' – ''σ'', ''μ'' + ''σ'']}} est la plage de normalité au niveau de confiance 68 % ;}}
* <math>\mathbb P(\mu - 0{,}5H \leq Y \leq \mu + 0{,}5H) \approx 0{,}76</math>.{{Retrait|L'intervalle {{math|[''μ'' – 0,5''H'', ''μ'' + 0,5''H'']}}, {{mvar|H}} étant la largeur à mi-hauteur, est la plage de normalité au niveau de confiance 76 % ;}}
* <math>\mathbb P(\mu - 2\sigma \leq Y \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}9545</math>
{{Retrait|L'intervalle {{math|[''μ'' – 2''σ'', ''μ'' + 2''σ'']}} est la plage de normalité au niveau de confiance 95.4 % ;}}
* <math>\mathbb P(\mu - 1.96\sigma \leq Y \leq \mu + 1.96\sigma) \approx 0{,}95</math>
{{Retrait|L'intervalle {{math|[''μ'' – 1.96''σ'', ''μ'' + 1.96''σ'']}} est la plage de normalité au niveau de confiance 95 % (voir [[97,5ème centile]])}}
* <math>\mathbb P(\mu - 3\sigma \leq Y \leq \mu + 3\sigma) \approx 0{,}9973</math>{{Retrait|L'intervalle {{math|[''μ'' – 3''σ'', ''μ'' + 3''σ'']}} est la plage de normalité au niveau de confiance 99 %.}}

Inversement, lorsque la valeur de la probabilité {{math|''α'' ∈  [0 ; 1]}} est fixée, il existe<ref group="a" name="eduscol"/> une unique valeur <math>r>0</math> telle que : <math>\mathbb P(\mu - r\sigma \leq Y \leq \mu + r\sigma) = 2\Phi(r)-1= \alpha</math>. L'intervalle {{math|[''μ'' – ''rσ'', ''μ'' + ''rσ'']}} est appelé ''plage de normalité'' ou ''intervalle de confiance'' au niveau de confiance {{mvar|α}}. Pour une loi normale <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math> et le seuil {{mvar|α}} donnés, la méthode pour retrouver cette valeur {{mvar|r}} consiste<ref name="Bogaert90">{{Harvsp|Bogaert|2006|p=90}}.</ref> à utiliser le tableau de valeur des quantiles (ci-dessus) pour trouver la valeur {{mvar|r}} telle que {{math|Φ(''r'') {{=}} {{sfrac|''α'' + 1|2}}}} ; l'intervalle de confiance est alors {{math|[''μ'' – ''rσ'', ''μ'' + ''rσ'']}}.

Par exemple, la plage de normalité au niveau de confiance 95 % d'une loi normale <math>\mathcal N(10{,}2^2)</math> est l'intervalle {{math|[10 – 2''r'', 10 + 2''r'']}} où {{mvar|r}} vérifie {{math|Φ(''r'') {{=}} {{sfrac|0,95 + 1|2}} {{=}} 0,975}}, soit {{math|''r'' {{=}} ''q''{{ind|0,975}} ≈ 1,96}}, l'intervalle est donc : {{math|[6,08 ; 13,92]}} aux arrondis près.

== Liens avec d'autres lois ==
Grâce à son rôle central parmi les lois de probabilité et dans les applications, les lois normales possèdent beaucoup de liens avec les autres lois. Certaines lois sont même construites à partir d'une loi normale pour mieux correspondre aux applications.
=== Lois usuelles ===
{| class="wikitable droite"
|+Différentes lois du <math>\chi</math> et <math>\chi^2</math>
|-
! scope=col | Lois !! scope=col | en fonction de variables de loi normale
|-
| [[loi du χ²]] || <math>\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2</math>
|-
| [[loi du χ² non centrée]] || <math>\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2</math>
|-
| [[loi du χ]] || <math>\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}</math>
|-
| [[loi du χ non centrée]] || <math>\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2}</math>
|}

==== Lois unidimensionnelles ====
* Si une variable aléatoire <math>X</math> suit la loi normale <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>, alors<ref name="Ross301">{{Harvsp|Ross|2007|p=301}}.</ref> la variable aléatoire <math>\exp(X)</math> suit la [[loi log-normale]].
* Si {{mvar|U}} et {{mvar|V}} sont deux variables aléatoires indépendantes de [[Loi uniforme continue|loi uniforme]] sur [0, 1], alors les deux variables aléatoires <math>X=\sqrt{-2\ln(U)}\, \cos(2\pi V)</math> et <math>Y=\sqrt{-2\ln(U)}\, \sin(2\pi V)</math> sont de loi normale centrée réduite<ref name="Grinstead213">{{Harvsp|Grinstead|Snell|1997|p=213}}.</ref>. De plus {{mvar|X}} et {{mvar|Y}} sont indépendantes. Ces deux formules sont utilisées pour simuler la loi normale.
* Si les variables <math>X_1,X_2,\dots,X_n</math> sont [[Indépendance (probabilités)|indépendantes]] et de loi commune <math>\mathcal N(0,1)</math>, alors<ref name="Yger703">{{Harvsp|Yger|Weil|2009|p=703}}.</ref> la somme de leur carré : <math>\sum_{k=1}^n X_k^2</math> suit une [[loi du χ²]] à {{mvar|n}} degrés de liberté : <math>\chi^2(n)</math>. La formule s'étend pour des variables normales non centrées et non réduites. De plus, le même type de lien existe avec la [[loi du χ² non centrée]], la [[loi du χ]] et la [[loi du χ non centrée]] (voir le tableau ci-contre).
* Si la variable {{mvar|U}} suit la loi normale centrée réduite : <math>\mathcal N(0,1)</math>, si {{mvar|V}} suit une loi du {{mvar|χ}}{{2}} à {{mvar|n}} degrés de liberté <math>\chi^2(n)</math> et si {{mvar|U}} et {{mvar|V}} sont indépendantes, alors<ref name="Yger703"/> la variable <math>\frac U{\sqrt{\frac Vn}}</math> suit une [[loi de Student]] à {{mvar|n}} degrés de liberté : <math>t(n)</math>.
* Si <math>X</math> est une variable aléatoire de loi normale centrée réduite et <math>U</math> de loi uniforme sur [0, 1], alors <math>\frac XU</math> est de loi dite [[loi slash|de Slash]]<ref group="a" name="Ferrari">
{{article|prénom1=Nicolas|nom1=Ferrari|titre=Prévoir l'investissement des entreprises Un indicateur des révisions dans l'enquête Investissement |périodique=Économie et Statistique|numéro=395-396|année=2006|pages=39-64|url texte=https://www.insee.fr/fr/statistiques/1376387?sommaire=1376397}}.</ref>.
* Pour une variable aléatoire <math>X</math> de loi normale centrée réduite <math>\mathcal N(0,1)</math>, la variable <math>\mathrm{signe}(X) |X|^p</math> est de [[loi normale puissance p]]. Pour <math>p=1</math>, cette variable est de loi normale centrée réduite<ref group="a" name="Ferrari"/>.
* Si <math>Z_1</math> et <math>Z_2</math> sont deux variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite, alors<ref name="Bogaert330">{{Harvsp|Bogaert|2006|p=330}}.</ref> le quotient <math>\frac{Z_1}{Z_2}</math> suit la [[Loi de Cauchy (probabilités)|loi de Cauchy]] de paramètre 0 et 1 : <math>Cau(0,1)</math>. Dans le cas où <math>Z_1</math> et <math>Z_2</math> sont deux gaussiennes quelconques (non centrées, non réduites), le quotient <math>\frac{Z_1}{Z_2}</math> suit une loi complexe dont la densité s'exprime en fonction de [[polynômes d'Hermite]] (l'expression exacte est donnée par Pham-Gia en 2006<ref group="a">{{Article|prénom1=T.|nom1=Pham-Gia|prénom2=N.|nom2=Turkkan|prénom3=E.|nom3=Marchand|titre=Density of the Ratio of Two Normal Random Variables and Applications|périodique=Communications in Statistics - Theory and Methods|volume=35|date=2006-09-01|issn=0361-0926|doi=10.1080/03610920600683689|consulté le=2016-08-08|pages=1569–1591}}</ref>).

==== Lois multidimensionnelles ====
* Il existe une version multidimensionnelle d'une loi normale, appelée ''[[loi normale multidimensionnelle]]'', ''loi multinormale'' ou ''loi de Gauss à plusieurs variables''. Lorsque <math>X_1,X_2,\dots,X_n</math> sont des variables aléatoires de lois normales, alors la loi de probabilité du [[vecteur aléatoire]] <math>(X_1,X_2,\dots,X_n)</math> est de loi normale multidimensionnelle. Sa densité de probabilité prend la même forme que la densité d'une loi normale mais avec une écriture [[Matrice (mathématiques)|matricielle]]. Si le vecteur aléatoire <math>(X_1,X_2)</math> est de loi normale multidimensionnelle <math>\mathcal N(\mu,\mathbf{\Sigma})</math> où {{mvar|μ}} est le vecteur des moyennes et <math>\mathbf\Sigma</math> est la [[matrice de variance-covariance]], alors la [[Loi de probabilité#Loi conditionnelle|loi conditionnelle]] <math>(X_1|X_2=x)</math> de <math>X_1</math> sachant que <math>X_2=x</math> est la loi normale<ref name="Bogaert341">{{Harvsp|Bogaert|2006|p=341}}.</ref> <math>\mathcal N(\mu_{1|x},\sigma_{1|x})</math> :{{Retrait|Si <math>(X_1,X_2) \sim \mathcal N \left( \left(\begin{matrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{matrix}\right) , \left(\begin{matrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} \end{matrix}\right) \right)</math>, alors <math>(X_1|X_2=x)\sim \mathcal N(\mu_{1|x},\sigma_{1|x})</math> avec <math>\mu_{1|x}=\mu_1+\frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}} \left( x - \mu_2 \right)</math> et <math>\sigma_{1|x} = \sigma_{11} - \frac{\sigma_{12}\sigma_{21}}{\sigma_{22}}</math>.}}
* La loi de la [[norme euclidienne]] d'un vecteur dont les coordonnées sont indépendantes et de lois normales centrées, de même variance, est une [[loi de Rayleigh]]<ref group="a" name="fuchs"/>.

Il est à noter que la [[loi inverse-gaussienne]] et [[loi inverse-gaussienne généralisée]] n'ont pas de lien avec une formule simple créée à partir de variables de loi normale, mais ont une relation avec le [[mouvement brownien]].

=== Lois normales généralisées ===
{{article détaillé|Loi normale généralisée|Loi normale asymétrique|Loi tronquée|Loi normale rectifiée|Loi normale repliée}}
Plusieurs généralisations de la loi normale ont été introduites afin de changer sa [[Paramètre de forme|forme]], son [[Asymétrie (statistiques)|asymétrie]], son [[Support d'une mesure|support]], etc.

Un nouveau paramètre <math>\beta>0</math> dit de [[Paramètre de forme|forme]] peut être introduit dans une loi normale pour obtenir une [[loi normale généralisée]]. Cette famille de lois contient les lois normales, c'est le cas pour <math>\beta=2</math>, mais également la [[Loi de Laplace (probabilités)|loi de Laplace]] pour <math>\beta=1</math>. La nouvelle densité de probabilité est donnée par<ref group="a">{{article| langue = en |nom1=Faming|prénom1=Liang|coauteurs= Chuanhai Liu, Naisyin Wang |année = 2007|titre= A robust sequential Bayesian method for identification of differentially expressed genes|périodique= Statistica Sinica|volume= 17|numéro= 2|pages= 571-597 |url= http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/J17N2/J17N28/J17N28.html}}.</ref> {{Retrait|<math>f(x)=\frac{\beta}{2\alpha\Gamma(1/\beta)}\operatorname e^{-\left(\frac{|x-\mu|}{\sigma}\right)^\beta}</math>.}}

Il existe une manière de changer l'asymétrie d'une loi normale afin d'obtenir une loi dite [[loi normale asymétrique]] (''skew normal distribution'' en anglais)<ref group="a">{{Article | langue = en | prénom1 = Norbert | nom1 = Henze | titre = A Probabilistic Representation of the 'Skew-Normal' Distribution | périodique = Scandinavian Journal of Statistics | volume = 13 | numéro = 4 | année = 1986 | pages = 271-275 | jstor=4616036}}.</ref>. L'introduction d'un paramètre <math>\lambda\in\R</math> permet d'obtenir une loi normale lorsque <math>\lambda=0</math>, une asymétrie vers la droite lorsque <math>\lambda>0</math> et une asymétrie vers la gauche lorsque <math>\lambda<0</math>. La densité de cette loi est donnée par :
{{Retrait|<math>f(x)=2\varphi(x)\Phi(\lambda x)</math>.}}

Afin de changer le [[Support d'une mesure|support]] d'une loi normale et notamment de le rendre borné, une modification possible de cette loi est de la [[Loi tronquée|tronquer]]. Elle est alors changée d'échelle pour que les parties coupées se répartissent sur l'ensemble des valeurs gardées (à la différence de la loi repliée, voir ci-dessous). La loi normale centrée réduite tronquée en ''–T'' et en ''T'' a pour support l'intervalle <math>[-T,T]</math> et sa fonction de densité se définit par<ref group="a">{{article| langue = fr |nom1= Rouzet|prénom1= G|année = 1962|titre=Étude des moments de la loi normale tronquée|périodique=Revue de statistique appliquée|volume=10|numéro=2|pages=49-61|url=http://www.numdam.org/item/RSA_1962__10_2_49_0}}.</ref> :
{{Retrait|<math>f(x)=\begin{cases} \frac{\varphi(x)}{2\Phi(T)-1} & \text{ si } x\in [-T,T]\\ 0 & \text{ sinon }. \end{cases}</math>}}

Il est également possible de tronquer une loi normale d'un seul côté. Elle est alors appelée « [[loi normale rectifiée]] ». Si une variable aléatoire <math>X</math> suit la loi normale <math>\mathcal N(\mu, \sigma^2)</math>, alors <math>\max(X,0)</math> suit la loi normale rectifiée<ref group="a" name="hochreiter">{{article|langue=en|prénom1=Sepp| nom1=Hochreiter |prénom2=Djork-Arne |nom2=Clevert |prénom3=Klaus |nom3=Obermayer |titre=A new summarization method for affymetrix probe level data|périodique=Bioinformatics|volume=22|numéro=8|année=2006|pages=943-949|doi=10.1093/bioinformatics/btl033}}.</ref>.

Une autre manière de changer le support de la loi normale est de « replier » la densité à partir d'une valeur, la loi obtenue est une [[loi normale repliée]]. Les valeurs retirées, par exemple <math>\left]-\infty,0\right[</math>, sont alors réparties proche de la valeur charnière, 0 ici (à la différence de la loi tronquée, voir ci-dessus). La densité de probabilité de la loi normale repliée en 0 est donnée par<ref group="a">{{article| langue = en |nom1= Irvine|prénom1= Richard|année = 2002|titre=A Geometrical Approach to Conflict Probability Estimation|périodique=Air Traffic Control Quarterly seminar|volume=10|numéro=2|pages=1-15|doi=10.2514/atcq.10.2.85}}.</ref> :
{{Retrait|<math>f(x)=\begin{cases} \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x+\mu)^2}{2\sigma^2} \right) + \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)& \text{ si }x \ge 0 \\ 0 &\text{ sinon.}\end{cases} </math>}}

Une version généralisée de la [[loi log-normale]] permet d'obtenir une famille de lois comprenant les lois normales comme cas particulier<ref name="Hosking197">{{Harvsp|Hosking|Wallis|1997|p=197}}.</ref>. La famille est définie à partir de trois paramètres : un [[paramètre de position]] {{mvar|μ}}, un [[paramètre d'échelle]] {{mvar|σ}} et un [[paramètre de forme]] <math>\kappa\in\R</math>. Lorsque <math>\kappa=0</math>, cette loi log-normale généralisée est la loi normale. La densité est donnée par :
{{Retrait|<math>f(x)=\frac{\varphi(y)}{\alpha-\kappa(x-\xi)}</math>, où <math>y = \begin{cases} - \frac1{\kappa} \log \left[ 1- \frac{\kappa(x-\xi)}{\alpha} \right] & \text{si } \kappa \neq 0 \\ \frac{x-\xi}{\alpha} & \text{si } \kappa=0.\end{cases} </math>}}

{| class="center"
|----
|[[Fichier:Generalized normal densities.svg|vignette|upright=1.5|Différentes formes pour la densité de la [[loi normale généralisée]].]]
|[[Fichier:Skew normal densities.svg|vignette|upright=1.5|Différentes formes pour la densité de la [[loi normale asymétrique]].]]
|----
|[[Fichier:Normaletronquée2.svg|vignette|upright=1.5|Loi normale centrée réduite [[Loi tronquée|tronquée]] en 1,5 pour la courbe rouge et en 2,5 pour la courbe bleue.]]
|[[Fichier:Folded normal pdf.svg|vignette|upright=1.5|En vert, la densité de la [[loi normale repliée]] en 0.]]
|----
|[[Fichier:Generalized normal densities 2.svg|vignette|upright=1.5|Différentes formes pour la densité de la [[loi log-normale]].]]
| &nbsp;
|}

=== Constructions à partir d'une loi normale ===
==== Mélange de lois ====
{{article détaillé|Modèle de mélanges gaussiens}}
[[Fichier:Double Gauss.png|vignette|alt=densité d'un mélange de lois normales.|En bleu : densité d'une combinaison linéaire de deux densités normales.]]
Un mélange gaussien est une loi de probabilité dont la densité est définie par une [[combinaison linéaire]] de deux densités de lois normales. Si l'on note <math>f_1</math> la densité de <math>\mathcal N(\mu_1,\sigma_1^2)</math> et <math>f_2</math> la densité de <math>\mathcal N(\mu_2,\sigma_2^2)</math>, alors <math>\lambda f_1+(1-\lambda)f_2</math> est la densité d'une loi de probabilité dite ''mélange gaussien''<ref name="Bogaert86">{{Harvsp|Bogaert|2006|p=86}}.</ref>.

Il ne faut pas confondre la combinaison linéaire de deux variables aléatoires indépendantes de loi normale, qui reste une variable gaussienne, et la combinaison linéaire de leurs deux densités, qui permet d'obtenir une loi qui n'est pas une loi normale.

Les modes des deux lois normales sont donnés par {{mvar|μ}}{{ind|1}} et {{mvar|μ}}{{ind|2}}, le mélange gaussien est alors une loi [[Mode (statistiques)|bimodale]]. Ses maxima locaux sont proches de mais non égaux<ref name="Bogaert86"/> aux valeurs {{mvar|μ}}{{ind|1}} et {{mvar|μ}}{{ind|2}}.

==== Généralités ====
Il est possible de construire d'autres densités de probabilité grâce à la densité <math>\varphi</math> de la loi normale centrée réduite. [[Harald Cramér]] énonce en 1926 un résultat général<ref name="Tassi205">{{Harvsp|Tassi|Legait|1990|p=205}}.</ref> : si une densité de probabilité <math>g</math> est deux fois [[Dérivabilité|dérivable]], si l'intégrale <math>\int (g''(x))^2{\rm e}^{x^2/2}\,\mathrm dx</math> converge et si <math>\lim_{+\infty}g=\lim_{-\infty}g=0</math>, alors la fonction <math>g</math> peut être développée en une série [[Convergence absolue|absolument]] et [[convergence uniforme#Critères de convergence uniforme pour les séries|uniformément]] convergente en fonction des dérivées de la densité de la loi normale centrée réduite et des [[polynôme d'Hermite|polynômes d'Hermite]] <math>H_k</math> :
{{Retrait|<math>g(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac1{k!} \varphi^{(k)}(x) \int g(y) H_k(y)~{\rm d}y</math>.}}

== Utilisations ==
Historiquement, les lois normales sont introduites lors d'études d'[[objet céleste|objets célestes]] ou de [[jeu de hasard|jeux de hasard]]. Elles sont ensuite étudiées et généralisée mathématiquement puis elles sont utilisées dans de nombreuses autres applications : en mathématiques, dans d'autres [[sciences exactes]], dans des sciences plus appliquées ou des [[sciences humaines et sociales]]. Voici une sélection d'exemples.

=== Balistique ===
Au {{s-|XIX|e}}, pour améliorer les précisions des tirs de l'[[artillerie]], de nombreux tirs de canons sont réalisés. Il est observé que la direction et la portée sont assimilables à des lois normales<ref group="a" name="Hadjadji">{{Article | langue = fr | prénom1 = Nacira | nom1 = Hadjadji Seddik-Ameur | titre = Les tests de normalité de Lhoste | périodique = Mathematics and Social Sciences |volume=41|numéro=162 | année = 2003 | pages = 19-43 | url texte = https://msh.revues.org/2886}}.</ref>. Cette compréhension permet de mieux entraîner les servants pour régler les tirs. Ces lois normales proviennent de différents facteurs comme les conditions climatiques, mais également de l'usure du matériel militaire. La dispersion des points d'impact, et donc de la loi, renseigne sur l'état du matériel et sur le nombre éventuel de tirs anormaux. L'ajustement à une loi normale est alors effectué par le [[test de Lhoste]] sur une série de 200 tirs. Le mathématicien [[Jules Haag]] applique la méthode pour {{unité|2680|tirs}} de différentes portées et de différentes directions<ref group="a" name="Hadjadji"/>.

=== Quotient intellectuel ===
Le [[quotient intellectuel]] (QI) a pour objectif de donner une valeur numérique à l'[[intelligence]] humaine. En 1939, [[David Wechsler]] donne une définition à ce quotient de manière statistique. Une note de 100 est donnée à la moyenne des valeurs obtenues dans une population de même âge et 15 points sont retranchés pour un écart égal à l'[[écart type]] obtenu à partir des valeurs de la population testée<ref name="Bogaert68">{{Harvsp|Bogaert|2006|p=68}}.</ref>. Pour cette raison, en pratique, la courbe de répartition du QI est modélisée par la courbe en cloche de la loi normale centrée en 100 et d'écart type 15 : <math>\mathcal N(100,\ 15^2)</math>. Cependant cette modélisation est remise en cause par certains scientifiques. En effet, les résultats des tests dépendraient des classes sociales ; la population ne serait donc plus homogène, c'est-à-dire que la propriété d'indépendance des individus ne serait pas vérifiée<ref group="a" name="Mollo">{{article |prénom1=Suzanne|nom1=Mollo|titre=Tort (Michel). — Le quotient intellectuel |périodique= Revue française de pédagogie|volume=33|numéro=33|année=1975|pages=66-68|url texte=http://www.persee.fr/doc/rfp_0556-7807_1975_num_33_1_2085_t1_0066_0000_2}}.</ref>. {{refnec|Le quotient intellectuel ne serait alors qu'une approximation de mesure de l'intelligence humaine dont on ne connaît pas l'erreur.}}

=== Anatomie humaine ===
[[Fichier:Growth Curve Girl (WHO).jpg|vignette|alt=Courbe de croissance du poids.|gauche|Exemple de courbe de croissance du poids.]]
Un caractère observable et mesurable dans une population d'individus comparables a souvent une fréquence modélisée par une loi normale. C'est le cas par exemple de la taille humaine pour un âge donné (en séparant les hommes et les femmes)<ref name="Ridley76">{{Harvsp|Ridley|2004|p=76}}.</ref>, de la taille des becs dans une population d'oiseaux comme les [[Pinson de Darwin|pinsons de Darwin]] étudiés par [[Charles Darwin|Darwin]]<ref name="Ridley226"/>. Plus précisément, un caractère mesurable dans une population peut être modélisé à l'aide d'une loi normale s'il est codé génétiquement par de nombreux [[allèle]]s ou par de nombreux [[Locus|loci]]<ref name="Ridley226">{{Harvsp|Ridley|2004|p=226}}.</ref> ou si le caractère dépend d'un grand nombre d'effets environnementaux<ref name="Ridley252">{{Harvsp|Ridley|2004|p=252}}.</ref>.

Les courbes de croissance données par l'[[Organisation mondiale de la santé|OMS]], et présentes par exemple dans les [[carnet de santé|carnets de santé]], sont issues de modélisations grâce à une loi normale. Grâce à une étude détaillée des [[centile]]s mesurés dans une population d'âge fixé et grâce à des tests statistiques d'adéquation, les répartitions du poids et de la taille par tranche d'âge ont été modélisées par des lois de probabilité. Parmi ces lois on retrouve les lois normales, la {{Lien|langue=en|trad=Box–Cox distribution|fr=loi normale de Box-Cox}} (généralisation de la loi normale), la [[loi Student de Box-Cox]] (généralisation de la loi normale de Box-Cox) ou encore la [[loi exponentielle-puissance de Box-Cox]]<ref group="a" name="borghi">{{article|langue=en|nom1=Borghi|nom2=de Onis|nom3=Garza|nom4=Van den Broeck|nom5=Frongillo|nom6=Grummer-Strawn|nom7=Van Buuren|nom8=Pan|nom9=Molinari|nom10=Martorell |nom11=Onyango1 |nom12=Martines |titre=Construction of the World Health Organization child growth standards: selection of methods for attained growth curves |périodique=Statistics in medecine |volume=25 |année=2006 |pages=247-265 |doi=10.1002/sim.2227}}.</ref>. {{refnec|Graphiquement, pour chaque âge, c'est-à-dire pour chaque axe vertical, la [[Médiane (statistiques)|médiane]] {{mvar|m}} est représentée (elle donne la courbe centrale) et les deux valeurs de {{math|''m'' + ''σ''}} et {{math|''m'' – ''σ''}} où {{mvar|σ}} est l'écart type, donnent les deux courbes et ainsi représentent l'évolution d'un intervalle de fluctuation.}}

=== Traitement du signal et mesures physiques ===
[[Fichier:Halftone, Gaussian Blur.jpg|vignette|alt=lissage gaussien|Un filtre gaussien a été appliqué à l'image du haut, issue d'un journal, pour obtenir l'image du bas, plus [[Lissage d'images|lisse]], moins granuleuse.]]
Lorsqu'un signal est transmis, une perte d'information apparaît à cause du moyen de transmission ou du décodage du signal. Lorsqu'une [[mesure physique]] est effectuée, une incertitude sur le résultat peut provenir d'une imprécision de l'appareil de mesure ou d'une impossibilité à obtenir la valeur théorique. Une méthode pour modéliser de tels phénomènes est de considérer un modèle déterministe (non aléatoire) pour le signal ou la mesure et d'y ajouter ou multiplier un terme aléatoire qui représente la perturbation aléatoire, parfois appelée ''erreur'' ou ''bruit''. Dans beaucoup de cas cette erreur additive est supposée de loi normale, de [[loi log-normale]] dans le cas multiplicatif<ref name="Hosking157">{{Harvsp|Hosking|Wallis|1997|p=157}}.</ref>. C'est le cas, par exemple, pour la transmission d'un signal à travers un câble électrique<ref name="Ross239"/>. Lorsque le processus dépend du temps, le signal ou la mesure est alors modélisé grâce à un [[bruit blanc]] (voir ci-dessus)<ref name="Yadolah354">{{Harvsp|Dodge|2004|p=354}}.</ref>.

{{refnec|En [[traitement d'images]], une loi normale est utilisée pour améliorer les images et notamment diminuer le bruit, c'est-à-dire les imperfections de l'image. Un [[Lissage d'images|lissage]] grâce à un [[Lissage d'images#Filtre gaussien|filtre gaussien]] est alors utilisé.}}

=== Économie ===
Les prix de certaines denrées sont données par une [[Bourse des valeurs|bourse]], c'est le cas du cours du blé, du coton brut ou de l'or. Au temps <math>t</math>, le prix <math>Z(t)</math> évolue jusqu'au temps <math>t+T</math> par l'accroissement <math>Z(t+T)-Z(t)</math>. En 1900, [[Louis Bachelier]] postule que cet accroissement suit une loi normale de moyenne nulle et dont la variance dépend de <math>t</math> et <math>T</math>. Cependant ce modèle satisfait peu l'observation faite des marchés financiers. D'autres mathématiciens proposent alors d'améliorer ce modèle en supposant que c'est l'accroissement <math>\ln Z(t+T)-\ln Z(t)</math> qui suit une loi normale<ref group="a" name="Mandelbrot">{{article|auteur=[[Benoît Mandelbrot]]|titre=Nouveaux modèles de la variation des prix (Cycles lents et changements instantanés)|périodique=Cahiers du Séminaire d'Économétrie |numéro=9 |année=1966 |pages=53-66 |jstor=20075411}}.</ref>, c'est-à-dire que l'accroissement du prix suit une [[loi log-normale]]. Cette hypothèse est à la base du [[Modèle Black-Scholes|modèle et de la formule de Black-Scholes]] utilisés massivement par l'industrie financière.

Ce modèle est encore amélioré, par [[Benoît Mandelbrot]] notamment, en supposant que l'accroissement suit une [[loi stable]] (la loi normale est un cas particulier de loi stable). Il apparaît alors le [[mouvement brownien]] dont l'accroissement est de loi normale et le [[processus de Lévy]] (stable) dont l'accroissement stable pour modéliser les courbes des marchés<ref group="a" name="Mandelbrot" />.

=== Mathématiques ===
[[Fichier:Gaussian white noise Frequency Analysis.png|vignette|alt=Bruit blanc gaussien|gauche|[[Bruit blanc]] gaussien unidimensionnel.]]
Les lois normales sont utilisées dans plusieurs domaines des mathématiques. Le [[bruit blanc]] gaussien est un [[processus stochastique]] tel qu'en tout point, le processus est une variable aléatoire de loi normale indépendante du processus aux autres points<ref name="Yger573">{{Harvsp|Yger|Weil|2009|p=573}}.</ref>. Le [[mouvement brownien]] <math>(B(t),t\geq 0)</math> est un processus stochastique dont les accroissements sont indépendants, stationnaires et de loi normale<ref group="a" name="Mandelbrot"/>. Notamment pour une valeur <math>t>0</math> fixée, la variable aléatoire <math>B(t)</math> suit la loi normale <math>\mathcal N(0,t)</math>. Ce processus aléatoire possède de nombreuses applications, il fait un lien entre l'[[équation de la chaleur]] et la loi normale<ref group="a" name="Kahane"/>. Lorsque l'extrémité d'une tige métallique est chauffée pendant un court instant, la chaleur se propage le long de la tige sous la forme d'une courbe en cloche.

Les lois normales ont également des applications dans des domaines mathématiques non aléatoires comme la [[théorie des nombres]]. Tout nombre entier {{mvar|n}} peut s'écrire comme un produit de puissances de [[nombres premiers]]. Notons <math>\omega(n)</math> le [[Fonction additive (arithmétique)#Exemples de fonctions qui sont seulement additives|nombre de nombres premiers différents dans cette décomposition]]. Par exemple, puisque <math>60=2^2\times 3 \times 5</math>, <math>\omega(60)=3</math>. Le [[théorème d'Erdős-Kac]] assure<ref group="a" name="Kahane">{{Lien web|auteur=[[Jean-Pierre Kahane]]|url=http://images.math.cnrs.fr/La-courbe-en-cloche.html|titre=La courbe en cloche|jour=1|mois=7|année=2009|site=[[Images des maths]]|éditeur=[[CNRS]]}}.</ref> que cette fonction <math>n\mapsto \omega(n)</math> pour <math>n\leq N</math> est apparentée à la densité d'une loi normale <math>\mathcal N\left(\ln\ln(N),\sqrt{\ln\ln(N)}\right)</math>. C'est-à-dire que pour un grand nombre de l'ordre de <math>1000000000=10^9</math>, il y a une forte probabilité pour que le nombre de diviseurs premiers soit 3, puisque <math>\ln\ln(10^9)\approx 3{,}03</math>.

== Tests et estimations ==
=== Critères de normalité ===
[[Fichier:Gaussoarithmetique2.svg|vignette|alt=Droite de Henry.|Quatre valeurs ainsi que la [[droite de Henry]] représentées sur un papier gausso-arithmétique.]]
{{refnec|Il est important de savoir si des valeurs sont distribuées suivant une loi normale. Quelques critères peuvent être étudiés avant de réaliser un test statistique (voir la section ''[[#Tests de normalité|Tests de normalité]]'' ci-dessous).

Le premier critère, le plus simple, consiste à tracer le [[Représentation graphique de données statistiques#Variables quantitatives discrètes|diagramme en bâtons]] de la distribution et à vérifier visuellement si le ''diagramme est en forme de « cloche »''. Ce critère, subjectif, permet cependant d'éliminer une partie des distributions jugées alors non gaussiennes.}}

{{refnec|De manière plus précise, l'utilisation des [[#Tables numériques et calculs|plages de normalité]] permet de comparer avec les fréquences observées facilement calculables. Le critère consiste à utiliser les plages de normalité ou intervalles de confiance. Lorsque des valeurs suivent la loi normale :
* 68 % d'entre elles sont dans l'intervalle <math>[\overline x-\sigma,\overline x+\sigma]</math> ;
* 95 % d'entre elles sont dans l'intervalle <math>[\overline x-2\sigma,\overline x+2\sigma]</math> ;
* 99,7 % d'entre elles sont dans l'intervalle <math>[\overline x-3\sigma,\overline x+3\sigma]</math>.
Si ce n'est pas le cas, le choix de modéliser la loi des valeurs observées par la loi normale n'est pas conseillé.}}

La [[droite de Henry]] permet de faire un ajustement des valeurs observées avec une loi normale. C'est-à-dire qu'en représentant la droite de Henry, il est possible de porter un diagnostic sur la nature normale ou non de la distribution et, dans le cas où celle-ci a des chances d'être normale, elle permet d'en déterminer la moyenne et l'écart type. Les valeurs <math>(x_i , i\leq n)</math> sont observées et représentées par leur [[fonction de répartition empirique]] <math>F_n</math>. Elles sont gaussiennes si les points <math>(x_i,F_n(x_i))</math> représentés sur un papier gausso-arithmétique sont alignés suivant une droite dite de Henri<ref name="Tassi144">{{Harvsp|Tassi|Legait|1990|p=144}}.</ref>. Un papier gausso-arithmétique est gradué avec une échelle arithmétique en abscisse et graduée suivant l'inverse de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite <math>\Phi^{-1}</math> en ordonnée<ref name="Yadolah228">{{Harvsp|Dodge|2004|p=228}}.</ref>.

{{refnec|Ces critères sont nécessaires mais non suffisants. Cependant, il ne suffit pas de remplir les critères pour affirmer que les valeurs suivent la loi normale.}}

=== Tests de normalité ===
{{article détaillé|Test (statistique){{!}}Test statistiques|Test de normalité}}
Grâce à son rôle dans le [[théorème central limite]], les lois normales se retrouvent dans de nombreux [[Test (statistique)|tests statistiques]] dits gaussiens ou asymptotiquement gaussiens. L'hypothèse dite ''de normalité'' est faite sur une loi a priori dans un test d'adéquation pour indiquer que cette loi suit, approximativement, une loi normale<ref group="a" name="Hadjadji"/>. Il existe plusieurs [[Test de normalité|tests de normalité]].

* Un [[Test du χ²#Test du χ² d'adéquation|test du {{mvar|χ}}{{2}} d'adéquation]] à une loi normale est possible pour tester si une série de ''k'' valeurs observées suit une loi normale<ref name="Yadolah519">{{Harvsp|Dodge|2004|p=519}}.</ref>. Dans ce type de test, l'hypothèse nulle est : la distribution observée peut être approchée par une loi normale. Après avoir regroupé les ''k'' valeurs observées en classes, il faut calculer les probabilités qu'une variable aléatoire de loi normale appartienne à chaque classe en estimant les paramètres de la loi grâce aux valeurs observées. Ces probabilités peuvent être obtenues avec les tables numériques d'une loi normale. Si l'hypothèse nulle est vraie, la [[Test du χ²#Test du χ² d'adéquation|statistique du {{mvar|χ}}{{2}}]] calculée à partir des valeurs observées et des probabilités précédentes suit une [[loi du χ²]]. Le nombre de degré de liberté est {{math|''k'' – 1}} si la moyenne et l'écart type sont connus, {{math|''k'' – 2}} si l'un des deux paramètres est inconnu, ou {{math|''k'' – 3}} si les deux paramètres sont inconnus. L'hypothèse nulle est rejetée si la statistique du {{mvar|χ}}{{2}} est supérieure à la valeur obtenue grâce à la [[Table des lois de probabilités|table de la loi du {{mvar|χ}}{{2}}]] au seuil {{mvar|α}}.
* Le [[test de Lilliefors]] est basé sur la comparaison entre la [[fonction de répartition]] d'une loi normale et la [[fonction de répartition empirique]], c'est une adaptation du [[test de Kolmogorov-Smirnov]]. Les avis sont partagés sur la puissance de ce test, il est performant autour de la moyenne mais l'est moins pour la comparaison des queues de distribution<ref group="a" name="Akotomalala"/>. Les valeurs observées <math>(x_i , i\leq n)</math> sont rangées par ordre croissant <math>(x_{(i)},i\leq n)</math>, les valeurs <math>F_i=\Phi\left((x_{(i)}-\overline{x})/s\right)</math> sont les fréquences théoriques de la loi normale centrée réduite associées aux valeurs standardisées. Si la [[Statistique (indicateur)|statistique]] :{{Retrait|<math> D =\max_{i=1,\dots,n}\left( F_i - \frac{i-1}n; \frac in-F_i \right)</math>}}est supérieure à une valeur critique calculée grâce au seuil {{mvar|α}} et à la taille de l'échantillon, alors l'hypothèse de normalité est rejetée au seuil {{mvar|α}}.
* Le [[test d'Anderson-Darling]] est une autre version du test de Kolmogorov-Smirnov mieux adaptée à l'étude des queues de distribution<ref group="a" name="Akotomalala"/>. En reprenant les mêmes notations que le test de Lilliefors, si la [[Statistique (indicateur)|statistique]] :{{Retrait|<math>A=-n-\frac1n\sum_{i=1}^n(2i-1)\left(\ln(F_i) + \ln(1-F_{n-i+1}) \right)</math>}}est supérieure à une valeur critique calculée grâce au seuil {{mvar|α}} et à la taille de l'échantillon, alors l'hypothèse de normalité est rejetée au seuil {{mvar|α}}.
* Le [[test de D'Agostino]] est basé sur les coefficients de [[Asymétrie (statistiques)|symétrie]] et d'[[Kurtosis|aplatissement]]. Il est particulièrement efficace à partir de <math>n\geq 20</math> valeurs observées<ref group="a" name="Akotomalala"/>. Même si l'idée de ce test est simple, les formules sont plus compliquées à écrire. L'idée est de construire des modifications des coefficients de symétrie et d'aplatissement pour obtenir des variables <math>z_1</math> et <math>z_2</math> de loi normale centrée réduite. Il faut alors effectuer un [[test du χ²]] avec la statistique <math>z_1^2+z_2^2</math>.
* Le [[test de Jarque-Bera]] est également basé sur les coefficients de symétrie et d'aplatissement. Ce test n'est intéressant que pour un nombre élevé de valeurs observées<ref group="a" name="Akotomalala"/>. En considérant les deux estimateurs :{{Retrait|<math>b_1=\frac{\frac1n\sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)^3}{\left(\frac1n\sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)^2\right)^{\frac32}}</math> et <math>b_2=\frac{\frac1n\sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)^4}{\left(\frac1n\sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)^2\right)^2},</math>}}comme précédemment, il faut effectuer un test du {{mvar|χ}}{{2}} avec la statistique <math>T=n\left( b_1^2/6 + (b_2-3)^2/24 \right)</math>.
* Le [[test de Shapiro-Wilk]] (proposé en 1965) est efficace pour les petits échantillons de moins de 50 valeurs<ref group="a" name="Akotomalala">{{Lien web|format=pdf|auteur=Ricco Rakotomalala|url=http://eric.univ-lyon2.fr/~ricco/cours/cours/Test_Normalite.pdf|titre=Tests de normalité|année=2011}}.</ref>. Les valeurs observées <math>(x_i , i\leq n)</math> sont rangées par ordre croissant <math>(x_{(i)},i\leq n)</math> et des coefficients <math>a_i</math> sont calculés à partir de [[quantile]]s, [[moyenne]], [[Variance (statistiques et probabilités)|variance]] et [[covariance]] d'une loi normale. Si la statistique{{Retrait|<math> W = \frac{ \left( \sum_{i=1}^{[n/2]} a_i \left(x_{(n-i+1)} - x_{(i)}\right)\right)^2 }{ \sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)^2 }</math>}}est inférieure à une valeur critique calculée grâce au seuil {{mvar|α}} et à la taille de l'échantillon, alors l'hypothèse de normalité est rejetée au seuil {{mvar|α}}.

=== Estimations des paramètres ===
Lorsqu'un phénomène aléatoire est observé et qu'il est considéré comme pouvant être modélisé par une loi normale, une des questions que l'on peut se poser est : que valent les paramètres {{mvar|μ}} et {{mvar|σ}} de la loi normale <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math> ? Une estimation est alors à effectuer. Les observations récupérées lors de l'observation du phénomène sont notées par des variables aléatoires <math>X_1,X_2,\dots,X_n</math>, les notations de la [[moyenne arithmétique]] et de la moyenne des carrés sont également utiles<ref name="Yger715">{{Harvsp|Yger|Weil|2009|p=715}}.</ref> :
{{Retrait|<math>S_n=\frac1n(X_1+X_2+\dots+X_n)</math>}}
et
{{Retrait|<math>T_{n-1}^2=\frac1{n-1} \sum_{k=1}^n (X_k-S_n)^2</math>.}}
Ces deux valeurs sont respectivement des [[Estimateur (statistique)|estimateurs]] de la moyenne et de la variance qui se calculent à partir des valeurs observées. Puisque les variables <math>X_1,X_2,\dots,X_n</math> sont de loi normale, alors
{{Retrait|<math>S_n</math> est de loi <math>\mathcal N(\mu, \frac{\sigma^2}n)</math>}}
et
{{Retrait|<math>\frac{n-1}{\sigma^2} T_{n-1}^2</math> est indépendante de {{mvar|S{{ind|n}}}} et de [[loi du χ²]] à {{math|''n'' – 1}} degrés de liberté<ref name="Yger715"/>.}}

==== Estimation de la moyenne {{mvar|μ}} (lorsque l'écart type {{mvar|σ}} est connu) ====
Une méthode est de chercher un intervalle de confiance à un seuil {{mvar|α}} autour de la moyenne théorique {{mvar|μ}}. En utilisant les quantiles d'ordre <math>\frac{\alpha}2</math> et <math>1-\frac{\alpha}2</math>, la formule définissant les quantiles permet d'obtenir<ref name="Yger715"/> :
{{Retrait|<math>\mathbb P\left( S_n-\frac{\sigma}{\sqrt n}q_{\alpha/2} \leq \mu \leq S_n+\frac{\sigma}{\sqrt n}q_{\alpha/2} \right)\geq 1- \alpha</math>.}}
Grâce aux valeurs observées et aux tables numériques de la loi normale centrée réduite (voir la [[#Tables numériques et calculs|table]]), il est alors possible de donner les valeurs numériques de l'intervalle <math>\left[S_n-\frac{\sigma}{\sqrt n}q_{\alpha/2} , S_n+\frac{\sigma}{\sqrt n}q_{\alpha/2} \right]</math>, intervalle de confiance pour {{mvar|μ}} au seuil {{mvar|α}}.

==== Estimation de la moyenne {{mvar|μ}} (lorsque l'écart type {{mvar|σ}} est inconnu) ====
Une méthode est d'utiliser une variable intermédiaire qui peut s'écrire à l'aide de nouvelles variables aléatoires <math>U=\frac{S_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}</math> de loi <math>\mathcal N(0,1)</math> et <math>V=\frac{n-1}{\sigma^2}T_{n-1}^2</math> de loi <math>\chi^2 (n-1)</math> : <math>\sqrt n\frac{S_n-\mu}{T_{n-1}} = \frac{U\sqrt{n-1}}{\sqrt{V}}</math> est de [[loi de Student]] <math>t(n-1)</math>. En utilisant les quantiles d'ordre <math>\frac{\alpha}2</math> et <math>1-\frac{\alpha}2</math>, la formule définissant les quantiles permet d'obtenir<ref name="Yger716">{{Harvsp|Yger|Weil|2009|p=716}}.</ref> :
{{Retrait|<math>\mathbb P\left( S_n+\frac{T_{n-1}}{\sqrt n}q_{\alpha/2} \leq \mu \leq S_n-\frac{T_{n-1}}{\sqrt n}q_{\alpha/2} \right)\geq 1- \alpha</math>.}}
Grâce aux valeurs observées et aux tables numériques des lois de Student, il est alors possible de donner les valeurs numériques de l'intervalle <math>\left[S_n+\frac{T_{n-1}}{\sqrt n}q_{\alpha/2} , S_n-\frac{T_{n-1}}{\sqrt n}q_{\alpha/2} \right]</math>, intervalle de confiance pour {{mvar|μ}} au seuil {{mvar|α}}.

==== Estimation de l'écart type {{mvar|σ}} (lorsque la moyenne {{mvar|μ}} est inconnue) ====
La méthode est la même que la précédente. L'introduction de la variable aléatoire <math>T_{n-1}^2\frac{n-1}{\sigma^2}</math> de [[loi du χ²]] à {{math|''n'' – 1}} degrés de liberté permet d'obtenir<ref name="Yger717">{{Harvsp|Yger|Weil|2009|p=717}}.</ref> :
{{Retrait|<math>\mathbb P\left( \sqrt{T_{n-1}^2\frac{n-1}{q_{1-\alpha/2}}} \leq \sigma \leq \sqrt{T_{n-1}^2\frac{n-1}{q_{\alpha/2}}} \right)\geq 1- \alpha</math>
où <math>q_{1-\alpha/2}</math> et <math>q_{\alpha/2}</math> sont les quantiles de la loi du {{mvar|χ}}{{2}} à {{math|''n'' – 1}} degrés de liberté que l'on peut obtenir à partir de la table numérique du {{mvar|χ}}{{2}}. L'intervalle <math>\left[\sqrt{T_{n-1}^2\frac{n-1}{q_{1-\alpha/2}}} , \sqrt{T_{n-1}^2\frac{n-1}{q_{\alpha/2}}}\right]</math> est l'intervalle de confiance au seuil {{mvar|α}}.}}

== Simulation ==

Pour étudier un phénomène aléatoire dans lequel intervient une variable normale dont les paramètres sont connus ou estimés, une approche analytique est souvent trop complexe à développer. Dans un tel cas, il est possible de recourir à une méthode de [[Calcul stochastique#Méthodes de simulation|simulation]], en particulier à la [[méthode de Monte-Carlo]] qui consiste à générer un [[Échantillon (statistiques)|échantillon]] artificiel de valeurs indépendantes de la variable, ceci à l'aide d'un ordinateur. Les logiciels ou les langages de programmation possèdent en général un [[générateur de nombres pseudo-aléatoires]] ayant une distribution [[Loi uniforme continue|uniforme]] sur ]0, 1[. Il s'agit alors de transformer cette variable de loi <math>U(]0, 1[)</math> en une variable <math>\mathcal N(0,1)</math> (l'adaptation à d'autres valeurs des paramètres ne pose pas de problème).

=== Approches à éviter ===
* De manière générale, on peut exploiter la fonction réciproque de la fonction de répartition : en l'occurrence, la variable aléatoire <math>\Phi^{-1}(U)</math> suit la loi normale centrée réduite ; cette méthode est cependant malcommode, faute d'expressions simples des fonctions <math>\Phi</math> et <math>\Phi^{-1}</math> ; par ailleurs, les résultats sont numériquement insatisfaisants.
* Si <math>U_1, U_2,\dots, U_{12}</math> sont douze variables indépendantes de [[loi uniforme continue|loi uniforme]] sur [0, 1], alors la variable <math>\sum_{k=1}^{12}U_k-6</math> est de moyenne nulle et d'écart type unitaire. Ainsi, grâce au [[théorème central limite]], cette variable suit'' approximativement'' la loi normale centrée réduite<ref group="a" name="Atkinson">{{article|langue=en|prénom1=A. C.|nom1=Atkinson|prénom2=M. C.|nom2=Pearce|titre=The Computer Generation of Beta, Gamma and Normal Random Variables|périodique=Journal of the Royal Statistical Society|lien périodique=Journal of the Royal Statistical Society|volume=139|numéro=4|année=1976|pages=431-461|jstor=2344349}}.</ref>. C'est une manière simple de générer une loi normale, cependant l'approximation reste imprécise.

=== Approches efficientes ===
* Un meilleur algorithme est la [[méthode de Box-Muller]] qui utilise une représentation polaire de deux coordonnées uniformes donnée par les formules : {{Retrait|Si <math>\begin{cases}U\sim\mathcal U(0,1) \\ V\sim\mathcal U(0,1)\end{cases}</math> alors <math>\begin{cases}\sqrt{-2\ln(U)}\cos(2\pi V)\sim\mathcal N(0,1) \\ \sqrt{-2\ln(U)}\sin(2\pi V)\sim\mathcal N(0,1)\end{cases}</math>}}et les deux variables obtenues sont indépendantes. Cet algorithme est simple à réaliser, mais le calcul d'un [[logarithme]], d'une racine carrée et d'une [[fonction trigonométrique]] ralentit le traitement<ref group="a" name="Atkinson"/>.
* Une amélioration a été proposée par [[George Marsaglia|Marsaglia]] et Bray en 1964<ref group="a">{{en}} George Marsaglia et Thomas A. Bray, « A convenient method for generating normal variables », ''SIAM Review'', vol. 6, {{n°|3}}, juillet 1964, {{p.|260-264}} ({{jstor|2027592}}, {{doi|10.1137/1006063}}).</ref>, en remplaçant les cosinus et sinus par les variables <math>V_1/\sqrt W</math> et <math>V_2/\sqrt W</math> où <math>V_1</math> et <math>V_2</math> sont indépendantes de loi <math>\mathcal U(-1,1)</math> et <math>W=V_1^2+V_2^2</math>, lorsque <math>W<1</math> (on [[Méthode de rejet|rejette]] les couples qui ne vérifient pas cette dernière condition). Ainsi :{{Retrait|<math>\begin{cases} V_1\sqrt{-2\dfrac{\ln W}{W}}\sim\mathcal N(0,1) \\ V_2\sqrt{-2\dfrac{\ln W}{W}}\sim\mathcal N(0,1).\end{cases}</math>}}Cet algorithme n'est pas plus lourd à mettre en œuvre et la simulation gagne en vitesse<ref group="a" name="Atkinson"/>.
* Pour un grand nombre de tirages aléatoires, la [[méthode Ziggourat]] est encore plus rapide, mais sa mise en œuvre est plus complexe.

== Hommages ==
Par son utilisation généralisée dans les sciences, une loi normale, souvent par l'utilisation de la courbe en cloche, est mise en avant dans différents contextes et est utilisée pour représenter l'universalité d'une répartition statistique, entre autres.


[[Francis Galton]] parle des lois normales dans son œuvre ''Natural Inheritence'' de 1889 en ces termes élogieux<ref group="a" name="fuchs"/> :
{{Citation bloc|Je ne connais rien d'autre si propre à frapper l'imagination que cette merveilleuse forme d'ordre cosmique donnée par la Loi de Fréquence des Erreurs... Elle règne avec sérénité et en toute abnégation au milieu de la confusion sauvage<ref group="b">Initialement en anglais : {{Citation étrangère|lang=en|I know of scarcely anything so apt to impress the imagination as the wonderful form of cosmic order expressed by the Law of Frequency of Error... It reigns with serenity and in complete self-effacement amidst the wildest confusion.}}</ref>.|[[Francis Galton]]}}

En 1989, un hommage est rendu à [[Carl Friedrich Gauss]] en imprimant un billet à son effigie, la courbe en cloche est également présente sur le billet. Des pierres tombales portent le signe de la courbe en cloche, c'est le cas pour certains mathématiciens.

<center><div style="width:80%">
{| class="wikitable"
|----
|Le statisticien [[William J. Youden]] écrit<ref name="Stigler415">{{Harvsp|Stigler|1999|p=415}}.</ref> en 1962 une explication du but et de la position des lois normales dans les sciences. Il la présente en [[calligramme]] sous forme de courbe en cloche :
|----
|<center>
THE <br />
NORMAL <br />
LAW OF ERROR <br />
STANDS OUT IN THE <br />
EXPERIENCE OF MANKIND <br />
AS ONE OF THE BROADEST <br />
GENERALIZATIONS OF NATURAL <br />
PHILOSOPHY ♦ IT SERVES AS THE <br />
GUIDING INSTRUMENT IN RESEARCHES <br />
IN THE PHYSICAL AND SOCIAL SCIENCES AND <br />
IN MEDICINE AGRICULTURE AND ENGINEERING ♦<br />
IT IS AN INDISPENSABLE TOOL FOR THE ANALYSIS AND THE <br />
INTERPRETATION OF THE BASIC DATA OBTAINED BY OBSERVATION AND EXPERIMENT
</center>
|----
|{{citation bloc|La loi normale des erreurs se distingue dans l'expérience de l'humanité comme une des plus larges généralisations de la philosophie naturelle ♦ Elle sert de guide dans la recherche en sciences physique et sociale, en médecine, en agriculture et en ingénierie ♦ C'est un outil indispensable pour l'analyse et l'interprétation des données de base obtenues par l'observation et l'expérience.}}
|}
</div></center>

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{références|groupe="b"}}

=== Références ===
==== Ouvrages ====
{{Références|taille=24}}

==== Articles et autres sources ====
{{références|groupe="a"}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Normal distribution|commons titre=Distribution normale|v=Variables aléatoires continues/Loi normale}}
{{catégorie principale}}
=== Bibliographie ===
{{Légende plume}}
* {{ouvrage| langue = en|auteur=[[Milton Abramowitz]]|auteur2=[[Irene Stegun]]|titre=[[Handbook of Mathematical Functions]]|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|numéro d'édition=9|numéro chapitre=26|titre chapitre=Probability Functions|passage=927-996|année=1972|pages totales=1047|isbn=0-486-61272-4|lire en ligne ={{Google Livres|MtU8uP7XMvoC}}}} {{plume}}
* {{ouvrage|prénom1=Patrick|nom1= Bogaert|titre=Probabilités pour scientifiques et ingénieurs|éditeur=[[De Boeck]]|lieu=Paris|année=2006|pages totales=387|isbn=2-8041-4794-0|lire en ligne ={{Google Livres|vbO_UTOW-gUC}}}} {{plume}}
* {{Ouvrage | langue = en |auteur=[[Harald Cramér]]|titre = Random Variables and Probability Distributions | numéro d'édition = 3 | éditeur=[[Cambridge University Press]]|année = 1970 | pages totales = 123 | isbn = 0-521-60486-9 | lire en ligne ={{Google Livres|QW3kkBzd0OQC}}}} {{plume}}
* {{Ouvrage | langue = fr |auteur={{Lien|Yadolah Dodge}}|titre =Statistique - dictionnaire encyclopédique | éditeur = Springer Verlag | lien éditeur = Springer Science+Business Media | année = 2004 | pages totales = 637 | isbn = 2-287-21325-2 | lire en ligne ={{Google Livres|PyDEP3M-T4cC}}}} {{plume}}
* {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Jean-Jacques | nom1 = Droesbeke | prénom2 = Michel |nom2 = Lejeune | prénom3 = Gilbert |nom3 = Saporta | titre = Modèles statistiques pour données qualitatives | éditeur = Technip | année = 2005 | pages totales = 295 | isbn = 2-7108-0855-2 | lire en ligne ={{Google Livres|ANuQrh3Oa64C}}}} {{plume}}
* {{ouvrage | langue = en |prénom1=Joseph Arthur|nom1= Greenwood | prénom2 = H. O. | nom2 = Hartley | titre =Guide to Tables in Mathematical Statistics|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=1962 | pages totales=1014 | isbn= |lire en ligne = }} {{plume}}
* {{Ouvrage | langue = en | prénom1 = Charles Miller | nom1 = Grinstead | prénom2 = James Laurie | nom2 = Snell | titre = Introduction to Probability | éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|numéro d'édition = 2 | année = 1997 | pages totales = 519 | isbn = 0-8218-0749-8 | lire en ligne = http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html}} {{plume}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=J. R. M. |nom1=Hosking|prénom2=James R.|nom2=Wallis|titre=Regional Frequency Analysis: An Approach Based on L-Moments|éditeur=Cambridge University Press|année=1997|pages totales=224|isbn=978-0-521-43045-6|lire en ligne={{Google Livres|gurAnfB4nvUC}}}} {{plume}}
* {{Ouvrage | langue = en | prénom1 =M. A.| nom1 = Lifshits|titre = Gaussian Random Functions | éditeur=[[Kluwer Academic Publishers]]|année = 1995 | pages totales = 339 | isbn = 0-7923-3385-3 | lire en ligne ={{Google Livres|vNh6_n-K9_4C}}}} {{plume}}
* {{Ouvrage | langue = en | nom1 =[[National Bureau of Standards|NBS]]| titre =A Guide to Tables of the Normal Probability Integral | éditeur = U.S. Govt. Print. Off. | année = 1952 | pages totales = 16 | isbn = | lire en ligne =}} {{plume}}
* {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Konstantin | nom1 = Protassov | titre = Analyse statistique des données expérimentales | éditeur=[[EDP Sciences]]|année = 2002 | pages totales = 148 | isbn =978-2-75980113-8| lire en ligne ={{Google Livres|yW0HlTkVMZ4C}}}} {{plume}}
* {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Martine | nom1 = Quinio Benamo | titre = Probabilités et Statistique aujourd'hui | éditeur=[[L'Harmattan]]|année = 2005 | pages totales = 277 | isbn = 2-7475-9799-7 | lire en ligne ={{Google Livres|RUlUubOjhcwC}}}} {{plume}}
* {{Ouvrage | langue = en |auteur={{Lien|langue=en|trad=Mark Ridley (zoologist)|fr=Mark Ridley}}|titre = Evolution | numéro d'édition=3 | éditeur=[[Wiley-Blackwell|Blackwell]]|année = 2004 | pages totales = 751 | isbn = 1-4051-0345-0 | lire en ligne =<!--lien brisé http://fr.scribd.com/doc/45318423/4/Natural-selection-can-be-directional-stabilizing-or-disruptive-->}} {{plume}}
* {{Ouvrage | prénom1 = Sheldon M. | nom1 = Ross | titre = Initiation aux probabilités | éditeur =[[PPUR]]| année = 2007 | pages totales = 592 | isbn = 978-2-88074-738-1 | lire en ligne ={{Google Livres|6TjJW8tpQLwC}}}} {{plume}}
* {{Ouvrage | langue = en|auteur=[[Stephen Stigler]]|titre = Statistics on the Table |éditeur=[[Harvard University Press]]|année = 1999 | pages totales = 499 | isbn = 0-674-83601-4 | lire en ligne ={{Google Livres|qQusWukdPa4C}}}} {{plume}}
* {{Ouvrage | prénom1 = Philippe | nom1 = Tassi | prénom2 = Sylvia | nom2 = Legait | titre = Théorie des probabilités en vue des applications statistiques | éditeur = Technip | année = 1990 | pages totales = 367 | isbn = 2-7108-0582-0 | lire en ligne ={{Google Livres|Ju62Wvc1stoC}}}} {{plume}}
* {{Ouvrage | prénom1 = Alain | nom1 = Yger | prénom2 = Jacques-Arthur | nom2 = Weil| titre = Mathématiques appliquées | éditeur=[[Pearson (maison d'édition)|Pearson Education]]|année = 2009 | pages totales = 890 | isbn =978-2-7440-7352-6| lire en ligne ={{Google Livres|fqOu6xKdmhcC}}}} {{plume}}

=== Articles connexes ===
* [[Loi normale multidimensionnelle]]
* [[Fonction d'erreur]]
* [[Théorème central limite]]

=== Liens externes ===
{{Liens}}
* {{en}} [http://www.taygeta.com/random/gaussian.html Generating Gaussian Random Numbers]
* [//www.youtube.com/watch?v=FePQmvcsh74&feature=bf_prev&list=PLAE81FEB96ADC0161 Dix vidéos] (sur [[YouTube]]) de moins de dix minutes chacune dans lesquelles Saïd Chermak explique les propriétés de la loi normale.
* [http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html Animation en ligne] de la [[planche de Galton]].

{{Palette|Lois de probabilités|Probabilités et statistiques}}
{{Portail|probabilités et statistiques}}
{{Bon article|vote=BA|oldid=88067372|date=30 janvier 2013}}

[[Catégorie:Loi normale|*]]
[[Catégorie:Fonction spéciale]]
[[Catégorie:Carl Friedrich Gauss]]