Voir la source de Loi uniforme continue

{{Infobox Distribution statistiques
 | name        = Loi uniforme continue<BR>de paramètres <math>a</math> et <math>b</math>
 | pdf_image   = Uniform distribution PDF.png
 | pdf_légende = 
 | cdf_image   = Uniform distribution CDF.png
 | cdf_légende = 
 | parameters  = <math>- \infty < a < b < + \infty</math>
 | support     = <math>[a,b]</math>
 | pdf         = <math>
    \begin{cases}
    \frac{1}{b-a} & \text{pour } a \le x \le b \\
    0 & \text{pour } x < a \text{ ou } x > b
    \end{cases}
    </math>
 | cdf         = <math>
    \begin{cases}
    0 & \text{pour } x < a \\
    \frac{x-a}{b-a} & \text{pour } a \le x < b \\
    1 & \text{pour } x \ge b
    \end{cases}
    </math>
 | mean        = <math>\frac{a+b}{2}</math>
 | median      = <math>\frac{a+b}{2}</math>
 | mode        = <math>\text{toute valeur dans } [a,b]</math>
 | variance    = <math>\frac{(b-a)^2}{12}</math>
 | skewness    = <math>0</math>
 | kurtosis    = <math>- \frac{6}{5}</math>
 | entropy     = <math>\ln(b-a)</math>
 | mgf         = <math>\frac{{\rm e}^{tb}-{\rm e}^{ta}}{t(b-a)}</math>
 | char        = <math>\frac{{\rm e}^{{\rm i}tb}-{\rm e}^{{\rm i}ta}}{{\rm i}t(b-a)}</math>
}}

En [[théorie des probabilités]] et en [[statistique]]s, les '''lois uniformes continues''' forment une famille de [[Loi de probabilité|lois de probabilité]] à [[variable aléatoire à densité|densité]]. Une telle loi est caractérisée par la propriété suivante : tous les [[Intervalle (mathématiques)|intervalles]] de même longueur inclus dans le [[Support de mesure|support]] de la loi ont la même probabilité. Cela se traduit par le fait que la densité de probabilité d'une loi uniforme continue est constante sur son support. 

Elles constituent donc une généralisation de la notion d'[[équiprobabilité]] dans le cas ''continu'' pour des [[Variable aléatoire à densité|variables aléatoires à densité]] ; le cas ''discret'' étant couvert par les [[Loi uniforme discrète|lois uniformes discrètes]].

Une loi uniforme est paramétrée par la plus petite valeur <math>a</math> et la plus grande valeur <math>b</math> que la [[variable aléatoire]] correspondante peut prendre. La loi uniforme continue ainsi définie est souvent notée <math>\mathcal{U} (a,b).</math>

Les densités associées aux lois uniformes continues sont des généralisations de la [[Fonction porte|fonction rectangle]] en raison de leurs formes.

== Caractérisation ==
=== Densité ===
La [[densité de probabilité]] de la loi <math>\mathcal{U} (a, b)</math> est une [[fonction porte]] sur l'intervalle {{math|[''a'', ''b'']}} :
:<math>
  \mathrm{f} (x) = \begin{cases}
  \dfrac{1}{b-a} & \text{pour } a \le x \le b, \\
  0 & \text{sinon} .
  \end{cases}
</math>

=== Fonction de répartition ===
La [[fonction de répartition]] de la loi <math>\mathcal{U} (a,b)</math> est :
:<math>
  \mathrm{F} (x) = \begin{cases}
  0 & \text{pour } x < a, \\
  \dfrac{x-a}{b-a} & \text{pour } a \le x < b, \\
  1 & \text{pour } x \ge b.
  \end{cases}
</math>

=== Fonctions génératrices ===
==== Fonction génératrice des moments ====
La [[fonction génératrice des moments]] de la loi <math>\mathcal{U} (a,b)</math> est :
:<math>
M_X = \mathbb{E} [{\rm e}^{tX}] = \frac{{\rm e}^{tb} - {\rm e}^{ta}}{t(b-a)} .
</math>

Elle permet de calculer tous les [[Moment (mathématiques)|moments non centrés]], {{math|''m{{ind|k}}''}} :
:<math>m_1 = \frac{a+b}2 ,</math>
:<math>m_2 = \frac{a^2+ab+b^2}3 ,</math>
:<math>m_k = \frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^k a^i b^{k-i} .</math>

Ainsi, pour une [[variable aléatoire]] suivant la loi <math>\mathcal{U} (a,b),</math> l'[[Espérance mathématique|espérance]] est ''m''{{ind|1}} = (''a''&nbsp;+&nbsp;''b'')/2, et la [[Variance (statistiques et probabilités)|variance]] est 
''m''{{ind|2}}&nbsp;−&nbsp;''m''{{ind|1}}{{2}} = (''b''&nbsp;−&nbsp;''a''){{2}}/12.

==== Fonction génératrice des cumulants ====
Pour ''n''&nbsp;≥&nbsp;2, le ''n''-ième [[Cumulants (statistiques)|cumulant]] de la loi uniforme continue sur l'intervalle [0,&nbsp;1] est ''b''{{ind|''n''}}/''n'', où ''b''{{ind|''n''}} est le ''n''-ième [[nombre de Bernoulli]].

== Propriétés ==
=== Statistiques d'ordre ===
Soit {{formule|''X''{{ind|1}}, ..., ''X''{{ind|''n''}}}} un échantillon [[Variable indépendante et identiquement distribuée|i.i.d.]] issu de la loi <math>\mathcal{U} (0,1).</math> Soit {{formule|''X''{{ind|(''k'')}}}} la ''k''-ième [[statistique d'ordre]] de l'échantillon. Alors la distribution de {{formule|''X''{{ind|(''k'')}}}} est une [[loi bêta]] de paramètres ''k'' et ''n''&nbsp;−&nbsp;''k''&nbsp;+&nbsp;1.

L'espérance est :
:<math>\mathbb{E} [X_{(k)}] = {k \over n+1} .</math>

Ce fait est utile lorsqu'on construit une [[droite de Henry]].

La variance est :
:<math>\mathbb{V} [X_{(k)}] = {k (n-k+1) \over (n+1)^2 (n+2)} .</math>

=== Aspect uniforme ===
La probabilité qu'une variable uniforme tombe dans un intervalle donné est indépendante de la position de cet intervalle, mais dépend seulement de sa longueur <math>( \ell ),</math> à condition que cet intervalle soit inclus dans le support de la loi. Ainsi, si ''X'' suit la loi <math>\mathcal{U} (a,b)</math> et si <math>[x,x+ \ell ]</math> est un sous-intervalle de [''a'', ''b''], avec <math>\ell > 0</math> fixé, alors :
:<math>
  \mathbb P \big( X \in [x,x+ \ell ] \big)
  = \int_{x}^{x+ \ell } \frac{ \mathrm{d} y }{b-a}
  = \frac{ \ell }{b-a} ,
</math>

qui est indépendant de {{math|''x''}}. Ce fait motive la dénomination de cette loi.

== Loi uniforme standard ==
Le cas particulier {{formule|''a'' {{=}} 0}} et {{formule|''b'' {{=}} 1}} donne naissance à la '''loi uniforme standard''', notée <math>\mathcal{U} (0, 1).</math>
Il faut noter le fait suivant : si {{formule|''u''{{ind|1}}}} est distribué selon une loi uniforme standard, alors c'est aussi le cas pour {{formule|''u''{{ind|2}} {{=}} 1 – ''u''{{ind|1}}.}}

== Loi uniforme sur une partie borélienne ==
À toute partie ''A'' de <math>\R ^d,</math> borélienne, dont la [[mesure de Lebesgue]] ''λ''(''A'') est finie et strictement positive, on associe une loi de probabilité, appelée '''loi uniforme sur ''A''''', de [[densité de probabilité]] ''ƒ'' définie, pour tout <math>x \in \R ^d,</math> par :
:<math>\mathrm{f} (x) \ = \ \frac{1}{\lambda(A)}\ \chi_A (x),</math>

où ''χ{{ind|A}}'' est la [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction indicatrice (ou caractéristique)]], notée aussi 𝟙{{ind|''A''}}, de l'ensemble ''A''. La densité <math>\mathrm{f}</math> est donc nulle à l'extérieur de ''A'', mais égale à la constante {{frac|1|''λ''(''A'')}} sur ''A''.

Cette page traite principalement du cas particulier où ''d'' = 1 et où ''A'' est un ''intervalle'' {{formule|[''a'', ''b'']}} de <math>\R .</math>

=== Transport et invariance ===
{{Théorème|Condition suffisante|La loi de la variable aléatoire {{formule|''Y'' {{=}} ''T''(''X''),}} image par une transformation ''T'' d'une variable ''X'' uniforme sur une partie ''A'' de <math>\R ^d,</math> est encore la loi uniforme sur {{formule|''T''(''A'')}} si ''T'' est, à un ensemble négligeable près, injective et différentiable, et si, presque partout sur ''A'', la valeur absolue du [[Matrice jacobienne#Déterminant jacobien|jacobien]] de ''T'' est constante.}}

{{Exemple|nom=Exemples de transformations respectant l'uniformité|
* Si ''T'' est [[Transformation affine|affine]] et bijective, alors ''Y'' suit la loi uniforme sur {{formule|''T''(''A'').}}
* En particulier, si ''T'' est une [[Isométrie affine|isométrie]] de <math>\R ^{d}</math> laissant ''A'' globalement invariant, alors ''Y'' a même loi que ''X''.
* Par exemple, une [[Isométrie affine|isométrie]] de <math>\R ^d</math> laisse invariante la loi uniforme sur B(O, 1], la boule unité centrée en l'origine, à condition de laisser l'origine invariante (donc de laisser B(O, 1] globalement invariante).
* Autre exemple d'isométrie : si {{formule|''U''}} est uniforme sur [0, 1], alors {{formule|1 – ''U''}} l'est aussi.
* Notons <math>\{ x \}</math> la [[partie fractionnaire]] de <math>x.</math> Les fonctions <math>T_{+,a} (x) = \{ a+x \}</math> et <math>T_{-,a} (x) = \{ a-x \}</math> ne sont ni injectives ni différentiables sur tout [0, 1], mais satisfont les hypothèses énoncées plus haut, avec {{formule|''T''([0, 1[) {{=}} [0, 1[}}. En conséquence, si <math>U \sim \mathcal{U} (0,1),</math> alors <math>\{ a+U \}</math> et <math>\{ a-U \}</math> ont même loi que <math>U.</math> En sortant un peu du cadre de cette page, et en notant {{formule|''M''(''x'')}} le point du [[cercle trigonométrique]] ayant pour [[Plan complexe|affixe]] <math>{\rm e} ^{2{\rm i} \pi x},</math> on peut voir {{formule|''M''(''U'')}} comme un point tiré au hasard uniformément sur le cercle trigonométrique. Les points <math>M(\{ a+U \})</math> et <math>M(\{ a-U \})</math> respectivement sont alors obtenus par rotation d'angle {{math|2π''a''}} et par symétrie par rapport à la droite d'angle directeur {{math|π''a''}} respectivement, qui sont des isométries laissant le [[cercle unité]] globalement invariant. Donc ces points suivent aussi la loi uniforme sur le [[cercle unité]]. Cela traduit une propriété très particulière de la loi uniforme : elle est la [[mesure de Haar]] de <math>\R \backslash \Z .</math>}}

{{Théorème|Conséquence|Si la suite <math>V = ( V_1 , V_2 , \dots , V_n )</math> est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur {{formule|[0, 1],}} et si <math>U_k = \{ V_1 + V_2 + \dots + V_k \} ,</math> alors la suite <math>U = ( U_1 , U_2 , \dots , U_n )</math> est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur {{formule|[0, 1]}}.}}
{{Démonstration|La loi conditionnelle de <math>U_k ,</math> sachant que <math>(V_1,V_2,\dots,V_{k-1})=(a_1,a_2,\dots,a_{k-1}),</math> est la loi de <math>\{a_1+a_2+\dots+a_{k-1}+V_k\},</math> qui se trouve être la loi uniforme sur [0, 1], comme on vient de le voir quelques lignes plus haut. Donc la loi conditionnelle de <math>U_k</math> sachant que <math>(V_1,V_2,\dots,V_{k-1})=(a_1,a_2,\dots,a_{k-1})</math> ne dépend absolument pas de <math>(a_1,a_2,\dots,a_{k-1}).</math> Cela a deux conséquences :
* <math>U_k</math> suit la loi uniforme sur [0, 1] ;
* <math>U_k</math> est indépendante de la [[tribu engendrée]] par <math>(V_1,V_2,\dots,V_{k-1})</math> et, a fortiori, de la [[tribu engendrée]] par <math>(U_1,U_2,\dots,U_{k-1}),</math> puisque <math>\sigma(V_1,V_2,\dots,V_{k-1})\ \supset\ \sigma(U_{1},U_{2},\dots,U_{k-1}).</math>

Cela suffit pour conclure.}}

Il peut sembler surprenant que les variables <math>\{ V_{1} + V_{2} \}</math> et <math>\{ V_{1} + V_{2} + V_{3} \} ,</math> par exemple, soient indépendantes, alors qu'elles dépendent toutes deux de manière cruciale des variables <math>V_{1}</math> et <math>V_{2} .</math> C'est une conséquence particulière de la propriété d'invariance de la loi uniforme : par exemple, étant la [[mesure de Haar]] de <math>\R \backslash \Z ,</math> elle est [[idempotent]]e pour la [[Produit de convolution|convolution]].

== Distributions associées ==
Le théorème suivant<ref>Voir l'article détaillé [[Fonction de répartition#Théorème de la réciproque|ici]].</ref> stipule que '''toutes''' les distributions sont liées à la loi uniforme :
{{Théorème|[[Fonction de répartition#Théorème de la réciproque|Théorème de la réciproque]]|Pour une variable aléatoire de fonction de répartition <math>\mathrm{F} ,</math> on note <math>\mathrm{G}</math> sa ''réciproque généralisée'', définie, pour tout <math>\omega \in \ ]0,1[,</math> par :
<center><math>\mathrm{G} (\omega) = \inf \left\{ x \in \mathbb{R} \ | \ \mathrm{F} (x) \ge \omega \right\} .</math></center>
Si <math>U</math> désigne une variable aléatoire réelle uniforme sur <math>[0, 1],</math> alors <math>X = \mathrm{G} (U)</math> a pour fonction de répartition <math>\mathrm{F} .</math>}}

Ainsi, pour obtenir des tirages (indépendants) selon la loi répartie par <math>\mathrm{F} ,</math> il suffit d'appliquer l'inverse de <math>\mathrm{F}</math> à des tirages (indépendants) uniformes sur <math>[0,1].</math>

Voici quelques exemples d’application de ce théorème <math>\big( U \sim \mathcal{U} (0,1) \big) :</math>
* <math>Y = - \tfrac{ \ln U }{ \lambda }</math> suit la [[loi exponentielle]] de paramètre <math>\lambda \ ;</math>
* ''Y'' = 1 – ''U''{{exp|1/''n''}} suit la [[loi bêta]] de paramètres 1 et ''n''. Ceci implique que la loi uniforme standard est un cas particulier de la loi bêta, de paramètres 1 et 1.

On trouvera un tableau plus complet [[Fonction de répartition#Exemples|ici]]. Par ailleurs, l'art d'engendrer des variables aléatoires de lois arbitraires, par exemple à l'aide de variables uniformes, est développé dans ''Non-Uniform Random Variate Generation'', de [[Luc Devroye]], édité chez Springer, disponible sur le web<ref>La version pdf (libre et autorisée) de {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Luc|nom1=Devroye|lien auteur1=|titre=Non-Uniform Random Variate Generation|sous-titre=|numéro d'édition=1|éditeur=Springer-Verlag|lien éditeur=|lieu=New York|jour=|mois=|année=1986|volume=|tome=|pages totales=|passage=|isbn=|lire en ligne=http://cg.scs.carleton.ca/~luc/rnbookindex.html|consulté le=}} est disponible, ainsi qu'un récit humoristique des démêlés de Luc Devroye avec son éditeur.</ref>.

<!--
== Relation avec d'autres fonctions ==
As long as the same conventions are followed at the transition points, the probability density function may also be expressed in terms of the [[Heaviside step function]]:
:<math>f(x)=\frac{\operatorname{H}(x-a)-\operatorname{H}(x-b)}{b-a} ,</math>

or in terms of the [[rectangle function]]:
:<math>f(x)=\frac{1}{b-a}\,\operatorname{rect}\left(\frac{x-\left(\frac{a+b}{2}\right)}{b-a}\right) .</math>

There is no ambiguity at the transition point of the [[sign function]]. Using the half-maximum convention at the transition points, the uniform distribution may be expressed in terms of the sign function as:
:<math>f(x)=\frac{ \sgn{(x-a)}-\sgn{(x-b)}} {2(b-a)} .</math>
-->

== Inférence statistique ==
=== Estimation de l'un des paramètres lorsque l'autre est connu ===
Cette section décrit l'estimation de la borne supérieure <math>(b)</math> de la distribution <math>\mathcal{U} (a,b),</math> au vu d'un échantillon de <math>n</math> individus, la borne inférieure <math>(a)</math> étant connue.

==== Estimation du maximum ====
===== Estimateur sans biais de variance minimale =====
{{article principal|Problème du char d'assaut allemand}}
Pour une loi uniforme sur <math>[0,b]</math> avec <math>b</math> inconnu, l'{{lien|trad=Minimum-variance unbiased estimator|fr=estimateur sans biais de valeur minimale}} pour le maximum est donné par :
:<math>\hat{b} _{MV} = \frac{k+1}{k} m = m + \frac{m}{k} ,</math>
où <math>m</math> est le maximum de l'échantillon et <math>k</math> la taille de l'échantillon, échantillonné sans remise (bien que cette précision n'a aucune incidence dans le cas uniforme).

On obtient cette valeur par un raisonnement similaire au cas discret. Ce problème peut être vu comme un cas simple d'{{lien|trad=Maximum spacing estimation|fr=estimation de l'espacement maximal}}. Il est connu sous le nom de [[Problème du char d'assaut allemand]], par son application d'estimation maximale de la production des chars d'assaut allemands pendant la [[Seconde Guerre mondiale]].

===== Estimateur par maximum de vraisemblance =====
L'estimateur par [[maximum de vraisemblance]] est :
:<math>\hat{b} _{ML} = m,</math>
où <math>m</math> est la valeur maximum dans l'échantillon, qui est aussi la [[statistique d'ordre]] maximale de l'échantillon.

===== Estimateur par la méthode des moments =====
L'estimateur par la [[Méthode des moments (statistiques)|méthode des moments]] est :
:<math>\hat{b} _{MM} = 2 \bar{X} ,</math>
où <math>\bar{X}</math> est la moyenne de l'échantillon.

==== Estimation du milieu ====
Le milieu <math>\tfrac{a+b}{2}</math> de l'intervalle de la loi uniforme <math>\mathcal{U} (a,b)</math> est à la fois la moyenne et la médiane de cette loi. Bien que la moyenne et la médiane de l'échantillon sont des estimateurs sans [[Biais (statistique)|biais]] du milieu, ils ne sont pas aussi [[Efficacité (statistiques)|efficaces]] que le [[Milieu_de_gamme_(statistique)|milieu de gamme]] de l'échantillon, i.e. la [[moyenne arithmétique]] du maximum et du minimum de l'échantillon, qui est l'estimateur sans biais de variance minimale du milieu (et aussi l'estimateur par maximum de vraisemblance).

=== Intervalle de confiance ===
==== Pour le maximum ====
On considère ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> un échantillon de <math>\mathcal U_{[0,L]} ,</math> où ''L'' est la valeur maximum dans la population. Alors ''X''<sub>(''n'')</sub> = max( ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> ) a la densité de Lebesgue-Borel<ref name=Nechval2002>{{article |lang=en |auteur1=KN Nechval |auteur2=NA Nechval NA |auteur3=EK Vasermanis |auteur4=VY Makeev |année=2002 |lire en ligne=https://www.researchgate.net/profile/Konstantin_Nechval/publication/267986471_CONSTRUCTING_SHORTEST-LENGTH_CONFIDENCE_INTERVALS/links/55c37b3008aeb97567400f29.pdf |titre=Constructing shortest-length confidence intervals |périodique=Transport and Telecommunication |volume=3 |numéro=1 |pages={{p.|95-103}}}}</ref> <math>\mathrm{f} = \frac{ \mathrm{d} \mathbb{P} _{X_{(n)}} }{ \mathrm{d} \lambda } :</math>
: <math>\mathrm{f} (t) = n \frac{1}{L} \left( \frac{t}{L} \right) ^{n-1} 1 \! \! 1 _{[0;L]}(t) = n \frac{ t^{n-1} }{ L^n } 1 \! \! 1 _{[0;L]} (t),</math>
où <math>1 \! \! 1 _{[0,L]}</math> est la [[fonction caractéristique]] (ou indicatrice) de <math>[0,L].</math>

L'intervalle de confiance est mathématiquement incorrect, car <math> \mathbb{P} ([ \hat{ \theta} , \hat{ \theta} + \varepsilon ] \ni \theta) \geq 1 - \alpha</math> ne peut être résolu pour <math>\varepsilon</math> sans information sur <math>\theta .</math> On peut cependant résoudre
:<math>\mathbb{P} ([ \hat{\theta}, \hat{\theta} (1 + \varepsilon) ] \ni \theta) \geq 1 - \alpha</math> pour <math>\varepsilon \geq (1-\alpha)^{-1/n} - 1</math> pour tout <math>\theta</math> inconnu mais valide ;
on peut alors choisir le plus petit <math>\varepsilon</math> possible vérifiant la condition ci-dessus. On note que la longueur de l'intervalle <math>[ \hat{ \theta}, \hat{ \theta} (1 + \varepsilon) ]</math> dépend de la variable aléatoire <math>\hat{ \theta } .</math>

=== Estimation simultanée des deux paramètres ===
Cette section décrit l'estimation des deux bornes <math>(a ; b)</math> de la distribution uniforme continue <math>\mathcal{U} (a,b),</math> au vu d'un échantillon de <math>n</math> individus.

Soient <math>\hat{a}</math> et <math>\hat{b}</math> les estimateurs respectifs des bornes inférieure <math>(a)</math> et supérieure <math>(b)</math> de la distribution mère, construits sur la base de l'échantillon contenant les <math>n</math> modalités de la variable aléatoire <math>X</math> issues de la distribution <math>\mathcal{U} (a,b).</math>

La méthode du [[maximum de vraisemblance]] aboutit à la sélection des '''minimum et maximum empiriques''' :
:<math>\begin{cases} 
\hat{a} & = & \min \,(x_i)_{i=1,n} \\
\hat{b} & = & \max \,(x_i)_{i=1,n} .
\end{cases}</math>

{{Démonstration|
Soit <math>L(a, b)</math> la vraisemblance d'un n-échantillon <math>\{x_i\}_{i=1,n}</math> tiré suivant une loi uniforme <math>\mathcal{U} (a, b)</math> dont les deux paramètres doivent être estimés :
:<math>
L(a,b)= \prod_{i=1}^{n} f_{a,b}(x_i) =
\begin{cases}
\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{b-a} & = & \frac{1}{(b-a)^n} & \text{si}\, a \le \min_i\{x_i\} \; \text{et}\; b \ge \max_i\{x_i\} \\
0 & & & \text{dans tous les autres cas.}
\end{cases}
</math>

Maximiser la vraisemblance revient à minimiser <math>(b-a)</math> sous les contraintes :
:<math>
\begin{cases}
a \le \min_i\{x_i\} \\
b \ge \max_i\{x_i\} .
\end{cases}
</math>

Le couple d'estimateurs <math>(\hat{a} , \hat{b})</math> qui réalise cette maximisation est :
:<math>
\begin{cases}
\hat{a} & = & \min_i\{x_i\} \\
\hat{b} & = & \max_i\{x_i\} .
\end{cases}
</math>
}}

Ce couple d'estimateurs est biaisé : la probabilité qu'un <math>n</math>-échantillon capture le minimum <math>(a)</math> ou le maximum <math>(b)</math> permis par la distribution mère étant quasi-nulle, la moyenne d'un grand nombre d'observations sur de tels <math>n</math>-échantillons ne converge pas vers les bornes de ladite distribution mère :
:<math>\begin{cases}
\mathbb{E} (\hat{a}) & \ge & a \\
\mathbb{E} (\hat{b}) & \le & b.
\end{cases}</math>

La démonstration est produite plus bas.

==== Loi de distribution régissant ces estimateurs biaisés ====
Les densités de probabilité sont notées en minuscules (par ex. <math>\mathrm{f}</math>), les fonctions de répartition sont notées en majuscules (par ex. <math>\mathrm{F}</math>).

===== Densité de probabilité associée au couple d'estimateurs biaisés =====
<math>d^{2} \mathbb{P}\, \left(x \le \hat{a} \le x+dx \, ; \, y \le \hat{b} \le y+dy \right) = \underbrace{\frac{n\,\left(n-1\right)}{\left(b-a\right)^{n}}\, \left(y-x\right)^{n-2}}_{f_{\hat{a},\hat{b}}(x,y)} \,dx\,dy.</math>
{{Démonstration|
Pour que <math>\hat{a}</math> soit compris entre <math>x</math> et <math>x+dx</math> et que <math>\hat{b}</math> soit compris entre <math>y</math> et <math>y+dy</math>, il faut :
# que le minimum des <math>x_i</math> soit compris entre <math>x</math> et <math>x+dx</math> : <math>d\mathbb{P}=\frac{dx}{b-a}</math>
# que le maximum des <math>x_i</math> soit compris entre <math>y</math> et <math>y+dy</math> : <math>d\mathbb{P}=\frac{dy}{b-a}</math>
# et que les <math>(n-2)</math> autres <math>x_i</math> soient compris entre <math>x</math> et <math>y</math> : <math>\mathbb{P} = \left(\frac{y-a}{b-a}-\frac{x-a}{b-a}\right)^{n-2}=\left(\frac{y-x}{b-a}\right)^{n-2} .</math>
Comme n'importe quelle paire choisie parmi les <math>x_i</math> peut constituer le couple (min, max) de l'échantillon, il y a <math>A_{n}^{2}=\frac{n!}{\left(n-2\right)!}=n\,\left(n-1\right)</math> arrangements possibles, d'où la probabilité énoncée.

La notion d'arrangement (plutôt que de combinaisons) découle du fait qu'être min ou max de l'échantillon ne constitue pas le même évènement, ce qui introduit une notion d'ordre.
}}

===== Lois marginales régissant les minimum et maximum empiriques =====
Concernant l'estimateur de la borne inférieure <math>(\hat{a}) \ :</math>
:<math>\forall x \in [a, b] \;\begin{cases}
d\mathbb{P}\, (x \le \hat{a} \le x+dx) & = & f_{\hat{a}}(x)\, dx& = & \frac{n}{b-a}\, \Bigl(\frac{b-x}{b-a}\Bigr)^{n-1}\, dx \\
\mathbb{P}\, (\hat{a} \le x) & = & F_{\hat{a}}(x)& = & 1-\Bigl(\frac{b-x}{b-a}\Bigr)^{n} .
\end{cases}</math>
{{Démonstration|
Pour que <math>\hat{a}</math> soit compris entre <math>x</math> et <math>x+dx</math>, il faut :
# que le minimum des <math>x_i</math> soit compris entre <math>x</math> et <math>x+dx</math> : <math>d\mathbb{P}=\frac{dx}{b-a}</math>
# et que tous les autres <math>x_i</math> soient supérieurs ou égaux à <math>x</math> : <math>\mathbb{P} = \left(\frac{b-x}{b-a}\right)^{n-1} .</math>
Comme n'importe lequel des <math>x_i</math> peut être le minimum, il y a <math>n</math> possibilités, d'où :
:<math>d\mathbb{P} \, (x \le \hat{a} \le x+dx) = f_{\hat{a}}(x)\, dx = \frac{n}{b-a}\, \left(\frac{b-x}{b-a}\right)^{n-1}\, dx.</math>

On obtient la fonction de répartition par intégration :
:<math>F(\hat{a})=\int_{a}^{x} f_{\hat{a}} (t)\,\mathrm{d}t =\left(\frac{b-t}{b-a}\right)_{x}^{a} = 1-\left(\frac{b-x}{b-a}\right)^{n} .</math>

Remarque :<BR>Une intégration partielle de la densité de probabilité <math>f_{\hat{a},\hat{b}}\left(x,y\right)</math> définie au paragraphe précédent aboutit aux mêmes résultats :
# sur le domaine <math>\hat{b} \in \left[\hat{a}, b\right]</math> pour établir la densité marginale du minimum empirique,
# ou sur le domaine <math>\hat{a} \in \left[a, \hat{b}\right]</math> pour établir la densité marginale du maximum empirique.
}}

Par une démonstration similaire, on obtient pour l'estimateur de la borne supérieure <math>(\hat{b})</math> :
:<math>\forall x \in [a, b] \;\begin{cases}
\mathrm{d}\mathbb{P}\, (x \le \hat{b} \le x+dx) & = & f_{\hat{b}}(x)\, \mathrm{d}x& = & \frac{n}{b-a}\, \left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{n-1} \,\mathrm{d}x \\
\mathbb{P}\, (\hat{b} \le x) & = & F_{\hat{b}}(x)& = & \left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{n} .
\end{cases}</math>

==== Convergence de ces estimateurs ====
La définition de la convergence d'un estimateur est donnée dans le document référencé <ref name=":0">{{Lien web |auteur=Jean-Jacques Ruch |titre=Statistiques : estimation |url=https://www.math.u-bordeaux.fr/~mchabano/Agreg/ProbaAgreg1213-COURS2-Stat1.pdf |site=www.google.fr |consulté le=2022-12-19}}</ref>.

Concernant l'estimateur de la borne inférieure (<math>\hat{a}_n</math> sur un n-échantillon) : <math>\mathbb{P} \,(|\hat{a}_n -a|>\varepsilon)=\mathbb{P} \,(\hat{a}_n>a+\varepsilon)</math> car aucune valeur inférieure à ''a'' ne peut être observée. Donc :
:<math>\mathbb{P} \,(|\hat{a}_n -a|>\varepsilon)=\left(\frac{b-a-\varepsilon}{b-a}\right)^n=\left(1-\frac{\varepsilon}{b-a}\right)^n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \, 0.</math>

Une démonstration similaire s'applique pour l'estimateur de la [[Borne supérieure et borne inférieure|borne supérieure]].

<math>(\hat{a} ; \hat{b})</math> forme donc un couple d'estimateurs convergents.

==== Biais de ces estimateurs ====
Lorsque l'on multiplie les échantillons (de taille <math>n</math> donnée), la moyenne des observations ne tend pas vers le couple de bornes <math>(a, b)</math> de la distribution mère :
:<math>\begin{cases}
\mathbb{E}(\hat{a}) & = &a+\frac{b-a}{n+1} \\
\mathbb{E}(\hat{b}) & = &b-\frac{b-a}{n+1} .
\end{cases}</math>

Ces deux estimateurs ne sont qu'asymptotiquement sans biais<ref name=":0" />, i.e. lorsque la taille <math>n</math> de l'échantillon tend vers l'infini.
{{Démonstration|
:<math>\mathbb{E}(\hat{a})=\int_{a}^{b} \frac{n\, x}{b-a}\, \left(\frac{b-x}{b-a}\right)^{n-1} \,\mathrm{d}x = \frac{n}{(b-a)^n} \, \int_{a}^{b} x\,(b-x)^{n-1}\,\mathrm{d}x.</math>

Une intégration par parties permet d'arriver au résultat énoncé.

Idem pour le calcul de l'espérance de <math>\hat{b} .</math>
}}

==== Recherche d'estimateurs sans biais ====
Le couple d'estimateurs <math>(\hat{\hat{a}}\,;\, \hat{\hat{b}})</math> défini ci-dessous est sans biais<ref name=":1">{{Lien web |auteur=Christophe Boilley |titre=Estimation des bornes d'une loi uniforme |url=https://boilley.ovh/blog/estimation-bornes-uniforme.html |site=Classeur numérique de Christophe Boilley |date=13/01/2023 |consulté le=17/01/2023}}</ref> :
:<math>\begin{cases}
\hat{\hat{a}} & = & \hat{a}-\frac{\hat{b}-\hat{a}}{n-1} & = & \frac{n\, \hat{a}-\hat{b}}{n-1} \\
\hat{\hat{b}} & = & \hat{b}+\frac{\hat{b}-\hat{a}}{n-1} & = & \frac{n\, \hat{b}-\hat{a}}{n-1} .
\end{cases}</math>

{{Démonstration|
On vérifie l'espérance de l'estimateur <math>\hat{\hat{a}}</math> :

<math display=block>\mathbb{E}(\hat{\hat{a}}) = \mathbb{E}(\hat{a})-\frac{1}{n-1} \left(\mathbb{E}(\hat{b})-\mathbb{E}(\hat{a})\right) = a+\frac{b-a}{n+1}-\frac{b-a}{n-1}\, \frac{n-1}{n+1} = a.</math>

L'espérance de l'erreur commise <math>(\hat{\hat{a}}-a) </math> est nulle, ce qui en fait un estimateur sans biais de <math>a.</math>

La démonstration est identique avec l'autre estimateur <math>\hat{ \hat{b} } .</math>
}}

Le calcul de ces estimateurs (avec ou sans biais) ne nécessite pas la connaissance des paramètres <math>(a;b)</math> de la distribution mère.

Les lois de distribution qui régissent le couple d'estimateurs sans biais sont plus complexes à déterminer. Le document <ref name=":1" /> donne les lois suivantes :

===== Densité de probabilité associée au couple d'estimateurs sans biais =====
:<math>
d^{2} \mathbb{P}\, \left(x \le \hat{\hat{a}} \le x+dx \, ; \, y \le \hat{\hat{b}} \le y+dy \right) = \underbrace{\frac{n\,\left(n-1\right)^{n}}{\left(n+1\right)^{n-1}\, \left(b-a\right)^{n}}\, \left(y-x\right)^{n-2}}_{f_{\hat{\hat{a}},\hat{\hat{b}}}(x,y)} \,dx\,dy.
</math>

===== Lois marginales régissant chacun des deux estimateurs sans biais=====
Sachant que la variable <math>\hat{\hat{a}}</math> admet comme support l'intervalle <math>\left[\frac{n\,a-b}{n-1}\, ;\, b\right]</math> :
:<math>\begin{cases}
\forall x \le a & d \mathbb{P}\, \left(x \le \hat{\hat{a}} \le x+dx\right) & = & \frac{\left(n-1\right)^{n-1}}{n^{n-2}\, \left(b-a\right)^{n}}\, \left[\left(b-x\right)^{n-1}-n^{n-1}\left(a-x\right)^{n-1}\right]\, dx \\
\forall x \ge a & d \mathbb{P}\, \left(x \le \hat{\hat{a}} \le x+dx\right) & = & \frac{\left(n-1\right)^{n-1}}{n^{n-2}\,\left(b-a\right)^{n}}\,\left(b-x\right)^{n-1}\, dx.
\end{cases}</math>
Sachant que la variable <math>\hat{\hat{b}}</math> admet comme support l'intervalle <math>\left[a\, ; \, \frac{n\,b-a}{n-1}\right]</math> :
:<math>\begin{cases}
\forall y \le b & d \mathbb{P}\, \left(y \le \hat{\hat{b}} \le y+dy\right) & = & \frac{\left(n-1\right)^{n-1}}{n^{n-2}\,\left(b-a\right)^{n}}\,\left(y-a\right)^{n-1}\, dy \\
\forall y \ge b & d \mathbb{P}\, \left(y \le \hat{\hat{b}} \le y+dy\right) & = & \frac{\left(n-1\right)^{n-1}}{n^{n-2}\, \left(b-a\right)^{n}}\, \left[\left(y-a\right)^{n-1}-n^{n-1}\left(y-b\right)^{n-1}\right]\, dy.
\end{cases}</math>

==== Intervalle de pari ====
On considère ici :
* une loi mère uniforme <math>\mathcal{U} (a, b)</math> donnée et connue,
* le couple d'estimateurs avec biais formé par le minimum <math>(\hat{a})</math> et le maximum <math>(\hat{b})</math> empiriques déterminés sur un <math>n</math>-échantillon.

Les estimateurs considérés sont ceux avec biais car :
* leurs lois de distribution sont simples à manipuler ;
* le document référencé <ref name=":1" /> montre que construire des intervalles de pari à partir des estimateurs sans biais n'aboutit pas in fine à des intervalles plus réduits pour un niveau de confiance donné, et en explique la raison.

On cherche à connaître comment se répartissent les n-échantillons possibles formés à partir de la distribution mère <math>\mathcal{U}\,(a, b)</math>, en plaçant dans le plan <math>\mathbb{R}^2</math> :
* sur l'axe des abscisses, la borne inférieure <math>(a)</math> de la distribution mère et les minima empiriques des échantillons ;
* sur l'axe des ordonnées, la borne supérieure <math>(b)</math> de la distribution mère et les maxima empiriques des échantillons.

On note :
:<math>\begin{cases}
m & = & \text{valeur de}\, \hat{a} & = & \min \,(x_i)_{i=1,n} \\
M & = & \text{valeur de}\, \hat{b} & = & \max \,(x_i)_{i=1,n} .
\end{cases}</math>
[[Fichier:Zone echantillons possibles issus U a b.png|alt=Zone du plan où l'on peut trouver des des échantillons issus de U (a,b)|vignette|Zone du plan où l'on peut trouver des échantillons issus de U (a,b)]]
La distribution mère <math>\mathcal{U} (a, b)</math> et la construction des estimateurs imposent la hiérarchie suivante : <math>a \leq m \leq M \leq b.</math> Les échantillons issus de cette loi mère sont tous situés à l'intérieur du [[triangle rectangle]] formé par la droite <math>x=a</math>, la droite  <math>y=b</math> et la [[première bissectrice]] (cf. figure ci-contre).

Un ''bon'' échantillon (i.e. un échantillon représentatif de sa population mère) se caractérise par :
* un minimum empirique <math>(m)</math> proche de <math>a</math>
* et un maximum empirique <math>(M)</math> proche de <math>b.</math>
Le risque de pari <math>(\alpha)</math> associé à un échantillon <math>(\hat{a}=m \,;\hat{b}=M)</math> est défini par la probabilité de trouver un échantillon plus ''mauvais'' que lui, i.e. présentant :
:* un minimum empirique supérieur ou égal à <math>m,</math>
:* ou un maximum empirique inférieur ou égal à <math>M.</math>

===== Intervalle de pari sur le minimum empirique =====
[[Fichier:Risque pari echantillon issu U a b 02.png|alt=Intervalle de pari sur le minimum empirique d'un échantillon issu de U (a,b)|vignette|Intervalle de pari sur le minimum empirique d'un échantillon issu de U (a,b)]]
L'expérimentateur choisit son risque de pari <math>(\alpha)</math>. Le risque de pari sur le minimum empirique est défini par l'équation suivante :
:<math>\alpha=\mathbb{P}\,\left(\hat{a} \geq m \; \forall \hat{b} \in \left[\hat{a}\,;\, b\right]\right)=\left(\frac{b-m}{b-a}\right)^{n}\Rightarrow\, m_{1-\alpha}=b-(b-a)\cdot\alpha^{\frac{1}{n}}</math>
La surface de pari sur le minimum empirique au niveau de confiance <math>(1-\alpha)</math> rassemble les échantillons qui vérifient : <math>\hat{a}\in [a\,;m_{1-\alpha}]</math> et <math>\hat{b} \in [\hat{a}\,;b]</math>.   
   
===== Intervalle de pari sur le maximum empirique =====
[[Fichier:Risque pari echantillon issu U a b 03.png|alt=Intervalle de pari sur le maximum empirique d'un échantillon issu de U (a,b)|vignette|Intervalle de pari sur le maximum empirique d'un échantillon issu de U (a,b)]]
De façon similaire, le risque de pari sur le maximum empirique est défini par l'équation suivante :
:<math>\alpha=\mathbb{P}\,\left(\hat{b} \leq M\; \forall \hat{a} \in \left[a\,;\hat{b}\right]\right)=\left(\frac{M-a}{b-a}\right)^{n}\Rightarrow\, M_{1-\alpha}=a+(b-a)\cdot\alpha^{\frac{1}{n}}</math>
La surface de pari sur le maximum empirique au niveau de confiance <math>(1-\alpha)</math> rassemble les échantillons qui vérifient : <math>\hat{b}\in [M_{1-\alpha}\,;b]</math> et <math>\hat{a} \in [a\,;\hat{b}]</math>.   

===== Surface de pari sur les deux bornes =====
La surface de pari est celle qui capture la proportion <math>(1-\alpha)</math> des échantillons formés à partir d'une population mère <math>\mathcal{U}\,(a, b)</math> donnée et connue. 
[[Fichier:Risque pari echantillon diagramme adimensionne.png|alt=Choix de la forme de la surface de pari, représenté dans les coordonnées réduites  (φ;ψ)|vignette|Choix de la forme de la surface de pari, représenté dans les coordonnées réduites <math>\left(\varphi\,;\,\psi\right)</math>]]
Le problème dépend de la forme que l'on aura choisi de donner à cette surface, qui peut être un carré, un triangle, un quart de cercle, ... On choisit ici un triangle rectangle, de sommet <math>P_1\,\left(a\,;\,b\right)</math> et dont l'hypoténuse est parallèle à la première bissectrice (''cf. figure ci-contre''). La raison est que la densité de probabilité associée au couple <math>\left(\hat{a}\,;\,\hat{b}\right)</math>est constante le long d'un lieu <math>y-x=Cte</math>. Ceci permet de découper l'espace suivant une ligne iso-densité, minimisant ainsi la surface de pari pour capturer un effectif donné.      

Les variables réduites classiques pour les distributions uniformes sont introduites afin de simplifier les calculs qui suivent :
:<math>\begin{cases}
\varphi & = & \frac{m-a}{b-a} \\
\psi & = & \frac{M-a}{b-a}
\end{cases}</math>
 
Les relations de conversion du domaine réel en domaine réduit sont données par le tableau ci-dessous : 
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
!scope=col|Échantillon {m ; M} à population {a ; b} donnée
!scope=col|Représentation adimensionnée
!scope=col|Population {a ; b} à échantillon {m ; M} donné
|-
|<math>a \le m \le M \le b</math>
| rowspan="2" |<math>0 \le \varphi \le \psi \le 1</math>
|<math>a \le m \le M \le b</math>
|-
|<math>\begin{cases}
m & \in & \left[a\,;\,M\right] \\
M & \in & \left[m\,;\,b\right]
\end{cases}</math>
|<math>\begin{cases}
a & \in & \left]-\infty\,;m\right] \\
b & \in & \left[M\,;+\infty\right[\end{cases}</math>
|-
|<math>m=a</math>
|<math>\varphi=0</math>
|<math>a=m</math>
|-
|<math>m \rightarrow M=b</math>
|<math>\varphi=1</math>
|<math>a \rightarrow -\infty</math>
|-
|<math>M \rightarrow m=a</math>
|<math>\psi=0</math>
|<math>b \rightarrow +\infty</math>
|-
|<math>M=b</math>
|<math>\psi=1</math>
|<math>b=M</math>
|}
Exprimée dans le plan des coordonnées réduites, la surface pari au niveau de confiance <math>(1-\alpha)</math> est constituée par l'intérieur du triangle rectangle de sommets :
:<math>
P_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}\;\; P_2 \begin{pmatrix} \delta \\ 1\end{pmatrix}\;\;P_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1-\delta \end{pmatrix}
</math>

La marge réduite <math>
\left(\delta\right)
</math> est reliée au risque de pari <math>
\left(\alpha\right)
</math> par l'équation suivante : 

<math>
\left(1-\delta\right)^{n-1}\,\left[1+\left(n-1\right)\delta\right]=\alpha
</math>  
[[Fichier:X f n alpha.png|alt=Marge réduite = f (effectif de l'échantillon, risque de pari)|vignette|Marge réduite = f (effectif de l'échantillon, risque de pari]]
{{Démonstration |
La densité de probabilité associée au couple <math>\left(m\,;\,M\right)</math>et exprimée en fonction des variables réduites s'écrit : 
:<math>
d^{2} \mathbb{P}\, \left(\varphi \le \frac{m-a}{b-a} \le \varphi+d\varphi \, ; \, \psi \le \frac{M-a}{b-a} \le \psi+d\psi \right) = n\,\left(n-1\right)\,\left(\psi-\varphi\right)^{n-2}\,d\varphi\,d\psi
</math>
La surface de pari triangulaire recherchée doit capturer la proportion <math>\left(1-\alpha\right)</math> des échantillons générés à partir de la poplulation mère. En s'aidant de la figure ci-dessus plaçant le domaine de pari dans le plan des coordonnées réduites, il vient : 
:<math>
\int_{\varphi=0}^{\delta} \int_{\psi=\varphi+1-\delta}^{1} n\left(n-1\right)\,\left(\psi-\varphi\right)^{n-2}\,d\varphi\,d\psi = 1-\alpha
</math>
Soit, tous calculs effectués : <math>1-\left(1-\delta\right)^{n-1}\,\left[1+\left(n-1\right)\delta\right]=1-\alpha</math>

D'où la relation énoncée liant <math>\delta</math> à <math>\alpha</math>.
}}
 
L'équation liant la marge réduite <math>\left(\delta_{1-\alpha}\right)</math> au risque de pari <math>\left(\alpha\right)</math> peut être résolue par la [[Application contractante|méthode du point fixe]] : la suite <math>\left(x_n\right)</math> définie ci-dessous converge rapidement vers la solution, même avec une initialisation forfaitaire : 
[[Fichier:Risque pari echantillon issu U a b 10.png|alt=Surface pari au niveau de confiance  (1−α)  tracée dans le plan des coordonnées de l'expérimentateur|vignette|Surface pari au niveau de confiance <math>\left(1-\alpha\right)</math> tracée dans le plan des coordonnées de l'expérimentateur]]
<math>\begin{cases}
x_0 & = & \frac{1}{2} \\
x_{n+1} & = & 1-\left(\frac{\alpha}{1+\left(n-1\right)\,x_n}\right)^{\frac{1}{n-1}}
\end{cases}</math>

Le lieu des solutions est tracé ci-contre, en fonction de l'effectif de l'échantillon et du risque de pari <math>\alpha</math>.

Replacée dans le plan des coordonnées correspondant au problème réel de l'expérimentateur, la surface pari au niveau de confiance <math>(1-\alpha)</math> est constituée par l'intérieur du triangle rectangle de sommets : 
:<math>
P_1 \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}\;\; P_2 \begin{pmatrix} a+\delta_{1-\alpha}\,\left(b-a\right) \\ b\end{pmatrix}\;\;P_3 \begin{pmatrix} a \\ b-\delta_{1-\alpha}\,\left(b-a\right) \end{pmatrix}
</math>

==== Surface de confiance ====
Le point de vue est inversé par rapport à la section précédente :
:* le n-échantillon est connu, et le couple des minimum et maximum empiriques obtenus est <math>\left(m\,;M\right)</math> ;
:* on veut connaître quelles populations mères  <math>\mathcal{U}\,(a, b)</math>  auraient pu générer cet échantillon, au niveau de confiance <math>(1-\alpha)</math> choisi par l'expérimentateur.
[[Fichier:Risque confiance population 10.png|alt=Surface de confiance au niveau de confiance  {\displaystyle \left(1-\alpha \right)}  tracée dans le plan des coordonnées de l'expérimentateur|vignette|Surface de confiance au niveau de confiance <math>\left(1-\alpha\right)</math> tracée dans le plan des coordonnées de l'expérimentateur]]
Il s'agit donc de recenser les populations mères qui contiennent l'échantillon en question dans leurs surfaces de pari respectives au niveau de confiance <math>(1-\alpha)</math>.

L'intégrale calculée lors de la démonstration qui établit la surface de pari en coordonnées réduites <math>\left(\varphi\,;\,\psi\right)</math> reste inchangée, quelles que soient les raisons qui font varier ces coordonnées réduites :

* les variations du couple <math>\left(m\,;M\right)</math> à population mère <math>\mathcal{U}\,(a, b)</math> fixée,
* ou bien les variations des bornes <math>\left(a\,;\,b\right)</math> de la population mère à échantillon <math>\left(m\,;M\right)</math> fixé

La surface de confiance est obtenue par déréduction de la surface établie en coordonnées <math>\left(\varphi\,;\,\psi\right)</math> pour le niveau de confiance <math>(1-\alpha)</math>, en cherchant <math>\left(a\,;\,b\right)</math> à échantillon <math>\left(m\,;M\right)</math> fixé. Cette surface de confiance est constituée par l'intérieur du triangle rectangle de sommets :
:<math>
Q_1 \begin{pmatrix} m \\ M\end{pmatrix}\;\; Q_2 \begin{pmatrix} \frac{m-\delta_{1-\alpha}\,M}{1-\delta_{1-\alpha}} \\ M\end{pmatrix}\;\;Q_3 \begin{pmatrix} m \\ \frac{M-\delta_{1-\alpha}\,m}{1-\delta_{1-\alpha}} \end{pmatrix}
</math>

== Applications ==
En [[statistique]]s, lorsqu'une [[valeur p]] (''p-value'') est utilisée dans une procédure de [[test statistique]] pour une [[hypothèse nulle]] simple, et que la distribution du test est continue, alors la valeur p est uniformément distribuée selon la loi uniforme sur [0, 1] si l'hypothèse nulle est vérifiée.

=== Obtenir des réalisations de la loi uniforme ===
{{Article détaillé|Générateur de nombres pseudo-aléatoires}}
La plupart des [[Langage de programmation|langages de programmation]] fournissent un générateur de pseudo-nombres aléatoires, dont la distribution est effectivement la loi uniforme standard.

Si ''u'' est ''U''(0, 1), alors ''v'' = ''a'' + (''b'' − ''a'')''u'' suit la loi ''U''(''a'', ''b'').

=== Obtenir des réalisations d'une loi continue quelconque ===
{{Article détaillé|Méthode de la transformée inverse}}

D'après le théorème cité plus haut, la loi uniforme permet en théorie d'obtenir des tirages de toute loi continue à densité. Il suffit pour cela d'inverser la [[Fonction de répartition]] de cette loi, et de l'appliquer à des tirages de la loi uniforme standard. Malheureusement, dans bien des cas pratiques, on ne dispose pas d'une expression analytique pour la fonction de répartition; on peut alors utiliser une inversion numérique (coûteuse en calculs) ou des méthodes concurrentes, comme la [[Méthode de rejet]].

Le plus important exemple d'échec de la [[méthode de la transformée inverse]] est la [[Loi normale]]. Toutefois, la [[Méthode de Box-Muller]] fournit une méthode pratique pour transformer un échantillon uniforme en un échantillon normal, et ce de manière exacte<ref>Plus exactement, la méthode nécessite deux tirages indépendants ''U''(0, 1) pour fournir deux tirages normaux indépendants.</ref>.

=== [[Permutation aléatoire|Permutations aléatoires uniformes]] et loi uniforme ===
Des mathématiciens comme [[Luc Devroye]] ou [[Richard P. Stanley]] ont popularisé l'utilisation de la loi uniforme sur [0, 1] pour l'étude des permutations aléatoires ([[Correspondance fondamentale de Foata#Stick-breaking process et processus de Poisson-Dirichlet|tailles des cycles]], [[Nombre eulérien|nombres eulériens]], analyse d'algorithmes de tri comme le [[tri rapide]], par exemple).
==== Construction d'une [[permutation aléatoire]] uniforme à l'aide d'un échantillon de loi uniforme ====
Soit <math>U=(U_{1}, U_{2}, \dots, U_{n})</math> une suite de variables aléatoires i.i.d. uniformes sur [0, 1], définies sur un espace probabilisé <math>(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)</math> (par exemple, définies sur  <math>\Omega=[0,1]^n</math> muni de sa [[tribu des boréliens]] et de sa [[mesure de Lebesgue]], par   <math>U_{k}(\omega_{1}, \omega_{2}, \dots, \omega_{n})\ =\ \omega_{k},</math> ou, de manière équivalente, par <math>U(\omega)=\omega</math>). Pour tout entier ''k'' compris entre 1 et ''n'', posons
<center><math>\sigma(k,\omega)\ =\  \mathrm{Card}\left\{i\ \mathrm{tels~que}\ 1\le i\le n,\ \mathrm{et~tels~que}\ U_i(\omega)\le U_k(\omega)\right\}.</math></center>
Ainsi, <math> \sigma(k,\omega)</math> s'interprète comme le '''''rang''''' de <math> U_{k}(\omega)</math> dans l'échantillon, une fois celui-ci rangé dans l'ordre croissant.
{{Théorème|Proposition| L'application <math> k\mapsto\sigma(k,\omega)</math> est une permutation aléatoire uniforme.}}
{{Démonstration|Pour une [[permutation]] ''τ'' fixée, notons
<center><math>A_{\tau} = \  \left\{x\in\R^n\mid x_{\tau(1)}<x_{\tau(2)}<\dots<x_{\tau(n)}\right\},</math></center>
et posons
<center><math>\tau.x = \  (x_{\tau(1)},x_{\tau(2)},\dots,x_{\tau(n)}).</math></center>
Alors
<center><math>\{x\in A_{\tau}\}\ \Leftrightarrow\ \{\tau.x\in A_{\mathrm{Id}}\}.</math></center>
Par ailleurs, de manière évidente, si  <math>U(\omega)\in A_{\tau},</math> alors
<center><math>\left\{\forall k\ \mathrm{tel~que}\ 1\le k\le n,\quad\sigma(\tau(k),\omega)\ = \  k\right\}\ \mathrm{ou~encore}\ \{\sigma(.,\omega)=\tau^{-1}\}.</math></center>
Comme
<center><math>\bigcup_{\tau\in\mathfrak{S}_n}A_{\tau}\ = \  \left\{x\in\R^n\,|\,\mathrm{les}\ x_{i}\ \mathrm{sont~tous~diff\acute erents}\right\},</math></center>
il en découle que
<center><math>B=\Omega\backslash\left(\bigcup_{\tau\in \mathfrak{S}_n}A_{\tau}\right)\ = \  \bigcup_{1\le i<j\le n}\left\{x\in\R^n\,|\,x_{i}=x_j\right\}.</math></center>
Si  <math>U(\omega)\in B,</math> il existe donc un couple ''i'' < ''j'' tel que  <math>U_{i}(\omega)=U_{j}(\omega),</math>  et, par suite, <math>\sigma(i,\omega)=\sigma(j,\omega).</math> Ainsi ''σ''(., ''ω'') n'est pas une permutation. Finalement, comme ''B'' et les ensembles de type <math>A_{\rho}</math> forment une partition de <math>\R^{n},</math> il en découle que  pour toute [[permutation]] ''τ'',
<center><math>\left\{U(\omega)\notin A_{\tau}\right\}\ \Rightarrow\ \{\sigma(.,\omega)\neq\tau^{-1}\},</math></center>
et par conséquent
<center><math>\mathbb P\left(U\in A_{\tau}\right)\ = \ \mathbb P\left(\sigma=\tau^{-1}\right).</math></center>

Comme les composantes du vecteur aléatoire  <math>U=(U_{1}, U_{2}, \dots, U_{n})</math> sont des [[Variable aléatoire|variables aléatoires]] [[Indépendance (probabilités)|indépendantes]]  à [[Densité de probabilité|densité]]  de densités respectives notées <math>f_{i}, \quad 1\le i\le n,</math> on sait que le vecteur aléatoire ''U'' possède lui-même une densité ''f'', définie par
<center><math>f(x)=\prod_{i=1}^nf_i(x_i).</math></center>
De même, une densité de probabilité du vecteur aléatoire ''τ.U'' est ''g'', définie par :
<center><math>g(x)=\prod_{i=1}^nf_{\tau(i)}(x_i).</math></center>
Dans le cas, comme ici, où les composantes d'un vecteur aléatoire sont i.i.d., on peut choisir les densités de probabilités <math> f_i</math> toutes égales. Ainsi, les densités ''f'' et ''g'' des vecteurs aléatoires ''U'' et ''τ.U'' sont égales : les vecteurs aléatoires ''U'' et ''τ.U''  ont donc même loi. Par conséquent, pour toute [[permutation]] ''τ'',
<center><math>\mathbb P\left(U\in A_{\mathrm{Id}}\right)\ = \ \mathbb P\left(\tau.U\in A_{\mathrm{Id}}\right)\ = \ \mathbb P\left(U\in A_{\tau}\right)\ = \ \mathbb P\left(\sigma=\tau^{-1}\right).</math></center>
Par ailleurs,
<center><math>\mathbb P\left(U\in B\right)\ = \ \mathbb P\left(\exists i<j\ \mathrm{tels~que}\ U_i=U_j\right)\ \le\ \sum_{1\le i<j\le n}\mathbb P\left(U_i=U_j\right)\ = \ 0.</math></center>
En effet l'[[hyperplan]]   <math>\{x_{i}=x_{j}\}</math> est de [[mesure de Lebesgue]] nulle, et la loi de probabilité de ''U'' est à [[Densité de probabilité|densité]] donc [[Théorème de Radon-Nikodym|absolument continue]] par rapport à la mesure de Lebesgue, donc
<center><math>\left\{\lambda(\{x_{i}=x_{j}\})=0\right\}\ \Rightarrow\ \left\{0=\mathbb P_U(\{x_{i}=x_{j}\})(=\mathbb P\left(U_i=U_j\right))\right\}.</math></center>
Finalement
<center><math>\begin{align}
n!\,\mathbb P\left(\sigma=\tau\right)
& = n!\, \mathbb P\left(U\in A_{\tau^{-1}}\right)\ = \ n!\, \mathbb P\left(U\in A_{\mathrm{Id}}\right)
\\
& = \sum_{\rho\in\mathfrak{S}_n}\mathbb P\left(U\in A_{\rho}\right)
\\
& = \mathbb P\left(U\in B\right) +\sum_{\rho\in\mathfrak{S}_n}\mathbb P\left(U\in A_{\rho}\right)
\\
& = 1,
\end{align}
</math></center>
où la dernière égalité utilise le fait que ''B'' et les ensembles  <math>A_{\rho}</math> forment une partition de  <math>\R^{n}.</math>
}}
La proposition ci-dessus reste vérifiée si la distribution de probabilité commune aux variables   <math>U_{i}</math> possède une [[Densité de probabilité|densité]], quelle qu'elle soit, et non pas seulement pour la densité uniforme. On peut même se contenter de variables i.i.d. dont la loi est diffuse (sans atomes) modulo une modification mineure de la démonstration. Cependant la loi uniforme est particulièrement commode pour diverses applications.

==== Nombres de descentes d'une permutation aléatoire, et [[Nombre eulérien|nombres eulériens]] ====
Soit <math>X_{n}(\omega)</math> le nombre de descentes d'une permutation <math>\sigma(\omega)</math> tirée au hasard uniformément dans <math>\mathfrak{S}_n.</math>
Bien sûr,
<center><math>\begin{align}
\mathbb P\left(X_{n}=k\right)
& = \frac{\mathrm{nombre~de~cas~favorables}}{\mathrm{nombre~de~cas~possibles}}
\\
& = \frac{A(n,k)}{n!},
\end{align}
</math></center>
où ''A''(''n'',''k'') désigne le nombre de permutations de <math>\mathfrak{S}_n</math>  possédant exactement ''k'' descentes. ''A''(''n'',''k'') est appelé [[nombre eulérien]]. Posons
<center><math>S_{n}=U_{1}+U_{2}+\dots+U_{n}.
</math></center>
On a alors<ref>voir {{Article|langue=en|prénom1=S.|nom1=Tanny|lien auteur1=|titre=A probabilistic interpretation of the Eulerian numbers|périodique=Duke Math. J.|lien périodique=|volume=40|numéro=|jour=|mois=|année=1973|pages=717-722|issn=|url texte=|consulté le=}} ou bien {{Article|langue=en|prénom1=R.P.|nom1=Stanley|lien auteur1=|titre=Eulerian partitions of a unit hypercube|périodique=Higher Combinatorics|lien périodique=|éditeur=M. Aigner, ed., Reidel|lieu=Dordrecht|volume=|numéro=|jour=|mois=|année=1977|pages=|issn=|url texte=|consulté le=}}.</ref>
{{Théorème|Théorème (S. Tanny, 1973)|De manière équivalente,
<center><math>
\mathbb P\left(X_{n}=k\right)\ = \ \mathbb P\left(\lfloor S_{n}\rfloor=k\right)\ = \ \mathbb P\left(k\le S_{n}<k+1\right),
</math></center>
ou bien
<center><math>
A(n,k)\ = \ n! \ \mathbb P\left(k\le S_{n}<k+1\right).</math></center>}}
{{Démonstration|On suppose la suite   <math>U=(U_{1},U_{2},\dots,U_{n})</math>  construite à l'aide d'une suite  <math>V=(V_{1},V_{2},\dots,V_{n})</math> de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0, 1], via la relation <math>U_{k}=\{V_{1}+V_{2}+\dots+V_{k}\}</math> (on rappelle que { } désigne la partie fractionnaire). On sait alors, grâce à des considérations d'invariance ([[#Transport et invariance|voir plus haut]]), que  <math>U=(U_{1},U_{2},\dots,U_{n})</math> est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0, 1]. On construit alors une permutation aléatoire uniforme ''σ''(., ''ω'') à l'aide de la suite ''U'', comme indiqué à la [[#Construction d'une permutation aléatoire uniforme à l'aide d'un échantillon de loi uniforme|section ci-dessus]] : il y a ''descente'' au rang ''i'' pour ''σ''(., ''ω'') si ''σ''(''i'', ''ω'') > ''σ''(''i'' + 1, ''ω'') ou, de manière équivalente, si <math>U_{i}(\omega)>U_{i+1}(\omega).</math> Parallèlement, on dessine, sur le [[cercle trigonométrique]], les points <math>M_k(\omega)</math> ayant pour [[Plan complexe|affixes]] <math>{\rm e}^{2{\rm i}\pi U_k(\omega)}.</math> On entreprend alors un voyage sur le cercle unité, consistant à parcourir les points <math>M_{1}(\omega),</math> puis  <math> M_2(\omega),</math> puis… , puis <math>M_n(\omega),</math> dans cet ordre, en tournant toujours dans le sens trigonométrique, et en partant du point ''A'' d'affixe 1 (de coordonnées cartésiennes (0, 1)). La longueur totale du  chemin ainsi parcouru est alors
<center><math>
2\pi\ \left(V_1+V_2+\dots+V_n\right).
</math></center>
Par ailleurs, il y a ''descente'' au rang ''i'' pour ''σ''(., ''ω'') si et seulement si l'étape du voyage ci-dessus allant du point <math>M_{i}(\omega)</math> au point <math>M_{i+1}(\omega)</math> traverse ''A''. Donc le nombre de descentes de ''σ''(., ''ω'') est le nombre de traversées du point ''A'', qui est aussi le nombre de tours '''complets''' du cercle unité effectués lors du voyage de ''A'' à  <math>M_{n}(\omega).</math> Au vu du calcul donnant la longueur totale du  chemin ainsi parcouru, voir ci-dessus, le nombre de tours complets s'écrit aussi :
<center><math>
\left\lfloor V_{1}(\omega)+V_{2}(\omega)+\dots+V_{n}(\omega)\right\rfloor.
</math></center>
Ainsi le nombre de descentes de ''σ''(., ''ω'') est égal à <math>\left\lfloor V_{1}(\omega)+V_{2}(\omega)+\dots+V_{n}(\omega)\right\rfloor.</math> Le nombre de descentes de ''σ'' a donc même loi que <math>\left\lfloor S_n\right\rfloor.</math>
}}
Il en découle immédiatement un [[théorème central limite]] pour  <math>X_{n},</math> via le [[théorème de Slutsky]].

== Notes et références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Méthode de Box-Muller]]
* [[Droite de Henry]]
* [[Générateur de nombres pseudo-aléatoires]]
* [[Loi uniforme discrète]]
* [[Loi bêta]]

{{Palette|Lois de probabilités|Probabilités et statistiques}}
{{Portail|probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Loi de probabilité|uniforme continue]]

[[su:Sebaran seragam#Kasus kontinyu]]