Voir la source de Lois de Snell-Descartes

{{Voir homonymes|Snell|Descartes (homonymie)}}
[[Fichier:Soda bubbles macro.jpg|vignette|upright=1.5|Les [[Bulle (physique)|bulles]] de gaz [[Solubilité|dissous]] ou de [[vapeur d'eau]], bien qu'elles soient [[Transparence (physique)|transparentes]], peuvent être visibles grâce aux reflets sur leur surface ([[réfraction]] et [[Réflexion optique|réflexion]] observant les lois de Snell-Descartes).]]

Les '''lois de Snell-Descartes''' décrivent le comportement de la [[lumière]] à l'interface de deux milieux. Ces lois sont au nombre de quatre, deux pour la [[Réflexion (optique)|réflexion]] et deux pour la [[réfraction]]. Avec la propagation rectiligne de la lumière dans les milieux homogènes et isotropes, ces lois sont à la base de l'[[optique géométrique]]. Leur nom fait référence à [[Willebrord Snell]] et  [[René Descartes]] qui ont simultanément, mais indépendamment, découvert ces lois au {{XVIIe siècle}}.

Le profil célérimétrique et les lois de Snell déterminent la trajectoire des rayons dans l'eau. Les mêmes lois permettent de déterminer la courbure idéale de la [[cornée]] d'un œil dans l'atmosphère ou dans le milieu aquatique. Une de ces lois explique aussi le rapport mathématique simple qui existe entre l'angle d'incidence d'un rayon lumineux et son angle réfracté par l'eau ou encore le phénomène dit [[fenêtre de Snell]].

== Historique ==

[[Fichier:Ibn Sahl manuscript.jpg|thumb|Reproduction d'un [[manuscrit]] de [[Ibn Sahl]] contenant sa découverte des lois de la [[réfraction]].]]
La découverte des lois de la [[réfraction]] est attribuée à [[Ibn Sahl]] (c. 940-1000)<ref>{{en}} A. Kwan, J. M. Dudley, E. Lantz, "Who really discovered Snell's law?", ''Physics World'' 15 (2002): 64-84. et [[Roshdi Rashed]], Geometry and Dioptrics in Classical Islam (London: al-Furqan, 2005), XIII-1178-VI p., {{ISBN|1 873992 99 8}}</ref> en 983. Ces lois sont représentées sur la figure ci-contre par les deux triangles en haut à gauche. Ibn Sahl utilisa ces lois pour concevoir une lentille de forme hyperbolique, à focalisation parfaite (un faisceau de rayon parallèles converge alors exactement au même point : le foyer).

Cependant, le traité d'Ibn Sahl reste énigmatique, car la relation apparait sans donnée expérimentale, ni fondement théorique<ref name="whose">{{en}} Gorden Videen "Whose Law of Refraction?", ''Optics and Photonics News, published by OSA'' http://www.osa-opn.org/print.aspx?path=%2FArchives%2F0508%2Fdepartments%2Fviewpoint.aspx </ref>. 
De plus, aucune constante équivalente à l'[[indice de réfraction|indice optique ]] n'est définie<ref name="whose" />. En outre, Il est difficile de croire qu'[[Ibn al-Haytham]] (Alhazen) n'ait pas repris la découverte fondamentale de son maitre Ibn Sahl<ref name="whose" />. La relation semble simplement avoir été oubliée.
Une interprétation possible est qu'il s'agisse d'un exercice de conception de lentille, considéré dans le domaine purement géométrique, sans que la [[loi physique]] soit établie<ref name="whose" />.

Plus tard, la théorie de l'arc-en-ciel est connue dans le monde musulman ([[Kamāl al-Dīn al-Fārisī|Al Farisi]]<ref>{{Article |auteur1=R. Rashed |titre=Le modèle de la sphère transparente et l'explication de l'arc-en-ciel : Ibn al-Haytham - al-Farisi |périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|numéro=23-2|année=1970 |pages=109-140 |doi= |lire en ligne=http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1970_num_23_2_3120 |consulté le=}}.</ref>).

Ensuite, grâce à la traduction latine du [[traité d'optique]] d'[[Alhazen]], l'optique se répand en Europe : Oxford ([[Robert Grossetête]], [[Roger Bacon]]), Paris, Prague. La loi des petits angles est connue : Witelo (dit [[Vitellion]]) aurait repris les tables expérimentales de déviation établies par [[Claude Ptolémée|Ptolémée]], mais c'est ensuite [[Johannes Kepler|Kepler]] qui, dans les ''Paralipomènes à Vitellion'', a énoncé explicitement la relation entre les (petits) angles d'incidence et de réfraction. [[Thomas Harriot]] est crédité d'avoir dressé des tables via la loi des sinus (1601) et d'expliquer l'arc-en-ciel (1606) ; mais il ne publie pas.
* [[Willebrord Snell|Snell]] développe ses travaux, en même temps qu'il publie sa table des sinus (1621).
* [[René Descartes|Descartes]] publie, en [[1637]], la loi dans son traité ''[[la Dioptrique (Descartes)|La Dioptrique]]'' (en annexe du ''[[Discours de la méthode]]'') .
* Les lois de Snell-Descartes peuvent être entièrement déduites du [[principe de Fermat]], et en physique moderne  des [[équations de Maxwell]] de l'[[électromagnétisme]].

En Europe occidentale, la querelle de priorité — Snell ou Descartes ? — fut abondamment débattue ; compte tenu de Ibn Sahl, Harriot, Kepler, c'est une « ancienne » querelle (voir [[controverses du cartésianisme]], dioptrique).
{{boîte déroulante début|align=left|titre= L'ancienne querelle}}
En Europe occidentale, l'énoncé de la loi des sinus est attribuée à la fois à [[René Descartes|Descartes]] et à [[Willebrord Snell|Snell]], et ce fait sera l'objet d'une querelle de priorité si fréquente à cette époque (début du XVIIe) : la polémique portant sur la question de savoir si Descartes a lui-même découvert cette loi ou simplement eu connaissance de celle établie peu de temps auparavant par Snell, ce dernier étant décédé sans l’avoir publiée. Si [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] et [[Christian Huygens|Huygens]] considéraient qu’en effet Descartes ne pouvait pas avoir été sans connaître la loi énoncée par Snell, les avis des historiens ne sont pas si tranchés. B. Maitte<ref>B. Maitte ''Histoire de l’arc-en-ciel.'' Paris : Seuil, Science ouverte, 2005</ref> évoque la connaissance que Descartes aurait eue du manuscrit de Snell non publié  (qui, selon J.-P. Maury<ref>J.-P. Maury  ''À l’origine de la recherche scientifique : Mersenne.'' Paris : Vuibert, 2003</ref>, aurait été confié à Rivet, professeur de théologie en relation avec [[Marin Mersenne|Mersenne]]<ref>B. Rochot  ''La correspondance scientifique du père Mersenne.'' Paris : Palais de la Découverte, 1966.</ref>, lui-même correspondant beaucoup avec Descartes). Mais selon P. Costabel<ref>P. Costabel ''Démarches originales de Descartes savant.'' Paris : Vrin, 1982.</ref> il n’y a aucune preuve en l’état actuel de la documentation historique quant au fait que Descartes ait eu communication du résultat de Snell. D’autres auteurs évoquent l’antériorité de [[Thomas Harriot|Harriot]] qui aurait trouvé ladite loi mais n’aurait fourni à Kepler que les tables des mesures sans l’interprétation.

Les documents historiques actuellement retrouvés ne permettent pas de connaître la démarche de Snell. Pour ce qui concerne Descartes, quelques indications conduisent à considérer que l’idée des sinus fut directement liée à la recherche de la forme d’une lentille dite "parfaite", c’est-à-dire capable de faire converger exactement en un point un faisceau de rayons parallèles. Le profil pressenti du dioptre était celui d’une hyperbole et c’est l’étude géométrique de ce profil – qualifié d’anaclastique – qui a conforté Descartes dans le bien-fondé d’une loi en sinus : la conviction, pour ne pas dire la preuve, a résulté d’un ensemble de considérations, expérimentales (fabrication à la limite du possible d’une telle lentille par Ferrier) et théoriques (démonstration que la forme hyperbolique correspondait bien à une relation entre les sinus des angles par le géomètre Mydorge et par le mathématicien [[Isaac Beeckman|Beeckman]]). Ajoutons ici que cette préoccupation est née de l’invention de la lunette, lunette améliorée par Galilée et transmise à Kepler qui en a donné une première explication. 
{{boîte déroulante fin}}

== Lois de Snell-Descartes pour la réflexion ==
[[Fichier:Reflexion_fr.png|300px|right|thumb|Schéma de principe de la loi de la réflexion : les faisceaux incidents et réfléchis forment avec la normale le même angle, qu'il faut orienter correctement.]]
Le [[rayon lumineux]] est dit ''incident'' avant d'avoir rencontré la surface réfléchissante, il est dit ''réfléchi'' après. 

Le point de rencontre du rayon incident et de la surface réfléchissante est appelé ''point d'incidence''. 

La droite orthogonale à la surface réfléchissante au point d'incidence est appelée ''normale'' (à la surface réfléchissante). 

Le plan contenant le rayon incident et la normale à la surface réfléchissante au point d'incidence est dit ''[[plan d'incidence]]''.

L'[[angle orienté]] ''θ''<sub>1</sub> pris entre la normale au point d'incidence et le rayon incident est dit ''[[angle d'incidence (optique)|angle d'incidence]]''.

L'angle orienté ''θ''<sub>2</sub> pris entre la normale au point d'incidence et le rayon réfléchi est dit ''angle de réflexion''.

Les angles ''θ''<sub>1</sub> et ''θ''<sub>2</sub> sont positifs si orientés dans le [[Sens de rotation#Terminologie|sens trigonométrique]], négatifs sinon. 
Attention : certains auteurs utilisent d'autres conventions.

Les lois de la réflexion s'énoncent ainsi :
* le rayon réfléchi, le rayon incident et la normale (au dioptre) sont contenus dans le plan d'incidence ;
* les angles incidents et réfléchis sont égaux en valeurs absolues ; ''θ''<sub>1</sub> et ''θ''<sub>2</sub> vérifient : ''θ''<sub>2</sub> = - ''θ''<sub>1</sub>.

== Lois de Snell-Descartes pour la réfraction ==
[[Fichier:Changement de milieu de propagation- réfraction et réflexion.jpg|vignette|500x500px|Schéma de la réfraction : le faisceau incident est dévié selon la loi dite de Snell-Descartes.]]
[[Fichier:Refraction limite.gif|250px|thumb|right|Au-delà d'une certaine inclinaison, les rayons ne franchissent plus le dioptre : ils sont réfléchis. C'est ce qui explique l'effet miroir qui apparait hors de la ''[[fenêtre de Snell]].'']]
           
Les lois de Snell-Descartes de la réfraction expriment le changement de direction d'un faisceau lumineux lors de la traversée d'une paroi, séparant deux milieux différents. Chaque milieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir » la lumière, modélisée par son [[indice de réfraction]] ''n'' qui s'exprime sous la forme :<math display="block">n=\frac{c}{v}</math>où : 

* ''v'' est la vitesse de la lumière dans ce milieu ; 
* ''c'' est la vitesse de la lumière dans le vide. 

Le [[rayon lumineux]] est dit ''incident'' avant d'avoir rencontré la surface réfractante (appelée dioptre), il est dit ''réfracté'' après. 

Le point de rencontre du rayon incident et du dioptre est appelé ''point d'incidence''. 

Le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre, au point d'incidence est dit ''[[plan d'incidence]]''.

L'angle orienté ''θ''<sub>1</sub> pris entre la normale au point d'incidence et le rayon incident est dit ''angle d'incidence''.

L'angle orienté ''θ''<sub>2</sub> pris entre la normale au point d'incidence et le rayon réfracté est dit ''angle de réfraction''.

Les angles ''θ''<sub>1</sub> et ''θ''<sub>2</sub> sont positifs si orientés dans le sens trigonométrique, négatifs sinon. 

Soit ''n''<sub>1</sub> l'indice de réfraction du milieu dans lequel se propage le rayon incident et ''n''<sub>2</sub> celui du milieu dans lequel se propage le rayon réfracté.

Les lois de la [[réfraction]] s'énoncent ainsi :
* le rayon réfracté, le rayon incident et la normale (au dioptre) sont dans un même plan, le plan d'incidence ;
* la relation liant les indices de réfraction ''n''<sub>1</sub> et ''n''<sub>2</sub> de chacun des milieux et les angles incident ''θ''<sub>1</sub> et réfracté ''θ''<sub>2</sub>, appelée relation de Snell-Descartes, s'écrit :

<math display="block">n_1 \, \sin \theta_1 =n_2 \, \sin \theta_2</math>

Pour ''n''<sub>1</sub> > ''n''<sub>2</sub> (et respectivement ''n''<sub>1</sub> < ''n''<sub>2</sub>) le rayon réfracté (ou incident) se rapproche plus rapidement du [[dioptre]] que le rayon incident (ou réfracté). Quand le rayon réfracté (ou incident) se retrouve mathématiquement sur le dioptre (sa limite) il y a alors [[réflexion totale]].

Les lois empiriques de la réflexion et de la réfraction peuvent être interprétées par différents modèles : modèle ondulatoire de Huygens ([[principe de Huygens-Fresnel]]), modèle de moindre action de Fermat ([[principe de Fermat]]), modèle de l'[[onde électromagnétique]] de Maxwell.

Les lois de Snell-Descartes sont également utilisées dans la réflexion des ultrasons.

== Lois de Snell-Descartes et relativité de Galilée ==
Les lois de Snell-Descartes sont une conséquence, directe mais non triviale, du principe de [[relativité galiléenne|relativité de Galilée]], c'est-à-dire de l'invariance des lois de la physique lors d'une translation dans l'espace ou dans le temps<ref name=JPP2004>{{Ouvrage| langue=fr| auteur1=Jean-Pierre Provost| auteur2=Gérard Vallée| titre=Les maths en physique| sous-titre=La physique à travers le filtre des mathématiques| lieu=Paris| éditeur=[[Éditions Dunod]]| collection=Sciences Sup| date=mars 2004| numéro d'édition=1| pages totales=331| passage=82-83| isbn=2-10-004652-7}}.</ref>.
{{démonstration|Soit <math>\psi_0=A_0\exp\left[\mathrm i\,(\vec k_0\cdot\vec r-\omega_0t)\right]</math> une [[onde plane]] [[onde monochromatique|monochromatique]] (écrite sous forme [[nombre complexe|complexe]]), et <math>\psi=A\exp\left[\mathrm i\,(\vec k\cdot\vec r-\omega t+\varphi)\right]</math> l'onde [[réfraction|transmise]] à travers (ou bien [[réflexion (optique)|réfléchie]] sur) un plan infini ''P'' séparant deux milieux linéaires et homogènes. Les lois prescrivant l'onde transmise et l'onde réfléchie doivent être invariantes lors d'une translation temporelle (<math>t\rightarrow t-\tau</math>) et spatiale (<math>\vec r\rightarrow\vec r-\vec a</math>), où <math>\vec a</math> est parallèle à ''P'' (afin que le plan reste invariant). Alors <math>\psi_0</math> est multiplié par <math>C_0=\exp[\mathrm i\,(\omega_0\tau-\vec k_0\cdot\vec a)]</math> et <math>\psi</math> par <math>C=\exp[\mathrm i\,(\omega\tau-\vec k\cdot\vec a)]</math>. L'invariance des lois physiques lors d'une translation spatio-temporelle impose que <math>A/{A_0}</math> soit inchangé donc que <math>C=C_0</math>, quelle que soit la translation<ref name=JPP2004/> :
* <math>\omega=\omega_0</math>, la transmission et la réflexion conservent la [[fréquence]] ;
* <math>\vec k_\parallel=\vec k_{0\parallel}</math> (les projections de <math>\vec k</math> et <math>\vec k_0</math> sur le plan), dont on déduit facilement que les plans de réfraction et de réflexion (définis par <math>\vec k_\parallel</math> et <math>\vec k_\perp</math>, la composante de <math>\vec k</math> perpendiculairement au plan) sont confondus avec le plan d'incidence (défini par <math>\vec k_{0\parallel}</math> et <math>\vec k_{0\perp}</math>) ;
* <math>\frac{\sin\theta}c=\frac{\sin\theta_0}{c_0}</math> où <math>\theta_0</math> et <math>c_0</math> sont respectivement l'angle d'incidence et la célérité des ondes dans le premier milieu, et <math>\theta</math> et <math>c</math> l'angle de réfraction et la célérité du second milieu (ou bien l'angle de réflexion et la célérité du premier milieu) ; cette relation découle de la relation liant <math>\|\vec k\|</math> et <math>c</math> (ou <math>\|\vec k_0\|</math> et {{nobr|<math>c_0</math>)}} : <math>c\|\vec k\|=\omega=\omega_0=c_0\|\vec k_0\|</math> (et par simple géométrie <math>\|\vec k\|\sin\theta=\|\vec k_\parallel\|=\|\vec k_{0\parallel}\|=\|\vec k_0\|\sin\theta_0</math>).
Ces relations (et notamment la troisième) restent valables quand il y a plusieurs ondes réfléchies et transmises (cas des [[onde sismique|ondes sismiques]]), quand les milieux sont [[anisotropie|anisotropes]], et même quand l'onde transmise est [[onde évanescente|évanescente]] ([[réflexion totale|réflexion « totale »]], <math>k_\perp</math> [[nombre imaginaire pur|imaginaire pur]])<ref name=JPP2004/>.}}

== Forme vectorielle des lois de Snell-Descartes ==
La forme vectorielle permet d'exprimer les [[vecteur directeur|vecteurs directeurs]] des rayons réfléchi et réfracté à partir du vecteur directeur du rayon incident. Le résultat est identique à celui des formes [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]], mais sous forme de vecteurs au lieu d'angles.

Étant donné le vecteur directeur <math>\vec{I}</math> du rayon incident (en provenance d'une source lumineuse et en direction du dioptre) et le [[Normale (géométrie)|vecteur normal]] '''<math>\vec{n}</math>''' au plan incident, on a<ref>{{Ouvrage
| langue=en
| prénom1=Andrew S.
| nom1=Glassner
| titre=An Introduction to Ray Tracing
| éditeur=Morgan Kaufmann
| année=1989
| pages totales=327
| isbn=0-12-286160-4
| lire en ligne=https://books.google.com/books?id=YPblYyLqBM4C
}}</ref> :

:<math>\cos\theta_1=\vec{n}\cdot (-\vec{I})</math>

:<math>\cos\theta_2=\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\left(1-\cos^2\theta_1\right)}</math>

:<math>\vec{v}_{\mathrm{r\acute{e}fl\acute{e}chi}}=\vec{I}+\left(2 \, \cos\theta_1\right)\vec{n}</math>

:<math>\vec{v}_{\mathrm{r\acute{e}fract\acute{e}}}=\left(\frac{n_1}{n_2}\right)\vec{I} + \left(

\frac{n_1}{n_2}\cos\theta_1 - \cos\theta_2\right)\vec{n}</math>.

Note : <math>\vec{n}\cdot(-\vec{I})</math> doit être positif. Sinon, il faut utiliser :

:<math>\vec{v}_{\mathrm{r\acute{e}fract\acute{e}}}=\left(\frac{n_1}{n_2}\right)\vec{I} + \left(\frac{n_1}{n_2}\cos\theta_1 + \cos\theta_2\right)\vec{n}.</math>

La [[réflexion totale]] a lieu quand le [[racine carrée|radicande]] de la formule de cos(''θ''<sub>2</sub>) est négatif.

== Généralisation des lois de la réflexion et de la réfraction ==
En {{date-|octobre 2011}}, un groupe de chercheurs internationaux travaillant à l'[[université Harvard]] aux [[États-Unis]] ont généralisé les lois de la réflexion et de la réfraction<ref>Nanfang Yu, Patrice Genevet, Mikhail Kats, Francesco Aieta, Jean-Philippe Tetienne, Federico Capasso, Zeno Gaburro, ''Light Propagation with Phase Discontinuities: Generalized Laws of Reflection and Refraction'', Science, 334, 333, 2011. </ref>. L'idée consiste à modifier l'interface séparant les deux milieux de façon à introduire un déphasage sur le faisceau lumineux qui ne soit plus uniforme mais qui dépend de l'espace. Pour ce faire, ils ont décoré l'interface avec une matrice d'antennes plasmoniques de taille nanoscopique, qui permettent d'introduire un gradient de phase constant le long de l'interface.

Les nouvelles lois de la réflexion et de la réfraction sont obtenues en considérant le  [[principe de Fermat]], prenant en compte ce gradient de phase. La taille des antennes plasmoniques utilisées étant beaucoup plus petite que la [[longueur d'onde]] de la lumière, le gradient de phase est introduit de façon soudaine lors de la traversée de l'interface, découplant ainsi la phase accumulée lors de la propagation et le saut de phase introduit par les nanostructures.

La loi généralisée de la réfraction s'énonce alors ainsi : <center><math> n_2\,\sin\theta_2 - n_1\,\sin \theta_1 = \frac{\lambda}{2 \, \pi} \; \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x}</math></center> 
:où :

* <math display="inline">\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x}</math> représente le gradient de phase introduit de façon soudaine à l'interface.

La loi généralisée de la réflexion s'énonce  : <center><math>\sin \theta_r -\sin \theta_i = \frac{\lambda}{2 \, \pi \, n_i}\; \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x}</math> </center> 
:où :

* ''θ''<sub>i</sub> est l'angle d'incidence ;
* ''θ''<sub>r</sub> est l'angle de réflexion.

La loi de la réflexion est surprenante : l'angle de réflexion n'est plus nécessairement égal à l'angle d'incidence.

== Visualisation de la loi de Snell-Descartes : surface des lenteurs ==
[[Fichier:Surface des lenteurs solide.png|vignette|Surface des lenteurs dans le cas d'une interface solide-solide.|269x269px]]
On appelle vecteur lenteur, le vecteur porté par la direction de propagation de l’onde et de module égal à l’inverse de sa [[Vitesse d'une onde|vitesse de phase]] dans cette direction. Les surfaces des lenteurs sont le lieu de l’extrémité de ce vecteur pour toutes les directions de propagation des ondes.  

Par définition, la surface des lenteurs est le lieu des extrémités du vecteur de lenteur <math>{\displaystyle {\vec {m}}}</math>, tracé à partir d'un [[point fixe]] O, lorsque la direction de propagation  <math>{\displaystyle {\vec {n}}}</math> varie.

Vecteur de lenteur<ref>{{Lien web|langue=Français|titre=Propagation et contrôle non destructif sur les solides ACO3|url=http://perso.univ-lemans.fr/~cpotel/solides_anisotropes_composites_CND_potel.pdf|site=|date=|consulté le=}}</ref> : 
:<math> \vec {m} =  \frac{\vec {n}}{V}</math>.

Les directions de propagation des ondes peuvent être déterminées graphiquement à partir des surfaces des lenteurs. En effet les lois de Snell-Descartes correspondent à la conservation de la projection sur l’interface des vecteurs lenteurs de toutes les ondes (incidente, réfléchie(s) et transmise(s)), comme illustré dans la figure ci-contre. 

=== Milieu isotrope ===
Dans les milieux isotropes (solides ou liquides), la vitesse d’une onde étant la même quelle que soit la direction, les surfaces des lenteurs sont des sphères; des cercles dans le plan d'incidence (une pour les [[Onde longitudinale|ondes longitudinales]] et une plus grande pour les [[Onde transversale|ondes transversales]]). 
===  Milieu anisotrope ===
[[Fichier:Surface des lenteurs pour un solide anisotrope.png|vignette|Surface des lenteurs dans le cas d'une interface anisotrope.|182x182px]]
Pour un milieu anisotrope les surfaces de lenteurs dévient de la représentation purement sphérique relative aux corps isotropes<ref>{{Lien web|langue=Français|titre=PARVIZ NAVI: Propriétés acoustiques des matériaux : Propagation des ondes planes harmoniques.|url=https://books.google.fr/books?id=1Cv7y7zfTxkC&pg=PA68&lpg=PA68&dq=surface+des+lenteurs++loi+snell+descartes&source=bl&ots=t5o8_n_68n&sig=f0tCG3GlwAC6o4K46QH8ucRpalQ&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwif99avjIjUAhVqB8AKHS2uDb0Q6AEIOzAD#v=onepage&q=surface%20des%20lenteurs%20%20loi%20snell%20descartes&f=false|site=|date=|consulté le=}}</ref>. Une coupe dans un plan des surfaces des lenteurs pour un matériau anisotrope est donné sur la figure ci contre.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
Pour l'histoire de l'optique :
* M. Blay ''Les Figures de l’arc-en-ciel''. Paris : Belin, coll. [[Pour la science]], 2005.
* V. Ronchi ''Histoire de la lumière'', (réimpr.), Paris : Ed. Jacques Gabay, 1996.

=== Articles connexes ===
* [[Réfraction]], [[réflexion optique]]
* [[Principe de Huygens-Fresnel]]
* [[Principe de Fermat]]
* [[Réfractométrie]]

{{portail|physique|optique}}

[[Catégorie:Réfraction]]
[[Catégorie:Optique géométrique]]
[[Catégorie:Loi en optique|Snell-Descartes]]