Voir la source de Mécanique spatiale

[[File:Orbital motion.gif|thumb|Un satellite en orbite autour de la terre.]]
La '''mécanique spatiale''', aussi dénommée '''astrodynamique''', est, dans le domaine de l'[[astronomie]] et de l'[[astronautique]], la [[science]] qui a trait à l'étude des [[Mouvement (mécanique)|mouvements]]. C'est une branche particulière de la [[mécanique céleste]] qui a notamment pour but de prévoir les trajectoires des objets spatiaux tels que les [[fusée (astronautique)|fusées]] ou les [[Véhicule spatial|engins spatiaux]] y compris les manœuvres orbitales, les changements de plan d'orbite et les transferts interplanétaires.

== Lois fondamentales ==
{{article détaillé|mouvement képlérien}}

=== Lois de Kepler ===

Les premières lois de mécanique spatiale furent découvertes expérimentalement par l'observation du mouvement des planètes par [[Johannes Kepler|Kepler]] au début du {{s-|XVII|e}}. Elles constituent les lois du [[mouvement képlérien]]. Rappelons ici les principaux résultats :

* Première loi (1609) : les [[orbite]]s des [[planète]]s sont des [[Ellipse (mathématiques)|ellipses]] planes dont le [[Soleil]] occupe l'un des [[foyer (mathématiques)|foyers]].
* Seconde loi (1609) : loi des aires : des aires égales sont balayées par le [[rayon (géométrie)|rayon]] vecteur joignant le [[Soleil]] à la planète en des intervalles de temps égaux.
* Troisième loi (1619) : le rapport entre le cube du demi-grand axe <math>a</math> et le carré de la période <math>T</math> de révolution de la planète autour du Soleil est indépendant de la planète :<br /><math>\frac{a^{3}}{T^{2}}=\text{cte}</math><br />Elle peut aussi s'écrire mathématiquement : <br /><math>T=2\pi\sqrt{\frac{a^{3}}{\mu}}</math> <br />où <math>T</math> est la [[période de révolution|période]] de l'[[orbite]], <math>a</math> son [[Grand axe|demi-grand axe]] et <math>\mu=GM_{S}</math>, avec <math>G</math> [[Constante gravitationnelle|constante de gravitation]] universelle et <math>M_{S}</math> la masse du [[Soleil]].

Ces lois sont encore utilisées avec une bonne approximation dans la plupart des calculs simples de mouvement orbitaux. Il s'agit du type de mouvement orbital de référence, et on calcule notamment des mouvements réalistes comme perturbations faibles d'un mouvement képlérien.

=== [[Mouvement à force centrale]] ===

Le mouvement képlérien est un [[mouvement à force centrale]]. Ceci implique notamment une loi de [[conservation de l'énergie]] qui s'écrit dans le cas de l'ellipse :

:<math>\frac{V^{2}}{2}-\frac{\mu}{r}=-\frac{\mu}{2a}</math>

<math>V</math> est la [[vitesse]] du corps sur son [[orbite]], <math>r</math> la distance entre le corps et le centre [[attracteur]]. Les autres notations sont identiques.

=== Paramètres orbitaux ===
{{article détaillé|Orbite}}

[[Fichier:Orbital elements.svg|thumb|upright=2|Paramètres orbitaux : le corps central ''S'' occupe un des deux foyers de l'ellipse de [[périastre]] ''P'' tracée sur le plan orbital ''P''<sub>1</sub>. Le plan ''P''<sub>2</sub> est un plan de référence lié au système de coordonnées choisi ([[Système de coordonnées écliptiques|écliptique]] ou [[Système de coordonnées équatoriales|équatorial]]), tandis que γ représente le [[point vernal]].]]

Plutôt que de décrire le mouvement d'un objet spatial par des [[coordonnées cartésiennes]] classiques, on va utiliser le fait que le mouvement se déroule sur une [[Ellipse (mathématiques)|ellipse]] dans l'espace. On peut ainsi remplacer le jeu de 6 coordonnées cartésiennes classique <math>(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z})</math> par un jeu de 6 nombres appelées paramètres orbitaux :

* <math>a</math> le [[grand axe|demi-grand axe]] de l'[[orbite]]
* <math>e</math> l'[[excentricité orbitale|excentricité]] de l'[[orbite]]
* <math>i</math> l'[[inclinaison orbitale|inclinaison]] de l'[[orbite]]
* <math>\Omega</math> la [[longitude du nœud ascendant]]
* <math>\omega</math> l'[[argument du périastre]]<br />([[périhélie]] dans le cas du [[Soleil]], [[périgée]] dans le cas de la [[Terre]])
* Un nombre permettant de repérer la position sur l'orbite, au choix :
** <math>\nu</math> [[anomalie vraie]], ou
** <math>E</math> [[anomalie excentrique]], ou 
** <math>M</math> [[anomalie moyenne]].

Il existe des formules explicites permettant de passer entre ces 2 jeux de coordonnées (référence à venir).

Les paramètres orbitaux des objets ([[satellite artificiel|satellites]] et [[débris spatial|débris spatiaux]]) en orbite terrestre sont suivis en permanence et publiés dans un format standard (voir TLE, [[Paramètres orbitaux à deux lignes|Two-Line Elements]]).

== Repères en mécanique spatiale ==
Pour décrire une orbite à l'aide des paramètres orbitaux, le [[référentiel galiléen]] choisi sera géocentrique ; ses axes sont l’axe Nord-Sud de la Terre, fixe en première approximation, l’axe vernal (l’intersection entre le plan équatorial et le plan de l’écliptique à un instant donné) et le dernier tel que les trois forment un repère orthonormé direct.
{{...}}
{{article détaillé|Référentiel (physique)|référentiel galiléen|recherche d'un référentiel inertiel}}

== Mouvement képlérien perturbé ==
{{article détaillé|Perturbation du mouvement képlérien}}

Les calculs standards en mécanique spatiale se réalisent dans un cadre képlérien, où en particulier, on suppose que la seule force agissant sur le véhicule est l'attraction terrestre, et que la Terre est sphérique et homogène. Ces deux hypothèses sont fausses en réalité ; l'expérience montre néanmoins que les accélérations causées par les forces autres que l'attraction centrale sont faibles devant l'accélération képlérienne. C'est pourquoi on considère que les autres forces sont des perturbations du mouvement.

=== Forces de perturbations ===

==== Forces gravitationnelles ====

Ces forces ne dépendent que de la répartition des masses autour du satellite, et dérivent d'un potentiel de position. Notons <math>U</math> ce potentiel.

===== Potentiel terrestre =====
{{article détaillé|harmonique sphérique}}

Dans le cas képlérien, la Terre est sphérique, et le potentiel terrestre se calcule simplement, et vaut <math>\tfrac{\mu}{r}</math>. Dans le cas réel, le volume d'intégration est beaucoup plus complexe. Pour avoir une forme exploitable, on écrit ce potentiel sous la forme d'[[harmonique sphérique|harmoniques sphériques]], et on obtient :

:<math>U=\frac{\mu}{r}+\frac{\mu}{r}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{r_{eq}}{r}\right)^{n}\left\lbrack -J_{n}P_{n}(\sin\phi)+\sum_{m=1}^{n}\lbrace C_{nm}\cos(m\lambda)+S_{nm}\sin(m\lambda)\rbrace P_{mn}\sin(\phi)\right\rbrack</math>

Dans cette expression, <math>r_{eq}</math> est le rayon équatorial terrestre, <math>J_{n}</math> est une constante inertielle de la Terre appelée harmonique zonal d'ordre n, <math>C_{nm}</math> et <math>S_{nm}</math> sont également des constantes d'inertie appelées harmoniques tesseraux, <math>P_{n}</math> est le [[polynôme de Legendre]] d'ordre n, <math>P_{nm}</math> la fonction de Legendre propre associée. <math>r</math>, <math>\lambda</math> et <math>\phi</math> sont le rayon-vecteur, la longitude et la latitude géocentrique du point où l'on calcule le potentiel.

Le premier terme de ce développement, <math>J_{2}</math>, traduit l'aplatissement aux pôles. Ce terme a une intensité relative de <math>10^{-3}</math> par rapport au potentiel képlérien, tandis que les termes suivants sont en <math>10^{-6}</math>.

===== Attraction due à la Lune ou au Soleil =====

En prenant un repère dans lequel le véhicule a pour coordonnées <math>(x,y,z)</math> et le nouveau corps attracteur, Lune ou Soleil, <math>(x',y',z')</math>, alors le potentiel supplémentaire dû à ce corps s'écrit :

:<math>U_{p}=\mu_{p}\left(\frac{1}{\Delta}-\frac{xx'+yy'+zz'}{r_{p}^{3}}\right)</math>
avec :

:<math>\Delta^{2}=r_{p}^{2}+r^{2}-2(xx'+yy'+zz')</math>

L'ordre de grandeur rapporté au potentiel képlérien est de <math>10^{-8}</math> dans le cas du Soleil et de <math>10^{-7}</math> pour la Lune.

==== Forces non-gravitationnelles ====

Ces forces, contrairement aux précédentes, ne dérivent pas d'un potentiel. On va donc cette fois calculer les accélérations induites par ces forces.

===== Frottement atmosphérique =====

La force du frottement atmosphérique est due à l'interaction entre l'atmosphère et le véhicule. Vu les hautes vitesses des engins satellisés, malgré la faible densité de l'atmosphère à ces altitudes, on ne peut négliger cette force qu'à partir de {{unité|1500|km}} d'altitude. 

La force créée le long de l'axe de la vitesse de l'engin, qui sera donc opposée à cette vitesse, s'écrit :

:<math>\gamma_{f}=\frac{1}{2}\rho S V_{r}^{2}\frac{C_{x}}{m}</math>

Dans cette relation, <math>\rho</math> est la densité de l'atmosphère, <math>S</math> une [[surface de référence]], <math>V_{r}</math> la vitesse du véhicule par rapport à l'atmosphère, <math>C_{x}</math> le [[coefficient de traînée]] du véhicule et <math>m</math> sa masse.

Il existe également des forces de nature similaire selon les autres axes de coordonnées (forces de [[Portance (aérodynamique)|portance]] par exemple) mais leurs effets sont en général plus faibles. Selon l'altitude, cette force de frottement a des intensités rapportées à celle du potentiel képlérien de <math>10^{-4}</math> à <math>10^{-9}</math>.

===== [[Pression de radiation solaire]] =====

Cette force est due à l'interaction des photons avec le véhicule. L'accélération due à la [[pression de radiation]] directe venant du Soleil peut s'écrire :

:<math>\vec{\gamma_{p}}=\epsilon S P_{0}\frac{C_{p}}{m}\vec{u}</math>

<math>\epsilon</math> est un coefficient valant 1 si le satellite est éclairé et 0 sinon, <math>S</math> est une surface de référence, <math>P_{0}</math> la [[pression de radiation]] solaire directe par unité de surface, valant en moyenne {{nb|4,63 e-6 N m-2}}, <math>C_{p}</math> le coefficient de réflexivité, de l'ordre de <math>1,5</math>,et <math>\vec{u}</math> le [[vecteur unitaire]] de la direction Soleil-véhicule.

=== Équations du mouvement perturbé ===

{{...}}

==== Équations de Lagrange ====

==== Équations de Gauss ====

== Manœuvres orbitales ==

{{article général|Manœuvre orbitale}}

Le principe général des manœuvres est de modifier un ou plusieurs paramètres orbitaux à l'aide des moyens de [[propulsion]] de l'objet spatial considéré. 

=== Force de poussée et variation de masse de l'engin ===

Dans le cas d'une propulsion avec moteur à [[ergol]], la force de [[poussée]] peut s'écrire :
:<math>F=-\dot{m}g_{0}I_{sp}</math>

<math>\dot{m}</math> est le débit de matière entrant, <math>g_{0}</math> la constante de gravitation, et <math>I_{sp}</math> l'[[impulsion spécifique]].

Fréquemment, lors des manœuvres, cette [[poussée]] s'effectue pendant un temps négligeable devant la période de l'orbite. On peut alors faire l'hypothèse de poussée impulsionnelle : on considère alors que cette poussée se produit de façon instantanée. Cette hypothèse permet d'utiliser l'[[équation de Tsiolkovski|équation de Tsiolkowski]] pour approximer la variation de masse d'[[ergol]] pendant la manœuvre :
:<math>\Delta m=m_{0}(1-e^{\frac{|\Delta V|}{g_{0}I_{sp}}})</math> 

Dans ce cas <math>\Delta V</math> est la variation du module de la vitesse pendant la manœuvre et <math>m_{0}</math> la masse initiale d'[[ergol]].

=== Modification de la forme de l'orbite ===

On cherche à modifier les paramètres de forme <math>a</math> et <math>e</math>, de façon à minimiser l'[[ergol]] consommé. On montre que pour un <math>\Delta a</math> donné, <math>\Delta V</math> est minimum si la [[poussée]] est colinéaire à la vitesse et la vitesse est maximale. 

<!--{{Démonstration|Démonstration à venir|Démonstration à venir }}-->
On réalise donc les manœuvres au périastre, qui remplit les 2 conditions. Les manœuvres optimales de modification de la forme de l'[[orbite]] consistent alors à modifier l'apoastre. 

Un exemple d'[[orbite de transfert]] utilisant cette manœuvre optimale est l'[[Orbite de transfert#Orbite de transfert de Hohmann|orbite de Hohmann]].

=== Modification du plan de l'orbite ===

On cherche cette fois à modifier les paramètres <math>i</math> et <math>\Omega</math>. Si l'on souhaite modifier <math>i</math> uniquement, il s'agit d'effectuer la manœuvre au niveau du [[nœud ascendant]] ou descendant, pour faire tourner l'orbite autour de cette ligne. Si on veut passer de l'[[inclinaison orbitale|inclinaison]] <math>i_{1}</math> à l'[[inclinaison orbitale|inclinaison]] <math>i_{2}</math>, on montre que la variation de vitesse nécessaire s'écrit :
:<math>\Delta V=2V_{0}\sin\left(\frac{i_{2}-i_{1}}{2}\right)</math>

<math>V_{0}</math> est alors la vitesse au nœud de manœuvre.

Les modifications de <math>\Omega</math> sont quant à elles complexes et coûteuses en ergols.

== Références ==
* Droit français : arrêté du {{date-|20 février 1995}} relatif à la terminologie des sciences et techniques spatiales.
* {{Ouvrage
| langue=fr
| auteur1=B.Escudier, J-Y Pouillard
| titre=Mécanique spatiale
| lieu=Toulouse
| éditeur=ENSAE Toulouse
| année=1997
| réimpression=1996, 1997
| pages totales=111
| isbn=2-84088-028-8
}}{{Commentaire biblio|Polycopié de l'[[Institut supérieur de l'aéronautique et de l'espace|ISAE]] sur la mécanique spatiale.}}

* {{Ouvrage
| langue=fr
| auteur1=O.Zarrouati
| titre=Trajectoires spatiales
| lieu=Toulouse
| éditeur=CNES - Cépadues Editions
| année=
| isbn=
}}

* {{Ouvrage
| langue=fr
| auteur1=M-N.Sanz, A-E.Badel, F.Clausset
| titre=Physique
| sous-titre=Tout-en-un {{1re}} année
| lieu=Paris
| éditeur=Dunod - J'intègre
| année=2002-2003
| pages totales=725
| isbn=978-2-10-007950-6
| isbn2=2-10-007950-6
}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | wikibooks = Mécanique spatiale
  | wikiversity = L'univers en mouvement et le temps
  | wikiversity titre = L'univers en mouvement et le temps
}}
=== Articles connexes ===

{{Portail|astronautique|physique|astronomie}}

{{DEFAULTSORT:Mecanique spatiale}}
[[Catégorie:Mécanique spatiale|*]]