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La '''méthode de Boltzmann sur réseau''' est une méthode de [[simulation informatique]] en [[dynamique des fluides]] ([[Mécanique des fluides numérique|CFD]]). À la place des [[équations de Navier-Stokes]], l'[[Équation de Boltzmann|équation discrète de Boltzmann]] est résolue pour simuler à une échelle mésoscopique le comportement de [[Fluide newtonien|fluides newtoniens]] et [[Fluide non newtonien|non newtoniens]] à l'aide d'un schéma de collision-propagation. Par la simulation de ce procédé de collision et de propagation, il est possible de reproduire des comportements complexes de fluides.

== Algorithme ==
La méthode de Boltzmann sur réseau (en anglais {{anglais|lattice Boltzmann methods}}, LBM)), relativement récente, permet de reproduire le comportement de [[Fluide complexe|fluides complexes]] et suscite l’intérêt de nombreux chercheurs en physique numérique. Elle permet de [[simulation informatique|simuler]] des [[Phénomène physique|phénomènes physiques]] complexes par sa nature mésoscopique. Son importante capacité de [[Parallélisme (informatique)|parallélisation]] la rend également attractive afin de réaliser des simulations rapides sur du matériel parallèle. La méthode de Boltzmann sur réseau est une méthode de simulation d'écoulements de fluides alternative à la résolution des [[équations de Navier-Stokes]]. Contrairement à cette dernière, elle consiste à discrétiser l'[[équation de Boltzmann]], correspondant à une modélisation [[Physique statistique|statistique]] de la dynamique des particules constituant le fluide. La méthode de Boltzmann sur réseau présente des avantages sur les méthodes conventionnelles, notamment pour le traitement de domaines de simulation complexes. Pour la méthode de Boltzmann sur réseau, la collision et la propagation des particules est décrite de la manière suivante, en utilisant l'opérateur [[méthode de Bhatnagar-Gross-Krook|BGK]] :

Collision : <math>f_i^{\ast}(\vec{x},t+\Delta t) = f_i(\vec{x},t) + \frac{1}{\tau} (f_i^{eq}-f_i)\,</math>

Propagation : <math>f_i(\vec{x}+\vec{v}_i\Delta t,t+\Delta t) = f_i^t(\vec{x},t+\Delta t) \, </math>

Avec <math>\vec{v}_i = \lambda \vec{\boldsymbol e}_i</math> représentant les différents vecteurs vitesses élémentaires données aux particules du réseau. De plus, <math display="inline">\lambda = \frac{\Delta x}{\Delta t}</math> est la vitesse du réseau et <math>\vec{\boldsymbol e}_i</math> sont les différents vecteurs de direction élémentaires données aux particules du réseau. Les quantités macroscopiques du fluide sont alors définies de la manière suivante:<math display="block">\rho(\vec{x},t) = \sum_i f_i(\vec{x},t), \quad
\vec{j}(\vec{x},t) = \rho(\vec{x},t) \vec{u}(\vec{x},t) = \sum_i \vec{v}_i f_i(\vec{x},t),</math>Ci-dessus, la densité du fluide et la vitesse macroscopique du fluide. 

== Maillages et classifications ''D{{Ind|n}}Q{{Ind|m}}'' ==

Une méthode de Boltzmann sur réseau peut être appliquée sur plusieurs types de maillage (ou réseau), généralement cubique ou triangulaire, avec une discrétisation plus ou moins fine des directions de propagation. 

Une méthode populaire pour classifier les différentes méthodes par maillage est le schéma <math>D_n Q_m</math>. Dans ce cas, ''n'' intervient sur la dimension du domaine de simulation et ''m'' définit le nombre de directions de propagation du ou des fluides considérés. Par exemple, un schéma D3Q19 est un schéma à <math>3</math> dimensions avec <math>19</math> directions de propagation du fluide. Les plus utilisés sont les suivants: D2Q9, D3Q15, D3Q19, D3Q27. Chaque direction est associée à un vecteur <math>\vec{\boldsymbol e}_i </math>. On donne ici les vecteurs associés aux schémas D2Q9, D3Q15, et D3Q19:<math display="block">\vec{\boldsymbol e}_i = 
\begin{cases} 
	(0,0)                        & i = 0 \\
	(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)    & i = 1,2,3,4 \\
	(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)  & i = 5,6,7,8 \\
\end{cases}, \quad
\vec{\boldsymbol e}_i =
\begin{cases} 
	(0,0,0)                                 & i = 0 \\
	(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)     & i = 1,...,6 \\
	(\pm 1,\pm 1,\pm 1)                     & i = 7,...,14 \\
\end{cases},</math><math display="block">\vec{\boldsymbol e}_i =
\begin{cases} 
	(0,0,0)                                         & i = 0 \\
	(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)             & i = 1, \ldots ,6 \\
	(\pm 1,\pm 1,0),(\pm 1,0,\pm 1),(0,\pm 1,\pm 1) & i = 7,...,18 \\
\end{cases}.</math>

== Calibrage du réseau ==
Le calibrage du réseau est une étape cruciale dans le développement d'une méthode de Boltzmann sur réseau de schéma <math>D_nQ_m</math>. Il est nécessaire que les calculs des moments hydrodynamiques d'ordre <math>n</math>, notés <math>\mathcal{M}^{(n)}</math> soient égaux à leur version discrétisée. Pour ce faire, la [[Méthodes de quadrature de Gauss|méthode de la quadrature de Gauss]] est utilisée en injectant une distribution à l'équilibre <math>f^{eq}</math> telle que la [[Loi de distribution des vitesses de Maxwell|distribution de Maxwell-Boltzmann]].

<math> \mathcal{M}^{(n)} = \int f\cdot \vec{v}^n d\vec v = \sum_{i=1}^{m} \omega_i \vec{v_i}^n f_i </math>

Dans l'exemple de <math>D_2Q_9</math> et <math>D_3Q_{19}</math>, les différents poids de pondération <math>\omega_i</math> sont définis comme suit 

<math>\omega_i = 
\begin{cases} 
4/9 & i = 0 \\
1/9 & i = 1,2,3,4 \\
1/36 & i = 5,6,7,8 \\
\end{cases}, \quad \omega_i = 
\begin{cases} 
1/3 & i = 0 \\
2/36 & i = 1,\ldots, 6 \\
1/36 & i = 7, \ldots, 18\\
\end{cases}
</math>

Il s'ensuit dans le calcul de ces facteurs de pondération, qu'un paramètre <math> k </math> intervient. Il est déterminé par le rapport au carré de la vitesse du réseau <math>\lambda</math> avec celle du son <math>c_s</math>. Les différentes valeurs de <math> k </math> varient en fonction des schémas.
{| class="wikitable"
|+Paramètre <math>k= \lambda^2/c_s^2</math> en fonction des schémas
!Schéma
!<math>D_1Q_3</math>
!<math>D_1Q_5</math>
!<math>D_2Q_4</math>
!<math>D_2Q_5</math>
!<math>D_2Q_9</math>
!<math>D_3Q_{15}</math>
!<math>D_3Q_{19}</math>
|-
|<math>k</math>
|<math>3</math>
|<math>1</math>
|<math>2</math>
|<math>3</math>
|<math>3</math>
|<math>3</math>
|<math>3</math>
|}
En supposant que le fluide étudié est supposé être [[Fluide parfait|parfait]], en découle une seconde expression de la [[vitesse du son]] <math>c_s</math>. En effet, d'après la [[loi des gaz parfaits]] <math>pV = nRT</math>, avec <math>p</math> la [[pression]], <math>V</math> le volume du fluide, <math>n</math> le [[Quantité de matière|nombre de mol]] composant le fluide, <math>R</math> la [[constante universelle des gaz parfaits]] et <math>T</math> la [[température thermodynamique]] (en kelvins). La vitesse du son étant déterminée par la racine carré du gradient de pression <math>p</math> en fonction de la [[masse volumique]] du fluide <math>\rho</math>, tout ceci à [[Entropie (thermodynamique)|entropie]] <math>S</math> constante, i.e : 

<math>c_s = \sqrt{\Bigg(\frac{\partial p}{\partial \rho}\Bigg)_S}</math>

Ainsi, en est déduit que la vitesse du son <math>c_s</math> vaut <math>\sqrt{\tilde{R}T}=\sqrt{\frac{R}{M}T}</math> avec <math>M</math> la [[masse molaire]] du fluide en <math>g.mol^{-1}</math>.

== Dimensionnement et conversion d'unités ==
La méthode de Boltzmann sur réseau est une technique complètement non dimensionnée. Cependant, réaliser des simulations physiques imposent des résultats aux unités réelles. Le pas d'espace, généralement noté <math> \Delta x </math> et le pas de temps du réseau, généralement noté <math> \Delta t</math> doivent être convertibles en unité réelle. Cette conversion se fait généralement par le biais de nombres non-dimensionnés conservés comme le nombre de Reynolds<ref>Succi, {{chap.|8.3}}, {{p.|117-119}}.</ref>.

== Évolutions de la méthode de Boltzmann ==
La méthode de Boltzmann est une méthode très attractive pour de nombreux chercheurs dans le monde. Cela a permis d'augmenter les possibilités de la méthode depuis quelques années. Voici quelques exemples d'améliorations :

* mise en place de modèles pour des fluides à plusieurs phases (gazeuse, liquide ou solide)<ref>{{article|nom1=Di Rienzo|prénom1=A. Fabio|nom2=Asinari|prénom2=Pietro|nom3=Chiavazzo|prénom3=Eliodoro|nom4=Prasianakis|prénom4=Nikolaos|nom5=Mantzaras|prénom5=John|titre=Lattice Boltzmann model for reactive ﬂow simulations|journal=EPL|année=2012|volume=98|doi=10.1209/0295-5075/98/34001}}</ref> et possibilités d'intégrer plusieurs composants physiques en interaction<ref>{{article|nom1=Chiavazzo|prénom1=Eliodoro|nom2=Karlin|prénom2=Ilya|nom3=Gorban|prénom3=Alexander|nom4=Boulouchos|prénom4=Konstantinos|titre=Coupling of the model reduction technique with the lattice Boltzmann method for combustion simulations|journal=Combust. Flame|année=2010|volume=157|pages=1833–1849|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0010218010001756}}</ref>{{,}}<ref>{{article|nom1=Chiavazzo|prénom1=Eliodoro|nom2=Karlin|prénom2=Ilya|nom3=Gorban|prénom3=Alexander|nom4=Boulouchos|prénom4=Konstantinos|titre=Efficient simulations of detailed combustion fields via the lattice Boltzmann method|journal=International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow|année=2012|volume=21|url=https://dx.doi.org/10.1108/09615531111135792}}</ref>{{,}}<ref>{{article|nom1=Chiavazzo|prénom1=Eliodoro|nom2=Karlin|prénom2=Ilya|nom3=Gorban|prénom3=Alexander|nom4=Boulouchos|prénom4=Konstantinos|titre=Combustion simulation via lattice Boltzmann and reduced chemical kinetics|journal=Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment|année=2009|doi=10.1088/1742-5468/2009/06/P06013}}</ref> ;
* mise en place de modèles thermiques reliés à la méthode de Boltzmann : simulation de diffusion thermique, d'échanges thermiques et de changement de phase de fluides<ref>McNamara, G., Garcia, A. et Alder, B., ''A hydrodynamically correct thermal lattice boltzmann model'', ''Journal of Statistical Physics'', {{vol.|87}}, {{n°|5}}, {{p.|1111-1121}}, 1997.</ref>{{,}}<ref>Shan, X., ''Simulation of rayleigh-b'enard convection using a lattice boltzmann method'', ''Physical Review E'', {{vol.|55}}, {{p.|2780-2788}}, The American Physical Society, 1997.</ref>{{,}}<ref>He, X., Chen, S. et Doolen, G.D., ''A novel thermal model for the lattice boltzmann method in incompressible limit'', ''Journal of Computational Physics'', {{vol.|146}}, {{p.|282-300}}, 1998.</ref>.

== Parallélisme et processeurs graphiques ==

La méthode de Boltzmann est une méthode attractive pour son importante capacité de parallélisation. De ce fait, les simulations sont accélérées par l'émergence des [[Microprocesseur multi-cœur|processeurs multi-cœurs]]. L'apparition de calculateurs hautes performances utilisant des accélérateurs graphiques (GPU) a également suscité l'intérêt des chercheurs.

== Bibliographie==
* {{site web|auteur=Luc Mieussens|titre=Transport de particules : modèles, simulation, et applications|url=https://www.math.u-bordeaux.fr/~lmieusse/PAGE_WEB/ENSEIGNEMENT/MMK3/TRANSPORT_PARTICULES/cours_cinetique.pdf|site=[[Université Bordeaux-I]]}}
* {{Ouvrage|auteurs=Deutsch, Andreas et Sabine Dormann|titre=Cellular Automaton Modeling of Biological Pattern Formation|éditeur=[[Birkhäuser Verlag]]|année=2004|isbn=978-0-8176-4281-5}}.
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Succi, Sauro|titre=The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond|lieu=Oxford|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=2001|isbn=0-19-850398-9}}.
* {{Ouvrage|auteur1=Wolf-Gladrow, Dieter|titre=Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models|sous-titre=An Introduction|éditeur=[[Springer Verlag]]|année=2000|pages totales=314|isbn=978-3-540-66973-9|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=cHcpWgxAUu8C&printsec=frontcover}}.
* {{Ouvrage|auteurs=Sukop, Michael C. et Daniel T. Thorne, {{Jr}}|titre=Lattice Boltzmann Modeling|sous-titre=An Introduction for Geoscientists and Engineers|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2007|pages totales=172|isbn=978-3-540-27981-5}}.
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Jian Guo Zhou|titre=Lattice Boltzmann Methods for Shallow Water Flows|sous-titre=with 50 figures|lieu=Berlin|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2004|pages totales=112|isbn=3-540-40746-4|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=F1IS_T4dIckC&printsec=frontcover}}.
* {{Ouvrage|auteurs=He, X., Chen, S. et Doolen, G.|titre=A Novel Thermal Model for the Lattice Boltzmann Method in Incompressible Limit|éditeur=[[Journal of Computational Physics|Academic Press]]|année=1998|isbn=}}.
* {{Ouvrage|auteurs=Guo, Z. L. et Shu, C|titre=Lattice Boltzmann Method and Its Applications in Engineering|éditeur=[[World Scientific Publishing]]|année=2013|isbn=}}.

== Notes et références ==
<references/>

== Liens externes ==
* [http://www.openlb.net/ OpenLB], forum de discussion lié aux activités de recherche sur les LBMs, les implémentations, les évènements liés aux LBMs.
* [http://www.palabos.org/ ''palabos.org''], site incluant de nombreuses ressources liées aux LBMs.
* [http://physics.ndsu.edu/fileadmin/physics.ndsu.edu/Wagner/LBbook.pdf]
* [http://www.frontierlattices.ch/indepth/elbm Modèle de Boltzmann à entropie]
* [http://dsfd.org/ ''dsfd.org''], site de la conférence annuelle DSFD
* [http://www.icmmes.org/ Site de la conférence annuelle ICMMES]

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Dynamique des fluides]]