Voir la source de Méthode de Cardan

La '''méthode de Cardan''', proposée par [[Jérôme Cardan]] dans son ouvrage ''[[Ars Magna (Girolamo Cardano)|Ars Magna]]'' publié en [[1545]], est une méthode permettant de résoudre les [[équation polynomiale|équations polynomiales]] du [[équation cubique|troisième degré]].
Cependant, Cardan se serait approprié la méthode en la volant délibérément à Niccolò Fontana dit [[Niccolò Fontana Tartaglia|Tartaglia]] (« Le Bègue »)<ref name="MacTutorEqu">{{MacTutor|class=history/HistTopics|id=Quadratic_etc_equations|title=Quadratic, cubic and quartic equations}}</ref>.

Cette méthode permet d'obtenir des formules, appelées '''formules de Cardan''', donnant en fonction de ''p'' et ''q'' les solutions de l'équation :
<center><math>z^3+pz + q=0</math>.</center>
Elle permet de prouver que les équations de degré 3 sont résolubles par radicaux. Seules les équations de degré 1, 2, 3, 4 sont [[Théorème d'Abel (algèbre)|résolubles par radicaux]] dans tous les cas, c’est-à-dire que seules ces équations possèdent des méthodes générales de résolutions donnant les solutions en fonction des coefficients du [[polynôme]] en utilisant seulement les quatre opérations habituelles sur les [[Nombre rationnel|nombres rationnels]], et l'extraction des [[Racine d'un nombre|racines ''n''-ièmes]].
[[Fichier:ArsMagna.jpg|vignette|Page de titre de l'''Ars Magna'' de Cardan.]]

== Formules de Cardan ==
{{Théorème|Les solutions [[Nombre complexe|complexes]] <math>z_k\ \left( 0\leq k\leq 2\right)  </math> de l'équation du troisième degré <math>z^3+pz+q=0</math>, où les coefficients ''p'' et ''q'' sont [[Nombre réel|réels]], sont données par

<center><math>z_k=u_k+v_k</math></center>

avec

<center><math>u_k=\mathrm j^k~\sqrt[3]{\frac12\left(-q+\sqrt{\frac{-\Delta }{27}}\right) }</math></center>

et {{math|3 ''u{{ind|k}} v{{ind|k}}'' {{=}} –''p''}}, d'où<ref>H. Weber « [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/NAM/NAM_1895_3_14_/NAM_1895_3_14__347_1/NAM_1895_3_14__347_1.pdf Formule de Cardan modifiée par Cayley] », ''[[Nouvelles annales de mathématiques]]'', {{3e|série}}, tome 14 (1895), {{p.|347-349}}.</ref>

<center><math>v_k=\mathrm j^{-k}~\sqrt[3]{\frac12\left(-q-\sqrt{\frac{-\Delta }{27}}\right) }</math></center>

où {{math|Δ {{=}} –(4 ''p''{{3}} + 27 ''q''{{2}})}} est le [[discriminant]] de l'équation et où <math>\mathrm j=\mathrm e^{2\mathrm i\pi/3}=\frac{-1+\mathrm i\sqrt{3}}{2}</math>.
* Si {{math|Δ > 0}}, alors il y a trois solutions réelles distinctes.
* Si {{math|Δ {{=}} 0}}, alors une solution est multiple et toutes sont réelles.
* Si {{math|Δ < 0}}, alors une solution est réelle et les deux autres sont complexes conjuguées.
}}

'''Remarque 1''' : en posant {{math|1=''p'' = 3''p{{'}}''}}, {{math|1=''q'' = 2''q{{'}}''}} et {{math|Δ {{=}} 4×27 Δ{{'}}}}, on obtient

<center><math>\Delta ^{\prime }=-\left( q^{\prime 2}+p^{\prime 3}\right), u_k=\mathrm j^k\sqrt[3]{-q^{\prime }+\sqrt{-\Delta ^{\prime }}},v_k=\mathrm j^{-k}
\sqrt[3]{-q^{\prime }-\sqrt{-\Delta ^{\prime }}}. </math></center>

Si l'on part de l'équation générale <math>a x^3 + b x^2  + c x + d = 0</math>, {{math|''a'' ≠ 0}}, on se ramène à la forme réduite en posant :
:<math>x=z-\frac b{3a},\qquad p=-\frac{b^2}{3a^2}+\frac ca\qquad\text{et}\qquad q=\frac b{27a}\left(\frac{2b^2}{a^2}-\frac{9c}a\right)+\frac da</math>.

La démonstration des formules est donnée ci-dessous dans le [[#Principe de la méthode|paragraphe « Principe de la méthode »]], mais détaillons d'abord leurs conséquences selon le signe de {{math|Δ}}.

'''Remarque 2''' : une méthode plus simple, la [[Équation cubique#Substitution de Viète|substitution de Viète]], aboutit aux mêmes formules que celle de Cardan.

=== Si {{math|Δ}} est négatif ===
L'équation possède alors '''une solution réelle et deux complexes'''. On pose
:<math> u = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\frac{-\Delta}{27}}}2}\quad\mbox{et}\quad v = \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\frac{-\Delta}{27}}}2},\qquad\mbox{soit encore}\qquad u=\sqrt[3]{-q'+\sqrt{-\Delta'}}\quad\mbox{et}\quad v=\sqrt[3]{-q'-\sqrt{-\Delta'}}</math>.

La seule solution réelle est alors {{math|''z''{{ind|0}} {{=}} ''u'' + ''v''}}. Il existe également deux solutions complexes conjuguées l'une de l'autre :
:<math> \begin{cases}z_1=\mathrm j u +\overline{\mathrm j}v \\ z_2= \mathrm j^2u +\overline{\mathrm j^2}v \end{cases}\qquad\mathrm{o\grave u}\qquad\mathrm j=-\frac12+\mathrm i \frac{\sqrt3}2=\mathrm e^{\mathrm i\frac{2\pi}3}\qquad\text{et}\qquad\mathrm j^2=-\frac12-\mathrm i\frac{\sqrt3}2=\mathrm e^{\mathrm i\frac{4\pi}3}</math>.

=== Si {{math|Δ}} est nul ===
Si {{math|''p'' {{=}} ''q'' {{=}} 0}}, l'équation possède 0 comme solution triple.

Dans le cas contraire, {{mvar|p}} et {{mvar|q}} sont tous deux non nuls. L'équation possède alors '''deux solutions réelles''', une simple et une double :
:<math>\begin{cases}z_0=2\sqrt[3]{\frac{-q}2}=\frac{3q}p\\z_1=z_2=-\sqrt[3]{\frac{-q}2}=\frac{-3q}{2p}\end{cases}</math>

=== Si {{math|Δ}} est positif ===
L'équation possède alors '''trois solutions réelles'''. Toutefois, il est nécessaire de faire une incursion dans les complexes pour toutes les trouver (voir le [[#Remarque historique|§ « Remarque historique »]]). Les solutions sont les sommes de deux complexes conjugués {{math|j{{exp|''k''}}''u''}} et <math>\overline{\mathrm j^ku}</math> où <math>u=\sqrt[3]{\frac{-q +\mathrm i\sqrt{\frac{\Delta}{27}}}2}</math> et <math>k\in\{0,1,2\}</math>, soit l'ensemble suivant :
:<math> \begin{cases}z_0 = u +\overline u\\ z_1 =\mathrm j u +\overline{\mathrm ju} \\ z_2= \mathrm j^2u +\overline{\mathrm j^2u} \end{cases}</math>

La forme réelle des solutions est obtenue en écrivant {{math|j{{exp|''k''}}''u''}} sous la [[Nombre complexe#Coordonnées polaires|forme trigonométrique]], ce qui donne<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[David A. Cox]]|titre=Galois Theory|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=2012|numéro d'édition=2|passage=18-19|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=vBKrOch1AkYC&pg=PA18}}.</ref> :

:<math>z_k = 2 \sqrt{\frac{-p}3} \cos{\left(\frac13\arccos{\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac3{-p}}\right)}+ \frac{2k\pi}3\right)}\qquad\mbox{ avec }\qquad k\in\{0,1,2\}</math>.

== Principe de la méthode ==
Considérons l'équation générale du troisième degré suivante : {{math|''ax''{{3}} + ''bx''{{2}} + ''cx'' + ''d'' {{=}} 0}}.

En posant
:<math>x=z-\frac b{3a}</math>,
on se ramène à une équation de la forme<ref>Pour plus de détails, suivre le lien [[#Voir aussi|en bas de page]] vers la leçon sur [[Wikiversité]].</ref>
:<math>z^3  +  p z + q = 0</math>.

On va maintenant poser {{math|''z'' {{=}} ''u'' + ''v''}} avec {{mvar|u}} et {{mvar|v}} complexes, de façon à avoir deux [[inconnue (mathématiques)|inconnues]] au lieu d'une et se donner ainsi la possibilité de poser ultérieurement une condition sur {{mvar|u}} et {{mvar|v}} permettant de simplifier le problème. L'équation {{math|''z''{{3}} + ''pz'' + ''q'' {{=}} 0}} devient ainsi
:<math> (u+v)^3  +  p (u+v) + q = 0</math>.
Cette équation se transforme sous la forme suivante :
:<math> u^3+v^3+3uv^2+3vu^2+p (u+v)+q=0</math>
:<math> u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0</math>.
La condition de simplification annoncée sera alors {{math|3''uv'' + ''p'' {{=}} 0}}. Ce qui nous donne d'une part {{math|''u''{{3}} + ''v''{{3}} + ''q'' {{=}} 0}} et d'autre part {{math|''uv'' {{=}} – {{sfrac|''p''|3}}}}, qui, en élevant les deux membres à la puissance 3 donne {{math|''u''{{3}}''v''{{3}} {{=}} – {{sfrac|''p''{{3}}|27}}}}.

Nous obtenons finalement le système somme-produit des deux inconnues {{math|''u''{{3}}}} et {{math|''v''{{3}}}} suivant :
:<math> \begin{cases}u^3+v^3&=-q\\ u^3v^3&=-\frac{p^3}{27}.\end{cases}</math>
Les inconnues  {{math|''u''{{3}}}} et {{math|''v''{{3}}}} étant deux complexes dont on connaît la somme et le produit, ils sont donc les solutions de l'équation du second degré :
:<math> X^2+qX-\frac{p^3}{27}=0</math>.

Le discriminant de cette [[équation du second degré]] est <math>\delta = q^2 - 4 \times 1 \times \frac{-p^3}{27} = q^2 + \frac{4}{27}p^3</math> et les racines sont
:<math> \begin{cases} u^3 = \frac{-q + \sqrt{\delta}}2\text{ et } v^3 = \frac{-q - \sqrt{\delta}}2& \text{ si }\delta\text{ est positif} \\ u^3 = \frac{-q +\mathrm i\sqrt{-\delta}}2\text{ et } v^3 = \frac{-q -\mathrm i\sqrt{-\delta}}2& \text{ si } \delta\text{ est négatif} \\ u^3 = v^3 =\frac{-q}2& \text{ si }\delta\text{ est nul.} \end{cases}</math>

On notera que le discriminant {{math|Δ}} de l'équation du troisième degré {{math|''z''{{3}} + ''pz'' + ''q'' {{=}} 0}} est lié au discriminant {{math|δ}} ci-dessus par la relation {{math|Δ {{=}} –27δ}}.

Il suffit alors d'associer les trois [[Racine cubique|racines cubiques]] de {{math|''u''{{3}}}} et {{math|''v''{{3}}}} deux par deux de façon à obtenir trois couples {{math|(''u'',''v'')}} tels que {{math|''uv'' {{=}} – {{sfrac|''p''|3}}}}, puis de reporter les trois couples de valeurs trouvés pour {{mvar|u}} et {{mvar|v}} dans l'expression {{math|''z'' {{=}} ''u'' + ''v''}}. On obtient dans tous les cas en fonction du discriminant {{math|Δ}} la solution figurant dans l'encadré ci-dessus.

Enfin, on revient au premier changement de variable {{math|''x'' {{=}} ''z'' – {{sfrac|''b''|3''a''}}}} pour avoir les trois racines de l'équation du troisième degré posée au départ. On peut noter que ce type de méthode met en évidence qu'il est parfois nécessaire de travailler dans un [[corps de nombres]] plus vaste que celui contenant les variables du problème pour trouver la solution : ici malgré le fait que les entrées (les coefficients) sont réelles, il faut passer par les complexes pour trouver toutes les solutions réelles. Cependant, comme on l'a vu plus haut, il est également possible de rester dans les réels, en acceptant d'utiliser les fonctions trigonométriques (ce qui était déjà connu des algébristes italiens) ; l'explication de l'efficacité de cette deuxième  méthode ne sera donnée que par [[Leonhard Euler|Euler]].

== Exemples ==
De nombreux exemples sont disponibles dans les [[Manuel scolaire|manuels]] et sur le [[web]].
{{Voir autre projet|Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan|Exercices résolus sur la méthode de Cardan,|projet=Wikiversité}}

== Généralisation à un corps quelconque ==

{{Théorème|Généralisation : Formules de Cardan sur un corps commutatif quelconque<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Saunders Mac Lane]]|auteur2=[[Garrett Birkhoff]]|titre=Algebra|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=1999|numéro d'édition=3|année première édition=1967|pages totales=626|isbn=978-0-8218-1646-2|lire en ligne={{Google Livres|L6FENd8GHIUC|page=437}}}}, § XIII.1. La restriction sur la caractéristique du corps est due au fait qu'il y a des divisions par 2 et par 3. On notera que dans le cas classique <math>K=\R</math>, le résultat est un peu plus précis.</ref>|Les solutions <math>z_{k}\ \left( 0\leq k\leq 2\right)  </math> de l'équation du troisième degré {{math|''z''{{3}} + ''pz'' + ''q'' {{=}} 0}}, où les coefficients {{mvar|p}} et {{mvar|q}} appartiennent à un [[corps commutatif]] ''K'' de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] différente de 2 et de 3, sont données dans une [[clôture algébrique]] {{surligner|''K''}} de ''K'' par les mêmes formules que [[#Formules de Cardan|ci-dessus]]<ref>On peut, comme [[#Formules de Cardan|plus haut]], poser {{math|1=''p'' = 3''p{{'}}''}}, {{math|1=''q'' = 2''q{{'}}''}}{{etc.}}</ref>, où {{math|j}} est une racine cubique [[Racine de l'unité|primitive]] de l'unité. On choisit les deux racines cubiques de façon que leur produit soit égal à {{math|-''p''/3}}. Ces trois solutions sont distinctes si, et seulement si {{math|Δ ≠ 0}} et pour qu'elles appartiennent toutes trois à ''K'', il est [[Condition nécessaire|nécessaire]] que {{math|Δ}} soit le [[Carré (algèbre)|carré]] d'un élément de ''K''.
}}

{{Démonstration|contenu=
La démonstration des formules de Cardan, dans le cas général considéré ici, est identique à celle donnée ci-dessus dans le [[#Principe de la méthode|paragraphe « Principe de la méthode »]]. Soit <math>z_i</math> <math>\left( 0\leq i\leq 2\right)</math> les trois racines (non nécessairement distinctes) de l'équation. Le [[discriminant]] est donné par

:<math>\Delta =\prod\limits_{0\leq i<k\leq 2}\left( z_i-z_k\right)^2</math>.

Par conséquent, si les trois racines appartiennent à ''K'', {{math|Δ}} est un carré dans ''K''. Il est clair que les trois racines sont distinctes si, et seulement si {{math|Δ ≠ 0}}.
}}

{{Exemple|1=Dans le [[corps fini]] ℤ/13ℤ, pour résoudre l'équation {{math|''z''{{3}} + 2''z'' + 6 {{=}} 0}}, on calcule successivement {{math|–Δ {{=}} 3 {{=}} 4{{2}}}}, puis {{math|{{sfrac|–''q ''+ 4|2}} {{=}} –1}}, d'où {{math|''u''{{ind|0}} {{=}} –1}} et {{math|''v''{{ind|0}} {{=}} –''p''/(3''u''{{ind|0}}) {{=}} 5}} (car dans ℤ/13ℤ, {{nobr|1=3 × 5 = 2}} donc 2/3 = 5). Avec {{math|j}} = 3 et {{math|j}}{{2}} = –4, les trois solutions sont donc {{math|''z''{{ind|0}}}} = –1 + 5 = 4, {{math|''z''{{ind|1}}}} = 3×(–1) – 4×5 = 3 et {{math|''z''{{ind|2}}}} = –4×(–1) + 3×5 = 6.
}}

== Remarque historique ==
{{Article détaillé|Équation cubique#Renaissance{{!}}Histoire des équations cubiques, § Renaissance}}
[[Fichier:Niccolò Tartaglia.jpg|vignette|Portrait de [[Niccolò Fontana Tartaglia]]]]
La méthode fut découverte en premier lieu en 1515 par le mathématicien italien [[Scipione del Ferro]], et gardée secrète par celui-ci<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Amy Dahan|A. Dahan-Dalmedico]]|auteur2=[[Jeanne Peiffer|J. Peiffer]]|titre=Routes et dédales|collection=Études vivantes|année=1982|passage=98|référence=Référence:Histoire des mathématiques (Dahan-Dalmedico, Peiffer)}}.</ref>. Le mathématicien italien [[Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]] en avait connaissance vers 1535<ref>On ne sait pas clairement si la découverte de del Ferro est parvenue, par un cheminement complexe, jusqu'à Tartaglia, ou si celui-ci a réinventé la méthode.</ref>. À cette époque, les mathématiciens se lançaient des défis pour résoudre des équations du troisième degré et Tartaglia les résolvait toutes. Intrigué, Cardan lui demanda s'il avait trouvé une méthode. Après s'être fait prier et avoir reçu l'assurance que Cardan ne la dévoilerait à personne, Tartaglia la lui confia<ref name="MacTutorEqu"/>. Cardan la publia en 1545, en la généralisant à des cas où il était nécessaire d'introduire des racines carrées de nombres négatifs. Il est donc le premier à avoir utilisé des nombres complexes, non sans appréhension<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Bartel Leendert van der Waerden|B. L. van der Waerden]]|titre=A History of Algebra|éditeur=Springer|année=1985|isbn=3-642-51601-7}}.</ref>.

On appelle désormais souvent ces formules les formules de Tartaglia-Cardan.

L'utilisation des formules de Cardan nécessite parfois l'utilisation de [[Nombre complexe|nombres complexes]], même pour trouver des solutions réelles. En fait, les nombres imaginaires sont précisément [[Histoire des nombres complexes#Les nombres complexes comme objet algébrique|nés à cette occasion]].

Dans l'exemple {{math|''z''{{3}} {{=}} 15''z'' + 4}} ou bien {{math|''z''{{3}} – 15''z'' – 4 {{=}} 0}}, on a {{mvar|p}} = –15 et {{mvar|q}} = –4, donc :
{{math|''u''{{3}}''v''{{3}} {{=}} {{sfrac|15{{3}}|27}} {{=}} 125}} et {{math|''u''{{3}} + ''v''{{3}} {{=}} 4}} donc {{math|''u''{{3}}}} et {{math|''v''{{3}}}} sont racines de l'équation {{math|''X''{{2}} – 4''X'' + 125 {{=}} 0}}, dont les racines n'« existent » pas. Pourtant, il y a bien une solution {{mvar|z}} à l'équation initiale : c'est {{math|''z'' {{=}} 4}}.
C'est [[Raphaël Bombelli]] qui surmontera cette difficulté en proposant pour la première fois un calcul sur les nombres imaginaires. La résolution formelle de l'équation {{math|''X''{{2}} – 4''X'' + 125 {{=}} 0}} donne pour racines <math>u^3 = 2 + \sqrt{-121} = 2 + 11\sqrt{-1}</math> et <math>v^3 = 2 - \sqrt{-121} = 2 - 11\sqrt{-1}</math>, or Bombelli s'aperçoit que le cube de <math>2 + \sqrt{-1}</math> vaut <math>2 + \sqrt{-121}</math> et que le cube de <math>2 - \sqrt{-1}</math> vaut <math>2 - \sqrt{-121}</math>. Il en déduit que <math>u = 2 + \sqrt{-1}</math> et que <math>v = 2 - \sqrt{-1}</math> et il trouve bien finalement comme solution {{math|''z'' {{=}} ''u'' + ''v'' {{=}} 4}}.

Les nombres imaginaires sont nés.

[[Méthode de Ferrari|Une méthode]] a été développée par [[Ludovico Ferrari]] (en 1545)<Ref>{{Bourbaki}}, « Polynômes et corps commutatifs ».</Ref>, puis généralisée par Bombelli (en 1572)<Ref>[[Jean Itard (historien)|Jean Itard]], « Équations algébriques », ''[[Encyclopædia Universalis]]''.</Ref> pour la résolution par radicaux de l'équation générale du quatrième degré ([[équation quartique]]). Comme on le sait, la résolution par radicaux n'est plus possible pour l'équation générale de degré supérieur ou égal à 5 ([[Théorème d'Abel (algèbre)|théorème d'Abel-Ruffini]]).

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Équation du troisième degré/Méthode de Cardan}}

=== Articles connexes ===
*{{Lang|la|''[[Casus irreducibilis]]''}}
*[[Johan Hudde]]

=== Liens externes ===
*[http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2003/96/smf_gazette_96_15-18.pdf Une nouvelle méthode] de résolution des équations du {{3e|degré}}, récompensée par une mention spéciale (à ne pas confondre avec le prix lui-même) lors du [[Prix Fermat#Prix Fermat junior|Prix Fermat junior]] 1995
*[http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/les-mathematiques-de-galois/resolution-des-equations-algebriques-de-degre-3-et-4/ Résolution des équations algébriques de degré 3 et 4] sur le site du bicentenaire de la naissance d'[[Évariste Galois]].
*{{EncycloMath|titre=Cardano formula|id=Cardano_formula}}
*[https://www.youtube.com/watch?v=QPGzGix54nE Conférence de Xavier Buff à Math Park], [[Xavier Buff]] fait une conférence à l'[[institut Henri Poincaré]] pour les lycéens dans le cadre de math park en {{date-|février 2015}} où il explique la méthode de Cardan appliquée à x<sup>3</sup>-3x+1=0 et étudie une [[fractale]].

=== Bibliographie ===
*{{Article|lang=en|auteur=I. J. Zucker|année=2008|titre=The cubic equation – a new look at the irreducible case|revue=[[The Mathematical Gazette]]|vol=92|numéro=524|p.=264-268|url=https://www.researchgate.net/profile/I_Zucker/publication/261777076_9234_The_cubic_equation_-_a_new_look_at_the_irreducible_case/links/5885e424aca272b7b44ca029/9234-The-cubic-equation-a-new-look-at-the-irreducible-case.pdf|doi= 10.2307/27821778}}
*{{Article|lang=en|auteur=Edgar Rechtschaffen|année=2008|titre=Real roots of cubics: Explicit formula for quasi-solutions|revue=The Mathematical Gazette|vol=92|numéro=524|p.=268–276|jstor=27821779}}

{{Palette|Méthodes de résolution}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Nombre complexe]]
[[Catégorie:Équation polynomiale]]