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La '''méthode de descente infinie''' ou '''méthode de descente infinie de Fermat''' est un argument mathématique voisin du [[raisonnement par récurrence]], mais aussi du [[raisonnement par l'absurde]], qui utilise le fait qu'une [[suite (mathématiques)|suite]] d'[[entier naturel|entiers naturels]] strictement décroissante est nécessairement finie. Cette méthode repose sur l'une des propriétés des entiers naturels : « tout ensemble (de cardinal fini ou infini) non vide d'entiers naturels possède un plus petit élément. »

== Principe ==
Soit ''P''(''n'') une propriété faisant intervenir un entier naturel ''n''. On cherche à démontrer que ''P''(''n'') est fausse pour tout ''n''. Pour cela, on [[Raisonnement par l'absurde|raisonne par l'absurde]]. On suppose donc que pour un certain entier ''n'', ''P''(''n'') est vraie. On démontre par ailleurs que pour chaque entier naturel ''n'' pour lequel ''P''(''n'') est vraie, il existe un entier naturel ''m'' strictement inférieur à ''n'' pour lequel ''P''(''m'') est également vraie. On peut conclure que ''P''(''n'') n'est jamais vraie, car la suite des entiers naturels vérifiant la propriété ''P'' ne peut pas être strictement décroissante et infinie. 

Cette méthode sert essentiellement à démontrer qu'il n'existe pas de nombre entier répondant à une certaine propriété, en construisant une nouvelle solution entière strictement plus petite que la précédente (en un sens à préciser dans chaque cas). Si une supposition induit la possibilité de l'existence d'une suite infinie et strictement décroissante d'entiers naturels, alors cette supposition est fausse : en effet on construirait ainsi un entier qui serait plus petit que le plus petit des entiers répondant au problème posé.

== Exemples ==

* Proposons-nous de démontrer l'[[Nombre irrationnel|irrationalité]] de la [[racine carrée de 2]], sans utiliser de théorèmes relatifs à la décomposition des nombres en facteurs.<br />Si la racine de 2 était un [[nombre rationnel]], il existerait deux entiers naturels non nuls ''p'' et ''q'' tels que <math>\frac{p^2}{q^2} = 2</math>, soit {{nobr|1=''p''{{2}} – 2''q''{{2}} = 0.}} &nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)<br />On vérifie immédiatement qu'alors, {{nobr|''q'' < ''p'' < 2''q''.}} Posons {{nobr|1=''p{{'}}'' = 2''q – p''}} et {{nobr|1=''q{{'}} = p – q'' ;}} en particulier, ''p{{'}}'' et ''q{{'}}'' sont strictement positifs. Il vient {{nobr|1=''p{{'}}'' {{2}} – 2''q{{'}}'' {{2}} = 2''q''{{2}} – ''p''{{2}} = 0}}. Mais {{nobr|1=''q{{'}}'' = ''q'' – (2''q – p'') < ''q''.}}<br />Ainsi de suite, on pourrait créer une suite infinie ''q'', ''q{{'}}'', ... strictement décroissante d'entiers strictement positifs vérifiant (1). C’est absurde ; donc il n'existe pas d'entiers naturels non nuls ''p'' et ''q'' tels que ''p''{{2}} – 2''q''{{2}} = 0, prouvant par là l'irrationalité de la racine de 2<ref>On démontre de même l'[[Irrationnel quadratique|irrationalité de la racine carrée de tout entier positif ''d'' non carré]], en prenant comme changement de variable ''p{{'}} = dq – np'' et ''q{{'}} = p – nq'', où ''n'' est la [[partie entière]] de la racine de ''d''.</ref>.
*[[Leonhard Euler|Euler]] montre<ref>Voir la [[Démonstration du dernier théorème de Fermat pour les exposants 3, 4 et 5#Cas où n est égal à quatre|preuve du dernier théorème de Fermat pour ''n'' = 4]].</ref> qu'un carré ne saurait se décomposer en somme de deux bicarrés, autrement dit qu'il n'existe pas d'entiers strictement positifs ''a'', ''b'', ''c'' tels que ''a''{{4}} + ''b''{{4}} = ''c''{{2}}, en construisant, à partir d'une hypothétique solution (''a'', ''b'', ''c''), une autre solution (''x'', ''y'', ''z'') telle que ''z'' < ''c''. La descente infinie lui permet alors de conclure.
* La méthode de descente infinie peut aussi être utilisée avec des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]], celle-ci s'effectuant souvent sur le dénominateur, ou bien sur le maximum du [[numérateur]] et du dénominateur<ref>Le maximum du numérateur et du dénominateur est souvent appelé la « hauteur » du nombre rationnel considéré.</ref>. Ainsi une telle méthode peut être utilisée pour montrer qu'un cercle d'équation <math>x^2+y^2=N</math>, avec <math>N</math> un entier, passe par un point de coordonnées <math>(x,y)</math> avec <math>x,y</math> des nombres rationnels si, et seulement si, il passe par un point <math>(n,m)</math> avec <math>n,m</math> des nombres entiers<ref>M. Guinot, ''Arithmétique pour amateurs'', t. 2, « Les resveries de Fermat », Aléas éditeurs, Lyon, 1993. Le résultat énoncé est dû à L. Aubry en 1912, soit avant la version souvent référencée comme [[théorème de Davenport-Cassels]].</ref>. Le raisonnement se fait par l'absurde en supposant qu'il existe des points du cercle de coordonnées rationnelles et pas de point de coordonnées entières. En partant d'un point du cercle de coordonnées rationnelles <math>\left(\frac pr,\frac qr\right)</math>, on choisit un point de coordonnées entières dont la distance à ce point soit inférieure à 1. On trace une droite joignant ces deux points et l'on calcule les coordonnées <math>\left(\frac{p'}{r'},\frac{q'}{r'}\right)</math> de l'autre point d'intersection de cette droite avec le cercle. Le fait que les deux points initiaux soient distants de moins de 1 permet de prouver que le dénominateur de ce nouveau point est un entier <math>r' < r</math>. Cela créerait alors une descente infinie d'entiers naturels<ref>Pour le détail de la démonstration voir [http://math.univ-lyon1.fr/~germoni/capes/carre.pdf ce devoir] de préparation au [[CAPES]].</ref>.

== Formulation moderne ==

La méthode de descente infinie, exposée ci-dessus, est généralement présentée sous une autre forme dans les [[mathématiques]] modernes ; plutôt que de montrer l'absurdité d'une assertion dont dépend un entier strictement positif ''n'', en prouvant qu'elle impliquerait une assertion similaire dont dépend un entier strictement positif plus petit ''m'' et ainsi de suite, on préfère considérer ''a priori'' le [[Plus petit élément|plus petit]] entier strictement positif ''m'' qui dépend d'une telle assertion, en la supposant possible ; on se sert alors exactement du même argument de descente que dans l'argument précédent pour montrer que cela impliquerait un entier strictement compris entre 0 et ''m'' dépendant d'une assertion similaire, ce qui contredit la minimalité de ''m''. 

Par exemple, reprenons la démonstration de l'irrationalité de {{racine|2}} dans la section « Exemples » ci-dessus.
S'il existait deux entiers strictement positifs ''p'' et ''q'' tels que {{nobr|1=''p''{{2}} – 2''q''{{2}} = 0,}} alors parmi tous les couples de tels nombres, il en existerait un tel que ''q'' soit minimal.
Le reste de la démonstration est un coupé-collé de la démonstration exposée précédemment : on vérifie immédiatement qu'alors, {{nobr|2''q'' > ''p'' > ''q''}}.
Posons {{nobr|1=''p{{'}}'' = 2''q – p''}} et {{nobr|1=''q{{'}} = p – q'' ;}} en particulier, ''p{{'}}'' et ''q{{'}}'' sont strictement positifs. Il vient {{nobr|1=''p{{'}}'' {{2}} – 2''q{{'}}'' {{2}} = 2''q''{{2}} – ''p''{{2}} = 0}}. Mais {{nobr|1=''q{{'}}'' = ''q'' – (2''q – p'') < ''q''.}}
On a donc un nouveau couple {{nobr|(''p{{'}}'', ''q{{'}}'')}} solution de l'équation, avec {{nobr|0 < ''q{{'}}'' < ''q''}}, en contradiction avec la minimalité de ''q''.

On voit par là que les deux formulations sont équivalentes. 
Sous cette forme, la méthode de descente infinie entre dans la démonstration de nombreux théorèmes d'algèbre, de [[théorie des graphes]], de [[théorie des nombres]], etc. 

Bien plus, elle se généralise au transfini, et fournit une méthode dite de [[récurrence transfinie]], dont la clé est la propriété que tout ensemble peut être muni d'un [[bon ordre]], c'est-à-dire d'une [[relation d'ordre]] telle que tout sous-ensemble non vide possède un [[plus petit élément]] pour cet ordre. Par exemple, l'ordre usuel dans l'ensemble des entiers positifs est un bon ordre. La démonstration par récurrence transfinie consistera (ou plutôt équivaudra) alors à démontrer que si telle propriété était vraie, on pourrait construire un élément inférieur au plus petit élément de l'ensemble satisfaisant à cette propriété. 

Enfin, le principe de [[Raisonnement par récurrence#Récurrence simple sur les entiers|récurrence simple]] (ou celui, en apparence plus fort, de [[récurrence forte|récurrence cumulative]]) est équivalent au principe de descente infinie (c'est-à-dire au fait que l'ordre usuel des entiers naturels est un bon ordre), joint au fait que tout entier naturel non nul est un « successeur » (de la forme ''n'' + 1) : voir le § « [[Raisonnement par récurrence#Bon ordre|bon ordre]] » de l'article sur le raisonnement par récurrence.
 
Vue sous cet angle, la méthode de descente infinie apparaît comme un des plus grands principes, sinon le plus grand, de la démonstration mathématique.

== Histoire ==

Cette méthode apparaît dans les [[Éléments d'Euclide|''Éléments'' d'Euclide]] ; par exemple dans la preuve de la Proposition 31 du [[Livre VII des Éléments d'Euclide|Livre 7]], qui établit l'existence d'un diviseur premier de chaque nombre composé<ref>{{en}} [https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/propVII31.html Traduction] sur le site de l'[[université Clark]], effectuée par D. E. Joyce à partir de celle de [[Thomas Heath]].</ref>. [[Campanus de Novare|Campanus]] l'utilise en 1260 pour démontrer l'irrationalité du [[nombre d'or]]<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Uses of Infinity|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|auteur={{Lien|Leo Zippin}}|année=2000|année première édition=1962|url={{Google Livres|98awq8DQqlkC|page=77}}|page=77-78}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|titre=Origin of the name “mathematical induction”|auteur=[[Florian Cajori]]|revue=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|vol=25|numéro=5|année=1918|p.=197-201|jstor=2972638}}.</ref>. C'est plus tard [[Pierre de Fermat]] qui la formule explicitement<ref>{{Citation|La descente infinie est un procédé démonstratif dont le nom, sinon l'emploi, est dû à Pierre de Fermat.}} {{Article|auteur=[[Catherine Goldstein]]|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CSHM_1993_2_3__25_0<!--http://www.math.jussieu.fr/~cgolds/MordellWeil-Goldstein.pdf-->|titre=Descente infinie et analyse diophantienne : programmes de travail et mises en œuvre chez Fermat, Levi, Mordell et Weil|revue=[[Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques]]|série=2|vol=3|année=1993|p.=25-49}}.</ref> et en fait un instrument important dans son programme pour la théorie des nombres entiers<ref>Lettre à [[Pierre de Carcavi]], 1659.</ref> ; elle apparaît en particulier dans la preuve de [[Théorème de Fermat sur les triangles rectangles|son théorème sur les triangles rectangles]], preuve qui constitue son Observation 45 sur les ''[[Arithmétiques]]'' de [[Diophante]] et qui a été publiée pour la première fois en 1670, dans l'édition posthume de ces observations qu'en fit son fils Samuel de Fermat. Ce théorème permet la [[démonstrations du dernier théorème de Fermat#Cas où n est égal à quatre|démonstration du cas particulier ''n'' = 4]] du [[dernier théorème de Fermat]]. [[Bernard Frénicle de Bessy|Frénicle de Bessy]] se sert aussi de la méthode de descente infinie, d'après Fermat, dans son ''Traité des triangles rectangles en nombres'', édité en 1676. Elle a été aussi utilisée par [[Leonhard Euler|Euler]] pour établir la démonstration du [[théorème des deux carrés de Fermat]], et dans de nombreuses recherches de théorie des nombres. Une variante a été mise en particulier en œuvre pour démontrer le [[Théorème de Faltings|théorème de Mordell-Weil]] selon lequel la structure des points à coordonnées rationnelles (ou plus généralement à coordonnées dans un [[corps de nombres]]) sur une [[courbe elliptique]] est un [[groupe abélien de type fini]].

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références}}
=== Références ===
* {{en}} W. H. Bussey, « Fermat's Method of Infinite Descent », ''Amer. Math. Monthly'', vol. 25, 1918, {{p.|333-337}}, {{DOI|10.2307/2974148}}
* {{de}} P. Bussotti, ''Der "unendliche Abstieg" von Fermat bis Gauß'', Rauner, 2006
* R. Cassinet, « Histoire de la descente infinie de Campanus à Hilbert », ''Cahier du séminaire d'histoire des mathématiques de Toulouse'', {{n°|2}}, 1980, p. B1-B25

== Articles connexes ==
*[[Relation bien fondée]]
*[[Lemme d'Euclide#Démonstration directe du lemme d'Euclide|Démonstration directe du lemme d'Euclide]] (par descente infinie, sans faire appel au lemme de Gauss)
*[[Saut de Viète]]

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