Voir la source de Méthode des éléments finis

{{Voir homonymes|FEM}}
{{Sources à lier|date=septembre 2023}}
[[Image:FEM example of 2D solution.png|thumb|Solution bidimensionnelle d'une équation [[magnétostatique]] obtenue par éléments finis (les lignes donnent la direction du champ et la couleur son intensité).]]
[[Image:Example of 2D mesh.png|thumb|Maillage utilisé pour l'image du haut (le maillage est plus resserré autour de la zone d'intérêt).]]
[[Image:FEM car crash1.jpg|thumb|Simulation numérique d'un [[test de collision]] sur une voiture : les cellules utilisées pour le [[maillage]] sont visibles sur la surface du véhicule.]]

En [[analyse numérique]], la '''méthode des éléments finis''' ('''MEF''', ou FEM pour ''{{langue|en|finite element method}}'' en anglais) est utilisée pour résoudre numériquement des [[équation aux dérivées partielles|équations aux dérivées partielles]]. Celles-ci peuvent par exemple représenter [[Analyse (mathématiques)|analytiquement]] le comportement [[Dynamique (physique)|dynamique]] de certains systèmes physiques ([[mécanique (science)|mécaniques]], [[thermodynamique]]s, [[acoustique]]s{{etc.}}).

Cette méthode permet par exemple de calculer numériquement le comportement d'objets même très complexes, à condition qu'ils soient continus et décrits par une équation aux dérivées partielles linéaire : mouvement d'une corde secouée par l'un de ses bouts, comportement d'un [[Fluide (matière)|fluide]] arrivant à grande vitesse sur un obstacle, déformation d'une structure métallique{{etc.}}

== Description ==

La méthode des éléments finis fait partie des outils de [[mathématiques appliquées]]. Il s'agit de mettre en place, à l'aide des principes hérités de la [[formulation variationnelle]] ou [[formulation faible]], un [[Algorithmique|algorithme]] discret mathématique permettant de rechercher une solution approchée d’une [[équation aux dérivées partielles]] (ou EDP) sur un domaine [[Compacité (mathématiques)|compact]] avec [[Condition aux limites|conditions aux bords]] et/ou dans l'intérieur du compact. On parle couramment de conditions de type [[Condition aux limites de Dirichlet|Dirichlet]] (valeurs aux bords) ou [[Condition aux limites de Neumann|Neumann]] (gradients aux bords) ou de [[Condition aux limites de Robin|Robin]] (relation gradient/valeurs sur le bord).

Il s'agit donc avant tout de la résolution approchée d'un problème, où, grâce à la formulation variationnelle, les solutions du problème vérifient des conditions d'existence plus faibles que celles des solutions du problème de départ et où une discrétisation permet de trouver une solution approchée. Comme de nombreuses autres méthodes numériques, outre l'algorithme de résolution en soi, se posent les questions de qualité de la discrétisation :
* existence de [[solution]]s ;
* [[Unicité (mathématiques)|unicité]] de la solution ;
* [[Stabilité numérique|stabilité]] ;
* [[Convergence simple|convergence]] ;
* [[mesure d'erreur]] entre une solution discrète et une solution unique du problème initial.

== Historique ==
La méthode des éléments finis est une formalisation de l'analyse matricielle des [[résistance des matériaux|structures]], apparue dans les années 1940, notamment en vue du calcul des [[Ossature (construction)|ossature]]s des avions de combat. Les techniques de calcul se fondaient sur l'hypothèse de matériaux élastiques sollicités en petites déformations, ce qui a permis d'obtenir des systèmes linéaires, qui pouvaient être résolus « manuellement » par des ateliers de calcul organisés de façon pyramidale. La généralisation à des structures bidimensionnelles (plaques) et  volumiques, ainsi que le concept mathématique d'élément fini sont apparus une décennie plus tard, vers 1950 et la définition est posée par [[Nathan M. Newmark|Newmark]], Hrennikoff, Mc Henry et [[Richard Courant|Courant]]<ref name="Przemieniecki">{{ouvrage|auteur=[[Janusz Stanisław Przemieniecki|J. S. Przemieniecki]]|titre=Theory of matrix structural analysis|lieu=New York|éditeur=McGraw-Hill Book Company|année=1968}}.</ref>.

Le développement des algorithmes de [[calcul numérique]] et l'adaptation des premiers ordinateurs au [[calcul matriciel]] ont permis de diffuser la méthode, en offrant des possibilités d'hypothèses nombreuses et des apports [[Probabilité|probabilistes]]<ref>{{Ouvrage |auteur1=Pierre-Alain Boucard |auteur2=François Hild |auteur3=Jean Lemaître |titre=Résistance mécanique des matériaux et des structures - Introduction |lieu=Malakoff |éditeur=Dunod |date=2020 |isbn=978-2-10-081475-6}}.</ref>.

== Cadre général ==
Sont décrits ici le cadre général de la méthode des éléments finis, ainsi que le cas pratique le plus courant, considérant des équations aux dérivées partielles linéaires dont on cherche une approximation par des [[Fonction affine|fonctions affines]].

=== Principe général ===

{{images
 | légende = L'utilisation de mailles tétraédriques (gauche) permet de mailler de façon relativement fidèle des géométries complexes. L'utilisation d'un maillage régulier (droite) n'est possible que sur des domaines simples, mais permet de réduire le nombre de nœuds et donc le coût du calcul.
 | image1 = Fichier:Cylindre parallelepipede maillage tetraedrique.png
 | alternative1 = Maillage tétraédrique.
 | image2 = Fichier:Cylindre parallelepipede maillage hexaedrique structure.png
 | alternative2 = Maillage régulier.
}}

Considérons un domaine Ω (typiquement une portion de l'espace) dont la frontière est notée δΩ ou Σ. Nous cherchons à déterminer une fonction ''u'' [[Ensemble de définition|définie]] sur Ω, qui est une solution d'une équation aux dérivées partielles (EDP) pour des [[conditions aux limites]] données. L'EDP décrit le comportement physique du système, il s'agit par exemple des lois de l'[[déformation élastique|élasticité]] pour un problème de résistance des matériaux ou des [[équations de Maxwell]] pour les problèmes d'[[électromagnétisme]]. Les conditions aux limites sont les contraintes s'exerçant sur le système. Par exemple, pour un problème de résistance des matériaux, on impose le déplacement de certaines parties du système, par exemple, on impose qu'une zone d'appui soit immobile, et on impose des efforts sur d'autres zones (poids, pression de contact…).

La méthode des éléments finis (MEF) permet de résoudre de manière discrète et approchée ce problème ; on cherche une solution approchée « suffisamment » fiable.

La discrétisation consiste à « découper » le domaine Ω, c'est-à-dire à chercher une solution du problème sur un domaine [[polygone|polygonal]] ou [[polyèdre|polyédrique]] par morceaux ; il y a donc une redéfinition de la géométrie. Une fois la géométrie approchée, il faut choisir un espace d'approximation de la solution du problème. Dans la MEF, cet espace est défini à l'aide du [[maillage]] du domaine (ce qui explique aussi pourquoi il est nécessaire d'approcher la géométrie). Le maillage du domaine permet d'en définir un [[pavage]] dont les pavés sont les ''éléments finis''.

Sur chacun des éléments finis, il est possible de [[linéarisation|linéariser]] l'EDP, c'est-à-dire de remplacer l'équation aux dérivées partielles par un [[système d'équations linéaires]], par approximation. Ce système d'équations linéaires peut se décrire par une matrice ; il y a donc une matrice par élément fini. Cependant, les conditions aux frontières sont définies sur les frontières du système global et pas sur les frontières de chaque élément fini ; il est donc impossible de résoudre indépendamment chaque système. Les matrices sont donc réunies au sein d'une matrice globale. Le système d'équations linéaires global est résolu par l'ordinateur (des systèmes simples peuvent être résolus à la main et constituent en général des exercices d'apprentissage).

L'EDP est résolue aux nœuds du maillage, c'est-à-dire que la solution est calculée en des points donnés (résolution discrète) et non en chaque point du domaine Ω. Cela nécessite de pouvoir interpoler, c'est-à-dire déterminer les valeurs en tout point à partir des valeurs connues en certains points. On utilise en général des [[fonction polynôme|fonctions polynomiales]]. Un élément fini est la donnée d'une cellule élémentaire et de fonctions de base de l'espace d'approximation dont le support est l'élément, et définies de manière à être interpolantes (voir [[#Fonctions de base|Fonctions de base]]).

Nous voyons ici poindre trois sources d'erreurs, c'est-à-dire d'écart entre la solution calculée et les valeurs réelles :
* la modélisation de la réalité : le domaine Ω correspond en général à des pièces matérielles, le calcul se fonde sur des versions idéales (sans défaut) des pièces, de la matière et des conditions aux limites ; cette source d'erreur n'est pas spécifique à la méthode des éléments finis, et peut être prise en compte par la [[méthode contrainte-résistance]] ;
* la géométrie idéale et continue est remplacée par une [[géométrie discrète]], et les valeurs sont interpolées entre des points ; plus les points sont espacés, plus la fonction d'interpolation risque de s'écarter de la réalité, mais à l'inverse, un maillage trop fin conduit à des temps de calculs extrêmement longs et nécessite des ressources informatiques (en particulier [[mémoire vive]]) importantes, il faut donc trouver un compromis entre coût du calcul et précision des résultats ;
* s'agissant de calculs numériques, il se produit inévitablement des [[erreur d'arrondi|erreurs d'arrondi]], les nombres étant représentés par un nombre fini d'octets.
Toute l'habileté de l'ingénieur consiste à maîtriser ces erreurs, notamment :
* en simplifiant la géométrie ({{anglais|defeaturing}}), en enlevant des détails qui se situent loin des zones que l'on veut étudier et ayant une faible influence sur le résultat ;
* en choisissant des maillages adaptés, par exemple, des maillages de type poutre pour des pièces élancées, ou de type coque pour des pièces fines, en découpant la pièce pour pouvoir faire des maillages réguliers sur certaines zones, en affinant le maillage dans les zones critiques…
* en ayant un regard critique sur le résultat.

{{Style|Bien qu'il existe de nombreux logiciels exploitant cette méthode et permettant de « résoudre » des problèmes dans divers domaines, il est important que l'utilisateur ait une bonne idée de ce qu'il fait, notamment quant au choix du maillage et du type d'éléments qui doivent être adaptés au problème posé : aucun logiciel ne fait tout pour l'utilisateur, et il faut toujours garder un œil critique vis-à-vis de solutions approchées. Pour cela il existe des [[Indicateur d'erreur|indicateurs d'erreur]] et des [[Estimateur d'erreur|estimateurs d'erreur]] qui permettent d'ajuster les différents paramètres.|date=octobre 2023}}

La solution trouvée, il reste cependant à déterminer les caractéristiques de la méthode ainsi développée, notamment l'unicité de l'éventuelle solution ou encore la stabilité numérique du schéma de résolution. Il est essentiel de trouver une estimation juste de l'erreur liée à la discrétisation et montrer que la méthode ainsi écrite converge, c’est-à-dire que l'erreur tend vers 0 si la finesse du maillage tend elle aussi vers 0.

Dans le cas d'une EDP linéaire avec opérateur symétrique (comme l'est l'opérateur laplacien), il s'agit finalement de résoudre une équation algébrique linéaire, inversible dans le meilleur des cas.

=== Dimensions ===

Pour l'explication, nous développons ici la méthode des éléments finis en deux dimensions à valeurs réelles. On suppose que les équations étudiées sont des équations différentielles d'ordre deux.

La méthode est généralisable à des cadres d'espaces de dimension différente ou pour des équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur :
* on traite ici le cas d'une solution réelle à une EDP ; les cas où la dimension de la solution serait plus grande se traitent de façon similaire mais nécessitent des écritures plus complètes ; les cas les plus couramment rencontrés sont la dimension 1 (comme ici), 2 ou 3 (pour des problèmes de mécanique), 6 ou 12 (pour des problèmes d'[[électromagnétisme]] respectivement réels ou complexes) ;
* les degrés de différentiation supérieurs sont ramenés à un degré moindre par la méthode classique de réduction de degré : on fait intervenir des variables supplémentaires, c'est-à-dire des dérivées partielles des variables de départ (exemple classique : les EDP de la mécanique statique des poutres font intervenir la dérivation partielle d'ordre 4) ; il est parfois possible, pour des degrés supérieurs, d'appliquer plusieurs fois les méthodes de [[formulation variationnelle]] afin d'obtenir des ordres plus faibles — en tout cas lorsque le degré de dérivation est pair.

Bien que théoriquement la méthode soit transposable en dimensions supérieures du support, techniquement la complexité de création des discrétisations croît avec la dimension… et pratiquement, on résout rarement des problèmes en dimensions supérieures à 3 — y compris des problèmes de dynamique en espace à 3 dimensions qui pourraient être traités en quatre dimensions mais sont traités en réalité avec une méthode mixte éléments finis « en espace » et en différences finies « en temps ».

=== Cadre algébrique, analytique et topologique ===
Soit un domaine ([[Ouvert (topologie)|ouvert]] borné et [[Connexité (mathématiques)|connexe]]) Ω de <math>\mathbb{R}^2</math>, de bord δΩ et d'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] (compacte) {{surligner|Ω}}. Pour simplifier les représentations, on suppose le bord polygonal.

Soient les fonctions de {{surligner|Ω}} dans <math>\mathbb{R}</math> différentiables sur {{surligner|Ω}} et deux fois différentiables sur Ω (ouvert). De telles fonctions sont continues et différentiables sur le bord du compact. Soit V(Ω) l'ensemble de ces fonctions (V est un [[espace vectoriel]] de dimension infinie et V<sub>0</sub> est le sous-espace vectoriel de fonctions de V nulles sur le bord δΩ).

Soient les applications continues sur {{surligner|Ω}} et différentiables sur Ω, de carré sommables sur {{surligner|Ω}} et de gradient de [[carré sommable]] sur {{surligner|Ω}} (ou de dérivées partielles de carré sommable, ce qui revient au même avec le support de dimension finie). Nommons cet espace <math>\mathcal{H}_1(\Omega)</math>. Cet espace est un [[espace de Sobolev]]. On dote cet espace vectoriel d'un [[produit scalaire]] issu de celui de [[Espace Lp|L<sup>2</sup>]] tel que si (''u'', ''v'') appartiennent à cet espace alors le produit scalaire de ''u'' et ''v'' est :
:<math>\langle u | v \rangle_{ \mathcal{H}_1(\Omega) } = \int_\Omega{ ( \nabla u \cdot \nabla v + u v ) \,\mathrm{d}\omega }</math>

Le [[Théorème de la divergence]] (ou formule de Green-Ostrogradski) permet de retrouver le [[Opérateur laplacien|laplacien]] de u, donc la [[formulation variationnelle]] sous la forme initiale. On note <math>\mathcal{H}_1^0(\Omega)</math> le sous-espace vectoriel de <math>\mathcal{H}_1(\Omega)</math> dont les fonctions sont nulles sur le bord δΩ. L'opérateur <math>(x,y) \mapsto x \cdot y</math> est un produit scalaire sur l'espace <math>\mathbb{R}^2</math>

=== Cas organique ===
==== Hypothèses ====
On considère ƒ une [[Continuité (mathématiques)|fonction continue]] sur {{surligner|Ω}} de carré sommable et ''u'' la solution de l'équation aux dérivées partielles suivante sur Ω ({{math|Δ}} est l'[[opérateur laplacien]]) :
:<math>\displaystyle - \Delta u + k^2 u = f</math>

Avec la condition au bord ''u'' = 0 sur δΩ. Ceci peut également se réécrire ''u'' ∈ V<sub>0</sub>. Cette condition au bord s'appelle la [[Conditions aux limites de Dirichlet|condition de Dirichlet]].

On démontre qu'il existe une solution unique à ce problème d'EDP à l'aide du [[théorème de Lax-Milgram]].

==== Formulation faible ====
Soit ''v'' ∈ V<sub>0</sub> quelconque. Multiplions les deux parties de l'équation précédente par {{mvar|v}} puis sommons sur le domaine Ω, puisque {{mvar|v}} et ƒ sont tous deux de carré sommable sur ce domaine. On obtient l'équation :
:<math>- \int_\Omega{ v \Delta u \,\mathrm{d}\omega } + k^2 \int_\Omega{ v u \,\mathrm{d}\omega } = \int_\Omega{v f \,\mathrm{d}\omega }\,</math>

On utilise pour le premier terme une [[intégration par parties]]<ref>Pour certains cas limites lorsqu'il n'y a pas suffisamment de régularité et que l'intégration par parties n'a pas de sens on utilise aussi une formulation adaptée du [[théorème de Stokes]] mais il faut alors définir la dérivée faible puis la divergence faible, ce qui entraine des complications supplémentaires.</ref> :
:<math>- \int_\Omega{ v \Delta u \,\mathrm{d}\omega } = - \int_{\partial \Omega }{ \frac{ \partial u }{ \partial n } v \,\mathrm{d}s } + \int_\Omega{ ( \nabla u \cdot \nabla v ) \,\mathrm{d}\omega }</math>

Dans cette formulation, {{mvar|v}} est nulle sur le bord (''v'' ∈ V<sub>0</sub>) ce qui permet d'obtenir la [[formulation faible]] du problème :
:<math>\int_\Omega{ \nabla u \cdot \nabla v \,\mathrm{d}\omega } + k^2 \int_\Omega{ v u \,\mathrm{d}\omega } = \int_\Omega{ v f \,\mathrm{d}\omega }</math>

Si {{mvar|u}} est deux fois différentiable, il y a équivalence entre cette formulation et celle du problème initial donné dans la section hypothèse et alors la solution de la formulation faible est la même que la solution initiale. On peut donc résoudre la formulation faible au lieu de résoudre le problème initial.

La question de savoir s'il y a équivalence entre la formulation faible et la formulation initiale donnée dans les hypothèses peut être particulièrement délicate dans les cas limites où l'ouvert Ω n'est pas suffisamment régulier (par exemple s'il y a des [[point singulier|points singuliers]]) ou si ƒ n'est pas suffisamment dérivable (si l'on ne suppose pas que ƒ est au moins {{math|''L''{{2}}}}). Il faut alors souvent se ramener à une étude au cas par cas et rien ne dit que la formulation faible aura les mêmes solutions que l'équation de départ. Dans la majorité des problèmes physiques la solution est souvent <math>\mathcal{C}^\infty</math> et l'on ne se pose pas de tels problèmes. Néanmoins, pour des domaines avec des [[point singulier|points singuliers]] cette équivalence peut poser problème. Ceci peut être gênant pour l'étude de fissures en [[mécanique des milieux continus]] par exemple.

=== Notations et cadre général ===
Pour plus de généralité et pour rendre la suite plus lisible on utilisera les notations suivantes :
:<math>a(u,v) = \int_\Omega{ \left(\nabla u \cdot \nabla v + k^2 u v \right) \,\mathrm{d}\omega }</math> avec {{mvar|a}} un opérateur bilinéaire symétrique (de V<sup>2</sup> dans <math>\mathbb{R}</math>) ;
:<math>\mathcal{L}(v) = \int_\Omega{ f v \,\mathrm{d}\omega }</math> avec <math>\mathcal{L}</math> un opérateur linéaire (de V dans <math>\mathbb{R}</math>).

On peut résoudre par la méthode des éléments finis toute équation aux dérivées partielles dont la forme faible se met sous la forme
:<math>a( u, v ) = \mathcal{L}(v)</math>

On montre que {{mvar|a}} est un opérateur bilinéaire [[Coercivité|coercif]] continu selon la norme <math>\mathcal{H}_1^0</math> (voir [[Espace de Sobolev]]) et <math>\mathcal{L}</math> un opérateur linéaire continu également selon la norme <math>\mathcal{H}_1^0</math>. Avec ces notations, le problème se reformule ainsi :
:<math>\forall v \in V_0, a( u, v ) = \mathcal{L}(v)</math>

Puisque ''k'' > 0, le [[théorème de Lax-Milgram]] assure l'existence de la solution et montre que ''u'', solution du problème précédent, est la solution unique du problème d'optimisation de la fonctionnelle suivante :
:<math>\forall v \in V_0, \mathcal{J}(v) = \frac{1}{2} a( v, v ) - \mathcal{L}(v)</math>

Cette égalité peut avoir un sens physique notamment du point de vue de l'énergie pour certaines équations physiques et peut servir à montrer l'existence et l'unicité de la solution grâce aux propriétés de {{mvar|a}} et de <math>\mathcal{L}</math> (linéarité, coercivité, …).

=== Choix d'un maillage et discrétisation ===

==== Choix d'un maillage ====

[[Image:Finite element triangulation.svg|vignette|Un exemple de maillage triangulaire.]]

[[Fichier:Maillage raffinement h et p.svg|vignette|Raffinement de maillage par diminution de la taille d'éléments (type ''h'', à gauche) ou par augmentation du degré des éléments (type ''p'', à droite).]]

La méthode des éléments finis repose sur un découpage de l'espace selon un maillage. D'habitude l'on choisit un maillage carré ou triangulaire mais rien n'interdit de choisir des maillages plus complexes. Il n'est pas non plus nécessaire que le maillage soit régulier et l'on a tendance à resserrer le maillage près des endroits d'intérêt (par exemple aux endroits où l'on pense que la solution va beaucoup varier) ; cependant, il faut veiller à avoir des éléments faiblement distordus (se rapprocher d'un [[polygone régulier]]). Plus ce maillage est resserré, plus la solution que l'on obtient par la méthode des éléments finis sera précise et proche de la « vraie » solution de l'équation aux dérivés partielles.

On appelle traditionnellement ''h'' la plus grande dimension d'un élément (le diamètre de la sphère dans laquelle s'inscrit l'élément), et ''p'' le degré du polynôme décrivant le côté ou l'arête (''p'' = 1 pour des côtés/arêtes droits, ''p'' = 2 pour des côtés/arête présentant une courbure).

Dans l'idéal, le maillage doit donc épouser les contours δΩ du domaine. Si δΩ est courbe, alors on peut :
* soit utiliser des éléments plus petits, on parle de raffinement de type ''h'' ;
* soit utiliser des éléments dont les côtés (en 2D) ou arêtes (en 3D) sont courbes, on parle de raffinement de type ''p''.
Lorsque le degré des polynômes ''p'' est élevé, on parle de [[méthode des éléments spectraux]].

==== Définition formelle ====

Le cadre mathématique des éléments finis permet de poser un système assurant la bonne définition de la solution.

{{Théorème|nom=Élément fini|énoncé=
On appelle '''élément fini''' la donnée d'un triplet {{math|(''K'', ''P{{ind|K}}'', Σ{{ind|''K''}})}} avec
* {{mvar|K}} est un domaine géométrique,
* {{mvar|P{{ind|K}}}} est un espace de fonctions sur {{mvar|K}}, qu'on appelle ''espace des fonctions de base'',
* {{math|Σ{{ind|''K''}}}} est un ensemble de formes linéaires sur {{mvar|P{{ind|K}}}}, qu'on appelle ''degrés de liberté''.
}}

Cette définition offre a priori beaucoup de liberté, mais en général, plusieurs conditions sont imposées : le domaine {{mvar|K}} est pris comme non dégénéré, l'espace des fonctions de base sera choisi de dimension finie et simples à calculer et les degrés de liberté seront pris comme vérifiant la propriété d'unisolvance :

{{Théorème|énoncé=
L'élément fini {{math|(''K'', ''P{{ind|K}}'', Σ{{ind|''K''}})}} est dit '''unisolvant''' si  les valeurs sur chaque degré de liberté permettent de spécifier une unique fonction de {{mvar|P{{ind|K}}}}.
|nom=Unisolvance}}

==== Fonctions de base ====

[[Image:Finite element method 1D illustration2.png|thumb|Fonction de base en dimension 1. Les x<sub>i</sub> sont les nœuds du réseau.]]

On doit après prendre une base de fonctions « adaptées » au maillage. Plusieurs choix sont alors possibles. En général, les fonctions de base utilisées pour les éléments finis sont [[Interpolation|interpolantes]], c'est-à-dire que les valeurs nodales sont les valeurs des grandeurs inconnues aux nœuds.

La plus simple est l'emploi des [[Interpolation lagrangienne|polynômes de Lagrange]]. Dans cette méthode les fonctions de base valent 1 à un nœud du maillage et 0 à tous les autres. La fonction de base ''i'' est alors la fonction valant 1 au nœud ''i'' et 0 sur les autres nœuds et qui est polynomiale sur chaque élément. Un exemple de telles fonctions est représenté en dimension 1 à côté. Il y a autant de fonctions de base par élément que de nombre de nœuds.

On appelle « élément » la donnée d'une géométrie (souvent polygonale en 2D, polyédrique en 3D) et de fonctions de base associées à cette géométrie.

D'autres solutions peuvent exister pour les fonctions de base. On cite ici un seul exemple les [[Spline cubique d'Hermite|éléments finis d'Hermite]] qui ont la particularité d'avoir deux fonctions de base associées à chaque nœud. Dans cette version, la valeur de la solution est ajustée avec la première fonction alors que la deuxième permet d'ajuster la valeur de la dérivée. Ce type de fonctions de base peut avoir un intérêt pour la résolution de certaines équations aux dérivées partielles (par exemple l'équation des plaques en [[mécanique des milieux continus]]), même si elle nécessite d'avoir deux fois plus de fonctions pour un maillage donné.

===== Quelques éléments classiques =====
[[Fichier:Types elements volumiques.svg|vignette|Principaux types d'éléments utilisés en 3D.]]

En 2D :
* triangles :
** triangles de degré 1 (triangles à 3 nœuds, fonctions linéaires),
** triangles de degré 2 (triangles à 6 nœuds, polynômes de degré 2) ;
* quadrilatères :
** quadrilatères de degré 1 (carrés à quatre nœuds, fonctions linéaires),
** quadrilatères de degré 2 (carrés à 8 ou 9 nœuds, polynômes de degré 2).

En 3D :
* tétraèdres :
** tétraèdres de degré 1 (quatre nœuds, fonctions linéaires)<ref>{{ouvrage
 | titre = Advanced Finite Element Methods
 | langue = en
 | titre chapitre = The Linear Tetrahedron
 | url = http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/AFEM.d/AFEM.Ch09.d/AFEM.Ch09.pdf
 | format = pdf
 | éditeur = University of Colorado at Boulder
 | année = 2013
}}.</ref>,
** tétraèdres de degré 2 (dix nœuds, polynômes de degré 2)<ref>{{ouvrage
 | titre = Advanced Finite Element Methods
 | langue = en
 | titre chapitre = The Quadratic Tetrahedron
 | url = http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/AFEM.d/AFEM.Ch10.d/AFEM.Ch10.pdf
 | format = pdf
 | éditeur = University of Colorado at Boulder
 | année = 2013
}}.</ref> ;
* hexaèdres<ref>{{ouvrage
 | titre = Advanced Finite Element Methods
 | langue = en
 | titre chapitre = Hexahedron Elements
 | url = http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/AFEM.d/AFEM.Ch11.d/AFEM.Ch11.pdf
 | format = pdf
 | éditeur = University of Colorado at Boulder
 | année = 2013
}}.</ref> :
** hexaèdres de degré 1 (huit nœuds, fonctions linéaires),
** hexaèdres de degré 2 (vingt nœuds, polynômes de degré 2),
** hexaèdres triquadratiques (vingt-sept nœuds, polynômes de degré 2).


[[Image:Fonctionshermite.jpg|right|thumb|Les deux fonctions de base d'Hermite associées au {{nobr|nœud 0}} avec les nœuds voisins en +1 et -1 en {{nobr|dimension 1}}.]]

===== Discrétisation =====

Soit le maillage <math>\mathcal{M}</math> et la base <math>b=(e_1...e_n)</math> associée. Puisque la [[Conditions aux limites de Dirichlet|condition de Dirichlet]] impose des fonctions nulles aux bords, on utilise uniquement la sous-base <math>b</math> limitée aux points intérieurs de <math>\Omega</math>.

On cherche la solution <math>\bar{u}</math> du problème discrétisé ainsi :
:<math> \bar{u} \in V_n^0 | \forall v \in V_n^0,\ a( \bar{u}, v ) = \mathcal{L}(v)</math>

Or dans cet espace discrétisé, dire que tout vecteur vérifie la proposition précédente est équivalent à dire que tous les vecteurs de la base vérifient la proposition. Si l'on décompose la solution <math>\bar{u}</math> dans la base des <math>e_i</math> intérieurs, en composantes <math>u_i</math>, on obtient :
:<math> \forall j \in [\![1,n]\!],\ \sum_{i =1}^n { u_i a( e_i, e_j ) } = \mathcal{L}(e_j)</math>

L'idée est que quand le maillage se resserre et que le nombre de fonctions de base <math>n</math> tend vers l'infini (et que l'espace engendré par cette base <math> V_n^0</math> croit vers <math>V_0</math>), les solutions <math>u_n</math> devront converger vers la solution <math>u</math> de l'équation aux dérivées partielles de départ.

===== Éventuelle deuxième discrétisation =====

Dans certains problèmes physiques, il peut être intéressant de discrétiser une deuxième fois. Cette seconde discrétisation n'est pas nécessaire pour la méthode des éléments finis. Souvent on a comme expression de <math>\mathcal{L}</math> :
:<math> \mathcal{L}(e_j)=\int_\Omega f\cdot e_j </math>

On projette alors {{mvar|f}} sur la base {{mvar|b}}. On obtient :
:<math> \overline{f} = \sum_{k=1}^n f_k e_k </math>
et on approche <math>\mathcal{L}(e_j)= \int_\Omega f\cdot e_j </math> par <math> \sum_{k=1}^n f_k \int_\Omega e_k e_j,\; j=1,\dots,n.</math>

Le problème est d'obtenir ensuite une projection <math>\overline{f}</math> acceptable sachant qu'il n'y a pas nécessairement de produit scalaire associé à la base qui permette de projeter de façon efficace. Dans les deux exemples de bases donnés plus haut, cette projection est aisée. Dans le cas des éléments finis de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]], la projection sur la fonction {{mvar|e<sub>i</sub>}} est donnée par la valeur en {{mvar|x<sub>i</sub>}} ; dans le cas des éléments d'Hermite, c'est la valeur de la fonction ainsi que de sa dérivée qui permettent d'obtenir la projection. Pour d'autres bases, la projection peut être plus compliquée.

=== Problème sous forme matricielle ===
Si l'on note :
* la matrice {{math|'''A'''}} ayant pour composantes les {{math|''a''(e{{ind|i}}, ''e{{ind|j}}'')}} ;
* le vecteur {{mvar|U}} ayant pour composantes les {{mvar|u{{ind|i}}}} qui sont les coordonnées de la solution approchée sur la base {{mvar|b}} ;
* le vecteur <math>B</math> ayant pour composantes les <math>\mathcal{L}( e_j )</math> ;
alors ce problème revient à résoudre l'équation linéaire de {{mvar|n}} équations à {{mvar|n}} inconnues :
:<math>\mathbf{A} U = B</math>

La matrice <math>A</math> est appelée matrice de rigidité par analogie avec certains problèmes de [[Mécanique du solide|mécanique des solides]]. {{math|'''A'''}} est par construction symétrique, et puisque {{mvar|a}} est [[Coercivité|coercive]], alors {{math|'''A'''}} est symétrique, définie positive donc inversible. On obtient donc l'existence et l'unicité de {{math|''U'' {{=}} '''A'''{{-1}}''B''}}. Grâce aux coordonnées de {{surligner|{{mvar|u}}}} sur la base {{mvar|b}} on peut alors construire la solution approchée {{surligner|{{mvar|u}}}}. Quand le maillage se resserre cette solution approchée va tendre vers la vraie solution de l'équation aux dérivées partielles de départ.

Pour le cas avec une deuxième discrétisation de <math>\mathcal{L}( e_j )</math> on obtient :
:<math> \mathbf{A}U=\mathrm{M}f </math>
où {{math|M}} est appelée la matrice de masse et contient les <math>\int_\Omega e_i \cdot e_j </math>. {{mvar|f}} est un vecteur contenant les coordonnées de {{mvar|f}} dans la base. La méthode est alors la même qu'avec une seule discrétisation puisque {{math|'''A'''}} vérifie les mêmes propriétés. Cette méthode peut parfois être préférée quand on peut obtenir de façon simple la projection de {{mvar|f}} sur la base et la matrice {{math|M}}.

=== Algorithme ===
La méthode des éléments finis doit être conduite ainsi :
# On calcule la matrice de rigidité ''A'' ;
# On détermine le membre de droite, en calculant les termes <math>\mathcal{L}(e_j)</math> ou alors par l'intermédiaire de la matrice de masse ;
# On résout le problème ''AU''=''B'' ou le problème ''AU''=''Mf'' suivant le niveau de discrétisation choisi. U est alors donné par <math>U = A^{-1} B</math>. Selon la base qui a été choisie et selon les données du problème, il faut choisir la méthode d'inversion la plus efficace pour A. C'est l'étape la plus consommatrice en puissance de calcul, et l'efficacité de la méthode en termes de temps de calcul se joue principalement sur cette étape ;
# On peut écrire <math>\bar{u}</math> grâce au vecteur U qui contient les coordonnées de <math>\bar{u}</math> sur la base b et obtenir une solution approchée au problème.

==== Condition de Neumann ====
La condition qui suit est très différente de [[Condition aux limites de Dirichlet|celle de Dirichlet]]. On pose comme condition au bord que la dérivée normale existe sur le bord <math>\bar{\Omega}</math>, et que la [[Condition aux limites de Neumann|condition de Neumann]] <math>\frac{\partial u}{\partial n}(\overline{\Omega}) = 0</math> est vérifiée.

Si la fonction est supposée différentiable au bord <math>D_u(X) \cdot n = 0, \forall X \in \overline{\Omega}</math>, voire si elle admet un gradient <math>\langle \nabla u(X) | n \rangle = 0, \forall X \in \overline{\Omega}</math>.

Le résultat fonctionne de la même manière car l'élément clef de la démonstration où intervient l'hypothèse de bord est que l'intégrale <math>\int_{\partial \Omega }{\frac{\partial u}{\partial n} v \,\mathrm{d}\omega}=0</math> parce que cette fois-ci ce n'est pas la fonction test mais la dérivée normale qui est nulle.

Par la suite, la différence réside surtout dans le choix des vecteurs de base pour la discrétisation : il faut conserver les fonctions tests propres aux nœuds du bord.

== Exemples issus de problèmes physiques ==
Sont présentés ici des exemples essentiellement de physique, notamment de mécanique. Ils apportent un biais certain quant à une approche plus générale, du fait notamment de la linéarité supposée des matériaux.

=== Exemple de problème discret : un réseau électrique ===
[[Image:Pb discret.png|right|thumb|Problème discret.]]

Équation locale du composant ''e'' :
:<math>\left. \begin{matrix} I_i^e = {1 \over R^e} (U_i^e - U_j^e) \\ I_j^e = {1 \over R^e} (U_j^e - U_i^e) \end{matrix} \right\} \Longrightarrow \begin{Bmatrix} I_i^e \\ I_j^e \end{Bmatrix} = {1 \over R^e} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} U_i^e \\ U_j^e \end{Bmatrix} \,</math>
soit <math>\left\{ I^e \right\} = \left[ K^e \right] \left\{ U^e \right\}. \,</math>

On écrit :
* la continuité des potentiels en chaque connexion <math> i \,</math> ;
* l'équilibre des courants à chaque connexion ;
* l'adjonction des courants externes <math> P^i \,</math>.

On obtient l'équation globale du système assemblé :
:<math>P^i = \sum_{j=1}^m \sum_{e=1}^m K_{ij}^e U_j^e \,</math>
soit :
:<math>\left\{ P \right\} = \left[ K \right] \left\{ U \right\} \,</math>

=== Définition d'un élément fini ===

[[Image:milieu continu.png|thumb|Milieu continu.]]
[[Image:milieu discretise.png|thumb|Milieu discrétisé.]]

En calcul de structures, un élément fini est caractérisé par deux matrices :
* la matrice de raideur <math>\left[ K \right] \,</math> ;
* la matrice de masse <math>\left[ M \right] \,</math>.

=== Application de la méthode des éléments finis à la mécanique ===
==== Définitions et notations ====
On cherche ici à déterminer le vecteur des déplacements <math>\left\{ U \right\}. \,</math> C'est un vecteur dont chaque composante est également appelée [[Degré de liberté (génie mécanique)|degré de liberté]] (ddl) :
* 3 ddl de translation : <math> U_x,U_y,U_z \,</math> ;
* 3 ddl de rotation : <math> \theta_x,\theta_y,\theta_z \,</math>.

On écrit alors le [[tenseur des déformations]] <math>\left[ \epsilon \right] \,</math>, qui modélise la façon dont le matériau va se déformer par rapport à sa position initiale.
Sous l'hypothèse des petites déformations, on a <math> (A'B')^2 = \left(dx + {\partial u \over \partial x} \ dx\right)^2 + \left({\partial v \over \partial x} \ dx\right)^2 \,</math>[[Image:deformation EF.png|right]]
:<math> \epsilon_x = {{A'B'-AB} \over AB} \,</math>
Comme <math> AB=dx \,</math>, on a <math> A'B'=(1+\epsilon_x)\, dx \,</math>
:<math> \Rightarrow 2\epsilon_x+\epsilon_x^2 = 2{\partial u \over \partial x}+\left({\partial u \over \partial x}\right)^2+\left({\partial v \over \partial x}\right)^2 \,</math>
Sous l'hypothèse des petites déformations, on néglige les termes d'ordre 2 :
:<math> \epsilon_x = {\partial u \over \partial x} \,</math>

'''Remarque :''' <math> \epsilon \,</math> est sans dimension.

On écrit ensuite le [[tenseur des contraintes]]) <math>\left[ \sigma \right] \,</math>, qui représente les efforts internes qui s'appliquent dans la structure.
* <math>\sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33} \,</math> : contraintes normales.
* <math>\sigma_{12},\sigma_{13},\sigma_{23} \,</math> : contraintes de cisaillement.
Une contrainte est homogène à une pression (N/m²).

Ces deux tenseurs sont liés par une loi de comportement. On considère la [[loi de Hooke]] :
:<math>\begin{Bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33}
 \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31}\end{Bmatrix} = {{E(1-\nu)} \over {(1+\nu)(1-2\nu)}} \begin{bmatrix}1 & {\nu \over {1-\nu}} & {\nu \over {1-\nu}} & 0 & 0 & 0 \\ & 1 & {\nu \over {1-\nu}} & 0 & 0 & 0 \\ & & 1 & 0 & 0 & 0 \\ & & & {(1-2\nu) \over {2(1-\nu)}} & 0 & 0 \\ & \mbox{(sym)} & & & {(1-2\nu) \over {2(1-\nu)}} & 0 \\ & & & & & {(1-2\nu) \over {2(1-\nu)}}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\epsilon_{11} \\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ \gamma_{12} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{31}\end{Bmatrix}\,</math>
avec
* <math>E \,</math>: module de Young (N/m²)
* <math>\nu \,</math> : [[coefficient de Poisson]] (sans dimension)

On utilise parfois le [[module de cisaillement]] : <math>G = {E \over {2(1+\nu)}} \,</math>

Pour un matériau [[Isotropie|isotrope]], il n'y a que deux paramètres indépendants. Il y en a 6 pour un matériau [[Isotropie transverse|isotrope transverse]], 9 pour un matériau [[Orthotropie|orthotrope]] et 21 pour un matériau [[Anisotropie|anisotrope]].

En notation matricielle, on écrit : <math>\left\{ \sigma \right\} = \left[D\right]\left\{ \epsilon \right\} \,</math>
:<math>\left[D\right] \,</math> est appelée matrice d'élasticité du matériau.

L'énergie de déformation ''W'' s'écrit
:<math>W = {1 \over 2}\int_{v}\sigma.\epsilon.\,\mathrm{d}v \,</math>

'''Travail d'une force'''
: Le [[travail d'une force]] est le produit de la force par le déplacement de son point d'application : <math>\tau_F = {1 \over 2}F.U_F \,</math>
; Moment
: Le [[moment d'une force]] est la mesure d'une action entraînant une rotation, proportionnelle à la force et à la longueur du bras de levier entre le centre de rotation du solide et le point d'application de la force.

==== Équations fondamentales ====
'''Équations d'équilibre local'''
:<math>{\partial \sigma_x \over \partial x} + {\partial \sigma_{xy} \over \partial y} + {\partial \sigma_{xz} \over \partial z} + F_x = 0\,</math>
:<math>{\partial \sigma_y \over \partial y} + {\partial \sigma_{xy} \over \partial x} + {\partial \sigma_{yz} \over \partial z} + F_y = 0\,</math><br />
:<math>{\partial \sigma_z \over \partial z} + {\partial \sigma_{zx} \over \partial x} + {\partial \sigma_{zy} \over \partial y} + F_z = 0\,</math>

'''Relations déformations-déplacements'''
:<math>{\epsilon_x= {\partial u \over  \partial x}} \qquad {\epsilon_y= {\partial v \over  \partial y}} \qquad {\epsilon_z= {\partial w \over  \partial z}} \,</math><br />
:<math>\gamma_{xz}={\partial w \over \partial x} + {\partial u \over \partial z} \,</math><br />
:<math>\gamma_{xy}={\partial u \over \partial y} + {\partial v \over \partial x} \,</math><br />
:<math>\gamma_{yz}={\partial w \over \partial y} + {\partial v \over \partial z} \,</math><br />
::Symboliquement, on écrit <math>\{\epsilon\} = [S]\{U\} \,</math>

[[Image:Poisson coef.png|right|thumb|Signification du coefficient de Poisson.]]

Si on applique au barreau une contrainte <math>\sigma_x \,</math>, on observe un rétrécissement dans la direction y correspondant à une déformation <math>-\nu \sigma_x \over E \,</math><br />

==== Exemple de formulation : barre en traction ====
[[Image:Barre traction.png|center]]
On suppose que le déplacement en tout point de la barre est donné par un [[polynôme]] du {{1er|degré}} : <math> u(x) = a_1 + a_2 x \,</math><br />
:On a <math> u(0) = u_1 \,</math> et <math> u(L) = u_2 \,</math>
:d'où <math> u(x) = u_1\left(1-{x \over L} \right) + {x \over L} u_2 \,</math>

qu'on écrit symboliquement : <math> u(x) = [N(x)]\{U\} \,</math> avec 
<math>\left|\begin{matrix}[N(x)] & = & \left[ \left(1-{x \over L}\right) ; \left({x \over L}\right) \right] \\ 
\{U\} & = & \begin{Bmatrix}u_1 \\ u_2 \end{Bmatrix} \end{matrix}\right. \,</math>

On en déduit :
:<math> \epsilon = \left[-{1 \over L} ; {1 \over L} \right]\begin{Bmatrix}u_1 \\ u_2\end{Bmatrix} = [B]\{U\} \,</math>
:<math> \sigma = E\left[-{1 \over L} ; {1 \over L} \right]\begin{Bmatrix}u_1 \\ u_2\end{Bmatrix} = [D]\epsilon \,</math>

D'autre part, on a par définition :
:<math> \begin{Bmatrix}F_1 \\ F_2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}-\sigma S \\ \sigma S \end{Bmatrix} \,</math> où S est l'aire de la section de la barre.
On pose :
:<math> \{F\} = \begin{Bmatrix}F_1 \\ F_2 \end{Bmatrix} = [A]\sigma \qquad \mbox {avec} \qquad \{A\} = S \begin{Bmatrix}-1 \\ 1 \end{Bmatrix} \,</math>
On obtient finalement :
:<math> \{F\} = [A][D][B]\{U\} \,</math>
Soit une relation du type :
:<math> \{F\} = [K]\{U\} \qquad \mbox {avec} \qquad [K] = [A][D][B] \,</math>

En explicitant :
:<math> [K] = {ES \over L} \begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \,</math>

On voit que la matrice de rigidité se calcule comme le produit de trois matrices :
:<math> [B] \,</math> : Transformation des déplacements aux déformations
:<math> [D] \,</math> : Matrice d'élasticité du matériau
:<math> [A] \,</math> : Transformation des contraintes en forces

==== Formulation générale (méthode directe) ====
La démarche est la suivante :
# On exprime le déplacement <math>\{u(x)\}\,</math> en tout point de l'élément en fonction des déplacements aux nœuds <math>\{u(x)\} = [N(x)]\{U\}\,</math> ;
# On exprime les déformations en fonction des déplacements <math>\{\epsilon(x)\}=[S]\{u(x)\},\,</math> d'où
:<math>\{\epsilon(x)\}=[S]\{N(x)\}\{U\}=[B(x)]\{U\}\,</math>
On écrit la loi de comportement du matériau qui relie les contraintes aux déformations : 
:<math>\{\sigma(x)\}=[D]\{\epsilon(x)\}\,</math>
On écrit que le travail des forces externes appliquées à la structure pour un déplacement virtuel <math>\delta U \,</math> est égal au travail interne des contraintes pour ce même déplacement :

:<math>\{\delta U\}^T\{F\}=\int_V \{\delta \epsilon\}^T\{\sigma\} \,\mathrm{d}v \,</math><br />

En explicitant, on a :
:<math>\{\delta U\}^T\{F\}=\{\delta U\}^T \left (\int_V [B]^T[D][B] \,\mathrm{d}v \right ) \{U\} \,</math>

Comme cette relation est vraie pour tout déplacement virtuel, on en déduit :<br />
:<math>\{F\}=[K]\{U\} \,</math>
avec <math>[K] \,</math> sous sa forme plus générale : <math>[K]=\int_V [B]^T[D][B] \,\mathrm{d}v \,</math>

'''Remarques'''
* La relation ci-dessus montre que <math>[K] \,</math> est symétrique.
* Le terme courant <math>K_{ij} \,</math> de la matrice correspond à la force qui s'exerce sur le nœud <math>i \,</math> lorsqu'on impose un déplacement unitaire du nœud <math>j \,</math>.
La symétrie de <math>[K] \,</math> qui s'écrit <math>K_{ij} = K_{ji} \,</math> correspond mécaniquement au [[théorème de réciprocité de Maxwell-Betti]].

Les types d'éléments finis sont différenciés par le choix des fonctions N(x) et la nature de l'opérateur S (reliant déformations et déplacements), qui dépend du type de théorie élastique utilisée : [[théorie des poutres]], [[théorie des plaques]], [[théorie de la contrainte ou de la déformation plane]], [[théorie des coques]], [[théorie des corps de révolution]], [[théorie de l'élasticité 3D]].

'''Remarques'''
Le processus de formulation d'un élément fini décrit ici est celui de la méthode directe (dite aussi méthode des déplacements). Il existe d'autres approches : la méthode des résidus pondérés, l'application du [[Principe des travaux virtuels]] ou des [[Principe des puissances virtuelles|puissances virtuelles]], et la minimisation de l'[[énergie potentielle]]. Ces approches sont équivalentes et aboutissent à la construction de la même matrice de rigidité.

=== Éléments finis en contrainte ===
Au lieu de rechercher une solution approchée en déplacement, on peut aussi rechercher la solution approchée en contrainte.

Dans le cas de la mécanique, l'application du [[principe des puissances virtuelles]] donne de manière non triviale les [[théorèmes énergétiques]]. On peut aboutir au même résultat en quelques lignes en écrivant l'[[erreur en relation de comportement]].

L'approche en contrainte consiste à rechercher dans l'espace des champs de contraintes admissibles celui qui réalise le minimum de l'énergie complémentaire.

Cette approche est plus précise que l'approche en déplacement mais elle est peu développée du fait de la difficulté que l'on a à générer des champs de contraintes de divergence donnée.

=== Étude des fonctions N(x) ===
* Dans le cas général de l'élasticité tridimensionnelle, ce sont en fait des fonctions de x, y, z.
* Les fonctions les plus couramment utilisées sont des [[polynôme]]s.
** Polynôme de degré 1 : élément linéaire (2 nœuds par arête)
** Polynôme de degré 2 : élément parabolique (3 nœuds par arête)
** Polynôme de degré 3 : élément cubique (4 nœuds par arête)

Les fonctions N(x) sont appelées ''fonctions de forme'' ou ''fonctions d'interpolation de l'élément''.

=== Éléments isoparamétriques ===
:<math>[K]=\int_V [B]^T[D][B] \,\mathrm{d}v \,</math><br />

Il arrive alors un dilemme : soit on construit <math>[K] \,</math> pour certains éléments de forme et de géométrie figée, et il est alors nécessaire, pour mailler une structure complexe, d'utiliser un grand nombre d'éléments, soit on utilise des éléments à géométries variables, et il faut reconstruire <math>[K] \,</math> à chaque fois.

Une solution courante est alors d'utiliser des fonctions d'interpolation pour décrire non seulement le champ de déplacement de l'élément, mais également sa géométrie, tout en travaillant en coordonnées locales.

==== Interpolation de la géométrie ====
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"
 | valign="middle" align="left" width="33%" | <math>\begin{matrix}x &=&\ &\tilde N_1(x)x_1 + \tilde N_2(x)x_2 \\
\ &\ &+&\tilde N_3(x)x_3 + \tilde N_4(x)x_4\end{matrix} \,</math><br />
Idem pour les autres coordonnées.
 | valign="middle" align="center" width="34%" | 
 | valign="middle" align="left" width="33%" | [[Image:EL isoparam champ.png]]
 |}

==== Coordonnées locales (cas 2D) ====
[[Image:EL isoparam coord.png|center]]

==== Élément isoparamétrique ====
Un élément est dit isoparamétrique si on prend les mêmes fonctions d'interpolation pour le déplacement et la géométrie.
:<math>\tilde N(x) = N(x) \,</math>

==== Autres classes d'éléments ====
[[Image:EL super param.png|center]]

==== Évaluation de K ====
La forme générale s'écrit :
:<math>[K]=\int_x \int_y \int_z G(x,y,z) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \,</math>

On passe en variables locales <math>\xi,\eta,\zeta \,</math>

On a <math>\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \det (J)\,\mathrm{d}\xi \,\mathrm{d}\eta \,\mathrm{d}\zeta \,</math>, où <math>J \,</math> est la [[matrice jacobienne]].

On est alors amené à calculer des intégrales du type :

<math>\int_{-1}^{+1} \int_{-1}^{+1} \int_{-1}^{+1} G(\xi ,\eta ,\zeta) \det J\ \,\mathrm{d}\xi \,\mathrm{d}\eta \,\mathrm{d}\zeta \,</math><br />

==== Bénéfice de l'approche ====
On s'est ramené à un domaine d'intégration simple et invariant pour lequel on peut appliquer les formules de [[Méthodes de quadrature de Gauss|quadrature de Gauss]] :
:<math>\int_{-1}^{+1} f(x) \,\mathrm{d}x = \sum_{k=1}^n H_k f(a_k) \,</math>

les <math>a_k \,</math> et <math>H_k \,</math>étant tabulés.

Les <math>a_k \,</math> sont appelés points d'intégration de l'élément ou encore points de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] de l'élément.

=== Cas particulier : les éléments axisymétriques ===
[[Image:EL axisymetrique.png|vignette|redresse=1.5|[[Coordonnées polaires]] pour un objet axisymmétrique.]]
Décomposition en [[série de Fourier]] :
:<math>u(r,\theta,z) = \sum_n u_n^s(r,z)\cos (n\theta) + \sum_n u_n^s(r,z)\sin (n\theta) \,</math>
L'axisymétrie correspond à la restriction <math>n=0 \,</math> de cette décomposition.
:<math>u(r,\theta,z) = u_n^s (r,z) \,</math><br />

'''Remarque'''
Pour utiliser ce type d'élément, le problème doit être globalement axisymétrique en ce qui concerne la géométrie, les conditions limites et le chargement.

=== Processus de calcul (cas statique) ===
# Maillage
# Construction de la matrice de raideur de chaque élément <math>[K^e] \,</math>
# Assemblage de la matrice globale <math>[K] \,</math>
# Construction du vecteur chargement <math>\{F\} \,</math>
# Élimination de certains ddl (si besoin)
# Résolution : <math>\{U\} = [K^{-1}]\{F\} \,</math>
# Calcul des quantités dérivées de <math>\{U\} \,</math>
#: <math>\{\epsilon^e\} = [B^e] \{U^e\} \,</math>
#: <math>\{\sigma^e\} = [D^e] \{\epsilon^e\} \,</math>
#: <math>W^e = {1 \over 2} \{\epsilon^e\}^T \{\sigma^e\} \,</math>

== Logiciels de calcul aux éléments finis ==
Quelques logiciels utilisant la méthode des éléments finis en mécanique des structures :
* [[ABAQUS]] : logiciel pluridisciplinaire développé par la société [[Dassault Systèmes]]
* [[ACORD]] : logiciel de calcul pour poutres et coques avec vérifications réglementaires selon [[Eurocodes]] (1, 2, 3, 5, 8) développé par la société ITECH
* Analysis3D : logiciel pluridisciplinaire libre développé par Cuylaerts Engineering<ref>[https://www.cuylaerts.net].</ref>.
* [[ANSYS]] : logiciel pluridisciplinaire développé par [[ANSYS]]
* [[Calculix]] : [[logiciel libre]] de calcul pour la [[3D]] utilisé, par exemple, par le logiciel libre de conception [[FreeCAD]]<ref>[http://linuxfr.org/news/conception-de-materiel-libre-ou-en-sommes-nous FreeCAD utilise Calculix]</ref>.
* CAST3M : logiciel pluridisciplinaire français développé par le [[Commissariat à l'énergie atomique et aux énergies alternatives|CEA]]
* CESAR : logiciel de calcul des ouvrages du génie civil, développé par l'[[Institut français des sciences et technologies des transports, de l'aménagement et des réseaux|IFSTTAR]] et la société ITECH
* [[Code_Aster]] : logiciel pluridisciplinaire libre français développé par [[Électricité de France|EDF]]
* [[COMSOL Multiphysics]] : logiciel pluridisciplinaire développé par [[COMSOL Multiphysics|COMSOL]],
* [[EuroPlexus]] : logiciel français
* [[Flux (logiciel)|Flux]] : logiciel de CAO 2D et 3D par éléments finis (développé en collaboration avec le G2Elab) permettant le calcul des états magnétiques, électriques ou thermiques des dispositifs
* [[FreeFem++]] : logiciel pluridisciplinaire libre
* [[Feel++]] : logiciel pluridisciplinaire libre
* [[ICAB]] : logiciel de calcul pour poutres et coques avec vérifications réglementaires selon [[Document technique unifié]] DTU France (NV65, CM66, AL76, CB71...), [[Eurocodes]], AISC américain
* Simcenter 3D : logiciel pluridisciplinaire développé par la société Siemens Industry Software (anciennement [[Siemens PLM Software]])
* XLiFE++ : logiciel pluridisciplinaire libre<ref>{{Lien web |prénom=B. |nom=Riou |titre=Welcome to XLiFE++’s website! |url=https://xlifepp.pages.math.cnrs.fr/ |site=xlifepp.pages.math.cnrs.fr |date=2019-04-21 |consulté le=2023-11-26 }}.</ref>
* [[Z-set]]/[[ZéBuLon]] : logiciel commercial de calcul non linéaire avec lois matériaux complexes développé par l'[[ONERA]]/[[Safran (entreprise)|Safran Tech]]/[[Mines ParisTech]] pour la recherche.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
 | wikibooks = Méthode des éléments finis
}}

=== Articles connexes ===
* [[Calcul de structures et modélisation]]
* [[NAFEMS]]
* [[Méthode des différences finies]]
* [[Méthode des volumes finis]]
* [[Méthode des éléments finis de frontière]]
* [[Théorème de Lax-Milgram]]
* [[Méthode DEM|Méthode des éléments discrets]]
* [[Méthode des éléments finis étendus]]
* [[Méthode de discrétisation du gradient]]
* [[Méthode sans maillage]]
* [[Analyse isogéométrique]]
* [[Formulation implicite ou explicite d'un problème de dynamique]]
* [[Éléments d'Argyris]]

=== Bibliographie ===
* {{en}} G. Allaire and A. Craig, ''Numerical Analysis and Optimization:An Introduction to Mathematical Modelling and Numerical Simulation''
* {{en}} K. J. Bathe, ''Numerical methods in finite element analysis'', Prentice-Hall, 1976 {{ISBN|0136271901}}
* {{en}} P.G. Ciarlet,'' The Finite Element Method for Elliptic Problems'', série « ''Studies in Mathematics and its Applications'' », North-Holland, [[Amsterdam]], 1978 {{ISBN|9780444850287}}.
* R. H. Gallagher, ''Introduction aux éléments finis'', Pluralis, 1977
* P.A. Raviart et J.M. Thomas, ''Introduction à l'analyse numérique des équations aux dérivées partielles'', [[Éditions Dunod|Dunod]], 2004 {{ISBN|9782100486458}}.
* {{en}} O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu, ''The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals'', Butterworth-Heinemann ; {{6e|édition}} ({{date-|21 mars 2005}}) {{ISBN|0750663200}}
* {{Ouvrage |langue=en |auteur1=Kenneth H. Huebner |titre=The Finite Element Method for Engineers |éditeur=Wiley |date=2001 |isbn=978-0-471-37078-9}} : une présentation claire, pratique et détaillée de la méthode des éléments finis, assortie de nombreux exemples résolus.

=== Liens externes ===
* Josselin Delmas, [http://code-aster.org/doc/v12/fr/man_r/r3/r3.01.01.pdf Code_Aster: Fonctions de Forme et points d'intégration des éléments finis]
* {{en}} [http://www.uni-ulm.de/uni/intgruppen/fem/ La méthode des éléments finis en génie biomedicale et en biomécanique]
* Hervé Oudin, [http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00341772/fr/ Méthode des éléments finis], École centrale de Nantes
* Vincent Manet, [http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00763690/ La Méthode des Éléments Finis] : vulgarisation des aspects mathématiques, illustration des capacités de la méthode
* David Dureisseix, [http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00351713/fr/ Méthodes numériques appliquées à la conception par éléments finis], université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc
* Christian Wielgosz, Bernard Peseux, Yves Lecointe, [http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00370502/fr/ Formulations mathématiques et résolution numérique en mécanique], université de Nantes

{{Palette|Équations différentielles}}
{{Portail|analyse|physique|Génie mécanique|électricité et électronique}}

{{DEFAULTSORT:Methode des elements finis}}
[[Catégorie:Méthode des éléments finis|*]]