Voir la source de Méthodes prédicteur-correcteur

{{ébauche|analyse}}

Les '''méthodes prédicteur-correcteur''' sont des méthodes d'[[analyse numérique]] d'approximation de solutions d'[[équation différentielle|équations différentielles]]. 

Ces méthodes reposent sur le principe de l'[[itération]], c'est-à-dire qu'une première estimation de la solution est utilisée pour calculer une seconde estimation, qui sera retenue pour l'itération suivante.

== Principe général ==
On considère la résolution du problème :

:<math> {\mathrm{d}y \over \mathrm{d}t} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0 </math>
que l'on va chercher à résoudre en un ensemble discret {{math|''t''{{ind|0}} < ''t''{{ind|1}} < ... < ''t{{ind|N}}''}}. Comme une solution explicite n'est pas toujours disponible, les méthodes prédicteur-correcteur permettent de déterminer une solution approchée aux points <math> (t_i)_{0 \leq i \leq N} </math>. Dans la suite, on notera <math> y_i </math> la solution approchée au temps <math> t_i </math> et <math> y(t_i) </math> la valeur exacte. 

Ainsi, pour une solution exacte <math> t \mapsto y(t) </math> du problème, on a
:<math>y(t_{n+1}) = y(t_n) + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, y(t)) \mathrm{d}t.</math>

Le principe d'une méthode prédicteur-correcteur consiste à faire une première approximation explicite de l'intégrale :
:<math>\int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, y(t)) \mathrm{d}t \approx (t_{n+1} - t_n) F_p(t_n, y_n),</math>
d'où l'étape de '''prédiction''' :
:<math>\tilde{y}_{n+1} = y_n + (t_{n+1} - t_n) F_p(t_n, y_n),</math>
puis une deuxième approximation implicite de l'intégrale :
:<math>\int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, y(t)) \mathrm{d}t \approx (t_{n+1} - t_n) F_i(t_n, y_n, t_{n+1}, y_{n+1}).</math>
d'où l'étape de '''correction''', qui utilisera le prédicteur :
:<math>y_{n+1} = y_n + (t_{n+1} - t_n) F_i(t_n, y_n, t_{n+1}, \tilde{y}_{n+1}).</math>

== Exemples ==
Dans la suite, on notera :
:<math>f_i = f(t_i, y_i), \tilde{f}_n=f(t_n, \tilde{y}_n)</math>
=== Schémas à un pas ===
;Méthode prédicteur-correcteur d'Euler-[[Méthode de Heun|Heun]]
On utilise le schéma d'Euler explicite pour la prédiction :
:<math>\tilde{y}_{n+1} = y_n + (t_{n+1} - t_n) f_n,</math>
puis la [[méthode du point milieu]] pour la correction :
:<math>y_{n+1} = y_n + \frac{(t_{n+1} - t_n)}{2} \left[f_n + \tilde{f}_{n+1}\right] .</math>

;Méthode RK2
On utilise le schéma d'Euler explicite pour la prédiction :
:<math>\tilde{y}_{n+1} = y_n + (t_{n+1} - t_n) f_n,</math>
puis la méthode des trapèzes pour la correction :
:<math>y_{n+1} = y_n + \frac{(t_{n+1} - t_n)}{2} \left[f(t_n, \tilde{y}_{n+1}) + \tilde{f}_{n+1}\right].</math>
On reconnait alors la [[méthode de Runge-Kutta]] d'ordre 2.

=== Schémas multi-pas ===
;Méthode prédicteur-correcteur de Milne
En 1970, pour éviter des problèmes d'instabilité, [[William Edmund Milne]] utilise le schéma prédicteur-correcteur suivant <ref>{{ouvrage |lang=en |auteur=William Edmund Milne |titre=Numerical solution of differential equations |année=1970}}</ref>{{,}}<ref>{{article |lang=en |titre=Stability of a Numerical Solution of Differential Equations |auteur1=W. E. Milne |auteur2=R. R. Reynolds |périodique=Journal of the ACM |année=1959 |volume=6 |pages=196-203 |lire en ligne=https://dl.acm.org/doi/pdf/10.1145/320964.320976}}</ref>:
*Prédiction
*:<math>\tilde{y}_{n+1} = y_{n-4}+\frac{4(t_{n+1} - t_n)}{3}(2f_{n-3}-f_{n-2}+2f_{n-1}),\ \forall n \geqslant 4</math>
*Correction (basée sur la [[méthode de Simpson]]) :
*:<math>y_{n+1} = y_{i-2} + \frac{(t_{n+1} - t_n)}{3} (\tilde{f}_n+4\tilde{f}_{n-1}+\tilde{f}_{n-2}),\  \forall n \geqslant 4</math>

Les premiers pas sont calculés par des méthodes plus simples mais d'ordre élevé, comme une méthode RK4<ref>{{EncycloMath |id=Milne_method |titre=Milne method}}</ref>.

;Méthode d'Adams–Bashford–Moulton
{{article détaillé|Méthodes d'Adams-Bashforth}}
Le schéma de prédiction repose sur une méthode d'Adams-Bashforth (explicite) et la correction, sur une méthode d'Adams-Moulton (implicite).
*Prédiction
*:<math>\tilde{y}_{n+1} = y_n + (t_{n+1} - t_n) \sum_{i=0}^r f_{n-i} b_{i,r}</math>
*Correction :
*:<math>y_{n+1} = y_n + (t_{n+1} - t_n) \sum_{i=0}^r f_{n+1-i} m_{i+1,r}</math>

<center>
{| style="text-align:center;"
|width="200px" |
{| cellpadding=3px cellspacing=0px style="text-align:center; width:7%;"
|width="20px"| || style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" |<math> r </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> b_{0,r} </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> b_{1,r} </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> b_{2,r} </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> b_{3,r} </math>
|-
||| style="border-right:1px solid;" | 0 || 1
|-
||| style="border-right:1px solid;" | 1 || <math> \tfrac{3}{2} </math> || <math> -\tfrac{1}{2} </math>
|-
||| style="border-right:1px solid;" | 2 || <math> \tfrac{23}{12} </math> || <math> -\tfrac{16}{12} </math> || <math> \tfrac{5}{12} </math>
|-
||| style="border-right:1px solid;" | 3 || <math> \tfrac{55}{24} </math> || <math> -\tfrac{59}{24} </math> || <math> \tfrac{37}{24} </math> || <math> -\tfrac{9}{24} </math>
|-
|}
|width="250px" |
{| cellpadding=3px cellspacing=0px style="text-align:center; width:7%;"
|width="20px"| || style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" |<math> r </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> m_{0,r} </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> m_{1,r} </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> m_{2,r} </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> m_{3,r} </math>
|-
||| style="border-right:1px solid;" | 0 || 1
|-
||| style="border-right:1px solid;" | 1 || <math> \tfrac{1}{2} </math> || <math> \tfrac{1}{2} </math>
|-
||| style="border-right:1px solid;" | 2 || <math> \tfrac{5}{12} </math> || <math> \tfrac{8}{12} </math> || <math> -\tfrac{1}{12} </math>
|-
||| style="border-right:1px solid;" | 3 || <math> \tfrac{9}{24} </math> || <math> \tfrac{19}{24} </math> || <math> -\tfrac{5}{24} </math> || <math> \tfrac{1}{24} </math>
|}
|-
|<small>Coefficients des schémas d'Adams-Bashford</small>
|<small>Coefficients des schémas d'Adams-Moulton</small>
|}</center>

;Méthode de Hamming
Ce schéma est dérivé de celui de Milne, mais [[Richard Hamming|Hamming]], en 1959, a remplacé le correcteur par une règle stable<ref>{{article |lang=en |titre=Stable Predictor-Corrector Methods for Ordinary Differential Equations |auteur=Richard Wesley Hamming |périodique=Journal of the ACM |volume=6 |numéro=1 |date=janvier 1959 |pages=37-47 |doi=10.1145/320954.320958 |lire en ligne=https://dl.acm.org/doi/pdf/10.1145/320954.320958}}</ref>.
*Prédiction
*:<math>\tilde{y}_{n} = y_{n-4}+\frac{4(t_{n+1} - t_n)}{3}(2f_{n-3}-f_{n-2}+2f_{n-1}),\  \forall n \geqslant 4</math>
*Correction :
*:<math>y_{n+1} = \frac{1}{8} (9y_n - y_{n-2}) + \frac{3(t_{n+1} - t_n)}{8} (-\tilde{f}_{n-1} + 2\tilde{f}_n - \tilde{f}_{n+1}),\  \forall n \geqslant 4</math>

== Intérêts ==
Chase a mis en évidence que le choix du correcteur est peut-être plus impactant sur la stabilité de la méthode que celui du prédicteur<ref>{{article |lang=en |titre=Stability Properties of Predictor-Corrector Methods for Ordinary Differential Equations |auteur=P. E. Chase |périodique=Journal of the ACM |année=1962 |doi=10.1145/321138.321143}}</ref>, du moins dans la limite d'un pas d'intégration petit. Dans le cas général, les choix du prédicteur et du correcteur ont tous les deux une influence notable sur la stabilité de la méthode.

Dans le cas général, les méthodes de Runge-Kutta sont préférées aux schémas prédicteur-correcteur pour leur adaptabilité et leur mise en œuvre plus simple car totalement explicite. Cependant, pour des méthodes du même ordre de consistance, les méthodes de Runge-Kutta exigent plus d'évaluations de fonctions. Ainsi, dans les cas où on sait que la solution de l'équation n'est pas sujette à de brusques variations de la dérivée, on prendra une méthode de type prédicteur-correcteur
mais, si le pas doit être adapté plus précisément, on préfèrera une méthode de Runge-Kutta.

== Références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Méthode Leapfrog (résolution numérique d'équations différentielles)|Méthode leapfrog]]
* [[Méthode de Runge-Kutta]]
* [[Résolution numérique des équations différentielles]]

== Liens externes ==
* {{mathWorld |nom_url=Runge-KuttaMethod |titre=Runge-Kutta Method}}
* {{mathWorld |nom_url=MilnesMethod |titre=Milne's Method }}
* {{mathWorld |nom_url=Predictor-CorrectorMethods |titre=Predictor-Corrector Methods}}

{{Palette Analyse Numérique}}

{{Portail|Analyse}}

[[Catégorie:Équations différentielles numériques|Prédicteur-correcteur]]