Voir la source de Machine de Moore

{{ébauche|informatique théorique}}
[[Fichier:MooreMachineExample.svg|thumb|Le [[diagramme états-transitions]] d'une machine de Moore avec une fonction de transition partielle. Les entrées sont ''x'', ''y'', ''z'', et les sorties ''a'', ''b'', ''c''.]]
En [[informatique théorique]], notamment en [[théorie des automates]], et en [[calculabilité|théorie de la calculabilité]], une '''machine de Moore'''  ou '''automate de Moore''' (proposée par [[Edward F. Moore]]) est un [[transducteur fini]] (i.e. un [[automate fini]] avec une sortie) pour lequel les sorties ne dépendent que de l'état courant. Cela signifie que chaque état est doté d'une lettre de sortie. La lettre est émise lorsque l'état est atteint. En particulier, la longueur du mot de sortie est égale à la longueur du mot d'entrée.

Cette définition est plus restrictive que celle des [[Machine de Mealy|machines de Mealy]] pour lesquelles les valeurs de sortie dépendent à la fois de l'état courant et de la lettre d'entrée. Toutefois, il existe pour chaque machine de Moore, une [[machine de Mealy]] équivalente et réciproquement.

Les machines de Moore constituent la famille la plus simple de [[transducteur fini|transducteurs finis]].

== Définition formelle ==

Une machine de Moore est un [[N-uplet|6-uplet]]
:<math>(Q, i, A, B,\delta, \lambda)</math>
constitué de :
* un ensemble fini d'états <math>Q</math> ;
* un état initial <math>i</math>, élément de  <math>Q</math> ;
* un [[ensemble fini]] <math>A</math>, appelé alphabet d'entrée ;
* un [[ensemble fini]] <math>B</math>, appelé alphabet de sortie ;
* une [[Application (mathématiques)|fonction]] de transition <math>\delta : Q\times A\to Q</math>;
* une [[Application (mathématiques)|fonction]] de sortie <math>\lambda : Q\to B</math>.

Il est commode de noter l'état <math>\delta(q,a)</math> par <math>q\cdot a</math> et le symbole de sortie <math>\lambda(q\cdot a)</math> par <math>q\star a</math>. La fonction de transition et la fonction de sortie sont étendues aux mots de <math>A^*</math> par récurrence, pour <math>w\in A^*</math> et <math>a\in A</math>, par
:<math>q\cdot wa = (q\cdot w)\cdot a,\quad q\star wa =(q\star w)((q\cdot w)\star a).</math>
En d'autre termes, la sortie produite par le mot <math>wa</math>, lu à partir de l'état <math>q</math>, est le mot produit par le mot <math>w</math>, lu à partir de l'état <math>q</math>, suivi de la lettre associée à l'état <math>q\cdot wa</math> atteint après la lecture de <math>wa</math>.

La ''fonction réalisée'' par l’automate de Moore est l'application <math>f: A^*\to B^*</math> définie par:
:<math>f(w)=i\star w</math>
C'est donc la fonction qui à un mot <math>w</math> de <math>A^*</math>, lu à partir de l'état initial <math>i</math>, associe le mot sur <math>B^*</math> obtenu en concaténant les lettres associés aux états d'arrivée des transitions parcourues.

=== Variantes ===

Parfois, une machine de Moore est dotée d'un ensemble fini d'<em>état terminaux</em>. La fonction <math>f</math> réalisée est alors restreinte aux mot du [[langage rationnel]] sur l'alphabet d'entrée reconnu par l'automate. Le langage des mots produits par la fonction <math>f</math> est alors un [[langage rationnel]].

Usuellement, la fonction de transition <math>\delta : Q\times A\to Q</math> est totale; lorsqu'elle est partielle, l'absence d'une transition a pour conséquence le blocage de l'automate.

== Exemple ==

L'exemple ci-dessus a quatre états. La fonction de transition est partiellement définie sur l'état
En prenant <math>q_0</math> comme état initial, l'automate produit, pour le mot d'entrée <math>zxzy</math>, le mot de sortie <math>acac</math>. La lettre <math>b</math> n'est jamais produite parce qu'il n'y a pas de transition aboutissant en <math>q_0</math>.

== Transformation en automate de Mealy ==
La transformation d'un automate de Moore en automate de Mealy équivalent est très simple. On ajoute à une transition la lettre de sortie de l'état d'arrivée. Sur l'exemple, le résultat est le suivant :

[[Fichier:Moore to Mealy.png|thumb|upright=2|left|Transformation d'une machine de Moore en machine de Mealy.]]
{{Clr}}

== Un problème ==

Dans son article cité en référence, Moore considère des machines de type (''n'' ; ''m'' ; ''p''). Ce sont des automates ayant ''n'' états, ''m'' symboles d'entrée et ''p'' symboles de sortie. Dans la section ''{{Langue|en|Further problems}}'' à la fin de son article, il suggère d'étudier le problème suivant :
« Améliorer les bornes données dans les théorèmes 8 et 9 ». Le théorème 8 est le suivant :

{{Théorème|Théorème 8|Étant donné une machine de type (''n'' ; ''m'' ; ''p'') telle que deux quelconques de ses états sont distinguables, il existe une expérience de longueur <math>n(n-1)/2</math> qui détermine l'état à la fin de l'expérience.}}

[[Anatolii Alexevich Karatsuba]] a résolu ce problème de Moore consistant à améliorer la borne ci-dessus, en prouvant, en 1957, alors qu'il était étudiant à la faculté de mécanique de [[Université d'État de Moscou|l'université d'État Lomonossov de Moscou]], le résultat suivant :

{{Théorème|Étant donné une machine de type (''n'' ; ''m'' ; ''p'') telle que deux quelconques de ses états sont distinguables, il existe une expérience de longueur <math>(n-1)(n-2)/2+1</math> qui détermine l'état à la fin de l'expérience. De plus, cette borne est atteinte.}}

Ce résultat a été publié en 1960<ref>{{article|langue=en| nom=Karatsuba| prénom=A. A.| titre=Solution of one problem from the theory of finite automata | pages=157–159| journal=Usp. Mat. Nauk| numéro=15:3| année=1960}}.</ref>.

== Notes ==
{{Références}}

* {{chapitre
| langue = en
| auteur = [[Edward F. Moore]]
| titre chapitre = Gedanken-experiments on sequential machines
| auteurs ouvrage = C. Shannon et J. McCarthy (éditeurs)
| titre ouvrage = Automata studies
| collection = Annals of mathematics studies
| numéro dans collection = 34
| lieu = Princeton, N. J.
| éditeur = Princeton University Press
| année = 1956
| mois = 
| jour = 
| passage = 129--153
}}

{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Moore machine|id1=464522362|lang2=de|art2=Moore-Automat|id2=95932567}}
== Voir aussi ==

* [[Automate fini]]
* [[Machine de Mealy]]
* [[Transducteur fini]]

{{Palette|Automates finis et langages réguliers}}
{{Portail|Logique|Informatique théorique}}

[[Catégorie:Calculabilité]]
[[Catégorie:Théorie des automates]]