Voir la source de Mahāvīra (mathématicien)

{{voir homonyme|Mahāvīra}}
{{Infobox Biographie2}}

'''Mahāvīra''' (ou '''Mahaviracharya''', « Mahavira le Maître ») est un [[mathématiques|mathématicien]]  [[Jaïnisme|jaïn]] du {{s-|IX|e}}{{sfn|Pingree}}{{,}}<ref name="MT">{{MacTutor|id=Mahavira|titre=Mahavira|date=2000}}</ref>{{,}}{{sfn|Tabak|2009|p=42}} qui a contribué de manière significative au développement de l'[[algèbre]]. Il est l'auteur du texte indien le plus ancien consacré aux mathématiques, rédigé en 850 après J.-C, le ''Gaṇitasārasan̄graha'' (''Ganita Sara Sangraha'' ou ''Ganitasara sahgraha'') ou « Compendium de l'essence des mathématiques ». 

== Biographie ==
Tout ce que l'on sait de la vie de Mahāvīra est qu'il était jaïn (il a peut-être pris son nom en l'honneur du grand réformateur du jaïnisme Mahavira [vers 599-527 avant J.-C.]) et qu'il a écrit l'ouvrage ''Gaṇita-sāra-saṅgraha'' (« Compendium de l'essence des mathématiques ») sous le règne d'Amoghavarsha (vers 814-878) de la dynastie des [[Rashtrakuta]]{{sfn|Puttaswamy|2012|p=231}}{{,}}<ref>{{Ouvrage
|auteur1= Clifford A. Pickover
|titre= The math book.
|sous-titre= From Pythagoras to the 57th dimension. 250 milestones in the history of mathematics.
|éditeur= Sterling Publishing
|collection=
|lieu= New York, NY
|année= 2009
|volume=
|tome=
|pages totales= 527
|passage= 88
|isbn= 978-1-4027-5796-9
|zbl=1193.00011
}}.</ref>{{,}}{{sfn|Puttaswamy|2012|p=231}}.

La paternité de l'ouvrage astronomique ''Jyotis-apatala'' est également attribuée à Mahāvīra. Quelques manuscrits de ce titre sont mentionnés dans le ''Jina-ratna-kosa'' et le ''New Catalogus Catalogorum'', mais sans mention d'auteur. Un autre ouvrage qui lui est attribué est le ''Chattisu'', mais il s'agit également d'une sorte d'élaboration d'une partie du ''Ganitasara sahgraha'' réalisée par Madhavacandra Traivi-dya (vers l'[[an 1000]])<ref name=Britannica/>. En tout état de cause ''Gaṇita-sāra-saṅgraha'' reste sa grande œuvre.

Mahāvīra souligne l'importance des mathématiques dans la vie séculaire et religieuse et dans toutes sortes de disciplines, y compris dans l'amour et la cuisine. Il est le premier à séparer l'[[astrologie]] des mathématiques. Il a exposé les mêmes sujets sur lesquels [[Aryabhata]] et [[Brahmagupta]] se disputaient, mais il les a exprimés plus clairement. L'accent est mis, dans une grande partie de son texte, sur le développement des techniques nécessaires à la résolution des problèmes algébriques{{sfn|Tabak|2009|p=43}}. Il est très respecté parmi les mathématiciens indiens, en raison de sa définition d'une [[terminologie]] pour des concepts tels que le triangle équilatéral et isocèle, le losange, le cercle et le demi-cercle<ref>
{{Ouvrage
|langue=
|auteur1=  T. A. Sarasvati Amma
|titre= Geometry in ancient and medieval India
|sous-titre=
|éditeur= Motilal Banarsidass
|collection=
|lieu= Delhi - Varanasi - Patna
|année= 1979
|pages totales= xi+ 280
|passage= 122
|isbn=
|zbl = 0578.01007
}}.</ref>. 

La notoriété de Mahāvīra s'est répandue dans toute l'[[Inde du Sud]] et ses livres se sont avérés être une source d'inspiration pour d'autres mathématiciens de l'[[Inde du Sud]]{{sfn|Hayashi|2013}}. Il est traduit en langue [[télougou]] par Pavuluri Mallana sous le titre de ''Saara Sangraha Ganitamu''<ref>
{{Ouvrage
|auteur1= David E. Pingree 
|titre=  Pingree's Census of the Exact Sciences in Sanskrit
|éditeur= American Philosophical Society
|collection=
|lieu= Philadelphie
|année= 1970-1994 (5 volumes)
|passage= 388
|isbn=
|lire en ligne= https://archive.org/details/PingreeCESS/Pingree_CESS_A1_1970/
}}</ref>{{,}}<ref name=Britannica>{{Lien web|langue=en|url=https://www.britannica.com/biography/Mahavira-Indian-mathematician|titre=Mahavira - Indian mathematician|auteur=Takao Hayashi|consulté le=15 janvier 2023}}.</ref>.

== Gaṇita-sāra-saṅgraha ==
L'ouvrage comprend {{nobr|1 131 règles}} ou versets et exemples versifiés répartis en neuf chapitres<ref name="Selin">{{harvsp|Selin|2008|p=1268}}.</ref> :
# Terminologie (70 versets)
# Opérations arithmétiques (115 versets)
# Opérations sur les fractions (140 versets)
# Opérations diverses (72 versets)
# La règle de trois (43 versets)
# Opérations mixtes (337 1/2 versets)
# Géométrie et mensuration (232 1/2 versets)
# Problèmes de mélange (681/2 versets)
# Ombres (triangles rectangles semblables) (52 1/2 versets)

=== Opérations arithmétiques ===

==== Racines carrée et cubique ====
Mahāvīra a fait une observation remarquable en ce qui concerne la racine carrée d'un nombre négatif. Il a dit : « Un nombre négatif n'est pas carré par nature, c'est pourquoi il n'y a pas de racine carrée (réelle) de ce nombre ».

=== Opérations sur les fractions ===
Dans les temps anciens, les [[Fraction unitaire|fractions unitaires]] étaient considérées comme très importantes. Le Ganitasara sahgraha contient des résultats intéressants à ce sujet. 
==== Décomposition en fractions unitaires====
Le ''Gaṇita-sāra-saṅgraha'' de Mahāvīra a donné des règles systématiques pour exprimer une fraction comme somme de [[Fraction unitaire|fractions unitaires]]<ref name=k497>{{Harvnb|Kusuba|2004|pp=497-516}}.</ref>. Cela fait suite à l'utilisation des fractions unitaires en [[mathématiques indiennes]] à l'époque védique, et aux [[Śulba-Sūtras|Śulba Sūtras]]' donnant une approximation de <math>\sqrt2</math> équivalente à <math>1 + \tfrac13 + \tfrac1{3\cdot4}. - \tfrac1{3\cdot4\cdot34}</math>{{,}}<ref name=k497/>. 

Dans le ''Gaṇita-sāra-saṅgraha'' (GSS), la deuxième section du chapitre sur l'arithmétique est nommée ''kalā-savarṇa-vyavahāra'' (lit. « l'opération de la réduction des fractions »). La section ''bhāgajāti'' (versets 55-98) donne les règles suivantes<ref name=k497/>: .

* Pour exprimer 1 comme somme de ''n'' fractions unitaires (GSS ''kalāsavarṇa'' 75, exemples en 76)<ref name=k497/>: 
: {{Citation|rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ /dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //}} : {{Citation|Lorsque le résultat est 1, les dénominateurs des quantités ayant 1 comme numérateurs sont [les nombres] commençant par 1 et multipliés par trois, dans l'ordre. Le premier et le dernier sont multipliés par deux et deux tiers [respectivement]}}.
:: <math> 1 = \frac1{1 \cdot 2} + \frac1{3} + \frac1{3^2} + \dots + \frac1{3^{n-2}} + \frac1{\frac23 \cdot 3^{n-1}} </math>

* Pour exprimer 1 comme la somme d'un nombre impair de fractions unitaires (GSS ''kalāsavarṇa'' 77)<ref name=k497/>: 
:: <math>1 = \frac1{2\cdot 3 \cdot 1/2} + \frac1{3 \cdot 4 \cdot 1/2} + \dots + \frac1{(2n-1) \cdot 2n \cdot 1/2} + \frac1{2n \cdot 1/2} </math>

* Pour exprimer une fraction unitaire <math>1/q</math> comme la somme de ''n'' autres fractions aux numérateurs donnés <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> (GSS ''kalāsavarṇa'' 78, exemples en 79) :
:: <math>\frac1q = \frac{a_1}{q(q+a_1)} + \frac{a_2}{(q+a_1)(q+a_1+a_2)} + \dots + \frac{a_{n-1}}{(q+a_1+\dots+a_{n-2})(q+a_1+\dots+a_{n-1})} + \frac{a_n}{a_n(q+a_1+\dots+a_{n-1})}</math>

* Pour exprimer toute fraction <math>p/q</math> comme une somme de fractions unitaires (GSS ''kalāsavarṇa'' 80, exemples en 81)<ref name=k497/> : 
: Choisir un entier <math>i</math> tel que <math>r=\frac{q+i}{p}</math> est un entier, puis écrire 
:: <math> \frac{p}{q} = \frac{1}{r} + \frac{i}{r \cdot q} </math>
:et répéter le processus pour le second terme, de manière récursive. Noter que si <math>i</math> est toujours choisi pour être le ''plus petit'' de ces entiers, ceci est identique à l'[[algorithme glouton pour la décomposition en fractions égyptiennes]].

* Pour exprimer une fraction unitaire comme la somme de deux autres fractions unitaires (GSS ''kalāsavarṇa'' 85, exemple en 86)<ref name=k497/>  on pose :
:: <math>\frac1{n} = \frac1{p\cdot n} + \frac1{\frac{p\cdot n}{n-1}}</math> 
:où <math>p</math> est choisi tel que  <math>\frac{p\cdot n}{n-1}</math> est entier (donc <math>p</math> doit être un multiple de  <math>n-1</math>).
* Pour exprimer une fraction unitaire comme somme de deux fractions unitaires : 
:: <math>\frac1{a\cdot b} = \frac1{a(a+b)} + \frac1{b(a+b)}</math>

* Pour exprimer une fraction <math>p/q</math> comme la somme de deux autres fractions dont les numérateurs <math>a</math> et <math>b</math> sont donnés (GSS ''kalāsavarṇa'' 87, exemple en 88)<ref name=k497/> : 
:: <math>\frac{p}{q} = \frac{a}{\frac{ai+b}{p}\cdot\frac{q}{i}} + \frac{b}{\frac{ai+b}{p} \cdot \frac{q}{i} \cdot{i}}</math> 
:avec <math>i</math> tel que <math>p</math> divise <math>ai + b</math>.

Quelques règles supplémentaires ont été données dans le ''Gaṇita-kaumudi'' de Narayana Pandit au {{s-|14}}<ref name=k497/>.

=== Identités algébriques ===
Il donne des identités algébriques telles que
:<math>a^3 a+3a+5a+\cdots</math> (<math>a</math> termes)
:<math>a^3 = a^2+ (a-1)[1+3+5+7+\cdots]</math> (<math>a</math> termes)
:<math>a^3=3
[1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+(a-1)a]</math>
:<math>a^3=a(a+b)(a-b)+ b^2(a-b)+b^3</math>.
Il est le premier à donner la formule
:<math>\binom{n}{r}=\frac{n(n-1)\cdots r}{r(r-1)\cdots 1}</math>{{sfn|Tabak|2009|p=43}}. 
Il a trouvé des méthodes pour calculer le carré d'un nombre et les racines cubiques d'un nombre.{{sfn|Krebs|2004|p=132}} Il a affirmé que la [[racine carrée]] d'un [[nombre négatif]] n'existe pas{{sfn|Selin|2008|p=1268}}.

=== Règle de trois ===

Voici un exemple de problème qui se formule comme un système d'équations linéaires<ref name="MT"/> :

:Trois marchands trouvent une bourse sur la route. L'un d'eux dit : « Si je garde la bourse, j'aurai deux fois plus d'argent que vous deux réunis ». Le deuxième marchand dit : « Donnez-moi la bourse et j'aurai trois fois plus d'argent ». Le troisième marchand dit :« Je serai beaucoup plus riche que vous deux si je garde la bourse, j'aurai cinq fois plus d'argent que vous deux réunis ». Combien d'argent y a-t-il dans la bourse ? Combien d'argent possède chaque marchand ?

Si le premier marchands possède <math>x</math>, le deuxième <math>y</math>, le troisième <math>z</math> et si est le montant p est le montant de la bourse, alors 

:<math>p+x = 2(y+x),\ p+y=3(x+z),\ p+z= 5(x+y)</math>.

Il n'existe pas de solution unique, mais la plus petite solution en nombres entiers positifs est :
:<math>p=15,x=1,y=3,z=5p=15,x=1,y=3,z=5</math>. 
Toute solution en nombres entiers positifs est un multiple de cette solution comme le dit Mahavira.

=== Géométrie ===
Dans les problèmes de mensuration en géométrie, Mahāvīra donnait habituellement deux règles : l'une pour des résultats approximatifs et l'autre pour des résultats meilleurs ou plus précis. Il a traité toutes les figures planes habituelles. Pour le nombre <math>\pi</math>, il s'est conformé aux valeurs approchées  3 (« Jaina ») et plus précise <math>\sqrt{10}</math><ref name=Selin/>.

====Cercle inscrit ====
Le rayon du [[cercle inscrit]] dans un triangle est égal à l'aire du trangle divisé par la moitié de son périmètre (GSS ''kalāsavarṇa'' VII 223 1/2).

==== Ellipses ====
Mahāvīra est le premier mathématicien indien à traiter des caractéristiques d'une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]] qu'il appelle ''ayata-vrtta'' (cercle allongé), mais ses règles sont approximatives. 

Pour une ellipse de grand rayon <math>a</math> et de petit rayon <math>b</math>, ses résultats « exacts » sont les suivants :
:Aire = <math>b  \sqrt{4a^2 - 6 b^2} </math>
:Périmètre =<math>b\sqrt{16a^2 + 24 b^2} </math>.

Pour la calcul exact de l'ellipse, il a fallu attendre environ {{nobr|800 ans}} pour acquérir le puissant outil qu'est le calcul intégral. Dans ce contexte, il convient d'apprécier la première tentative de Mahāvīra<ref name=Selin/>.

==== Figures rationnelles ====
La contribution de Mahāvīra à la formation des figures rationnelles est importante. Il appelle un [[triangle]] ou un [[quadrilatère]] ''janya'' (engendré) lorsque ses côtés, ses [[hauteur d'un triangle|hauteurs]] et d'autres paramètres importants peuvent être exprimées en termes de [[nombre rationnel|nombres rationnels]]. Cette définition est la première reconnaissance claire des [[Nombre irrationnel|nombres irrationnels]] en mathématiques, dont la définition formelle a dû attendre encore plusieurs siècles<ref name=Selin/>.

<!-- ==== Ombres ====
 -->

== Articles connexes ==
* [[Mathématiques indiennes]]

== Bibliographie ==
*{{Ouvrage
|langue=
|auteur1= Bibhutibhusan Datta | auteur2 = Avadhesh Narayan Singh
|titre= {{Lien|History of Hindu Mathematics : A Source Book}}
|sous-titre=
|éditeur=  Asia Publishing House
|collection=
|lieu=
|année= 1962 
|volume= 
|tome=
|pages totales= 610
|passage=
|isbn=
|lire en ligne= https://archive.org/details/HinduMathematics
}}. — réédition du livre de 1930.
*{{DSB|prénom=David|nom=Pingree|titre=Mahāvīra|date=1970|url=http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830902766.html|id=Pingree}}
* {{Ouvrage
|nom=Selin|prénom=Helaine
|titre=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures
|url=https://books.google.com/books?id=kt9DIY1g9HYC&pg=PA1268|année=2008|éditeur=Springer
|isbn=978-1-4020-4559-2}}
* {{Ouvrage
|prénom=Takao|nom=Hayashi|auteur-link=Takao Hayashi
|titre=Mahavira|encyclopedia=Encyclopædia Britannica
|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/853508/Mahavira|année=2013}}
*{{MacTutor|id=Mahavira|titre=Mahavira|date=2000}}
* {{Ouvrage
|nom=Tabak|prénom=John
|titre=Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought
|url=https://books.google.com/books?id=h-zRieb7VbwC&pg=PA42|année=2009|éditeur=Infobase Publishing|isbn=978-0-8160-6875-3}}
* {{Ouvrage|nom=Krebs|prénom=Robert E.
|titre=Groundbreaking scientific experiments, inventions, and discoveries of the Middle Ages and the Renaissance|url=https://books.google.combooks?id=MTXdplfiz-cC&pg=PA131|année=2004|éditeur=Greenwood Publishing Group|isbn=978-0-313-32433-8}}
* {{Ouvrage
|nom=Puttaswamy|prénom=T. K.
|titre=Mathematical achievements of pre-modern Indian mathematicians
|url=https://books.google.com/books?id=DAPLaxw-53IC&pg=PA231
|année=2012|éditeur=Elsevier Insights
|isbn=978-0-12-397938-4
|numéro chapitre = 9 | titre chapitre = Mahavira | passage = 231-316
|zbl= 1263.01003
|pages totales = xxiii+743}}.
* {{Chapitre
| nom=Kusuba|prénom=Takanori | titre =Indian rules for the decomposition of fractions |année=2004 | titre ouvrage=Studies in the history of the exact sciences in honour of David Pingree | éditeur=[[Éditions Brill]] | isbn=9004132023  
|doi=10.1163/9789047412441_018
|passage = 497-516
| auteur ouvrage = Charles Burnett, Jan P. Hogendijk, [[Kim Plofker]], Michio Yano (éditeurs)}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Mahāvīra (mathematician)|1085834754|type=note}}
{{Références}}


{{Palette Mathématiques indiennes}}
{{Portail|mathématiques|Inde}}

{{CLEDETRI:Mahāvīra, }}

[[Catégorie:Mathématicien indien du IXe siècle]]
[[Catégorie:Personnalité du jaïnisme au IXe siècle]]