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{{titre mis en forme|''Master theorem'' de Glasser}}

En [[Intégration (mathématiques)|calcul intégral]], le '''''{{lang|en|master theorem}}'' de Glasser''' explique comment une certaine classe de substitutions peut simplifier certaines intégrales impropres sur tout l'intervalle réel. Il est applicable dans les cas où les intégrales doivent être interprétées comme des [[Valeur principale de Cauchy|valeurs principales de Cauchy]] et ''a fortiori'' lorsque les intégrales [[Convergence absolue|convergent absolument]]. Il porte le nom de M. L. Glasser, qui l'a établi en 1983<ref>{{article |lang=en |auteur1=M. L. Glasser |titre=A Remarkable Property of Definite Integrals. |périodique=Mathematics of Computation |volume=40 |numéro=162 |pages=561–563 |année=1983 |doi=10.2307/2007531}}.</ref>, bien qu'on retrouve une première étude de cette égalité par [[George Pólya]] et Gabor Szegö dès 1924, dans le cadre de l'étude de fonctions rationnelles qui préservent la [[mesure de Lebesgue]]<ref>{{ouvrage |lang=en |titre=Problems and Theorems in Analysis |volume=I |sous-titre=Series. Integral Calculus. Theory of Functions |éditeur=Springer Science & Business Media |année=1924}}</ref>.

== Cas particulier : la transformation de Cauchy-Schlömilch ==
Un cas particulier appelé substitution de Cauchy-Schlömilch ou transformation de Cauchy-Schlömilch <ref>{{article |lang=en |auteur1=T. Amdeberhnan |auteur2=M. L. Glasser |auteur3=M. C. Jones |auteur4=V. H. Moll |auteur5=R. Posey |auteur6=D. Varela |titre=The Cauchy–Schlömilch transformation |périodique=Mathematics Subject Classification |année=1991 |lire en ligne=arxiv.org/pdf/1004.2445.pdf}}</ref> était connu de [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] au début du {{s-|XIX}}<ref>{{article |lang=fr |auteur1=A. L. Cauchy |titre=Sur une formule générale relative à la transformation des intégrales simples prises entre les limites 0 et ∞ de la variable.|périodique=Journal de l’école Polytechnique |volume=XIII |numéro=XIX |pages=516–519 |année=1823}}, in ''Œuvres complètes'', série 2 </ref>. Il dit que si

: <math> u = x - \frac 1 x \, </math>

alors

: <math> \operatorname{PV} \int_{-\infty}^\infty F(u)\,\mathrm{d}x = \operatorname{PV} \int_{-\infty}^\infty F(x)\,\mathrm{d}x \qquad (\text{Note: } F(u)\,\mathrm{d}x, \text{ et non }\ F(u)\,\mathrm{d}u) </math>

où PV désigne la valeur principale de Cauchy.

== Le théorème principal ==
Si <math>a</math>, <math>a_i</math>, et <math>b_i</math> sont des [[Nombre réel|nombres réels]] et

: <math> u = x - a - \sum_{n=1}^N \frac{|a_n|}{x-b_n} </math>

alors<ref>{{article |lang=en |auteur=Gérard Letac |titre=Which Functions Preserve Cauchy Laws? |périodique=Proceedings of the American Mathematical Society |volume=67 |numéro=2 |année=1977 |pages=277-86 |doi=10.2307/2041287}}</ref>

: <math> \operatorname{PV} \int_{-\infty}^\infty F(u)\,\mathrm{d}x = \operatorname{PV} \int_{-\infty}^\infty F(x)\,\mathrm{d}x. </math>

{{Démonstration|contenu=
Soient <math>I_n=(b_n,b_{n+1}), n=0,\ldots,N</math> avec la convention <math>b_0=-\infty, b_{N+1}=+\infty</math>.

On a, par simple étude de fonctions :
:<math>\forall x \in \R \setminus {b_1,\ldots, b_N},\ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} > 1.</math>
:<math>\forall b \in {b_1,\ldots, b_N},\  \lim_{x\rightarrow b^-} u = +\infty,\ \lim_{x\rightarrow b^+} u = -\infty.</math>
Ainsi, sur chaque sous-intervalle <math>I_n</math>, <math>u</math> définit une bijection, dont on note <math>v_n</math> la réciproque :
:<math>\forall n=0,\ldots,N,\  u \circ v_n = \mathrm{id}_\R.</math>
Alors pour tout <math>y \in \R</math>, l'équation <math>u=y</math> a exactement ''N''+1 zéros <math>v_0(y),\ldots,v_N(y)</math>. En multipliant les deux côtés par <math>(x-b_1)\ldots(x-b_N)</math>, on a :
:<math>(x-a-y)(x-b_1)\ldots(x-b_N)+p(x)=0</math>
où ''p'' est un polynôme de degré inférieur ou égal à ''N''-1. Le premier terme est un polynôme de degré ''N''+1, on en déduit que le terme de gauche coïncide avec <math>(x-v_0(y))\ldots(x-v_N(y))</math>. Une comparaison terme à terme des coefficients montre que :
:<math>y+a+a_1+\ldots+a_N=v_0(y)+\ldots+v_N(y).</math>
Ainsi, pour toute fonction Lebesgue-mesurable ''f'' sur la droite réelle, on a :
:<math>\int_\R f(u)\,\mathrm{d}x = \sum_{n=0}^N \int_{I_k} f(u)\,\mathrm{d}x=\sum_{n=0}^N \int_\R f(y)v_k'(y)\,\mathrm{d}y=\int_\R f(x)\,\mathrm{d}x,</math>
soit le résultat recherché.
}}

== Exemples ==

* On a :
:<math> \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2\,\mathrm{d}x}{x^4+1} = \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{d}x}{\left( x-\frac 1 x \right)^2 + 2} = \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + 2} = \frac \pi {\sqrt 2}. </math>
* La [[fonction caractéristique (probabilités)|fonction caractéristique]] d'une [[distribution de Lévy]] est donnée par :
:<math>\varphi(t) = \int_0^{+\infty} \sqrt{\frac{c}{2\pi}} \frac{1}{x^{3/2}} \mathrm{e}^{ -\frac{c}{2x}} \mathrm{e}^{ \mathrm{i}tx} \mathrm{d}x</math>
Or, 
:<math>
\begin{align}
\varphi(\mathrm{i}t) & = \int_0^{+\infty} \sqrt{\frac{c}{2\pi}} \frac{1}{x^{3/2}} \exp\left(-\frac{c}{2x}-tx\right) \mathrm{d}x \\[3pt]
& = \sqrt{\frac{c}{2\pi}}  \int_0^{+\infty} \frac{1}{x^{3/2}} \exp\left(-\frac{c}{2x}-tx\right) \mathrm{d}x \\[3pt]
& \stackrel{x=\frac{c}{2u^2}}{=} \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{+\infty} \exp\left(-u^2 - \frac{ct}{2 u^2}\right) \mathrm{d}u \\[3pt]
& = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \times \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left[ -\left( u-\sqrt{\frac{ct}{2}}\frac{1}{u} \right)^2-\sqrt{2ct} \right] \mathrm{d}u
\end{align}
</math>

Le théorème principal de Glasser permet de conclure :
:<math>
\varphi(\mathrm{i}t) =\frac{1}{\sqrt{\pi}} \exp\left(-\sqrt{2ct}\right) \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-u^2\right) \mathrm{d}u = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \exp\left(-\sqrt{2ct}\right) \times \sqrt{\pi} = \exp\left(-\sqrt{2ct}\right)
</math>

== Voir aussi ==
* [[Master theorem de Ramanujan]]

== Références ==
{{Références}}

== Liens externes ==

* {{MathWorld|titre=Glasser's Master Theorem |nom_url=GlassersMasterTheorem}}.

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorie de l'intégration]]