Voir la source de Master theorem de Ramanujan

{{titre mis en forme|''Master theorem'' de Ramanujan}}
{{Confusion|texte=Ne doit pas être confondu avec le ''[[master theorem]]'' en [[informatique]].}}
En [[mathématiques]], le '''« ''master theorem'' » de Ramanujan''' (littéralement, « théorème maître », dû à [[Srinivasa Ramanujan]], et trouvé dans [[cahiers de Ramanujan|ses carnets]] après sa mort<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=B. |nom1=Berndt |titre=Ramanujan’s Notebooks, Part I |lieu=New York |éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |année=1985 |isbn=}}.</ref>) est une technique produisant une forme explicite de la [[Transformation de Mellin|transformée de Mellin]] d'une  [[fonction analytique]].
[[Image:Ramanujan's "Master Theorem" page.jpg|thumb|Une page du [[cahiers de Ramanujan|carnet de Ramanujan]] où  est énoncé le master theorem.]]
== Énoncé du théorème ==
Sous des hypothèses qui ont été  précisées par [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]]<ref name=hardy/>, et qui sont toujours vérifiées pour les applications qu'en fait [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]], le théorème est le suivant :
{{Théorème|nom=Master theorem|Si <math> f</math> est une fonction à valeurs complexes développable en [[série entière]] sous la forme
: <math> f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \!</math>,
alors, sous certaines hypothèses sur la fonction <math>s\mapsto \phi (s)</math>, la [[Transformation de Mellin|transformée de Mellin]] de <math> f</math> est donnée par
: <math> \int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) </math>,
où <math> \Gamma(s)</math> est la [[ fonction gamma]].|énoncé=Si <math> f</math> est une fonction à valeurs complexes développable en [[série entière]] sous la forme
: <math> f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \!</math>,
alors, sous certaines hypothèses sur la fonction <math>s\mapsto \phi (s)</math>, la [[Transformation de Mellin|transformée de Mellin]] de <math> f</math> est donnée par
: <math> \int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) </math>,
où <math> \Gamma(s)</math> est la [[ fonction gamma]].}}

Ramanujan l'a fréquemment utilisé pour calculer des intégrales définies et des séries entières.

== Autres formes du théorème ==
Une autre forme du ''master theorem'' est :
: <math> \int_0^\infty  x^{s-1} ({\lambda(0)-x\lambda(1)+x^{2}\lambda(2)-\cdots}) \, dx = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\lambda(-s) </math>
qui revient à la précédente par la substitution <math> \lambda(n) = \frac{\phi(n)}{\Gamma(1+n)} \!</math>, en utilisant [[Fonction_gamma#Formule_des_compl%C3%A9ments|l'équation fonctionnelle de la fonction gamma]].

L'intégrale précédente est convergente pour <math> 0< \operatorname{Re}(s)<1 </math> (si <math> \phi </math> vérifie des conditions de croissance convenables<ref name="rm">{{Article |langue=en |titre=Ramanujan's Master Theorem |prénom1=Tewodros |nom1=Amdeberhan |prénom2=Ivan |nom2=Gonzalez |prénom3=Marshall |nom3=Harrison |prénom4=Victor H. |nom4=Moll |prénom5=Armin |nom5=Straub |périodique=The Ramanujan Journal |volume=29 |numéro=1–3 |année=2012 |pages=103–120 |doi=10.1007/s11139-011-9333-y}}.</ref>).

Un résultat analogue avait été obtenu par [[James Whitbread Lee Glaisher|J. W. L. Glaisher]] en 1874, mais n'avait guère attiré  d'attention<ref>{{Article |langue=en |prénom1=J. W. L. |nom1=Glaisher |titre=A new formula in definite integrals |périodique=The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science |volume=48 |numéro=315 |pages=53–55 |année=1874}}.</ref>.

== Démonstration de Hardy ==
Le théorème est faux en général ; une démonstration sous des hypothèses « naturelles » (mais qui ne sont pas les plus faibles nécessaires) fut donnée par [[Godfrey Harold Hardy]]<ref name=hardy>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Godfrey Harold Hardy]] |titre=Ramanujan. Twelve Lectures on subjects suggested by his life and work |lieu=New York |éditeur=Chelsea |année=1978 |pages totales=236 |isbn=0-8284-0136-5}}.</ref>, utilisant le  [[théorème des résidus]] et le {{Lien|trad=Mellin inversion theorem|théorème d'inversion de Mellin}}.

Les hypothèses les plus simples pour la démonstration sont en effet celles-ci : 

* pour <math>|x| < a\le 1, f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!} (-x)^k</math>

* <math> \phi(-s)</math> est [[Fonction analytique|analytique]] pour <math> \Re(s) < \varepsilon</math>

* <math>\Gamma(s)\phi(-s)</math> a une [[décroissance exponentielle]] sur la droite verticale <math>\Re(s) = \varepsilon/ 2</math>

* <math>\lim_{R \to \infty}\int_{|s| = R, \Re(s) < \varepsilon/2}\Gamma(s)\phi(-s)ds=0</math> 

Pour <math> x > 0 </math> soit <math> g(x)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi} \int_{\Re(s) = \varepsilon/2}\Gamma(s)\phi(-s)x^{-s}\mathrm{d}s</math>. La décroissance exponentielle de <math>\Gamma(s)\phi(-s)</math> implique que ''g'' est analytique sur <math>]0,\infty[</math>.

De plus le théorème des résidus donne que pour <math>x\in ]0,a[</math>, <math>g(x) = \sum_{k=0}^\infty \text{Res}(\Gamma(s)\phi(-s)x^{-s},-k) = \sum_{k=0}^\infty \text{Res}(\Gamma(s),-k)\phi(k) x^k = f(x)</math>. Donc ''g'' est en fait le prolongement analytique de ''f''. 

Enfin comme <math>g(x)x^{\varepsilon/2}</math> est bornée, par inversion de Mellin, on a : <center><math>\Gamma(s)\phi(-s) = \int_0^\infty g(x) x^{s-1}\mathrm{d}x</math> pour <math>\Re(s) \in ]0,\varepsilon/2[</math>.</center>

== Exemples ==
=== Application à la fonction zêta de Hurwitz ===
La [[série génératrice]] des [[polynôme de Bernoulli|polynômes de Bernoulli]] <math> B_k(x)\!</math> est :
: <math> \frac{z\mathrm{e}^{xz}}{\mathrm{e}^z-1}=\sum_{k=0}^\infty  B_k(x)\frac{z^k}{k!} \!</math>
Utilisant la [[fonction zêta de Hurwitz]] <math> \zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{(n+a)^s} \!</math>,  on a 
<math> \zeta(1-n,a)=-\frac{B_n(a)}{n} \!</math> pour <math> n\geq1 \!</math>.

Le ''master theorem'' permet alors d'obtenir<ref>{{Article |langue=en |prénom1=O. |nom1=Espinosa |prénom2=V. |nom2=Moll |titre=On some definite integrals involving the Hurwitz zeta function. Part 2 |périodique=The Ramanujan Journal |volume=6 |numéro=4 |pages=449–468 |année=2002 |doi=10.1023/A:1021171500736}}.</ref> la représentation intégrale : 
: <math> \int_0^\infty  x^{s-1} \left(\frac{\mathrm{e}^{-ax}}{1-\mathrm{e}^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \,\mathrm{d}x = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!</math>, si <math> 0<\operatorname{Re}(s)<1\!</math>.

=== Application à la fonction gamma ===
En utilisant la définition de [[Weierstrass]] :
: <math> \Gamma(x)=\frac{\mathrm{e}^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} \mathrm{e}^{x/n} \!</math>,
équivalente à 
: <math> \ln\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!</math> (où <math> \zeta(k) \!</math> est la [[fonction zêta de Riemann]]), le ''master theorem'' donne alors :
: <math> \int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\ln\Gamma(1+x)}{x^2} \,\mathrm{d}x= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \!</math> (pour <math> 0<\operatorname{Re}(s)<1\!</math>).

En particulier, pour <math> s=\frac{1}{2} \!</math> et <math> s=\frac{3}{4} \!</math>, on obtient
: <math> \int_0^\infty \frac{\gamma x+\ln\Gamma(1+x)}{x^{5/2}} \,\mathrm{d}x =\frac{2\pi}{3} \zeta\left( \frac{3}{2} \right) </math>
: <math> \int_0^\infty \frac{\gamma x+\ln\Gamma(1+x)}{x^{9/4}} \,\mathrm{d}x = \sqrt{2} \frac{4\pi}{5} \zeta\left(\frac 5 4\right) </math>,
résultats hors de portée de [[Système de calcul formel|logiciels de calcul formel]] tels que [[Mathematica|Mathematica 7]]<ref name="rm" />.

== Généralisations ==
Des versions de ce théorème en dimensions supérieures apparaissent en [[physique quantique]] (par le biais de [[diagramme de Feynman| diagrammes de Feynman]])<ref>{{Lien web |langue=en |url=http://129.81.170.14/~vhm/papers_html/RMT-GMS.pdf |titre=A generalized Ramanujan Master Theorem applied to the evaluation of Feynman diagrams |prénom1=Iván |nom1=González |prénom2=V. H. |nom2=Moll |prénom3=Iván |nom3=Schmidt}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Ramanujan's master theorem|827555080}}
{{Reflist}}

== Liens externes ==
* {{MathWorld|nom_url=RamanujansMasterTheorem|titre=Ramanujan's Master Theorem}}
* {{en}} [http://arminstraub.com/files/publications/rmt.pdf Une présentation du master theorem et de ses applications], sur le site de Armin Straub.

{{Portail|théorie des nombres|analyse}}

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[[Catégorie:Théorème de la théorie des nombres]]
[[Catégorie:Théorème d'analyse]]