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[[Fichier:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique.jpg|vignette|Raisonnement mathématique sur un tableau au centre de mathématiques appliquées de l'[[École polytechnique (France)|École polytechnique]].]]
Les '''mathématiques''' (ou la '''mathématique''') sont un ensemble de [[Connaissance|connaissances]] [[Abstraction (philosophie)|abstrait]]es résultant de [[raisonnement]]s [[logique]]s appliqués à des objets divers tels que les [[Ensemble|ensembles]] mathématiques, les [[nombre]]s, les [[Géométrie|formes]], les [[Structure (logique mathématique)|structures]], les [[transformation géométrique|transformations]]{{, etc.}} ; ainsi qu'aux [[Relation (mathématiques)|relations]] et [[Opération (mathématiques)|opérations]] mathématiques qui existent entre ces objets. Elles sont aussi le domaine de [[recherche scientifique|recherche]] développant ces connaissances, ainsi que la [[discipline (spécialité)|discipline]] qui les enseigne.

Elles possèdent plusieurs branches telles que : l'[[arithmétique]], l'[[algèbre]], l'[[analyse (mathématiques)|analyse]], la [[géométrie]], la [[logique mathématique]], les [[Probabilités (mathématiques élémentaires)|probabilités]]{{, etc.}} Il existe également une certaine séparation entre les [[mathématiques pures]] et les [[mathématiques appliquées]].

Les mathématiques se distinguent des autres [[Science|sciences]] par un rapport particulier au [[Réalité|réel]] car l'observation et l'expérience ne s'y portent pas sur des objets physiques ; les mathématiques ne sont pas une [[Recherche empirique|science empirique]]. Elles sont de nature entièrement intellectuelle, fondées sur des [[axiome]]s déclarés [[vérité|vrais]] ou sur des [[postulat]]s provisoirement admis. Ces axiomes en constituent les [[Fondements des mathématiques|fondements]] et ne dépendent donc d'aucune autre proposition. Un [[énoncé]] mathématique – dénommé généralement, après être validé, [[théorème]], proposition, [[Lemme (mathématiques)|lemme]], fait, [[scholie]] ou [[wikt:corollaire|corollaire]] – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa [[vérité]] respecte une certaine structure rationnelle appelée [[Démonstration (logique et mathématique)|démonstration]], ou raisonnement logicodéductif. Un énoncé qui n'a pas encore fait l'objet d'une démonstration mais qui est néanmoins considéré [[Vraisemblance|plausible]] est appelé [[conjecture]].

Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent des applications dans les autres [[science]]s et dans différents domaines de la [[technique]]. C'est ainsi qu'[[Eugene Wigner]] déclare que la {{citation|déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature est une chose presque mystérieuse}}<ref>{{Ouvrage |langue=fr |auteur1=[[Max Tegmark]] |traducteur=Benoît Clenet |titre=Notre univers mathématique |sous-titre=En quête de la nature ultime du Réel |éditeur=Ekho |année=2018 |passage=569-570 |EAN=978-2-10-077981-9}}</ref>{{,}}<ref>{{Article |langue=en |auteur1=E. Wigner |titre={{Lien|The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences}} |périodique=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#C|Commun. Pure Appl. Math.]] |volume=13 |numéro=1 |pages=1-14 |année=1960 |lire en ligne=http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html}}.</ref>.

== Étymologie ==
Le mot « mathématique » vient du [[grec ancien|grec]] par l'intermédiaire du [[latin]]. Le mot {{lang|grc|μάθημα}} ({{lang|grc-Latn|''máthēma''}}) est dérivé du verbe {{lang|grc|μανθάνω}} ({{lang|grc-Latn|''manthánô''}}) (« apprendre »). Il signifie « science, connaissance » puis « mathématiques » de {{lang|grc|μαθήματα}} ({{lang|grc-Latn|''mathḗmata''}}) ; il a donné naissance à l'adjectif {{lang|grc|''μαθηματικός''}} ({{lang|grc-Latn|''mathematikos''}}), d'abord « relatif au savoir » puis « qui concerne les sciences mathématiques ». Cet adjectif a été adopté en latin ({{lang|la|''mathematicus''}}) et dans les langues romanes par la suite (« mathématique » en [[français]], {{lang|it|''matematica''}} en [[italien]]{{etc.}}), ainsi que dans de nombreuses autres langues<ref>{{en}} {{lang|en|''The Oxford Dictionary of English Etymology''}}, {{lang|en|[[Oxford University Press]]}}.</ref>.

La forme neutre pluriel de l'adjectif {{lang|grc|''μαθηματικός''}} a été substantivée en {{lang|grc|''τὰ μαθηματικά''}} ({{lang|grc-Latn|''tà mathēmatiká''}}) pour désigner les sciences mathématiques dans leur ensemble. Cette forme, utilisée par [[Aristote]], explique l'usage du pluriel pour le substantif en latin chez [[Cicéron]] ({{lang|la|''mathematica''}}) puis en français et dans certaines autres langues européennes.

L'usage du pluriel est un héritage de l'époque [[Antiquité|antique]], où le [[quadrivium]] regroupait les quatre arts dits « mathématiques » : l'arithmétique, la géométrie, l'astronomie et la musique. Le singulier (« la mathématique ») est parfois employé en français, mais « le mot donne alors au contexte une teinte d'[[archaïsme]] ou de [[Didactique|didactisme]] ». Toutefois, certains auteurs, à la suite de [[Nicolas Bourbaki]], insistent sur l'utilisation du singulier, pour montrer l'uniformisation apportée par l'approche axiomatique contemporaine : [[Jean Dieudonné]] semble être le premier à avoir insisté sur ce point, et le vaste traité de Bourbaki (dont il est l'un des principaux rédacteurs) s'intitule ''[[Éléments de mathématique]]'', tandis que, par contraste, le fascicule historique qui l'accompagne a pour titre ''[[Éléments d'histoire des mathématiques]]''. [[Cédric Villani]] préconise l'utilisation du singulier pour affirmer l'unité du domaine<ref>{{Lien web |langue=fr |nom=Cédric Villani |titre="Tout est mathématique", conférence Honoris Causa de Cédric Villani à HEC Paris |url=https://www.youtube.com/watch?v=rLFUnCUyPko |site=youtube.com |date=11 février 2015 |consulté le=17 décembre 2016 |page=1h33m27s}}</ref>.

Dans le [[registre familier]], et notamment scolaire, les mathématiques sont fréquemment désignées par l'[[apocope]] « maths », parfois écrite « math ».

== Histoire ==
{{Article détaillé|Histoire des mathématiques}}
[[Fichier:Euklid2.jpg|thumb|upright|Un portrait d'[[Euclide de Mégare]], qui représente en fait le mathématicien [[Euclide]].]]

Il est probable que l'être humain a développé des compétences mathématiques avant l'apparition de l'[[écriture]]. Les premiers objets reconnus attestant de [[Calcul (mathématiques)|compétences calculatoires]] sont les [[bâton de comptage|bâtons de comptage]], tels que l'[[os d'Ishango]] (en [[Afrique]]) datant de {{unité|20000|ans}} avant notre ère. Le développement des mathématiques en tant que connaissance transmise dans les premières [[civilisation]]s est lié à leurs applications concrètes : le [[commerce]], la gestion des [[récolte]]s, la mesure des [[surface (géométrie analytique)|surfaces]], la prédiction des événements [[astronomie|astronomiques]], et parfois l'exécution de rituels religieux{{refnec}}.

Les premiers développements mathématiques concernaient l'extraction des [[racine carrée|racines carrées]], des [[racine cubique|racines cubiques]], la résolution d'[[équation polynomiale|équations polynomiales]], la [[trigonométrie]], le [[Fraction (mathématiques)|calcul fractionnaire]], l'arithmétique des [[entier naturel|entiers naturels]]… Ils s'effectuèrent dans les [[Civilisation|civilisations]] [[Empire d'Akkad|akkadienne]], [[Babylone|babylonienne]], [[Égypte|égyptienne]]<ref>{{fr}} {{lang|fr|''Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problèmes, 2014''}}, {{lang|fr|Safran (éditions)}}.</ref>, [[chine|chinoise]] ou encore [[civilisation de la vallée de l'Indus|de la vallée de l'Indus]].

Dans la [[Grèce antique|civilisation grecque]], les mathématiques, influencées par les travaux antérieurs et les spéculations philosophiques, recherchent davantage d'abstraction. Les notions de [[Démonstration (logique et mathématique)|démonstration]] et de définition [[axiome|axiomatique]] sont précisées. Deux branches se distinguent, l'[[arithmétique]] et la [[géométrie]]. Au {{-s-|III|e}}, les ''[[Éléments d'Euclide]]''<ref>{{en}} [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html {{lang|en|''Euclid's Elements''}}] (site interactif).</ref> résument et ordonnent les connaissances mathématiques de la [[Grèce]]. [[Hypatie|Hypathie]] (née entre 355 et 370 - 415, [[Alexandrie]]), est la [[Liste des premières femmes par fonction ou titre|première]] mathématicienne dont la vie est bien documentée<ref>{{Lien web |langue=en-AU |titre=Hypatia of Alexandria |url=https://www.abc.net.au/radionational/programs/ockhamsrazor/hypatia-of-alexandria/3565116 |site=ABC Radio National |date=1998-02-17 |consulté le=2022-03-11}}</ref>.

[[Fichier:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|thumb|upright|left|Une page du traité de [[Al-Khwārizmī]].]]
Les [[mathématiques chinoises]] et [[mathématiques indiennes|indiennes]] (plus précisément de la [[Civilisation de la vallée de l'Indus|vallée de l'Indus]]) sont parvenues en occident par la [[civilisation islamique]] à travers la conservation de l'héritage grec et l'interfécondation avec les découvertes, notamment en matière de [[numération|représentation des nombres]]{{référence nécessaire}}. Les travaux mathématiques sont considérablement développés tant en [[trigonométrie]] (introduction des fonctions trigonométriques) qu'en [[arithmétique]]. L'[[Combinatoire|analyse combinatoire]], l'[[analyse numérique]] et l'[[algèbre|algèbre polynomiale]] sont inventées et développées.

Durant la « [[Renaissance du XIIe siècle|renaissance du {{s-|XII|e}}]] », une partie des textes grecs et arabes sont étudiés et [[Traductions latines du XIIe siècle|traduits en latin]]. Le savoir est unifié dans la [[scolastique]], réconciliation du [[christianisme]] et de la philosophie d'[[Aristote]]. La scolastique est alors enseignée dans les universités européennes à partir du {{s|XIII}}. La [[recherche mathématique]] se concentre en Europe.

Au {{s|XVI|e}} se développe - avec notamment [[Pierre de La Ramée]] - l'idée qu'il existe une « science universelle » ({{lang|la|''[[mathesis universalis]]''}}) sur laquelle il serait possible de fonder l'ensemble des connaissances. Parallèlement, la [[scolastique]] fondée sur une [[Spéculation (philosophie)|philosophie spéculative]] perd de son prestige et l'[[aristotélisme]] est battu en brèche, à l'occasion de la [[Révolution copernicienne|controverse ptoléméo-copernicienne]] du {{sp-|XVI|au|XVIII}}, remettant en cause le postulat antique et médiéval selon lequel la Terre est au centre de l'univers physique ([[géocentrisme]]).

Au {{XVIIe siècle}}, [[Galilée (savant)|Galilée]] se rend compte que les mathématiques sont un outil approprié pour décrire le monde ''physique'', ce qu'il résume dans son ouvrage ''[[L'Essayeur]]'' publié en 1623 en affirmant que « le livre de l'Univers est écrit en [[langage mathématique|langue mathématique]] ».
Les mathématiques constituent donc, avec la [[Méthode scientifique|démarche expérimentale]], l'un des deux piliers du développement de la [[Histoire des sciences|science moderne]]. [[René Descartes|Descartes]] voit dès [[1629]], dans les ''[[Règles pour la direction de l'esprit]]'', les possibilités qu'offrent les mathématiques pour jouer ce rôle<ref>[http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/05/25/61/PDF/16_Paty.tif.pdf Michel Paty, {{lang|la|mathesis universalis}} et intelligibilité chez Descartes {{pdf}}].</ref>. Descartes souligne, dans le ''[[Discours de la méthode]]'', l'attrait des mathématiques, « à cause de la certitude et de l'évidence de leurs raisons ». Le [[calcul algébrique]] se développe alors à la suite des travaux de [[François Viète|Viète]] et de [[René Descartes|Descartes]]. [[Isaac Newton|Newton]]{{Note|groupe=N|texte=[[Émilie du Châtelet]] demeure la seule personne à avoir traduit en français cet ouvrage et sa traduction est encore utilisée de nos jours ([https://www.futura-sciences.com/sciences/personnalites/physique-emilie-chatelet-873/#bio cf. Bio sur Futurascience])}} et [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]], indépendamment, inventent le [[calcul infinitésimal]].

[[Fichier:Hilbert.jpg|thumb|upright|[[David Hilbert]], mathématicien allemand.]]
Au cours du {{XVIIIe siècle}} et du {{XIXe siècle}}, les mathématiques connaissent de forts développements avec l'étude systématique des [[structure algébrique|structures]], à commencer par les [[groupe (mathématiques)|groupes]] issus des travaux de [[Évariste Galois|Galois]] sur les équations polynomiales, et les [[anneau unitaire|anneaux]] introduits par [[Richard Dedekind|Dedekind]]. [[Wang Zhenyi]], développe une théorie permettant de mieux comprendre les [[Éclipse lunaire|éclipses lunaires]]<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Rachel Ignotofsky |titre=Women in Science: 50 Fearless Pioneers Who Changed the World |éditeur=Ten Speed Press |date=2016 |pages totales=128 |passage=12-13 |isbn=1607749769 |consulté le=14 mars 2022}}</ref>.

Le {{s-|XIX}} voit avec [[Georg Cantor|Cantor]] et [[David Hilbert|Hilbert]] le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des [[fondements des mathématiques|fondements mathématiques]]<ref>[http://www.canal-u.tv/index.php/canalu/producteurs/universite_de_tous_les_savoirs/dossier_programmes/les_conferences_de_l_annee_2000/perspectives_sur_les_mathematiques_actuelles/les_fondements_des_mathematiques/ Conférence sur les fondements des mathématiques], par [[Jean-Yves Girard]], 17 juin 2002, [[Université de tous les savoirs]].</ref>. Ce développement de l'axiomatique conduira plusieurs [[mathématicien]]s du {{s-|XX}} à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage, la [[logique mathématique]].

Le {{s-|XX}} connaît un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses branches ([[théorie de la mesure]], [[théorie spectrale]], [[théorie du chaos]], [[topologie algébrique]] et [[géométrie algébrique]], par exemple){{Note|groupe=N|texte=[[Maryam Mirzakhani]], connue pour ses travaux en topologie et en géométrie (notamment en géométrie des surfaces de Riemann), est la seule femme récipiendaire de la médaille Fields (13 août 2014).}},{{Note|groupe=N|texte=[[Mary Lucy Cartwright]], mathématicienne britannique, est l'une des pionnières de ce qui sera connu plus tard comme la [[théorie du chaos]].}}. L'[[informatique]] a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un outil appréciable pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a conduit à la [[modèle mathématique|modélisation]] et à la [[numérisation]].

== Domaines ==
Des découpages des mathématiques en deux, trois ou quatre domaines différents sont proposés : algèbre et analyse, ou bien algèbre, analyse et géométrie, ou bien [[algèbre]], [[Analyse (mathématiques)|analyse]], [[géométrie]] et [[probabilité]]s. De tels découpages ne sont pas évidents et les frontières les séparant sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le [[Dernier théorème de Fermat|théorème de Fermat-Wiles]]{{Note|groupe=N|texte=Lors de sa tentative révolutionnaire d’affronter le dernier théorème de Fermat, [[Sophie Germain]] démontre le théorème qui porte son nom{{snd}} le [[théorème de Sophie Germain]].}}, établi en 1994, en est un exemple. Bien que l'énoncé en soit formulé de manière dite arithmétique, la preuve nécessite de profondes compétences en analyse et en géométrie.

=== Domaines fondamentaux ===
L'[[algèbre]] est l'ensemble des méthodes mathématiques visant à étudier et développer les [[structure algébrique|structures algébriques]] et à comprendre les relations qu'elles entretiennent entre elles. L'algèbre, au sens actuel, trouve historiquement ses origines dans la compréhension des [[Équation polynomiale|équations polynomiales]] et dans les développements des méthodes de résolution : les recherches dans ces domaines ont suscité l'émergence des notions qui fondent la [[théorie des groupes]], la [[théorie de Galois]] ou encore la [[géométrie algébrique]].

En un sens très restrictif, l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] est la partie des mathématiques s'intéressant aux questions de régularité des applications d'une variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'[[analyse réelle]] ou d'[[analyse complexe]]. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s'y apparentent, et un certain nombre de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.

La [[géométrie]] tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'algèbre.

Les [[probabilité]]s tentent de formaliser tout ce qui relève de l'aléatoire. Bien qu'elles soient anciennes, elles ont connu un renouveau avec la [[théorie de la mesure]].

Les [[statistique]]s consistent à recueillir, traiter et synthétiser un ensemble de données, généralement nombreuses.

=== Exemples de domaines transversaux ===
[[Fichier:Carl Jacobi2.jpg|thumb|upright|[[Charles Gustave Jacob Jacobi]], connu pour ses développements en [[théorie analytique des nombres]], entre analyse complexe et arithmétique.]]

De nombreux domaines de recherche se situent transversalement par rapport au découpage donné ci-dessus :
* Les [[mathématiques discrètes]] (associées à l'essor de l'[[informatique]]) sont l'exemple le plus typique de découpage transversal car elles dressent un clivage dans presque toutes les branches des mathématiques ([[Groupe fini|groupes finis]], probabilités discrètes, [[géométrie discrète]], [[optimisation linéaire en nombres entiers]], nouvelles branches de l'algèbre : [[monoïde]]s, [[dioïde]]s…).
* La [[théorie des nombres]] (qui généralise l'[[arithmétique élémentaire]]) utilise tout autant des [[théorie analytique des nombres|méthodes analytiques]] que des [[théorie algébrique des nombres|méthodes algébriques]] avancées, pour résoudre des problèmes qui peuvent souvent être énoncés de façon élémentaire.
* La [[topologie algébrique]] tend à associer à des objets géométriques de natures diverses des invariants de nature algébrique. Elle se situe donc à la frontière de la géométrie différentielle et de la géométrie algébrique. Toutefois, pour des objets géométriques présentant une certaine structure analytique, ces invariants algébriques peuvent parfois se définir ou se comprendre en faisant uniquement appel à des outils essentiellement d'analyse. La majeure partie de la recherche actuelle en topologie algébrique tend à oublier la structure topologique et à réduire les questions à des problèmes essentiellement d'algèbre.
* En un certain sens, les [[Théorie des systèmes dynamiques|systèmes dynamiques]] se situent entre la géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemple), des probabilités (itération d'une [[bijection]] mesurable), ou de la géométrie ([[Espace homogène|espaces homogènes]]). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométrique, tout en utilisant des outils avancés d'[[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], de [[théorie des processus]], de géométrie différentielle{{etc.}} Des résultats d'arithmétique peuvent aussi être obtenus par des considérations relevant des systèmes dynamiques.
* La [[géométrie différentielle]] se situe à la frontière de la géométrie et de l'analyse, et ce à plusieurs égards. La définition de ses objets d'étude fait appel aux théorèmes de calcul différentiel, mais l'étude elle-même est grande consommatrice d'analyse. Des liens entre géométrie différentielle et probabilités existent aussi.
* La [[géométrie algébrique]] est l'exemple d'un domaine en un sens strict à la rencontre de l'algèbre et de la géométrie. Elle trouve ses origines dans les travaux sur la résolution des équations cubiques. Le premier objet d'étude de la géométrie algébrique est la variété algébrique, lieu d'annulation d'équations polynomiales : il a une signification à la fois algébrique et géométrique. Ce domaine connut un fort développement au {{s-|XIX|e}}, avec notamment le [[théorème de Bézout]]. Les développements récents initiés par [[Alexandre Grothendieck]] connaissent de nombreuses applications en théorie des nombres, ce qui constitue la [[géométrie arithmétique]].
* La [[Opérateur (mathématiques)|théorie des opérateurs]] relève plutôt de l'analyse, ou encore de l'[[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] (par exemple, pour les problèmes de régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques, notamment le [[Équation de Poisson|problème de Poisson]]). Mais cette théorie connaît de nombreuses applications en géométrie différentielle où le langage des opérateurs s'avère particulièrement adapté. Le développement de la théorie des opérateurs a fait appel à des méthodes de nature probabiliste, notamment pour ce qui s'appelle le [[calcul fonctionnel]]. Cette théorie trouve des extensions en [[géométrie non commutative]]. Les objets d'études se trouvent être des généralisations d'algèbres d'opérateurs.

=== Mathématiques appliquées et pures ===
[[Fichier:FEM car crash1.jpg|thumb|Simulation numérique d'un crash d'une voiture. - L'[[analyse numérique]] : domaine applicatif des mathématiques.]]
{{Article détaillé|mathématiques appliquées|mathématiques pures}}

On fait parfois la distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées :
* Les mathématiques pures ont pour objectif le développement des connaissances mathématiques pour elles-mêmes sans aucun intérêt {{lang|la|''a priori''}} pour les applications, sans aucune motivation d'autres sciences. L'objet de la recherche mathématique peut ainsi être une meilleure compréhension d'une série d'exemples particuliers abstraits, sur lesquels s'appuie et se développe la réflexion mathématique, la généralisation d'un aspect d'une discipline ou la mise en évidence de liens entre diverses disciplines des mathématiques.
* Au contraire, les mathématiques appliquées sont la mise en œuvre des connaissances mathématiques pour les besoins de formalisme d'autres sciences ([[physique]], [[informatique]], [[biologie]], [[astrophysique]]…), et pour des applications industrielles (ingénierie par exemple). Elles tendent à développer ces outils mathématiques pour répondre à ces demandes, pour résoudre des problèmes posés en termes concrets.

En France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche, sans forcément hypothéquer les possibilités d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathématiciens. L'évolution des domaines et de leurs objets d'étude peut également contribuer à déplacer une éventuelle frontière ou notion de séparation. Selon une boutade d'[[Ian Stewart (mathématicien)|Ian Stewart]], auteur de nombreux ouvrages portant sur les mathématiques populaires, dans son œuvre intitulée ''Mon cabinet des curiosités mathématiques'', {{citation|La relation entre les mathématiciens purs et appliqués est fondée sur la confiance et la compréhension. Les mathématiciens purs ne font pas confiance aux mathématiciens appliqués, et les mathématiciens appliqués ne comprennent pas les mathématiciens purs}}<ref>«[https://books.google.fr/books?id=oW6Xeo8EmDgC&lpg=PP1&hl=fr&pg=PT79#v=onepage&q&f=false Relations between pure and applied mathematicians are based on trust and understanding. Pure mathematicians do not trust applied mathematicians, and applied mathematicians do not understand pure mathematicians]», in ''Professor Stewart's Cabinet of Mathematical Curiosities''</ref>. Les mathématiques appliquées, en un sens mal définies, comprennent entre autres l'[[analyse numérique]], les [[statistique]]s appliquées et la théorie de l'[[Optimisation (mathématiques)|optimisation mathématique]]. Certains domaines de recherche des mathématiques sont nés à la frontière avec d'autres sciences (voir ci-dessous).

== Philosophie ==
[[Fichier:Carl_Friedrich_Gauss.jpg|thumb|upright|[[Carl Friedrich Gauss|Gauss, « le prince des mathématiciens »]].]]
{{Article détaillé|Philosophie des mathématiques}}

Les questions traditionnelles que se pose la philosophie au sujet des mathématiques peuvent se classer selon trois thèmes :
* la nature des objets mathématiques : s'ils existent par eux-mêmes, ou bien s'ils sont des constructions mentales ? Quelle est la nature d'une [[Démonstration (logique et mathématiques)|démonstration logique ou mathématique]] ? Quels sont les liens entre la logique et les mathématiques ?
* l'origine de la connaissance mathématique : d'où vient la vérité des mathématiques, et de quelle nature est-elle ? Quelles sont les conditions pour que des mathématiques existent, et leur lien avec l'être humain ? Quels sont les impacts de la structure de la pensée humaine sur la forme et le développement des mathématiques actuelles ? Les limites qu'elle induit ?
* la relation des mathématiques avec la réalité : quelle relation les mathématiques abstraites entretiennent-elles avec le monde réel ? Quels sont les liens avec les autres sciences ?

Les mathématiques sont parfois surnommées « reine des sciences ». Cependant, l'expression remonte à [[Carl Friedrich Gauss]] : {{lang|la|''Regina Scientiarum''}}<ref>{{en}} [http://www.crystalinks.com/mathematics.html {{lang|en|''Mathematics''}}], sur Crystalinks.com.</ref> et le mot {{lang|la|''scientiarium''}} signifie en réalité « des [[connaissance]]s ».

== Fondements ==
[[Fichier:Aristotle_by_Raphael.jpg|thumb|upright=0.6|[[Aristote]] : le fondateur de la [[logique des prédicats|logique formelle]] (peinture par [[Raphaël (peintre)|Raphaël]]).]]
{{Article détaillé|Fondements des mathématiques}}

Censément, les mathématiques utilisent la [[logique]] comme outil pour démontrer des [[vérité]]s organisées en [[théorie]]s. Une première analyse laisse espérer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement sûr, une réduction toujours plus poussée des bases, les [[axiome]]s, sur lesquelles s'échafaude l'édifice mathématique, finissent par mener à un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant.

D'une part, en tant qu'activité humaine, les mathématiques s'éloignent du modèle d'une construction suivant scrupuleusement les lois de la logique et indépendante du réel. Citons un fait et un phénomène pour illustrer cela. Tout d'abord, les démonstrations que rédigent les mathématiciens ne sont pas formalisées au point de suivre en détail les lois de la logique, car cela est impossible en un temps raisonnablement court. Comme pour n'importe quelle science, l'acceptation de la véracité d'une démonstration, et donc d'un théorème, repose {{lang|la|''in fine''}} sur un [[consensus]] de spécialistes au sujet de la validité de l'approximation de démonstration formelle proposée (voir ''[[La Structure des révolutions scientifiques]]'' de [[Thomas Samuel Kuhn]]). L'avènement de l'[[informatique]] a cependant changé la donne, au moins marginalement, puisque celle-ci permet de formaliser et de vérifier des démonstrations de plus en plus complexes<ref>{{en}} Voir le [http://www.ams.org/notices/200811 numéro spécial de décembre 2008] des {{lang|en|''[[Notices of the American Mathematical Society]]''}} consacré à la démonstration formelle.</ref>.

[[Fichier:Augustin_Louis_Cauchy.JPG|left|thumb|upright|[[Augustin Louis Cauchy]], l'un des premiers à donner une fondation rigoureuse à l'[[analyse (mathématiques)|analyse]].]]

Cependant l'activité mathématique est loin de se réduire à la recherche de démonstrations et à la vérification de celles-ci. La confiance que la communauté mathématique place dans un de ses membres qui propose un résultat nouveau intervient dans la réception qu'aura ce résultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu ou modifie la façon de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les [[géométrie non euclidienne|géométries non euclidiennes]] au {{s-|XIX|e}}, durant lequel les travaux de [[Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski|Lobatchevski]] ont été largement ignorés ; ou bien, dans un autre ordre d'idée, la difficulté de la réception des travaux du jeune républicain [[Évariste Galois|Galois]] au début du même siècle, notamment par [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]<ref>Nicolas Bouleau, [http://publish.edu.uwo.ca/cmesg/pdf/CMESG2004.pdf Actes du Groupe canadien d'études en didactique des mathématiques {{pdf}}], {{nobr|page 24}}.</ref>. La sociologie des mathématiques étudie de tels phénomènes (voir [[sociologie des sciences]]).

D'autre part, la solidité même des bases ne peut reposer sur les seules mathématiques. En effet les [[Théorèmes d'incomplétude de Gödel|théorèmes d'incomplétude]], démontrés par [[Kurt Gödel]] dans la première moitié du {{s-|XX|e}}, montrent que, contrairement à [[programme de Hilbert|ce qu'espérait]] [[David Hilbert]], il est impossible de réduire formellement les bases des mathématiques en un système dont la sûreté se démontre à partir de celles-ci, et cela entraîne que certaines propriétés considérées « vraies » resteront inaccessibles à la démonstration, quels que soient les axiomes choisis.

== Enseignement ==
{{Article détaillé|Enseignement des mathématiques}}

L'enseignement des mathématiques peut aussi bien désigner l'apprentissage des notions mathématiques fondamentales ou élémentaires de base que l'apprentissage et l'initiation à la recherche (enseignement supérieur des mathématiques). Suivant les époques et les lieux, les choix des matières enseignées et les méthodes d'enseignement changent ([[mathématiques modernes]], [[méthode de Moore]], [[éducation classique]]…). Dans certains pays, le choix des programmes [[École|scolaires]] dans l'éducation publique est fait par des institutions officielles. Malgré les [[Liste de mathématiciennes|contributions des mathématiciennes]] à travers les siècles, depuis la fin des années 1990, la ''National Science Foundation'' aux États-Unis note un déclin de la part relative des diplômes de premier cycle octroyés à des femmes en mathématiques ainsi que dans d'autres disciplines des « STGM » (Sciences, technologies, génie et mathématiques)<ref>{{Lien web |langue=en |titre=Women, Minorities, and Persons with Disabilities in Science and Engineering: 2019 {{!}} NSF - National Science Foundation |url=https://ncses.nsf.gov/pubs/nsf19304/ |site=ncses.nsf.gov |consulté le=2022-03-14}}</ref>. Plusieurs associations œuvrent pour la promotion des femmes en mathématiques. Aux États-Unis, l'''[[Association for Women in Mathematics]]'' est fondée en 1971 par [[Mary Gray]], [[Alice T. Schafer]] et [[Lenore Blum]]. En France par exemple, l'organisme [[Femmes et Mathématiques]] est soutenue dès sa création en 1987 par [[Huguette Delavault]].

[[Cédric Villani]], dans une [[conférence TED]], rappelle une difficulté importante que l'enseignement des mathématiques ne résoudra pas à lui seul : le processus d'une découverte mathématique ne relève pas lui-même des mathématiques<ref>{{YouTube|titre=TEDxParis 2012 - Cedric Villani - La naissance des idées |id=crM1Z-x-o_Q |date=2012-10-25|chaîne=TEDx Talks|consulté le=02-08-2020}}.</ref>. [[George Pólya]] indiqua en revanche vers le milieu du {{s-|20}} quelques techniques permettant de résoudre des problèmes existants, dans son livre ''Comment poser et résoudre un problème'' (« ''How to solve it'' »).

Vers la même époque quelques ouvrages proposaient d'acquérir les mécanismes de résolution par une multitude d'exercices proposés avec leur correction détaillée en regard. En France et pour les mathématiques, il y eut dans le secondaire les ouvrages de Pierre Louquet. Dans le monde anglophone et concernant un grand nombre de disciplines, la série des {{lien|Schaum's Outlines}} poursuit ce but.

Aujourd'hui, de nombreuses études permettent de comprendre les facteurs qui ont une influence sur l'enseignement des mathématiques. Des études menées dans des pays industrialisés ont montré que les enfants de parents plus instruits suivent davantage de cours de mathématiques et de sciences dans le deuxième cycle du secondaire et réussissent mieux<ref name="+1">{{Article |langue=en |titre=PISA 2015 Results (Volume I) (Summary in Spanish) |périodique=PISA 2015 Results (Volume I) |date=2016-12-06 |issn=1996-3777 |doi=10.1787/3a838ef3-es |lire en ligne=http://dx.doi.org/10.1787/3a838ef3-es |consulté le=2021-05-07}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article |langue=en |prénom1=Kathleen M. |nom1=Jodl |prénom2=Alice |nom2=Michael |prénom3=Oksana |nom3=Malanchuk |prénom4=Jacquelynne S. |nom4=Eccles |titre=Parents' Roles in Shaping Early Adolescents' Occupational Aspirations |périodique=Child Development |volume=72 |numéro=4 |pages=1247–1266 |date=2001-08-XX |issn=0009-3920 |issn2=1467-8624 |doi=10.1111/1467-8624.00345 |lire en ligne=http://doi.wiley.com/10.1111/1467-8624.00345 |consulté le=2021-05-07}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article |auteur1=Simpkins, S. D., David-Kean, P. et Eccles, J. S. |titre=Math and science motivation: A longitudinal examination of the links between choices and beliefs. |périodique=Developmental Psychology |volume=42 |numéro=1 |pages=70-83 |date=2006 |doi=10.1037/0012-1649.42.1}}.</ref>. D’autres études qui comparent les multiples influences sur les performances des enfants en mathématiques ont constaté que c’est le niveau d’instruction des mères qui a l’effet le plus grand<ref>{{Article |langue=en |prénom1=E. C. |nom1=Melhuish |prénom2=K. |nom2=Sylva |prénom3=P. |nom3=Sammons |prénom4=I. |nom4=Siraj-Blatchford |titre=THE EARLY YEARS: Preschool Influences on Mathematics Achievement |périodique=Science |volume=321 |numéro=5893 |pages=1161–1162 |date=2008-08-29 |issn=0036-8075 |issn2=1095-9203 |doi=10.1126/science.1158808 |lire en ligne=https://www.sciencemag.org/lookup/doi/10.1126/science.1158808 |consulté le=2021-05-07}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article |langue=en |prénom1=Selcuk R. |nom1=Sirin |titre=Socioeconomic Status and Academic Achievement: A Meta-Analytic Review of Research |périodique=Review of Educational Research |volume=75 |numéro=3 |pages=417–453 |date=2005-09-XX |issn=0034-6543 |issn2=1935-1046 |doi=10.3102/00346543075003417 |lire en ligne=http://journals.sagepub.com/doi/10.3102/00346543075003417 |consulté le=2021-05-07}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |titre=Déchiffrer le code : L’éducation des filles et des femmes aux sciences, technologie, ingénierie et mathématiques (STEM) |lieu=Paris |éditeur=UNESCO |date=2017 |passage=47 |isbn=978-92-3-200139-9 |lire en ligne=https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000259816}}.</ref>. Il a été montré qu’un statut socioéconomique plus élevé est associé à des scores supérieurs en mathématiques des garçons comme des filles. L’étude PISA 2015 a constaté qu’une augmentation d’une unité de l’[[Programme_international_pour_le_suivi_des_acquis_des_%C3%A9l%C3%A8ves|indice PISA]] de statut économique, social et culturel se traduisait par une augmentation de 38 points de score en sciences et de 37 points en mathématiques<ref name="+1" />. Cette augmentation est peut-être liée au fait que les parents fournissent un supplément d’aide à l’apprentissage à l’école et à la maison, avec des attentes scolaires plus élevées, et des convictions moins traditionnelles concernant les rôles de genre et les parcours de carrière dans ces contextes<ref>{{Article |langue=en |prénom1=Harriet R. |nom1=Tenenbaum |prénom2=Campbell |nom2=Leaper |titre=Parent-child conversations about science: The socialization of gender inequities? |périodique=Developmental Psychology |volume=39 |numéro=1 |pages=34–47 |date=2003 |issn=1939-0599 |issn2=0012-1649 |doi=10.1037/0012-1649.39.1.34 |lire en ligne=http://doi.apa.org/getdoi.cfm?doi=10.1037/0012-1649.39.1.34 |consulté le=2021-05-07}}.</ref>. L’intérêt des enfants pour les [[STEM (disciplines)|STEM]] et leur réussite dans les STEM peuvent aussi être renforcés par les dispositions prises par les parents pour fournir un soutien éducatif, y compris un [[tutorat]] privé<ref>{{Ouvrage |titre=Déchiffrer le code : L'éducation des filles et des femmes aux sciences, technologie, ingénierie et mathématiques (STEM) |lieu=Paris |éditeur=UNESCO |date=2017 |isbn=978-92-3-200139-9 |lire en ligne=https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000259816}}.</ref>.

Une carence d'éducation mathématique induit chez les adolescents des niveaux d'inhibiteurs cérébraux réduits dans une zone clé pour le raisonnement et l'apprentissage. En effet, une étude montre que la pratique des raisonnements mathématiques chez l'adolescent augmente la concentration d'[[acide γ-aminobutyrique]] (GABA), un [[neurotransmetteur]] inhibiteur, crucial pour la [[plasticité neuronale]], dans le [[gyrus frontal moyen]], une zone du cerveau impliquée dans le [[raisonnement]], la [[résolution de problème]], la [[Mémoire (psychologie)|mémoire]] et l'[[apprentissage]]<ref>{{Article |langue=en |auteur1=George Zacharopoulos |auteur2=Francesco Sella |auteur3=Roi Cohen Kadosh |titre=The impact of a lack of mathematical education on brain development and future attainment |périodique=[[Proceedings of the National Academy of Sciences]] |volume=118 |numéro=24 |date=2021-06-15 |issn=0027-8424 |doi=10.1073/pnas.2013155118 |lire en ligne=https://www.pnas.org/content/118/24/e2013155118 |consulté le=17 août 2021}}.</ref>. Selon {{Lien|langue=en|trad=Roi Cohen Kadosh}}, professeur de neurosciences cognitives à l’[[université d'Oxford]] et un des auteurs de l'étude, {{Citation|Tous les adolescents n’apprécient pas les mathématiques, nous devons donc rechercher des alternatives possibles, telles que l’entraînement à la logique et au raisonnement qui impliquent la même zone du cerveau que les mathématiques}}<ref>{{Lien web |titre=Les maths au lycée : primordiales pour la santé cérébrale |url=https://destinationsante.com/les-maths-au-lycee-primordiales-pour-la-sante-cerebrale.html |site=Destination Santé |date=2021-11-15}}.</ref>.

== Pratique ==
=== Activité de recherche ===
{{Article détaillé|recherche mathématique}}

La recherche mathématique ne se limite pas qu'à la démonstration des [[théorème]]s. L'une des méthodes les plus fructueuses de recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines {{lang|la|''a priori''}} éloignés en mettant en lumière des phénomènes analogues (par exemple, la [[géométrie euclidienne]] et les [[équation différentielle linéaire|équations différentielles linéaires]]). L'identification de phénomènes analogues peut conduire à vouloir adapter des résultats d'un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration en termes équivalents, à tenter une [[axiomatisation]] d'un objet (par exemple, ce pourrait être la notion d'[[espace vectoriel]]) qui regrouperait les deux domaines… Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d'étude par lui-même. Dans certains cas, l'identification d'objets {{lang|la|''a priori''}} différents devient nécessaire : le langage des catégories permet de faire ce genre de choses.

Une autre méthode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des propriétés qu'on pensait ou espérait être vraies ([[conjecture]]s). Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d'amener à les formaliser. Par exemple, en [[géométrie riemannienne]], l'étude des surfaces (donc des objets en {{nobr|dimension 2}}) et de leurs [[géodésique]]s a finalement conduit [[Dmitri Anossov|Anosov]] à formaliser le [[Système d'Anosov|difféomorphisme d'Anosov]], une transformation possédant d'intéressantes propriétés dynamiques.

=== Langage ===
{{Article détaillé|Langage mathématique}}

Les mathématiques utilisent un langage qui leur est propre. Certains termes du langage courant, comme [[Groupe (mathématiques)|groupe]], [[anneau unitaire|anneau]], [[Corps commutatif|corps]] ou [[variété algébrique|variété]] peuvent être empruntés et redéfinis pour désigner des objets mathématiques. Mais souvent des termes sont formés et introduits selon les besoins : [[isomorphisme]], [[topologie]], [[itération]]… Le nombre élevé de ces termes rend difficile la compréhension des mathématiques par les non mathématiciens.

Le langage mathématique s'appuie aussi sur l'usage de formules. Elles comportent des [[Table de symboles mathématiques|symboles]], les uns en rapport avec le [[calcul des propositions|calcul propositionnel]] comme le connecteur binaire d'[[implication (logique)|implication]] <math>\Rightarrow</math> ou le connecteur unaire de [[Négation logique|négation]] <math>\neg</math>, d'autres en rapport avec le [[calcul des prédicats]], comme le [[quantificateur universel]] <math>\forall</math> ou le [[quantificateur existentiel]] <math>\exists</math>. La plupart des notations utilisées au {{s-|XXI|e}} ont été introduites après le {{s-|XVII|e}} seulement.

Il existe un langage mathématique qui décrit les mathématiques. En ce sens, on dit qu'il s'agit d'un [[métalangage]] : il s'agit de la [[logique mathématique]].

== Rapport avec les autres sciences ==
Les mathématiques entretiennent des rapports particuliers avec toutes les [[science]]s, au sens large du terme. L'analyse de données (interprétation graphique, données statistiques…) fait appel à des compétences mathématiques variées. Mais des outils avancés de mathématiques interviennent dans les [[Modèle mathématique|modélisations]].

Toutes les [[Sciences dures|sciences dites dures]], à l'exception des mathématiques, tendent à une compréhension du monde réel. Cette compréhension passe par la mise en place d'un modèle, prenant en compte un certain nombre de paramètres considérés comme causes d'un phénomène. Ce modèle constitue un objet mathématique, dont l'étude permet une meilleure compréhension du phénomène étudié, éventuellement une prédiction qualitative ou quantitative quant à son évolution future.

La modélisation fait appel à des compétences relevant essentiellement de l'analyse et des probabilités, mais les méthodes algébriques ou géométriques s'avèrent utiles.

=== Physique ===
[[Fichier:Pendule schema.gif|thumb|Schéma de pendule.]]
Les mathématiques sont nées d'une volonté de compréhension de l'espace ambiant : la géométrie naît de la modélisation de formes idéalisées, et l'arithmétique des besoins des gestions des quantités. [[Astronomie]] et [[géométrie]] se sont longtemps confondues, jusque dans les civilisations islamiques. Les mathématiques et la physique, après s'être différenciées, ont gardé d'étroits liens. Dans l'histoire contemporaine de ces deux sciences, les mathématiques et la physique se sont influencées mutuellement. La physique moderne use abondamment des mathématiques, en faisant une modélisation systématique pour comprendre les résultats de ses expériences :
* Cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés. Ainsi l'usage des métriques en [[géométrie différentielle]] est un outil essentiel sur lequel repose notamment la [[relativité générale]], développée par le mathématicien [[Hermann Minkowski|Minkowski]] puis par le physicien [[Albert Einstein|Einstein]]. Cet usage est aussi utilisé dans les autres théories post-newtoniennes.
* Cette modélisation encourage les mathématiciens à s'intéresser davantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique.
* Cette modélisation demande parfois au contraire des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques. Ainsi, [[Isaac Newton]] a-t-il développé le [[Dérivée|calcul différentiel]] pour pouvoir écrire les lois (classiques) du mouvement ; s'intéressant à la [[équation de la chaleur|diffusion de la chaleur dans les corps]], [[Joseph Fourier]] découvre les [[série de Fourier|séries qui portent son nom]], porte ouverte sur la [[théorie de Fourier]]. Plus récemment, citons les problèmes de quantification géométrique, d'intégrales de [[Richard Feynman|Feynman]], de polynômes de [[Simon Donaldson|Donaldson]]…

Un domaine de recherche spécifique, la [[physique mathématique]], tend précisément à développer les méthodes mathématiques mises à l'usage de la physique.

Le lien étroit entre mathématiques et physique se reflète dans l'enseignement supérieur des mathématiques. L'enseignement de la physique fait appel à des cours de mathématiques pour physiciens ; et il n'est pas rare que les cursus de mathématiques dans les universités incluent une initiation facultative à la physique.

Néanmoins, [[Albert Einstein]] est un des premiers à [[Albert Einstein#Einstein et les mathématiques|relativiser le domaine des mathématiques]] en rappelant que la physique en utilise ''plusieurs'' formes, au gré de ses besoins, et non une seule. Sa [[Relativité générale|Théorie de la relativité générale]] utilise par exemple une [[géométrie non euclidienne]] formalisée par [[Hermann Minkowski|Minkowski]]. Il énoncera : « En tant que se rapportant à la réalité, la [[géométrie euclidienne]] n'est pas exacte. En tant qu'exacte, elle ne se rapporte pas à la réalité »<ref>Albert Einstein, ''La Géométrie et l'expérience'', conférence berlinoise de 1921</ref>. [[Yvonne Choquet-Bruhat]] est la première à apporter en 1952 la preuve mathématique de l'existence de solutions à l'[[équation d'Einstein]]<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=Yvonne |nom1=Choquet-Bruhat |titre=General Relativity and the Einstein Equations |éditeur=OUP Oxford |date=2009 |isbn=978-0-19-923072-3 |présentation en ligne=https://books.google.fr/books?id=QkUTDAAAQBAJ&printsec=frontcover&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false |consulté le=2022-03-11}}</ref>.

=== Informatique ===
L'essor des techniques au {{s-|XX}} ouvre la voie à une nouvelle science, l'[[informatique]]{{Note|groupe=N|texte=[[Ada Lovelace]], dans les années 1840, est connue pour avoir conçu le premier programme informatique au monde, en collaboration avec [[Charles Babbage]]}}. Celle-ci est étroitement liée aux mathématiques, de diverses manières : certains pans de la recherche en [[informatique théorique]] peuvent être considérés comme d'essence mathématique, d'autres branches de l'informatique faisant plutôt usage des mathématiques. Les nouvelles technologies de communication ont quant à elles ouvert la voie aux applications à des branches des mathématiques parfois très anciennes ([[arithmétique]]), notamment en ce qui concerne les problèmes de sécurité des transmissions : [[cryptographie]] et [[théorie des codes]].

En contrepartie, les sciences informatiques influencent l'évolution moderne des mathématiques.

Les [[mathématiques discrètes]] forment un domaine de recherche actuel des mathématiques visant à développer les méthodes utilisées en science informatique, incluant la [[théorie de la complexité (informatique théorique)|théorie de la complexité]], la [[théorie de l'information]], la [[théorie des graphes]]… Parmi les problèmes ouverts, citons notamment le [[Problème P = NP|célèbre P=NP]] en théorie de la complexité, qui fait partie des sept [[problèmes du prix du millénaire]]. Celui qui arrivera à décider si P et NP sont différents ou égaux recevra un montant de {{unité|1000000|[[Dollar américain|USD]]}}.

L'informatique est également devenue un outil essentiel à l'obtention de nouveaux résultats (un ensemble de techniques connues sous le nom de [[mathématiques expérimentales]]) et même à la démonstration de certains théorèmes. L'exemple le plus connu est celui du [[théorème des quatre couleurs]], démontré en 1976 à l'aide d'un ordinateur, car certains des calculs nécessaires sont trop complexes pour être réalisés à la main. Cette évolution bouleverse les mathématiques traditionnelles, où la règle était que le mathématicien puisse vérifier chaque partie de la démonstration. En 1998, la [[conjecture de Kepler]] semble avoir également été démontrée partiellement par ordinateur, et une équipe internationale a travaillé depuis sur la rédaction d'une preuve formelle, qui a été achevée (et vérifiée) en 2015.

En effet, si la preuve est rédigée de façon formelle, il devient alors possible de la vérifier à l'aide d'un logiciel particulier, appelé [[assistant de preuve]]. C'est la meilleure technique connue pour être (presque) certain qu'une démonstration assistée par ordinateur ne souffre d'aucun [[bug (informatique)|bug]]. En l'espace d'une trentaine d'années, le rapport entre les mathématiciens et l'informatique s'est donc complètement renversé : d'abord instrument suspect à éviter si possible dans l'activité mathématique, l'ordinateur est devenu au contraire un outil incontournable.

=== Biologie, chimie et géologie ===
La [[biologie]] est grande consommatrice de mathématiques et notamment de probabilités. La dynamique d'une population se modélise couramment par des [[chaîne de Markov|chaînes de Markov]] (théorie des processus discrets) ou par des [[équations différentielles]] couplées. Il en va de même pour l'évolution des génotypes : le [[principe de Hardy-Weinberg]], souvent évoqué en génétique, relève de propriétés générales sur les processus à temps discret (existence de lois limites). Plus généralement, la [[phylogéographie]] fait appel à des modélisations probabilistes. De plus, la médecine use de tests (statistiques) pour comprendre la validité de tel ou tel traitement. Un domaine spécifique de recherche à la frontière de la biologie est né : la [[biomathématique]].

Depuis le début du {{s-|XXI|e}}, la [[chimie organique]] a fait appel à l'informatique pour pouvoir modéliser les molécules en trois dimensions : il s'avère que la forme d'une [[macromolécule]] en biologie est variable et détermine son action. Cette modélisation fait appel à la [[géométrie euclidienne]] ; les atomes forment une sorte de [[polyèdre]] dont les distances et les angles sont fixés par les lois d'interaction.

Les [[géologie structurale|géologies structurales]] et climatologiques font appel à des modèles mêlant des méthodes probabilistes et analytiques, pour pouvoir prédire du risque de catastrophe naturelle. La complexité des modèles est telle qu'une branche de recherche est née à la frontière des mathématiques et de la [[géophysique]], à savoir la [[géophysique mathématique]]. De même, la [[météorologie]], l'[[océanographie]] et la [[planétologie]] sont grandes consommatrices de mathématiques car elles nécessitent des modélisations.

=== Sciences humaines ===
Le rapport des mathématiques avec les sciences humaines se fait essentiellement par les [[statistique]]s et les [[probabilité]]s, mais aussi par des [[équation différentielle|équations différentielles]], [[calcul stochastique|stochastiques]] ou non, utilisées en [[sociologie]], [[psychologie]], [[sciences économiques|économie]], [[finance]], [[gestion d'entreprise]], [[linguistique]]…

La [[logique]] est depuis [[Antiquité|l'Antiquité]] l'une des trois grandes disciplines de la [[philosophie]], avec l'éthique et la physique. Des philosophes comme [[Pythagore]] et [[Thalès|Thales de Milet]] ont formalisé les célèbres théorèmes [[Géométrie|géométriques]] portant leur nom. « Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre », était-il gravé sur le portail de [[Académie de Platon|l'Académie]] de [[Platon]], pour qui les mathématiques sont un intermédiaire pour accéder au monde des [[Théorie des Idées|Idées]].

Notamment, les [[mathématiques financières]] sont une branche des mathématiques appliquées visant à la compréhension de l'évolution des marchés financiers et de l'estimation des risques. Cette branche des mathématiques se développe à la frontière des probabilités et de l'analyse et use des statistiques.

Beaucoup plus subtil est le cas de l'[[sciences économiques|économie]] mathématique. Le [[postulat]] fondamental de cette discipline est que l'activité économique peut se comprendre à partir d'un axiome de nature [[anthropologie|anthropologique]], celui de l'acteur individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu cherche par ses actions à accroître un certain [[profit]], et ce de façon [[rationalité économique|rationnelle]]. Cette sorte de vision [[atomisme|atomiste]] de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le [[calcul (mathématiques)|calcul]] individuel se transpose en calcul mathématique. Cette modélisation mathématique en économie permet de percer à jour des mécanismes économiques qui n'auraient pu être découverts que très difficilement par une analyse « littéraire ». Par exemple, les explications des [[cycle économique|cycles économiques]] ne sont pas triviales. Sans modélisation mathématique, on peut difficilement aller au-delà du simple constat statistique ou des spéculations non prouvées. Toutefois, certains sociologues, comme [[Pierre Bourdieu|Bourdieu]], et même certains économistes, refusent ce postulat de l'{{lang|la|''[[homo œconomicus]]''}}, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le [[don (acte)|don]], mais dépendent également d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La [[mathématisation]] est donc, selon eux, un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière.

On assiste également au début du {{s|XX|e}}, à une réflexion pour mettre les mouvements historiques en formule, comme le fait [[Nikolaï Kondratiev]], qui discerne un [[Cycle de Kondratiev|cycle]] de base pour expliquer les phases d'expansion et de crise en [[économie politique]], ou [[Nicolas-Remi Brück]] et [[Charles Henri Lagrange]]<ref>''[http://www.academieroyale.be/n6566/Charles_Henri.Lagrange Notice sur Charles Lagrange]'' par [[André Jaumotte]] ([[Université libre de Bruxelles]]), sur le site de l'[[Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique|Académie royale de Belgique]]</ref> qui, dès la fin du {{s-|XIX|e}}, ont amplifié leur analyse jusqu'à pénétrer dans le domaine de la [[géopolitique]], en voulant établir l'existence, dans l'histoire, de mouvements de vaste amplitude qui mènent les peuples à leur apogée, puis à leur déclin<ref>Dictionnaire en économie et science sociale, Ed.Nathan Paris, dictionnaire Larousse en 3. vol, Paris. Les définitions des cycles sont nombreuses, entre autres, en sciences: évolution de systèmes qui les ramènent à leur état initial ou, en sociologie, mouvement(s) récurrent(s) d'activité(s) politique(s) et économique(s).</ref>.

Cependant une mathématisation des sciences humaines n'est pas sans danger. Dans l'essai polémique ''[[Impostures intellectuelles]]'', [[Alan Sokal|Sokal]] et [[Jean Bricmont|Bricmont]] dénoncent la relation, non fondée ou abusive, d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines. L'étude de systèmes complexes (évolution du chômage, capital d'une entreprise, évolution démographique d'une population…) fait appel à des connaissances [[mathématiques élémentaires]], mais le choix des critères de comptage, notamment dans le cas du chômage, ou de la modélisation peut être sujet à polémique.

=== Écologie ===
L'écologie utilise également un grand nombre de modèles<ref>Voir par exemple Anne Laurent, Roland Gamet, Jérôme Pantel, ''Tendances nouvelles en modélisation pour l'environnement, actes du congrès «Programme environnement, vie et sociétés»'' 15-17 janvier 1996, CNRS</ref> pour simuler la [[dynamique des populations]], étudier des écosystèmes comme le modèle proie-prédateur, mesurer les diffusions de pollutions<ref>{{Ouvrage |auteur1=[[Nicolas Bouleau]] |titre=Philosophie des mathématiques et de la modélisation |sous-titre=Du chercheur à l'ingénieur |éditeur=l'Harmattan |année=1999 |passage=282-283}}</ref> ou évaluer les changements climatiques issus du réchauffement{{sfn|Bouleau|1999|p=285}}. Ces outils permettent de communiquer sur des données chiffrées, pour éventuellement les critiquer ou les confronter entre elles. Se pose alors le problème de la validation de ces modèles, notamment dans le cas où les résultats peuvent influer sur des décisions politiques et où l'existence de modèles contradictoires entre eux permet aux États de choisir le plus favorable à leur décision{{sfn|Bouleau|1999|p=287}}.

== Rapport avec l'astrologie, l'ésotérisme ==
Les mathématiques ont entretenu pendant longtemps des liens très étroits avec l'[[astrologie]]. Celle-ci, par le biais de thèmes astraux, a servi de motivation dans l'étude de l'astronomie. Des mathématiciens de renom furent également considérés comme des grands astrologues. On peut citer [[Claude Ptolémée|Ptolémée]], les astronomes de langue arabe, [[Regiomontanus]], [[Jérôme Cardan|Cardan]], [[Johannes Kepler|Kepler]], ou encore [[John Dee]]. Au Moyen Âge, l'astrologie est considérée comme une science se rangeant dans les mathématiques. Ainsi [[Theodor Zwinger (l'Ancien)|Theodor Zwingler]] signale dans sa grande encyclopédie, concernant l'astrologie, que c'est une science mathématique traitant du {{citation|mouvement actif des corps en tant qu'ils agissent sur d'autres corps}} et réserve aux mathématiques le soin de {{citation|calculer avec probabilité les influences [des astres]}} en prévoyant leurs {{citation|conjonctions et oppositions}}<ref>Guy Beaujouan, « Comprendre et maîtriser la nature au Moyen Âge », ''Hautes Études Médiévales et Modernes'', Vol.13, Librairie Droz, 1994, [https://books.google.fr/books?id=92n7ZE8Iww8C&pg=PA130#v=onepage&q&f=false {{p.|130}}]</ref>. Les [[Astrologie|théories astrologiques occidentales]] contemporaines se targuent de suivre des méthodes scientifiques. En particulier, l'[[Étude statistique de l'astrologie|astrologie statistique]] utilise les tests statistiques pour mettre en évidence d'éventuelles [[Corrélation (statistiques)|corrélations]] entre la position des astres et le devenir des êtres humains. Toutefois, ces études initiées par [[Paul Choisnard|Choisnard]] et [[Michel Gauquelin|Gauquelin]], menées à la marge de la recherche scientifique, n'ont, en date de 2009, pas été productives et n'ont réussi à donner aucune preuve recevable d'un lien de cause à effet.

Les mathématiques sont aussi une composante de l'[[ésotérisme]]. Très fréquemment, les mathématiciens eux-mêmes ont été tentés de trouver dans la figure ou le nombre un sens caché servant de clé dans la découverte du monde. Dans l'école pythagoricienne, chaque nombre a une signification symbolique et le serment des initiés se serait énoncé devant une [[Pythagore#Arithmétique (et arithmologie)|tretraktys]]<ref>{{DahanPeiffer}}, {{p.|47}}.</ref>. De même [[Platon]] ne se contente pas d'énumérer les [[solide de Platon|solides qui portent son nom]] il attribue à chacun d'eux une nature (eau, terre, feu, air, univers)<ref>Platon, Le Timée, 53 c - 56c</ref>. L'arithmosophie, la [[numérologie]], la [[gematria|gématrie]], l'[[arithmancie]] tentent, à travers des calculs sur les nombres, de trouver des significations cachées à des textes ou d'en extraire des propriétés prédictives. On retrouve cette fascination pour le nombre et la figure encore de nos jours où certains attribuent des vertus cachées à un [[pentacle]] ou un [[nombre d'or]].

Au {{s-|XXI}}, ces disciplines ne sont plus considérées comme des sciences<ref>{{Lien web |titre=L’astrologie à l’épreuve : ça ne marche pas, ça n’a jamais marché ! - Afis - Association française pour l'information scientifique |url=http://www.pseudo-sciences.org/spip.php?article1240 |site=pseudo-sciences.org |consulté le=2016-02-03}}</ref>.

== Impact culturel ==
=== Expression artistique ===
[[Fichier:Rameau Traite de l’harmonie.jpg|thumb|upright|left|Page couverture du ''Traité de l’harmonie réduite à ses principes naturels'' de [[Jean-Philippe Rameau]].]]

Les notes qui sonnent bien ensemble à une oreille occidentale sont des sons dont les [[fréquence]]s fondamentales de vibration sont dans des rapports simples.
Par exemple, l'[[octave (musique)|octave]] est un doublement de fréquence, la [[quinte]] une multiplication par {{fraction|3|2}}.

Ce lien entre les fréquences et l'[[harmonie]] a été notamment détaillé dans le ''[[Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels]]'' de [[Jean-Philippe Rameau]]<ref>{{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Jean-Philippe |nom1=Rameau |lien auteur1=Jean-Philippe Rameau |titre=[[Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels|Traité de l'harmonie]] |lieu=Paris |éditeur=[[Klincksieck|Méridiens Klincksieck]] |collection=Collection de musicologie |année=1986 |année première édition=1722 |pages totales=432 |isbn=978-2-86563-157-5}}</ref>, compositeur baroque français et théoricien de la musique. Il repose en partie sur l'analyse des [[Harmonique (musique)|harmoniques]] ({{nobr|notées 2}} à 15 dans la figure suivante) d'un son fondamental Do grave ({{nobr|noté 1}}), les premières harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles.
[[Fichier:Harmonics.svg|thumb|upright=1.5|Les harmoniques sur une portée.]]

Si la courbe tracée en rouge, qui suit les notes harmoniques, a une allure [[logarithme|logarithmique]], cela correspond au rapport entre deux phénomènes :
* d'une part, la représentation de la hauteur d'un son par notre [[Audition humaine|système auditif]] qui est proportionnelle au logarithme de la [[fréquence]] du son (une fréquence double correspond toujours à la même « distance sonore » appelée [[octave (musique)|octave]]) ;
* d'autre part, les fréquences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale.

[[Fichier:Julia set (highres 01).jpg|thumb|upright=0.9|[[Fractale]] possédant une symétrie d'échelle et une symétrie centrale.]]

Les Occidentaux associent une certaine [[beau]]té aux figures symétriques. Une [[symétrie]] d'une figure géométrique est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une règle précise, tout en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un [[Groupe (mathématiques)|groupe]], très souvent par [[isométrie]], c'est-à-dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique de ce groupe.

Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir est le [[groupe cyclique]] à deux éléments, ℤ/2ℤ. Un [[test de Rorschach]] est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un [[Lepidoptera|papillon]] et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface. Lorsqu'on dessine la surface de la mer, l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique et presque toujours seulement approximative, est celui présenté par les [[fractale]]s : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.

=== Vulgarisation ===
{{Article détaillé|Vulgarisation mathématique}}

La [[vulgarisation mathématique]] a pour objectif de présenter les mathématiques en un langage dénué de termes techniques. Comme l'objet d'étude des mathématiques n'a pas de réalité physique, la vulgarisation use souvent d'un vocabulaire imagé, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'idée des développements mathématiques. Parmi les ouvrages qui se fixent ce but, citons ''Oh, les maths'' de [[Yakov Perelman]] et ''Le livre qui rend fou'' de [[Raymond Smullyan]]. Toutefois, les mathématiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux écrits ou télévisés.
* La revue ''[[Tangente (magazine)|Tangente]], l'aventure mathématique'' est le principal magazine de vulgarisation mathématique édité en France.
* La revue ''[[Images des mathématiques]]'', soutenue par le [[Centre national de la recherche scientifique]] (CNRS), relève également le défi. Elle fait découvrir au plus grand nombre la recherche mathématique contemporaine et son environnement.
* La revue ''Accromαth''<ref>{{Lien web |titre=Accromath - Une revue produite par l'Institut des sciences mathématiques et le…<!-- Vérifiez ce titre --> |url=http://accromath.uqam.ca/ |site=uqam.ca |consulté le=14-04-2023}}.</ref> est soutenue par l'Institut des sciences mathématiques et le [[Centre de recherches mathématiques]] de [[Montréal]]. Elle s'adresse principalement aux élèves et enseignants d'école secondaire et de [[cégep]] et est distribuée gratuitement au [[Québec]].
* La revue en ligne ''Délibéré'' publie chaque semaine depuis décembre 2015 la chronique mathématique de Yannick Cras intitulée « Le nombre imaginaire »<ref>{{Article |langue=fr |auteur1=Yannick Cras |titre=Le nombre imaginaire |périodique=délibéré |date=depuis décembre 2015 |lire en ligne=http://delibere.fr/chroniques/le-nombre-imaginaire-2/ |consulté le=2017-04-22}}</ref>.
* La revue ''[[Quadrature (revue)|Quadrature]]''<ref>{{Lien web |titre=Top 7 des meilleur casino en ligne Neosurf 2023 |url=http://www.quadrature.info/ |site=Quadrature |consulté le=14-04-2023}}.</ref> éditée chaque trimestre s'adresse aux enseignants, étudiants, ingénieurs et amateurs de mathématiques. Le niveau des articles est variable et certains sont accessibles dès la terminale scientifique ou la première année de licence. Les auteurs sont des mathématiciens, mais aussi des enseignants et des étudiants. ''Quadrature'' est éclectique : certains articles présentent des mathématiques toutes récentes, tandis que d’autres donnent un nouveau point de vue sur des sujets traditionnels ou encore ressuscitent des questions de géométrie ancienne.

=== Littérature et filmographie ===
Si nombre de biographies portent sur les mathématiciens, les mathématiques sont un thème certes peu exploité dans la littérature ou la filmographie, mais présent.

==== Romans ====
* Plusieurs livres de [[Denis Guedj]], dont :
{{colonnes|nombre=2|
** ''[[Le Théorème du Perroquet]]''
** ''[[Zéro, ou les cinq vies d'Aémer]]''
* ''Le Démon des maths'' de [[Hans Magnus Enzensberger]]
* ''Mathématique du crime'' de [[Guillermo Martínez (écrivain)|Guillermo Martinez]]
* ''Malheur aux gagnants'' de Julien Heylbroeck
* ''Oncle Petros et la conjecture de Goldbach'' d'[[Apóstolos Doxiádis]]
* {{lang|en|''[[Flatland]]''}}, d'[[Edwin Abbott Abbott]]
* ''[[La Formule préférée du professeur]]'', de [[Yōko Ogawa]]
* [[2 + 2 = 5#En littérature|2 + 2 = 5]]
* ''[[Le Planivers]]''
* ''Le Grand Roman des maths'' de [[Mickaël Launay]]
}}

==== Films ====
{{colonnes|nombre=2|* ''[[L'Amour en équation]]'', film de [[Fred Schepisi]] ([[1995 au cinéma|1995]])
* ''[[Will Hunting]]'', film de [[Gus Van Sant]] ([[1997 au cinéma|1997]])
* ''[[C'est la tangente que je préfère]]'', film de [[Charlotte Silvera]] ([[1998 au cinéma|1998]])
* ''[[Pi (film)|Pi]]'', film de [[Darren Aronofsky]] ([[1998 au cinéma|1998]])
* ''[[Un homme d'exception]]'', film de [[Ron Howard]] ([[2001 au cinéma|2001]])
* ''[[Proof (film, 2005)|Proof]]'', film de [[John Madden (réalisateur)|John Madden]] ([[2005 au cinéma|2005]])
* ''[[Crimes à Oxford]]'', film d'[[Álex de la Iglesia]] ([[2008 au cinéma|2008]])
* ''[[Las Vegas 21]]'', film de [[Robert Luketic]] ([[2008 au cinéma|2008]])
* ''[[Imitation Game]]'', film de [[Morten Tyldum]] ([[2014 au cinéma|2014]])
* ''[[L'Homme qui défiait l'infini]]'', film de Matthew Brown ([[2016 au cinéma|2016]])
}}

==== Théâtre ====
===== Pièces de théâtre =====
* ''[[La Preuve (pièce de théâtre)|La Preuve]]'' de [[David Auburn]], 2000 ({{lang|en|''Proof''}}, {{Ed.}} {{lang|en|Dramatist's Play Service}}, 2002)
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Denis |nom1=Guedj |lien auteur1=Denis Guedj |titre=One zéro show : spectacle arithmétique en 0 acte et 1 tableau… blanc ; (suivi de) Du point… à la ligne : spectacle géométrique en ligne… et en surface |lieu=Paris |éditeur=[[Éditions du Seuil]] |année=2001 |pages totales=61 |isbn=978-2-02-037379-1 |oclc=48908950}}
* ''L'affaire 3.14'', Compagnie [[L'Île logique]] (Cédric Aubouy)
* ''Galois Poincaré, mythes et maths'', Compagnie L'Île logique (Cédric Aubouy, David Latini)

===== Spécialistes de théâtre de sciences =====
* ''Le Théâtre scientifique de Louis Figuier'', Fabienne Cardot, ''[[Romantisme (revue)|Romantisme]]'', 1989
* ''Théâtre et sciences, Le double fondateur'', Jacques Baillon, [[Éditions L'Harmattan|L'Harmattan]], 1998
* ''La Recherche théâtrale dans un institut technologique et scientifique'', [[Ouriel Zohar]], dans ''Théâtre et Science'', {{Ed.}} {{Pr|Lucile Garbagnati}}, F. Montaclair et D. Vingler, Presses du Centre Unesco de Besançon et du Théâtre de l'Université de Franche-Comté, Besançon, 1998.
* ''Théâtre et matière, Les moteurs de représentation'', Jacques Baillon, L'Harmattan, 2002
* ''Le Théâtre de sciences'', Michel Valmer, CNRS Éditions, 2006
* {{lang|en|''Science on stage, from {{Dr|Faustus}} to Copenhagen''}}, Kirsten Sheperd-Barr, {{lang|en|Princeton University Press}}, 2006.
* ''Le Modèle scientifique dans le théâtre de Tom Stoppard'', Liliane Campos, dans ''Epistémocritique'', Revue d'études et de recherches sur la littérature et les savoirs, {{vol.|{{II}}}}, 2008
* ''[[L'île logique]]'', théâtre et clowns sur la logique, les mathématiques et la physique théorique (CNRS, école Polytechnique), Cédric Aubouy. 2008.

==== Séries télévisées ====
* ''[[Numbers (série télévisée)|Numb3rs]]'', série de Nicolas Falacci et Cheryl Heuton.
* ''[[Eureka (série télévisée)|Eureka]]'', série télévisée créée par Andrew Cosby et Jaime Paglia.
* {{lang|en|''[[Stargate Universe]]''}}, série télévisée créée par Brad Wright et Robert C. Cooper.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Crédit d'auteurs|type=externe|titre=Déchiffrer le code: l'éducation des filles et des femmes aux sciences, technologie, ingénierie et mathématiques (STEM)|auteur=l'UNESCO|source=https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000259816|licence=CC BY-SA 3.0 IGO|URL licence=https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000259816}}
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{Ouvrage |auteur1=Alain Bouvier |auteur2=Michel George |auteur3=François Le Lionnais |auteur4=Irène Bros |titre=Dictionnaire des mathématiques |éditeur=Puf |collection=Dictionnaires Quadrige |pages totales=1056 |isbn=978-2-13-081455-9 |présentation en ligne=https://www.puf.com/content/Dictionnaire_des_math%C3%A9matiques |consulté le=14 mars 2022}}
* Jean-Marc Buret, ''Les maths expliquées simplement - Les bases dépoussiérées et le plaisir de comprendre'', Ellipses 2019 {{ISBN|9782340031777}}
* Jean-Pierre Escofier, ''Histoire des mathématiques'', Dunod, 2008
* [[Institut Henri-Poincaré]], ''Objets mathématiques'', CNRS éditions, 2017, 191 pages. Préface de Cédric Villani et Jean-Philippe Uzan. {{ISBN|978-2271117434}}
* Carina Louart, Florence Pinaud, ''C'est mathématique !'' Actes Sud Junior, 2014
* [[Gérald Tenenbaum]] ([[Institut Élie-Cartan de Lorraine|Institut Elie Cartan]]), ''Des mots et des maths'', Odile Jacob, 2019, 181 pages. {{ISBN|978-2738149008}}.

== Annexes ==
=== Articles connexes ===
* ''{{lang|en|[[Encyclopædia of Mathematics]]}}''
* ''[[Mathematics Genealogy Project]]''
* ''[[MathWorld]]'', ressources en mathématiques, en anglais
* ''[[PlanetMath]]'', encyclopédie collaborative, en anglais, avec [[Licence de documentation libre GNU|GFDL]]
* [[Maturité mathématique]]
* [[Géométrie]]
* [[Logique]]
* [[Algèbre]]
* [[Construction du nombre chez l'enfant]] (psychologie du développement)
* [[Enseignement des mathématiques]]
* [[Logique et raisonnement mathématique]]
* [[Liste de mathématiciennes]]
* [[Liste de prix internationaux de mathématiques]]
* [[Classification mathématique par matières]]
* [[Liste de revues scientifiques francophones]]

=== Liens externes ===
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