Voir la source de Mathématiques arabes

[[Fichier:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|vignette|Une page du traité d'[[al-Khwarizmi]], ''Kitab al jabr wa'l muqabala''.]]
Dans l'[[histoire des mathématiques]], on désigne par '''mathématiques arabes''' les contributions apportées par les [[Liste des mathématiciens arabo-musulmans|mathématiciens du monde musulman]] jusqu'au milieu du {{XVe siècle}}.

Les [[sciences arabes]], et en premier plan, les [[mathématiques]], se développent dans les [[califat]]s établis au [[Moyen-Orient]], en [[Asie centrale]], en [[Afrique du Nord]], en Espagne et, au {{VIIIe siècle}}, dans le Sud de la France. Les textes sont écrits en [[arabe]], qui était une des langues des sciences et de la culture à cette époque, d'où l'emploi des termes de « sciences arabes » et de « mathématiques arabes », cela sans considération de la langue maternelle des savants et quelles que puissent être leurs origines ethniques ou leur religion.

Les mathématiques arabes se sont constituées par assimilation des mathématiques [[Mathématiques de la Grèce antique|grecques]] ainsi que des [[mathématiques indiennes]]. Elles ont également été influencées par les [[mathématiques chinoises]] et [[Mathématiques babyloniennes|babyloniennes]] avant de connaître un développement propre. C'est principalement par leurs traductions en arabe et leurs commentaires que l'Europe prit connaissance des ouvrages des mathématiciens grecs. De récentes recherches ont démontré que beaucoup d'idées, qu'on pensait nées dans l'Europe du {{XVIe|s}}, {{XVIIe|s}} ou {{XVIIIe|s}} siècle, étaient déjà présentes dans les mathématiques grecques ou furent développées par des mathématiciens arabes, mais certaines n'eurent pas de suite.

== Histoire ==
{{Voir aussi|Liste des mathématiciens arabo-musulmans}}

L'[[islam]] connaît dès sa naissance au {{s-|VII|e}} une rapide progression. En un siècle, les territoires musulmans s'étendent d'Espagne jusqu'en Perse<ref>{{harvsp|Merzbach et Boyer 2011|p=203}}.</ref>. La conquête des territoires contre l'[[empire byzantin]] conduit à la prise de [[Damas]], l'invasion de la vallée [[mésopotamie]]nne et la prise d'[[Alexandrie]] en 641. Par ces conquêtes l'empire musulman prend connaissance du savoir grec et indien.

Puis durant un siècle, des luttes internes aboutissent à la création, vers la fin du huitième siècle après la chute des [[Omeyyades]], de trois entités politiques différentes : [[Abbassides]] à l'est, [[Idrissides]] au Maroc et [[Omeyyades de Cordoue]]. Ce schisme explique en particulier l'existence de plusieurs graphies pour les chiffres dit arabes : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 : utilisés à [[Fès]] et à [[Cordoue]] et ٠,١,٢,٣,٤,٥,٦,٧,٨,٩ : utilisés à [[Bagdad]].

Fès, la capitale culturelle et spirituelle du Maroc, abrite [[Quaraouiyine]], l'établissement éducatif considéré de nos jours comme étant le plus ancien dans le monde encore en activité<ref>''The Guinness Book Of Records'', édition de 1998, {{ISBN|0-553-57895-2}}, {{p.|242}}.</ref>.
[[Fichier:Maqamat hariri.jpg|vignette|Érudits dans une bibliothèque abbasside (illustration de Yahya ibn Vaseti dans le Maqama of Hariri).]]
[[Bagdad]], ville créée par les califes [[abbasside]]s pour servir de capitale de l'Empire, devient très vite un centre culturel avec notamment la création d'une ''[[Maison de la sagesse]]'' sous le règne du calife [[Al-Mamun (Abbasside)|Al-Mamun]] (début du {{s|IX}}). Un grand programme de traduction y est entrepris, d'abord de persan en arabe puis de [[sanskrit]] ou de grec en arabe<ref>{{harvsp|Merzbach et Boyer 2011|p=205}}.</ref>. Les Arabes établissent des contacts avec les Romains byzantins de [[Constantinople]], et les califes arabes achètent les manuscrits grecs notamment les ''[[Éléments d'Euclide|Éléments]] ''d'[[Euclide]] (qui seront traduits par [[Al-Hajjaj ibn Yusuf ibn Matar|Al-Hajjaj]]<ref>{{harvsp|Rashed (Algèbre)|p=33}}.</ref>) et la ''Grande composition mathématique ''de [[Ptolémée]] connue sous le nom [[Almageste]] qui donne lieu à plusieurs traductions dont celle d'Al-Hajjaj et celle de [[Thabit ibn Qurra]]<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Roshdi|nom1=Rashed|prénom2=Régis|nom2=Morelon|directeur2=oui|titre=Histoire des sciences arabes|volume=I (376 p.)|titre volume=Astronomie, théorique et appliquée|lieu=Paris|éditeur=[[éditions du Seuil]]|année=1997|pages totales=376|format livre=3 vol.|passage=37|isbn=2-02-030352-3}}.</ref>. Deviennent également accessibles et traduits en arabe des ouvrages tels que les ''Coniques ''d'[[Apollonios de Perga|Apollonius]], ''[[De la sphère et du cylindre]]'' d'[[Archimède]], l’''[[Arithmetica]] ''de [[Diophante]] (traduit par [[Qusta ibn Luqa]]<ref name=RashedAlg37>{{harvsp|Rashed (Algèbre)|p=37}}.</ref>), le ''Traité sur les miroirs'' de [[Dioclès (mathématicien)|Dioclès]], les ''Travaux sur la mécanique'' de [[Pappus d'Alexandrie]] ainsi que les traités de [[Héron d'Alexandrie]]. Les mathématiciens arabes traduisent aussi des textes [[sanskrit]]s d'astronomie et de mathématiques indiennes comme le ''[[Surya Siddhanta]] '' et le ''[[Brahmasphutasiddhanta|Brahma Sphuta Siddhanta]]'' (traduits par [[Muhammad al-Fazari]]), le ''Khandakhayaka'' de [[Brahmagupta]]<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=71}}.</ref> et l'''Aryabhatiya'' d'[[Aryabhata]].

Parmi les membres de la Maison de la Sagesse, on compte le mathématicien persan [[Al-Khwarizmi]]. Deux de ses traités ont eu un impact considérable sur les mathématiques européennes au {{XIIe siècle}}. Le premier, dont seule la traduction latine a été conservée, transmet la numération décimale. Le second traité, ''Kitab fi'l-jabr wa'l-muqabala'' (Livre sur la restauration et la confrontation) traite de manipulations sur les équations. L'algèbre, nouvelle discipline des mathématiques, continuera de s'épanouir avec la civilisation islamique. On peut également citer les [[Frères Banou Moussa|frères Banu Musa]] et [[Thābit ibn Qurra]] (algèbre, traduction de Nicomaque et révision des ''Éléments'' d'Euclide, mise en place de méthodes infinitésimales pour le calcul d'aire, astronomie, trigonométrie, théorie des nombres)<ref name=Sinaceur>{{article|prénom1=Hourya|nom1=Sinaceur|auteur1=[[Hourya Sinaceur]]|titre=Roshdi Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du IXe au {{s-|XI}} (London : Al-Furqân islamic heritage foundation), 21,5 x 29 cm, vol. I : Fondateurs et commentateurs : Banu Musá, Ibn Qurra, Ibn Sinân, al-Khâzin, al-Quhi, Ibn al-Samh, Ibn Hud (1996)|périodique=Revue d'histoire des sciences|volume=54|numéro=54-3|année=2001|passage=405-409|url=http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_2001_num_54_3_2132_t1_0405_0000_1}}.</ref>.

Les mathématiques arabes sont particulièrement florissantes durant les {{s2|X|e|XI|e}}<ref>{{harvsp|Merzbach et Boyer 2011|p=216}}.</ref>, période durant laquelle de nombreux mathématiciens approfondissent les différentes branches des mathématiques : [[Abu l-Wafa]] (traducteur, algèbre, arithmétique, trigonométrie, géométrie), [[Abu Nasr Mansur]] (trigonométrie), [[Abu Kamil]] (algèbre), [[al-Battani]] (trigonométrie), [[al-Karaji]] (algèbre), Ibn al-Hayttam connu sous le nom d'[[Alhazen]] (algèbre, géométrie, optique), [[Omar Khayyam]] (algèbre, géométrie), [[Sharaf al-Dīn al-Tūsī]] (algèbre).

Le premier déclin des sciences arabes commence au {{s|XII}} à la suite de conflits divisant le monde musulman, mais il existe cependant encore des mathématiciens de renom au-delà de cette période parmi lesquels on peut citer [[Nasir ad-Din at-Tusi|Nasir al-Din al-Tusi]] au {{s|XII|e}} (géométrie), puis [[Al-Kachi|al-Kashi]] au {{s|XV}} (arithmétique, algèbre, analyse numérique). Après ce dernier mathématicien, le nombre de contributions aux mathématiques médiévales par des mathématiciens arabes devient négligeable<ref>{{harvsp|Merzbach et Boyer 2011|p=222}}.</ref>. L'influence d'[[Algazel]] sur ce déclin a été présentée comme déterminante par [[Neil deGrasse Tyson]] dans sa conférence sur l'âge d'or islamique<ref>{{en}} [https://www.youtube.com/watch?v=fDAT98eEN5Q Neil deGrasse Tyson : L'âge d'or islamique]</ref>.

== Nombre : écriture, calcul, nature ==
=== Écriture ===
Plusieurs systèmes de numération ont coexisté dans le monde arabe médiéval.

On trouve en effet un système de numération décimal multiplico-additif où les 9 unités, les 9 dizaines, les 9 centaines et le millier sont identifiés par 28 lettres de l'alphabet arabe pris dans un certain ordre, le jummal. Un nombre comme 3854 s'écrit alors, à l'aide de cinq lettres, comme 3 fois 1000 plus 800 plus 50 plus 4. Ce système de numération semble avoir des sources syriaques, il permet en théorie d'écrire tous les nombres mais semble n'avoir pas été utilisé pour des grands nombres pour lesquels on préfère l'[[numération sexagésimale|écriture sexagésimale]]. Ce système de numération est associé à un système de calcul mental appelé calcul digital. Dans ce système de numération il n'existe que 8 types de fractions : 1/2, 1/3, ..., 1/9, les autres s'exprimant par produit ou somme de fractions de ce type. Les fractions dont le dénominateur comporte un facteur premier différent de 2, 3, 5, 7 sont appelés des fractions sourdes c'est-à-dire inexprimables dont on cherche à fournir une valeur approchée<ref>{{harvsp|Saidan|p=12-13}}.</ref>.

On trouve également, principalement dans les écrits astronomiques, le système de numération sexagésimal des Babyloniens qui semble atteindre le monde arabe par la voie syriaque ou persane<ref>{{harvsp|Saidan|p=11}}.</ref>.
[[Fichier:Numeration-brahmi fr.png|vignette|Généalogie de la numération indienne.]]
Un dernier système va remplacer peu à peu les deux précédents. C'est le [[numération indienne|système décimal positionnel]] d'origine indienne constitué de neuf chiffres et du zéro. Un des premiers écrits arabes le décrivant est le livre sur le ''Calcul indien'' d'[[al-Khwarizmi]] dont il ne reste qu'une version latine incomplète<ref>{{harvsp|Allard|p=200}}.</ref>. Cet ouvrage présente le système de notation, celui des fractions (fractions indiennes a{{fraction|b|c}}, décimales et sexagésimales) ainsi que les techniques opératoires (addition, soustraction, duplication, division par deux, multiplication, division, [[racine carrée]]). Un ouvrage postérieur d'[[Abu'l-Hasan al-Uqlidisi|al-Uqlidisi]] décrit également cette arithmétique et fait une étude comparée des trois arithmétiques (indienne, sexagésimale, digitale). C'est également lui qui perfectionne l'usage de la fraction décimale, utilisant un séparateur pour distinguer la partie entière de la partie décimale<ref>{{harvsp|Saidan|p=20-21}}.</ref>. Le calcul indien se répand ensuite dans tout le monde arabe avec des graphies différentes en Occident et en Orient.

=== Calculs ===
Le [[comput digital|calcul digital]] est un système de calcul mental que l'on trouve dans l'empire byzantin et dans l'empire arabe, probablement issu du monde commercial. Il utilise les articulations des doigts pour stocker des valeurs intermédiaires et porte également le nom d'arithmétique des nœuds (ou hisāb al-'uqūd). Les méthodes sont simples concernant les additions et les soustractions mais elles se compliquent pour les autres opérations. Il a fait l'objet d'écrits dont le plus ancien en langue arabe est celui d'[[Abu l-Wafa|Abu al Wafa al-Buzjani]]<ref>{{harvsp|Saidan|p=13}}.</ref> mais disparaît peu à peu avec le développement du calcul indien.
[[Fichier:MultiplicationArabSand2.ogv|vignette|gauche|Multiplication arabe sur tablette de sable. La multiplication s'effectue par les poids forts et les résultats intermédiaires sont effacés.]]
[[Fichier:MultiplicationJalousies.svg|vignette|gauche|[[Multiplication par jalousies]].]]
Le calcul indien apporte une amélioration significative en particulier concernant la multiplication, l'addition, et l'extraction de racine carrée. Selon la tradition indienne, les calculs s'effectuaient sur une tablette de sable où les calculs intermédiaires étaient effacés au fur et à mesure. Sous l'impulsion de mathématiciens arabes, ce système est progressivement mais lentement remplacé par des calculs avec encre et papier permettant de conserver et contrôler les résultats intermédiaires<ref>{{harvsp|Saidan|p=19}}.</ref>. Ainsi la méthode des maisons (ou [[Technique de la multiplication par jalousies|multiplication par jalousies]]) est déjà présente dans l'ouvrage d'[[Abu'l-Hasan al-Uqlidisi|al-Uqlidisi]]<ref>{{harvsp|Allard|p=209}}.</ref>. Les méthodes d'analyse numérique développées à partir du {{s|XI}}<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=60}}.</ref> permettent également de trouver des valeurs approchées de plus en plus précises pour les calculs de racines (carrées, [[Racine cubique|cubiques]], etc.). L'astronome et mathématicien perse [[Al-Kashi]] a marqué, en calculant [[valeur approchée|16 décimales]] de [[Pi|{{math|π}}]], une étape dans la succession des records, depuis les 3 décimales calculées par [[Archimède]].

Les livres d'arithmétique présentent également des techniques de calculs des [[nombre figuré|nombres figurés]] ( [[nombre polygonal|nombre polygonaux]], [[nombre pyramidal|nombres pyramidaux]]), des [[Suite arithmétique#Somme des termes|séries arithmétiques]] et [[série géométrique|géométriques]], des [[Formule de Faulhaber#Exemples|sommes des carrés]], des cubes ou des puissances quatre des premiers entiers. On trouve une partie de ces travaux dans des sources indiennes ou grecques, mais le traitement de ces calculs par [[Ibn Tahir al-Baghdadi|Ibn Tahir]], l'andalous {{Lien|langue=en|fr=Yaʿīsh ibn Ibrāhīm al-Umawī|texte=al-Umawi}} ({{s|XV}}) et [[al-Kashi]] semble être original et leurs travaux permettent d'en faire un tout cohérent et exploitable<ref>{{harvsp|Saidan|p=21-27}}.</ref>.

=== Nature ===
Si l'on appelle nombre l'objet sur lequel se porte le calcul, on peut noter durant ces siècles, une évolution concernant le statut du nombre.

On trouve chez [[al-Khwarizmi]] comme chez les auteurs indiens des règles opératoires concernant le zéro mais uniquement en tant que symbole dans la numération décimale<ref>{{harvsp|Jaouiche|1997|p=214-215}}.</ref>.

Le nombre négatif est également présent dans les coefficients de polynômes. Cela conduit [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|al-Samaw'al]] à exposer des règles de signes identiques à celles existant dans les mathématiques indiennes<ref>{{harvsp|Jaouiche|1997|p=222}}.</ref> mais le résultat du calcul, ou la solution de l'équation reste dans le domaine des nombres positifs<ref>{{Bourbaki}}, {{p.|69-70}}.</ref>.

L'évolution la plus importante se trouve dans le traitement des quantités irrationnelles qui dès le {{s|X}} se voient qualifiées de nombre (« ''adad'' »), le nombre rationnel étant « ''al-adad al-muntica'' » et l'irrationnel «''al-adad al-summa'' »<ref>{{harvsp|Dahan|Peiffer|p=101}}.</ref>. On assiste à une arithmétisation des grandeurs géométriques. Des règles opératoires sont données concernant les [[Irrationnel quadratique|irrationnels quadratiques]] ({{math|''a''}} ± {{racine|''b''}} où ''a'' et ''b'' sont des rationnels et où ''b'' n'est pas le carré d'un rationnel) et biquadratique (racine carrée d'irrationnels quadratiques). Ainsi [[Abu Kamil]] donne-t-il la règle opératoire suivante sur la somme de deux irrationnels quadratiques<ref>{{harvsp|Dahan|Peiffer|p=86}}.</ref> :
{{retrait|<math>\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}</math>}}
Ces irrationnels interviennent, ainsi que les nombres négatifs, chez Abu Kamil comme coefficients dans des équations au même titre que les entiers ou les rationnels. Les irrationnels issus de racines cubiques ou de [[Racine d'un nombre|racines ''n''-ièmes]], sont calculés de manière approchée et ces approximations sont utilisées dans d'autres calculs pour construire des tables trigonométriques ou approcher π<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=126}}.</ref>. La question sur la nature des nombres et, en particulier, sur le statut à accorder au quotient de deux grandeurs incommensurables est posée par des mathématiciens du {{s|XI}}, [[Omar Khayyam|al-Khayyam]] et [[Ibn Muʿādh al-Jayyānī|Ibn Muʿādh]] qui concluent sur son statut de nombre<ref>{{harvsp|Djebbar|2001|p=210-211}} ou {{harvsp|Dahan|Peiffer|p=102-103}}.</ref>.

== Algèbre ==
=== Al-jabr al-muqabala ===
{{multiple image
 | footer    = Pages du traité d'[[al-Khwarizmi]].
 |footer_align = l center
 | width     = 120

 | image1    = The Algebra of Mohammed ben Musa (Arabic).png
 | caption1      = Version arabe.

 | image2    = The Algebra of Mohammed ben Musa (English).png
 | caption2      = Version anglaise (traduction de Fredrick Rosen).
}}
Entre 813 et 830<ref>{{harvsp|Rashed (Algèbre)|p=31}}.</ref>, [[al-Khwarizmi]] écrit son traité ''Kitab al-jabr wa al-muqabala'' ([[abrégé du calcul par la restauration et la comparaison]]) dans lequel il présente les techniques de résolution des équations du premier et second degré. Il commence par définir les objets de son étude : les nombres, l'inconnue (''al-shay'', la chose), son carré (''al-māl'', le trésor ou le bien), l'inconnue est aussi désignée comme la racine du bien (''jidhr'')<ref>{{harvsp|Høyrup|1992|p=84 (508)}}.</ref>. Il présente ensuite les six situations canoniques auxquelles on peut se ramener. L'exposé d'al-Khwarizmi est entièrement rhétorique et ne fait appel à aucune écriture symbolique mais ses six situations peuvent se résumer en langage moderne dans ces 6 équations :
{{retrait|<math> (1):ax^2=bx\quad (2):ax^2=c\quad (3):bx=c \quad (4):ax^2+bx=c\quad (5):ax^2+c=bx\quad (6):ax^2=bx+c</math>}}
avec a, b, c des nombres entiers ou rationnels positifs.

Pour chacune d'entre elles, il présente une méthode de résolution dont il démontre la validité par des raisonnements géométriques à l'aide d'aire de rectangles, de carrés et de [[gnomon (géométrie)|gnomons]]. Les solutions ne sont cherchées que dans les nombres positifs<ref>{{Chapitre |auteur1=Ahmed Djebbar|titre chapitre=La phase arabe de l'algèbre (IX<sup>e</sup>-XV<sup>e</sup> S.)|auteurs ouvrage=Dorier J.-L., Coutat S.|titre ouvrage=Enseignement des mathématiques et contrat social|sous-titre ouvrage=enjeux et défis pour le {{21e|siècle}} - Actes du colloque EMF|lieu=Genève |éditeur= Université de Genève|année= 2012|isbn= 978-2-8399-1115-3|lire en ligne=http://www.emf2012.unige.ch/images/stories/pdf/Actes-EMF2012/Actes-EMF2012-GT4/GT4-pdf/EMF2012GT4DJEBBAR.pdf |passage= 604}}.</ref>. Il étudie la [[condition d'existence]] de solutions pour l'équation de type 5 (<math>4ac</math> inférieur à <math>b^2</math>) et présente les deux solutions de cette équation quand elles existent<ref>{{harvsp|Dahan|Peiffer|p=84-85}}.</ref>.

Il montre également comment se ramener à ces six situations canoniques à l'aide de la technique de restauration (ajouter une même quantité aux deux membres de l'égalité pour ''combler un trou'') et de comparaison (supprimer une même quantité présente dans les deux membres de l'équation). Il définit également quelques règles élémentaires de calcul sur des expressions comportant son inconnue par exemple le développement de <math>(a+bx)(c+dx)</math><ref>{{harvsp|Rashed (Algèbre)|p=34}}.</ref>. Suivent ensuite de nombreux problèmes pratiques de commerce, d'arpentage ou d'héritage<ref>{{harvsp|Djebbar|2001|p=226}}.</ref>.

Le sujet n'est pas nouveau. Il existe dans les [[mathématiques babyloniennes]] et [[mathématiques indiennes|indiennes]] des procédures de résolution de problèmes du premier et du second degré. Les termes même d'''al-jabr'' et ''al-muqabala'' étaient déjà utilisés pour désigner des techniques de calcul<ref>{{harvsp|Høyrup|1992|p=88 (512)}}.</ref>. On peut même citer deux contemporains d'[[Al-Khwârizmî]] écrivant parallèlement sur le même sujet ([['Abd al-Hamīd ibn Turk|Ibn Turk]] et Abu Bakr<ref>{{harvsp|Høyrup|1992|p=88;91 (512;515)}}.</ref>). Les mathématiques grecques avaient déjà résolu des problèmes du second degré à l'aide de manipulations géométriques. Enfin, [[Diophante]], dont les ''Arithmétiques'' n'étaient pas connues d'[[Al-Khwârizmî]]<ref>{{article|prénom1=Ahmed|nom1=Djebbar|lien auteur=Ahmed Djebbar|titre=La naissance de l’Algèbre|journal=Réciproques|numéro=15|mois=5|année=2001|url=http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/publica/bulletin/bull15/naissalg.htm|id=Djebbar2001b}}.</ref>, étudie de nombreux problèmes comportant plusieurs inconnues et leur carré ou leur cube et met en place une rédaction ''syncopée'' mélangeant rhétorique et un embryon d'écriture symbolique<ref>{{Article|prénom1=Luis|nom1=Radford|titre=Diophante et l'algèbre pré-symbolique|périodique=Bulletin de l'Association des Mathématiques du Québec|année=1992|passage=73-80|url=http://archimede.mat.ulaval.ca/amq/archives/1991/4/1991-4-part17.pdf}}.</ref>. Le mérite d'al-Khwarizmi est d'avoir su présenter l'ensemble dans un tout cohérent et exhaustif, alliant technique et démonstration<ref>{{harvsp|Høyrup|1992|p=107 (531)}}.</ref>. L'exposé d'une théorie des équations avec un nom, des objets, des outils, des preuves et des applications en fait une discipline à part entière<ref>{{harvsp|Djebbar|2001|p=223}}.</ref>. Le lieu de naissance de l'algèbre est un sujet controversé<ref>Bernard Vitrac, ''[http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/17/49/33/PDF/Algebre_grecque_Ayene_Miras.pdf Peut-on parler d'algèbre dans les mathématiques grecques anciennes ?]''</ref> mais l'œuvre d'[[al-Khwarizmi]] contribue à en faire une discipline propre exploitable propice à son épanouissement<ref>{{Article|prénom1=Max|nom1=Lejbowicz|titre=Al-Khwārizmī, Le commencement de l’algèbre, éd. Roshdi Rashed|périodique=Cahiers de recherches médiévales et humanistes|année=2007|url=http://crm.revues.org/11627|consulté le=20 novembre 2013}}.</ref>.

Le travail d'[[al-Khwarizmi]] est développé par ses successeurs : [[Thābit ibn Qurra]] travaille sur la traduction géométrique des équations, [[Abu Kamil]] en augmente le degré et prend ses coefficients dans les nombres irrationnels<ref>{{harvsp|Rashed (Algèbre)|p=34-36}}.</ref>. Lorsqu'en 870, [[Qusta ibn Luqa]] traduit ''les Arithmétiques'' de Diophante, c'est le vocabulaire mis en place par [[al-Khwarizmi]] qu'il emploie<ref name=RashedAlg37/>.

=== Équation de degré trois ===
{{article détaillé|équation cubique}}
[[Fichier:Cubic-Khayyam.svg|vignette|gauche|upright=1.2|Résolution de l'équation {{math|1=''x''<sup>3</sup> + ''ax'' = ''b''}} selon la méthode d'Omar Khayyam. {{math|1=AB<sup>2</sup> = ''a''}}, {{math|1=AC × AB<sup>2</sup> = ''b''}}, ABmn est un carré. Le demi-cercle de diamètre [AC] rencontre la parabole, de sommet A, d'axe (AB) perpendiculaire à (AC) et passant par m, en D. Le point D se projette orthogonalement sur [AC] en E. La distance AE est solution de l'équation.]]

Le nouvel outil est mis au service de la résolution de problèmes classiques de l'antiquité comme la [[duplication du cube]], la [[trisection de l'angle]], la construction de l'[[heptagone|heptagone régulier]] et le découpage de la sphère selon une proportion donnée. Ces problèmes se ramènent à une équation de degré trois. Les mathématiciens arabes recherchent des méthodes générales de résolution par radicaux, mais c'est un échec<ref>{{harvsp|Rashed (Algèbre)|p=41-42}}.</ref>.

Une autre voie est également explorée, plus fructueuse : la résolution des équations de manière approchée comme intersection de deux coniques. La méthode était déjà employée pour certaines équations par [[Apollonios de Perga|Apollonius]] dans ses ''Coniques''<ref>{{harvsp|Dahan|Peiffer|p=94}}.</ref>. Cette voie est étudiée par de nombreux mathématiciens arabes parmi lesquels [[Abū Ja'far al-Khāzin|al-Khazin]], [[Abū Sahl al-Qūhī|al-Quhi]], Abu al-Jud Ibn al-Laith, al-Shanni, [[al-Biruni]] etc. L'apport décisif est celui d'[[Omar Khayyam|al-Khayyam]], qui en fait une étude systématique, classant les équations selon le signe de leurs coefficients, exhibant une solution positive, si elle existe, comme intersection de deux [[conique]]s et recherchant une valeur approchée de celle-ci<ref>{{harvsp|Rashed (Algèbre)|p=43-45}}.</ref>. Son travail est approfondi par [[Sharaf al-Dīn al-Tūsī]], qui démontre que les solutions peuvent être obtenues comme intersection de deux coniques prises parmi parabole, hyperbole équilatère et cercle. Al-Tusi s'affranchit des contraintes d'homogénéité, s'intéresse également au nombre de solutions positives, ramène l'équation à la forme {{math|1=''f''(''x'') = ''c''}} et discute du nombre de solutions selon la valeur du maximum pris par la fonction. Pour déterminer le maximum, il utilise la dérivée formelle du polynôme f sans cependant expliquer ce qui l'a conduit à inventer cette dérivation. Il utilise également cette dérivée formelle et des changements de variable affines dans le calcul d'une valeur approchée de la solution<ref>{{harvsp|Rashed (Algèbre)|p=45-54}}.</ref>.

=== « Algèbre » des polynômes ===
Un siècle et demi après [[al-Khwarizmi]], [[al-Karaji]] entreprend d'appliquer les techniques de calcul du système décimal aux polynômes<ref>{{harvsp|Rashed (Algèbre)|p=38}}.</ref>, plus exactement aux expressions que l'on écrit aujourd'hui sous la forme:
{{retrait|<math>\displaystyle \sum_{k=-m}^{n} a_kX^k.</math>}}
par analogie avec l'écriture des nombres décimaux:
{{retrait|<math>\displaystyle \sum_{k=-m}^{n} a_k10^k.</math>}}
Selon son successeur [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|al-Samaw'al]], il aurait démontré la [[formule du binôme de Newton|formule du binôme]] jusqu'à la puissance 12 et indiqué que la formule pouvait se prolonger indéfiniment avec la règle de constitution des coefficients qui porte aujourd'hui le nom de [[triangle de Pascal|formule du triangle de Pascal]]<ref>{{harvsp|Dahan|Peiffer|p=89}}.</ref>.
{{retrait|<math> {n \choose p} + {n \choose p+1} = {n+1 \choose p+1}.</math>}}
C'est un des premiers exemples de démonstration utilisant une sorte d'induction de type fini<ref name=Rashed39>{{harvsp|Rashed (Algèbre)|p=39}}.</ref>.

Son travail est poursuivi et approfondi par [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|al-Samaw'al]] qui donne les règles de calcul sur les monômes, les règles de divisibilité d'un polynôme par un autre et présente des techniques d'approximations d'un quotient de deux polynômes ou d'une racine carrée d'un polynôme en utilisant les exposants négatifs<ref name="Rashed39" />. Il présente également les polynômes sous la forme synthétique d'un tableau contenant les coefficients des monômes rangés suivant leurs puissances décroissantes<ref>{{harvsp|Dahan|Peiffer|p=91}}.</ref>. Il pose en outre une réflexion sur les exposants fractionnaires et en présente des règles de calcul<ref name=Rashed39/>.

En Occident arabe, la perte de manuscrits ne permet pas de définir avec précision les apports de chacun mais on sait que cette branche de l'algèbre était enseignée dans les universités andalouses encore au {{s|XIV}}<ref>{{harvsp|Djebbar|2001|p=228}}.</ref>. C'est aussi dans l'Occident arabe, au Maghreb plus précisément, que l'on trouve trace au {{s|XIV}} (chez [[Ibn Qunfudh]], [[Al-Qalasadi]] et {{Lien|langue=en|fr=Ibn Ghazi al-Miknasi}}), et même dès le {{s|XII}}<ref>Mahdi Abdeljaouad, «[http://math.unipa.it/~grim/MahdiAbdjQuad11.pdf Le manuscrit mathématique de Jerba : Une pratique des symboles algébriques maghrébins en pleine maturité]», Septième Colloque Maghrébin sur l'histoire des mathématiques arabes, Marrakech, mai-juin 2002, p.11</ref>, d'un symbolisme algébrique touchant tant le calcul que les polynômes et les équations, symbolisme qui semble apparaitre sous cette forme élaborée pour la première fois et serait une originalité des mathématiques de cette région<ref>{{harvsp|Djebbar|2001|p=230}}.</ref>.

=== Analyse indéterminée ===
L'algèbre est également mise au service de l'analyse indéterminée rationnelle, appelée aussi analyse diophantienne rationnelle. Celle-ci consiste à trouver, si elles existent, les solutions rationnelles à un problème comportant plus d'inconnues que d'équations. L'étude de ce type de problème intervient très tôt dans les mathématiques arabes : avant [[Abu Kamil]] qui est, semble-t-il, le premier à distinguer entre problème déterminé et problème indéterminé et avant la traduction des ''Arithmétiques'' de Diophante par Qusta Ibn Luqa<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=74}}.</ref>. Abu Kamil s'intéresse principalement aux problèmes du second degré et aux systèmes linéaires<ref>{{harvsp|Rashed|2012|p=xiii (sommaire)}}.</ref>. Il résout par exemple l'équation <math>ax-x^2+b = y^2</math> par changement de variable affine à coefficients rationnels et en précise les conditions d'existence<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=74-75}}.</ref>. Dans le cadre des systèmes d'équations, il utilise le principe d'élimination par substitution<ref>{{harvsp|Rashed|2012|p=173}}.</ref>. La traduction du traité de Diophante donne une forte impulsion à ce type de recherche, qui prend le nom de ''al-istriqa''<ref> {{harvsp|Rashed|1979|p=197}}.</ref>. [[Al-Karaji]] consacre à ce sujet un traité aujourd'hui perdu, mais dont on trouve la trace dans deux autres de ses traités ''al-Badi'' et ''al-Fakhri''. Il reprend et approfondit les problèmes présentés par Abu Kamil et par les livres II, III et IV des ''Arithmétiques'' pour en faire une étude systématique<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=76-79}}.</ref>. Son travail est prolongé par ses successeurs [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|al-Samaw'al]], al-Zanjani, Ibn al-Khawwam et [[Kamāl al-Dīn al-Fārisī]] et l'analyse indéterminée devient un chapitre intégré dans tout traité sur l'algèbre<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=79}}.</ref>.

== Analyse numérique ==
Pour résoudre numériquement des équations, les mathématiciens arabes mettent en place des méthodes dont certaines sont issues des mathématiques grecques ou indiennes comme l'extraction de la racine carrée ou de la racine cubique. Le principe consiste à déterminer successivement les chiffres d'une solution en utilisant la propriété suivante : si X est une valeur approchée d'une solution de l'équation f(x) = N et si on pose x = X + y et g(y) = f(X+y) – f(X) alors x est une solution de f(x) = N si et seulement si y est solution de g(y) = N – f(X).

Ainsi, pour trouver la solution positive de l'équation f(x) = N où f(x) = x{{exp|3}} + 6x et N = {{ formatnum:5178755}}, on cherche le plus grand entier a tel que f(100a) ≤ N, on trouve a = 1 qui donne le chiffre des centaines de la solution. On pose alors g(y) = f(100+y) – f(100) et N<sub>1</sub> = N – f(100) pour résoudre l'équation g(y) = N<sub>1</sub>. On cherche le plus grand entier b tel que g(10b) ≤ N<sub>1</sub>, on trouve b = 7 qui est le chiffre des dizaines de la solution. On pose enfin h(z) = g(70+z) – g(70) et N<sub>2</sub> = N<sub>1</sub> – g(70) pour résoudre l'équation h(z) = N<sub>2</sub>. On cherche le plus grand entier c tel que h(c) ≤ N<sub>2</sub>, on trouve c = 3 qui est le chiffre des unités de la solution. Comme h(3) = N<sub>2</sub>, on sait que 173 est la solution exacte de l'équation.

Cette méthode est utilisée au {{s|X|e}} par {{Lien|langue=en|trad=Kushyar Gilani|fr=Kushyar Ibn Labbān}} et [[Alhazen|Ibn al-Hayttam]] pour l'extraction de la racine carrée et de la racine cubique<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=62}}.</ref> puis au {{s|XII|e}} pour la racine ''n''-ième. Pour calculer g(y), les mathématiciens arabes avaient à leur disposition la [[formule du binôme de Newton|formule du binôme]] mais il est aussi possible d'utiliser des techniques analogues à la [[méthode de Ruffini-Horner]], comme le fait [[Sharaf al-Din al-Tusi]] dans la résolution numérique de l'équation de degré 3<ref>{{harvsp|Rashed (Algèbre)|p=50-51}}.</ref>.

Lorsque la racine n'est pas entière, une approximation traditionnelle est donnée mais le développement de la théorie des fractions décimales par [[al-Karaji]] et [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|al-Samaw'al]] au {{s|XII}} permet de trouver alors des approximations décimales aussi fines que l'on veut de la racine irrationnelle<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=68}}.</ref>.

Une autre méthode utilisant la propriété du [[point fixe#Point fixe attractif|point fixe attractif]] est employée tardivement au {{s|XV}} chez [[al-Kashi]]<ref>{{harvsp|Dahan|Peiffer|p=100}}.</ref> et au {{s|XVIII}} par Mirza al-Isfahani<ref>{{harvsp|Rashed (Algèbre)|p=51}}.</ref>. En mettant l'équation sous la forme x = f(x), les approximations successives de la solution sont les éléments de la suite définie par : x<sub>0</sub> est une première approximation et x<sub>n+1</sub> = f(x<sub>n</sub>).

Le désir d'améliorer la précision des tables trigonométriques pousse les mathématiciens arabes à affiner les méthodes d'[[Interpolation numérique|interpolation]]. L'interpolation affine était déjà connue des Grecs et la traduction du ''Khandakhadyaka'' de [[Brahmagupta]] les familiarise avec l'interpolation quadratique<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=69-70}}.</ref>. Une réflexion est menée pour déterminer la meilleure interpolation à utiliser, exploitant les moyennes pondérées et la vitesse de variation des différences<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=71-72}}.</ref>, et faisant éventuellement appel à d'autres fonctions que les fonctions du premier et du second degré<ref>{{harvsp|Debarnot|p=195}}.</ref>.

== Combinatoire ==
Il existe assez tôt une préoccupation pour dénombrer de manière organisée certaines configurations comme l'expression de la [[Théorème de Ménélaüs#Triangle sphérique|formule de la figure sécante]] par [[Thābit ibn Qurra]]<ref>{{article|prénom1=Sabine|nom1=Koelblen|titre=Une pratique de la composition des raisons dans un exercice de combinatoire|périodique=Revue d'histoire des sciences|volume=47|numéro=47-2|année=1994|passage=209-247|url texte=http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1994_num_47_2_1202}}.</ref> ou dans des problèmes d'algèbre. Le nombre de cas alors ne nécessite pas la mise en place de formules<ref>{{harvsp|Djebbar|2001|p=231-232}}.</ref>. Les questions de dénombrement naissent réellement dans le domaine de la linguistique où se posent, dès le {{s|VIII}} avec [[Khalil Ibn Ahmad]], des questions comme « Combien de mots de 5 lettres peut-on former ? » et ces études servent aux lexicographes et cryptographes<ref name=R56>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=56}}.</ref>.

Au {{s|XIII}} les formules de dénombrement sont travaillées par [[Nasir ad-Din at-Tusi|Nasir ad-Din al-Tusi]]<ref name=R56/> et par [[Ahmad Ibn Mun'im]] qui, dans son ''Fiqh al-Hisab'' (La science du calcul)<ref>{{article|prénom1=Ahmed|nom1=Djebbar|titre=Les pratiques combinatoires au Maghreb à l’époque de Raymond Lulle|périodique=Quaderns de la Mediterrània|numéro=9|année=2008|passage=85-91|url texte=http://www.iemed.org/publicacions/quaderns/9/q9_085.pdf}}, {{p.|88-89}}.</ref>, établit les formules suivantes<ref name=D235>{{harvsp|Djebbar|2001|p=235}}.</ref>:
{{retrait|Nombre de [[permutation]]s de ''n'' éléments : <math>n(n-1)\cdots 1=n!</math>;}}
{{retrait|Nombre de mots de ''n'' lettres dont une est répétée ''k'' fois : <math> \frac{n!}{k!}</math>;}}
{{retrait|Nombre de mots de ''n'' lettres dont la i<sup>ème</sup> est répété ''k<sub>i</sub>'' fois : <math> \frac{n!}{\prod_i k_i!}</math>.}}
Le nombre de [[Combinaison (mathématiques)|combinaisons]] est étudié, ce qui donne lieu à la réapparition du [[triangle de Pascal]] non plus associé à la [[formule du binôme de Newton|formule du binôme]] mais au dénombrement. Ce travail est poursuivi à la fin du {{s|XIII}} et au début du {{s|XIV}}. [[Kamāl al-Dīn al-Fārisī]] utilise le triangle de Pascal pour calculer les [[nombre figuré|nombres figurés]] établissant la formule<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=58}}.</ref>:
{{retrait|''n''<sup>ième</sup> nombre figuré d'ordre ''r'' : <math> F_n^r = \sum_{k=1}^nF_k^{r-1} = {n+r-1\choose r}.</math>}}
[[Ibn al-Banna]] établit l'égalité<ref name=D235/> :
{{retrait|Nombre de combinaisons de ''p'' éléments pris parmi ''n'' : <math> {n\choose p}=\frac{n(n-1)\cdots (n-p+1)}{p(p-1)\cdots 1}.</math>}}
L'analyse combinatoire devient un chapitre d'ouvrages mathématiques comme chez [[al-Kashi]] ou fait l'objet, tardivement, de traités indépendants comme chez Ibrahim al-Halabi<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=59-60}}.</ref>{{,}}<ref>Pour une description du contenu, on peut lire {{chapitre|prénom1=Roshdi|nom1=Rashed| titre chapitre =Combinatoire et métaphysique: Ibn Sina, al-Tusi et al-Halabi|titre ouvrage = L'histoire des sciences arabes–Interaction scientifique des cultures|éditeur= Commission Nationale de l'Unesco, Société Libanaise d'Histoire des Sciences Arabes, et ALESCO |année= 2007|lire en ligne=https://web.archive.org/web/20160304193158/http://histosc.com/copyright/rashed-halabi.pdf|passage=147-164}}, paragraphe III (p. 13 du document en ligne).</ref>.

== Théorie des nombres ==
Il existe dans les mathématiques arabes une longue tradition d'étude en théorie des nombres, inspirée par les écrits d'[[Euclide]], de [[Diophante d'Alexandrie|Diophante]] et de [[Nicomaque de Gérase]].

Sur les [[nombre parfait|nombres parfaits]], [[Ibn Tahir al-Baghdadi]] énonce une méthode alternative de génération des nombres parfaits d'Euclide à l'aide d'une série arithmétique<ref> Euclide démontre que si A = 1+2+2<sup>2</sup>+...+ 2<sup>n</sup> est premier alors 2<sup>n</sup>A est parfait ([[Livre IX des Éléments d'Euclide]], prop.36) et al-Baghadi démontre que si A=2<sup>n+1</sup> -1 est premier alors 1+2+3+ ...+A est parfait {{harv|Rashed (Analyses)|p=90}}.</ref>. Le cas des nombres parfaits impairs est évoqué et la recherche d'une réciproque est entreprise. [[Alhazen|Ibn al-Haytham]] propose ainsi une réciproque partielle<ref>{{harvsp|Rashed|1989|p=345-348}}.</ref> sur les nombres de la forme 2<sup>p</sup>(2<sup>q</sup>-1). Les mathématiciens arabes s'intéressent à leur répartition, vont jusqu'au {{7e|nombre}} parfait tout en introduisant cependant des nombres parasites<ref>{{harvsp|Rashed|1989|p=349}}.</ref> et invalident l'affirmation de Nicomaque de Gérase<ref>{{harvsp|Rashed|1989|p=350}}.</ref> qui en imagine un dans chaque puissance de 10.

L'étude des [[nombres amicaux|nombres amiables]] traverse l'histoire des mathématiques arabes et conduit au développement des connaissances sur la [[Théorème fondamental de l'arithmétique|décomposition en facteurs premiers]] et sur les fonctions [[somme des diviseurs]] et nombre de diviseurs. [[Thabit ibn Qurra]] démontre son théorème : si A (= 3.2<sup>n</sup> – 1), B (= 3.2<sup>n–1</sup> – 1) et C (= 9.2<sup>2n – 1</sup> – 1) sont premiers alors 2<sup>n</sup>AB et 2<sup>n</sup>C sont amiables. Outre le couple (220, 284), les mathématiciens arabes exhibent les couples ({{formatnum:17296}}, {{formatnum:18416}}) et ({{formatnum:9363584}}, {{formatnum:9437056}})<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=87-90}}.</ref>.

Le travail d'Ibn al-Haytham sur le [[Théorème des restes chinois|problème des restes chinois]] le conduit à énoncer le [[théorème de Wilson]] sur la caractérisation des nombres premiers<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=91}}.</ref>.

En analyse indéterminée entière, les [[Triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]] sont étudiés<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=81}}.</ref> et généralisés aux dimensions supérieures : [[al-Sijzi]] démontre que, pour tout ''n'', il existe un carré somme de ''n '' carrés<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=83-84}}.</ref>. Sont également étudiées les équations de la forme x² ± a = y²<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=81-82}}.</ref>. Sur le [[dernier théorème de Fermat|problème de Fermat]], dans le cas de n = 3 ou n = 4, les mathématiciens arabes affirment l'inexistence de solutions sans cependant réussir à fournir une démonstration aboutie<ref>{{harvsp|Rashed (Analyses)|p=82-83}}.</ref>.

== Géométrie ==
{{Article connexe|Histoire de la géométrie}}
Influencée par les écrits grecs (''[[Éléments d'Euclide|Éléments]]'' d'[[Euclide]], ''Coniques'' d'[[Apollonios de Perga|Appolonius]], ''Sphériques'' de [[Théodose de Tripoli|Théodose]] et de [[Ménélaos d'Alexandrie|Ménélaüs]]) et indiens, la géométrie arabe se développe dans plusieurs directions (traductions et commentaires, astronomie et trigonométrie, optique, problèmes pratiques et théoriques), utilisant de nouveaux outils (algèbre, analyse numérique, méthodes infinitésimales)<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=121-122}}.</ref>.

=== Aires, volumes, problèmes isopérimétriques ===
[[File:Volume-Alhazen.svg|vignette|gauche|upright=1.2|'''Calcul du volume du solide de révolution engendré par la rotation du triangle curviligne OAB, où OB est une portion de parabole d'axe OA, autour de AB<ref>{{harvsp|Rashed (Infinitésimal)|p=102-105}}.</ref>.'''<br />
Ibn al-Haytham découpe le solide en ''n'' tranches et encadre le volume de chaque tranche entre deux volumes cylindriques. Il calcule ensuite la somme de ces volumes cylindriques minorant et majorant le volume du solide à l'aide des [[Formule de Faulhaber|formules de Faulhaber]] et double à l'infini le nombre de tranches pour démontrer que <math> V=\frac8{15}\pi a^2b</math>.]]
Les formules sur les aires (disque, [[formule de Héron]], polygones réguliers inscrits dans un cercle, cône) et de volumes (sphère, cône), connues des Grecs et des Indiens sont exposées très tôt ([[al-Khwarizmi]], [[Frères Banou Moussa|frères Banu Musa]])<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=122-124}}.</ref>. Leurs calculs s'affinent grâce aux techniques d'analyse numérique. Très tôt (dès [[al-Biruni]]), les mathématiciens sont convaincus de l'[[Nombre irrationnel|irrationalité]] de [[Pi|π]]<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=126-127}}.</ref>. D'autres formules sont mises au point comme le volume des cônes et pyramides tronqués<ref name=RY125>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=125}}.</ref>.

Une des originalités des travaux arabes est le développement de techniques infinitésimales s'appuyant sur la [[méthode d'exhaustion]] mise en pratique par [[Archimède]] dans ''La sphère et le cylindre'' et ''La mesure du cercle''. Ce mouvement est initié par les frères Banu Musa qui comprennent la portée générale de la méthode d'Archimède et l'utilisent pour la surface de la sphère. Leur traité, ''Sur la mesure des figures planes et sphériques''{{note|Roshdi Rashed estime que cet ouvrage est {{citation|bien dans la tradition archimédienne sans pour autant qu'il soit redigé selon le modèle du ''De la sphère et du cylindre'' ou selon tout autre traité d'Archimède<ref name=Sinaceur/>.}}|groupe=n}}, devient un texte fondamental tant dans le monde arabe, que dans l'Occident latin, après sa traduction au {{s|XII}} par [[Gérard de Crémone]]<ref>{{harvsp|Rashed (Infinitésimal)|p=95-96}}.</ref>. Leur disciple et successeur, [[Thābit ibn Qurra]], poursuit dans la même voie, calculant l'aire d'une parabole<ref group=n>Le traité d'Archimède ''[[La Quadrature de la parabole (Archimède)|La Quadrature de la parabole]]'' ne sera découvert que plus tard.</ref> par découpage en trapèzes analogue aux [[somme de Riemann|sommes de Riemann]]<ref>{{harvsp|Rashed (Infinitésimal)|p=96-100}}.</ref>. Il calcule également le volume de paraboloïdes et l'aire de l'ellipse. Après lui, on peut citer [[Ibrahim ibn Sinan]], [[Abū Sahl al-Qūhī|al-Quhi]], [[Alhazen|Ibn al-Haytham]]. Chez ce dernier, on trouve tous les éléments du calcul d'intégrale par [[Intégrale de Riemann#Définition|sommes de Darboux]] (encadrement, jeu sur les découpages, erreur rendue aussi petite que l'on veut). Cependant les mathématiciens arabes limitent ces techniques aux aires et volumes qui peuvent s'exprimer en fonction d'aires et de volumes connus<ref>{{harvsp|Rashed (Infinitésimal)|p=102-106}}.</ref>.

Ils s'intéressent aussi aux calculs d'aires de portions de cercle. Thābit ibn Qurra calcule l'aire de la partie de cercle limitée par le côté d'un triangle équilatéral et celui d'un hexagone régulier inscrits dans le cercle<ref name=RY125/>. Ibn al-Haytham s'intéresse aux lunules<ref group=n>Portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents.</ref> et montre la relation entre leurs aires et la trigonométrie<ref>{{harvsp|Rashed (Infinitésimal)|p=106-112}}.</ref>.

Le problème des [[isopérimétrie|isopérimètres]] (à périmètre constant, quelle est la figure ayant la plus grande aire ?) déjà étudié par [[Zénodore (mathématicien)|Zénodore]] et de nombreux mathématiciens grecs, est repris par les mathématiciens arabes ([[al Khazin]], Ibn al-Haytham). Concernant l'espace et le problème des isépiphanes (à surface constante, quel est le solide de volume maximum ?), ils ne peuvent conclure rigoureusement mais leurs études conduisent au développement d'une théorie sur l'[[angle solide]] (Ibn al-Haytham)<ref>{{harvsp|Rashed (Infinitésimal)|p=112-119}}.</ref>.

=== Constructions et courbes ===
Les mathématiciens arabes s'intéressent également à des problèmes de constructions dont certains sont des problèmes classiques des mathématiques grecques : construction d'une double proportionnelle, trisection de l'angle, constructions exactes ou approchées de polygônes réguliers, découpage d'un carré en somme de plusieurs carrés, construction à la règle et au compas d'écartement constant, constructions géométriques pour les [[astronomie arabe#Instruments|instruments astronomiques]]<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=128-130;132}}.</ref>.
[[Fichier:IbnSahlHyperboleAnim.ogv|vignette|Construction mécanique d'une hyperbole selon la méthode d'Ibn Sahl. La règle pivote autour du foyer F<sub>2</sub>. Le crayon M, sur la règle s'appuie sur une corde F<sub>1</sub>MD de longueur fixe et dessine une portion d'hyperbole de foyers F<sub>1</sub> et F<sub>2</sub>.]]
La résolution des équations de degré trois, ainsi que l'optique, les poussent à s'intéresser aux coniques dont ils étudient les propriétés focales ([[ibn Sahl]]) et pour lesquelles ils imaginent des mécanismes de construction en continu : [[compas parfait]] d'[[Abū Sahl al-Qūhī|al-Quhi]], mécanismes avec règle, corde et poulie d'Ibn Sahl<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=131}}.</ref>. Parmi ces traités, on peut citer le traité de [[Thābit ibn Qurra]] sur les ellipses et celui d'[[al-Sijzi]] sur les hyperboles. D'après le témoignage d'autres mathématiciens, il existerait des traités aujourd'hui perdus sur les courbes obtenues comme projections de [[courbe gauche|courbes gauches]]<ref>{{harvsp|Djebbar|2001|p=125}}.</ref>.

=== Transformations et projections ===
Les mathématiciens arabes ont moins de réticence que certains mathématiciens grecs comme [[Euclide]] pour utiliser le mouvement et les [[transformation géométrique|transformations]] en géométrie<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=143}}.</ref>. L'[[homothétie]] est utilisée très tôt ([[Ibrahim ibn Sinan]], [[Al-Fârâbî|al-Farabi]] et [[Abu l-Wafa]]). Ses propriétés sur les configurations (transformation de cercles en cercles) sont démontrées par Ibn-Sinan et [[Abū Sahl al-Qūhī|al-Quhi]]. À leur suite, [[Alhazen|Ibn al-Haytham]] étudie les [[similitude (géométrie)|similitudes]] directes et démontre qu'elles transforment des droites en des droites et des cercles en des cercles. [[Thābit ibn Qurra]] et Ibrahim ibn Sinan utilisent des [[affinité (mathématiques)|affinités]] pour transmettre des propriétés du cercle à l'[[ellipse (mathématiques)|ellipse]] ou de l'[[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] équilatère à l'hyperbole quelconque et démontrent qu'une [[application affine|transformation affine]] quelconque conserve les rapports d'aire<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=144}}.</ref>. On rencontre même, chez [[al-Biruni]] et Ibn Sinan, des cercles transformés en coniques grâce à des [[application projective|transformations projectives]]<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=145}}.</ref>.

Les besoins en astronomie, en particulier pour la construction d'[[astrolabe]]s ou la détermination de la [[qibla]], poussent les mathématiciens arabes à étudier les projections de la sphère sur le plan ([[projection orthogonale]], [[Projection stéréographique|projections stéréographiques]] de pôle et de plan divers, [[Projection cartographique#Projection cylindrique|projections cylindriques]], projections avec rabattement<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=146-152}}.</ref>). [[Al-Farghani]] démontre qu'une projection stéréographique transforme les cercles passant par le pôle en droites et transforme les autres cercles en cercles<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=146-147}}.</ref>. Son travail est prolongé par al-Quhi et [[ibn Sahl]], mais ni l'un ni l'autre ne fait référence à une quelconque [[Inversion (géométrie)|inversion]]<ref group=n>Une projection stéréographique est la restriction d'une inversion à une sphère et un plan.</ref>{{,}}<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=148}}.</ref>. La [[transformation conforme|conformité]] (conservation des angles) de la projection stéréographique est connue et utilisée par al-Biruni et 'Abd al-Jabbar al-Kharaqi (m. 1158)<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=149}}.</ref> et la projection stéréographique est réinvestie en cartographie<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=150}}.</ref>.

=== Questions sur les fondements ===
{{multiple image
 | align     = left
 | direction = horizontal
 | footer    = Les angles restants peuvent être droits, aigus ou obtus selon la géométrie dans laquelle on travaille (euclidienne, [[géométrie hyperbolique|hyperbolique]] ou [[géométrie elliptique|elliptique]]). Les mathématiciens arabes ''prouvent'' qu'ils sont droits en commettant une [[pétition de principe]] ou en utilisant explicitement un axiome équivalent au {{5e|postulat}}.
 | width     = 140

 | image1    = Lambert's quadrilateral.svg
 | caption1  = '''Quadrilatère de Lambert'''

 | image2    = Saccheri's quadrilateral.svg
 | caption2  = '''Quadrilatère de Saccheri'''
}}
En commentant les ''Éléments'' d'Euclide, les mathématiciens arabes cherchent également à en réformer la théorie, affirmant par exemple qu'il est nécessaire d'ajouter un postulat sur l'existence des points, lignes et plans<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=132-135}}.</ref>. Ils s'interrogent aussi sur la nature du postulat V, dit ''[[Axiome des parallèles|Postulat des parallèles]]'' : « Si deux droites coupent une même droite en créant deux angles internes plus petits qu'un droit, alors ces droites sont sécantes », et tentent de le démontrer ou de le simplifier, exhibant ainsi des propriétés qui lui sont équivalentes ([[Al-Abbâs ibn Saïd al-Jaouharî|al-Jawhari]], [[Thābit ibn Qurra]], [[Alhazen|ibn al-Haytham]], [[al-Biruni]], [[Omar Khayyam|Omar al-Khayyam]], [[Nasir ad-Din at-Tusi|Nasir al-Din al-Tusi]] et son école<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=135-142}}.</ref> et [[Muhyi al-Dīn al-Maghribī]]<ref>{{harvsp|Djebbar|2001|p=217}}.</ref>).

Al-Jawhari s'appuie ainsi sur l'idée que, par un point intérieur à un angle, on peut tracer une droite qui en rencontre les deux côtés<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=136-137}}.</ref>. Thabit ibn Qurra utilise l'hypothèse que deux droites qui s'éloignent dans une direction se rapprochent nécessairement dans l'autre et réciproquement. Il propose également dans une autre démonstration un mouvement simple : le lieu parcouru par l'extrémité A d'un segment [AB] perpendiculaire à (d) en B, quand le point B parcourt (d) est une droite parallèle à (d)<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=137}}.</ref>. Ibn al-Haytham se sert d'un quadrilatère possédant 3 angles droits (quadrilatère de [[Jean-Henri Lambert|Lambert]])<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=138}}.</ref>. Al-Khayyam puis al-Tusi étudient le quadrilatère ABCD tel que les côtés AB et CD soient égaux et les angles de sommets C et D sont droits (quadrilatère de [[Giovanni Girolamo Saccheri|Saccheri]])<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=139-141}}.</ref>.

Les travaux de ces mathématiciens jettent les premières bases de ce qui deviendra au {{s|XIX}} la théorie des [[Géométrie non euclidienne|géométries non euclidiennes]], [[Géométrie hyperbolique|hyperbolique]] et [[Géométrie elliptique|elliptique]]<ref>{{harvsp|Dahan|Peiffer|p=151}}.</ref>.

=== Trigonométrie ===
{{article détaillé|Histoire des fonctions trigonométriques}}

La trigonométrie est une discipline créée pour les besoins de l'astronomie. Elle remonte au moins jusqu'à [[Hipparque (astronome)|Hipparque]] qui construit la première table des cordes<ref group=n> La corde de l'angle ''a'' est la longueur d'un segment [AB] où A et B sont deux points d'un cercle de centre O et de rayon R (R peut valoir selon les ouvrages 60, 360 ou d'autres valeurs) avec l'angle AOB valant ''a''.</ref>. Le principal résultat utilisé en astronomie grecque et dans les débuts de l'[[astronomie arabe]] est le [[Théorème de Ménélaüs#Triangle sphérique|théorème de Ménélaüs]]. Les mathématiques indiennes introduisent le [[Sinus (mathématiques)|sinus]]<ref group=n>Le sinus indien est aussi une longueur égale à R.sin.</ref> et le sinusverse<ref group=n>vers(''a'') = R(1 – sin ''a'').</ref>, établissant également quelques formules sur le triangle rectangle sphérique<ref>{{harvsp|Debarnot|p=163-164;166}}.</ref>. Reprenant ces travaux, les mathématiciens arabes les enrichissent et les complètent. Ils en font une discipline à part entière donnant lieu à des traités spécifiques comme le {{3e|traité}} du ''Canon de Masud'' d'[[al-Biruni]]<ref>{{harvsp|Debarnot|p=194}}.</ref>, le traité de [[Ibn Muʿādh al-Jayyānī]]<ref>{{harvsp|Debarnot|p=185-186}}.</ref> et le ''Traité du quadrilatère'' de [[Nasir ad-Din at-Tusi|Nasir al-Din al-Tusi]]<ref>{{harvsp|Debarnot|p=184-185}}.</ref>.

Ils introduisent de nouvelles fonctions, la sécante (R/sin) et la cosécante (R/sinus de l'angle complémentaire). [[Al-Marwazi|Habash al-Hasib]] y ajoute la notion d'ombre correspondant à R.tan, à distinguer de l'ombre du gnomon<ref group=n>L'ombre d'un gnomon vertical de hauteur ''h'', lorsque le soleil est à une hauteur ''a'' est ''o'' = ''h'' cot(''a'').</ref>. Il s'en sert comme fonction auxiliaire dans ses [[Table numérique|tables numériques]] et la tabule<ref>{{harvsp|Debarnot|p=176-181}}.</ref>. Sont également établies quelques formules trigonométriques (relation entre les différentes fonctions, sinus de l'angle double, sinus d'une somme…)<ref>{{harvsp|Debarnot|p=188}}.</ref>.

Ces fonctions trouvent leur utilité en trigonométrie sphérique où de nouvelles relations sont démontrées. La [[Trigonométrie sphérique#Formule des sinus|règle des sinus]] apparaît dans plusieurs écrits ([[al-Khujandi]], [[Abu l-Wafa]], [[Abu Nasr Mansur|Abu Nars]])<ref>{{harvsp|Debarnot|p=171}}.</ref>, la [[Trigonométrie sphérique#Formule des cotangentes|règle de la tangente]]<ref group=n>Dans le triangle sphérique ABC rectangle en B, sin(AC) = Tan(BC)/tan(A).</ref> pour le triangle rectangle sphérique (Abu l-Wafa<ref>{{harvsp|Debarnot|p=175}}.</ref>) et la [[Trigonométrie sphérique#Formule des cosinus et relation duale|règle des cosinus]] dans le triangle rectangle sphérique ([[Abu Nasr Mansur|Abu Nars]]<ref>{{harvsp|Debarnot|p=174}}.</ref>). Progressivement sont établies les [[résolution d'un triangle|formules de résolution]] du triangle rectangle sphérique<ref>{{harvsp|Debarnot|p=176}}.</ref> et partiellement celles de résolution du triangle quelconque<ref>{{harvsp|Debarnot|p=182}}.</ref> avec introduction du [[Trigonométrie sphérique#Triangle polaire|triangle polaire]] ([[al Khazin]], Abu Nars, Ibn Muʿādh al‐Jayyānī, Nasir al-Din al-Tusi)<ref>{{harvsp|Debarnot|p=183}}.</ref>.

L'utilisation de la trigonométrie dans des problèmes plans reste occasionnelle, à l'exception d'[[al-Kashi]] qui produit une table réservée à la résolution des triangles plans quelconques<ref>{{harvsp|Debarnot|p=187}}.</ref> et en l'honneur duquel on a rebaptisé la [[Théorème d'Al-Kashi|loi des cosinus]].

La recherche d'une plus grande précision dans les tables de sinus, avec de meilleures interpolations et avec l'aide de l'algèbre, occupe mathématiciens et astronomes arabes principalement à partir de la fin du {{s|X}} ([[Ibn Yunus]], abu l-Wafa, al-Biruni, al-Kashi)<ref>{{harvsp|Debarnot|p=189-198}}.</ref>.

=== Optique géométrique ===
{{article détaillé|Histoire de l'optique}}
[[Fichier:Ibn Sahl manuscript.jpg|vignette|Manuscrit d'Ibn Sahl sur la loi de la réfraction.]]
L'[[optique géométrique]] arabe est une héritière directe de l'optique grecque<ref>{{harvsp|Rashed (Optique)|p=293}}.</ref>. Les grands noms de cette discipline sont [[Qusta ibn Luqa]], [[al-Kindi]], [[Ibn Sahl]] et [[Alhazen|Ibn al-Haytham]]. Dans un premier temps sont traduits, l’''Optique'' d'[[Euclide]], ainsi que d'autres ouvrages grecs sur l'optique ou la [[catoptrique]] ([[Dioclès (mathématicien)|Dioclès]], [[Anthémius de Tralles]])<ref>{{harvsp|Rashed (Optique)|p=293-294}}.</ref>. Qusta ibn Luqa commente Euclide et a pour projet de justifier les propositions grecques sur la propagation rectiligne de la lumière et les lois de la réflexion<ref>{{harvsp|Rashed (Optique)|p=296-302}}.</ref>. L'étude des [[miroir (optique)|miroirs]] ([[miroir plan|plans]], [[miroir sphérique|sphériques]], paraboliques ou [[miroir ardent|ardents]]) est approfondie et complétée. Al-Kindi met en doute la légende selon laquelle [[Archimède]] aurait incendié la flotte romaine à l'aide de miroirs et clarifie le principe du miroir parabolique<ref>{{harvsp|Rashed (Optique)|p=302-305}}.</ref>. En [[dioptrique]], Ibn Sahl définit l'[[indice de réfraction]] et met en place la [[loi de Snell-Descartes|loi de Snellius]]. Il étudie en particulier la lentille biconvexe hyperbolique<ref>{{harvsp|Rashed (Optique)|p=305-309}}.</ref>. Ibn al-Haytham, grand réformateur de l'optique physiologique, physique et géométrique, fait une étude extensive des problèmes de réflexions et résout le [[Problème d'Alhazen|problème qui porte son nom]]<ref>{{harvsp|Rashed (Optique)|p=310-312}}.</ref>: « Étant donnés deux points distincts A et B, trouver le point de réflexion, sur un miroir sphérique concave ou convexe, du rayon issu de A et arrivant à B. », ramenant le problème à l'intersection d'un cercle et d'une hyperbole<ref>{{en}} [[A. I. Sabra]], [http://www2.kenyon.edu/Depts/Math/Aydin/Teach/128/AlHazenProblem.pdf Ibn al-Haytham's Lemmas for Solving "Alhazen's Problem"], juillet 1981.</ref>. En dioptrique, il étudie le dioptre et la lentille sphérique analysant le phénomène d'[[aberration géométrique|aberration sphérique]]<ref>{{harvsp|Rashed (Optique)|p=313-316}}.</ref>. Son grand traité ''[[traité d'optique (Alhazen)|L'Optique]]'', traduit en latin au {{s|XII}} a fait l'objet de nombreux commentaires jusqu'au {{s|XVII}}<ref>{{harvsp|Rashed (Optique)|p=310}}.</ref>.

== Influences sur les mathématiques de l'Occident latin ==
[[Fichier:Liber abbaci magliab f124r.jpg|vignette|Page 124 du ''Liber abaci'' de la [[Bibliothèque nationale centrale de Florence|bibliothèque nationale de Florence]], décrivant la croissance d'une population de lapins et introduisant ainsi la [[suite de Fibonacci]]. L'encart, à droite du texte, présente les 13 premiers termes de la suite, écrits avec des chiffres d'origine arabe ; de haut en bas : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 et 377.]]
Le transfert du savoir arabo-musulman se fait de plusieurs manières : par contact direct avec la [[Al-Andalus|civilisation andalouse]], par le biais de la science en hébreu médiéval, par la traduction d'ouvrages arabes en latin, puis, plus tard, par l'exode de savants byzantins après la prise de Constantinople. Le transfert est partiel, certains textes n'ont pas été connus, certains thèmes ne suscitent pas l'intérêt des scientifiques occidentaux, d'autres ouvrages sont d'un abord trop difficile pour être traduits<ref>{{harvsp|DjebbarCanaries|p=2;11}}.</ref>. Les traductions sont souvent hybrides, mélangeant des sources grecques et des sources arabes.

L'Occident médiéval prend connaissance assez tôt de l'écriture décimale et du système de calcul indien. Le premier contact de l'Occident latin avec le système décimal semble dater de l'[[an mil]] avec l'[[Abaque (calcul)#Gerbert d’Aurillac et la querelle abaciste contre algoriste|abaque de Gerbert]] (d'après Gerbert d'Aurillac, le futur [[pape]] [[Sylvestre II]], qui en a introduit le principe): c'est une table de calcul divisée en colonnes correspondant aux unités, dizaines etc. et où les colonnes non vides sont marquées d'un jeton portant un chiffre. On ne sait pas si Gerbert lui-même a utilisé les chiffres arabes pour ces jetons, mais d'autres après lui l'ont fait<ref>{{Ouvrage|auteur = Nadia Ambrosetti|titre = L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa medievale|année = 2008|lieu = Milan|isbn = 978-88-7916-388-0|lire en ligne = {{Google Livres|wp23Le5nxMEC|page=96}}|éditeur = LED|consulté le = 2015-11-23 |langue = it|passage = 96-98}}.</ref>.

Les premières traductions du ''Calcul indien'' d'[[al-Khwarizmi]] (''Dixit algorizmi'', ''Liber Ysagogarum alchorismi'', ...) datent du {{s|XII}} et sont hybrides, incorporant des textes de [[Nicomaque de Gérase]] et [[Boèce]]<ref>{{harvsp|Allard|p=200-203}}.</ref>. Le nom de l'auteur devient un nom commun, « algorisme », désignant la technique de calcul tandis que ceux qui le pratiquent sont appelés les algoristes<ref>{{harvsp|Allard|p=203-204}}.</ref>. Le calcul sur table de poussière fait l'objet de traités au {{s|XIII}} et la méthode de [[Technique de la multiplication par jalousies|multiplication par jalousies]] est reprise dans l'occident médiéval<ref>{{harvsp|Allard|p=208-209}}.</ref>.

Plusieurs traductions plus ou moins fidèles du traité d'[[al-Khwarizmi]] ''al-jabr w'al muqabala'' apparaissent au {{s|XII}} ([[Jean de Tolède]], [[Robert de Chester]], [[Gérard de Crémone]]). Le terme al-jabr devient le nom d'une discipline l'algèbre<ref>{{harvsp|Allard|p=220-225}}.</ref>. Mais l'ouvrage qui fait vraiment entrer cette discipline dans le monde latin est le ''[[Liber abaci]]'' de [[Leonardo Fibonacci|Léonard de Pise, dit Fibonnaci]]. Ce mathématicien fait découvrir l’œuvre de [[Diophante]] à l'Occident latin<ref>{{harvsp|Allard|p=220}}.</ref> mais ses emprunts aux sources arabes ([[al-Khwarizmi]], [[Abu Kamil]], [[al-Karaji]]) sont nombreuses<ref name=Allard225>{{harvsp|Allard|p=225}}.</ref>. Il introduit également la ''[[Suite de Fibonacci|suite de Fibonnacci]]'' et la numération arabe en Occident auxquels il a été initié lors de son parcours en Orient, notamment dans la ville de [[Béjaïa|Béjaïa (Bougie)]] en Algérie (il s'inspire des méthodes de calcul des apiculteurs et des paysans de la ville pour formuler sa suite)<ref>{{Article|prénom1=Djamil|nom1=Aissani|titre=Activités scientifiques et Interculturalité en Méditerranée (11e – 19e siècles) : les enjeux pour la ville de Béjaia.|périodique=ResearchGate|date=2012-01-01|lire en ligne=https://www.researchgate.net/publication/264057966_Activites_scientifiques_et_Interculturalite_en_Mediterranee_11e_-_19e_siecles_les_enjeux_pour_la_ville_de_Bejaia|consulté le=2016-12-02}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=|auteur1=|prénom1=Dominique|nom1=Valérian|titre=Mathématiques, commerce et société à Béjaïa (Bugia) au moment de séjour de Leonardo Fibonacci ({{sp-|XII|-|XIII}})|périodique=Bollettino di storia delle scienze matematiche, XXIII/2|date=2003|issn=|lire en ligne=https://www.academia.edu/3640311/Math%C3%A9matiques_commerce_et_soci%C3%A9t%C3%A9_%C3%A0_B%C3%A9ja%C3%AFa_Bugia_au_moment_de_s%C3%A9jour_de_Leonardo_Fibonacci_XIIe-XIIIe_si%C3%A8cle_|consulté le=2016-12-02|pages=}}.</ref>. Cependant, l'Occident latin ne semble assimiler que ce qui constitue les premiers pas des mathématiciens arabes dans le domaine de l'algèbre<ref name=Allard225/> et des écrits comme ceux d'[[Omar Khayyam]] ou [[Sharaf al-Dīn al-Tūsī]] semblent méconnus<ref>{{harvsp|DjebbarCanaries|p=2}}.</ref>. À partir du {{s|XVI}}, l'Occident se lancera dans une voie propre avec l'école allemande ([[Christoff Rudolff]]), l'école italienne ([[Luca Pacioli]], [[Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]], [[Girolamo Cardano|Cardan]], [[Raphaël Bombelli|Bombelli]]) et les apports des symbolistes ([[François Viète|Viète]], [[René Descartes|Descartes]])<ref>{{harvsp|Dahan|Peiffer|p=104-110}}.</ref>.

En géométrie, l'Occident latin n'avait qu'une connaissance très partielle des ''[[Éléments d'Euclide|Éléments]]'' d'Euclide. Les traductions de l'Euclide arabe par [[Adélard de Bath]], par [[Gérard de Crémone]], qui est également le traducteur des commentaires d'[[Al-Nayrizi]], ainsi que le ''Commentaire'' de [[Campanus de Novare]] sur cette même œuvre constituent le point de départ d'une renouveau de la géométrie en Occident<ref>{{harvsp|Allard|p=210-216}}.</ref>. Il en est de même des œuvres d'[[Archimède]]. Mais ces textes grecs parviennent en Occident enrichis par les apports arabes des mathématiciens traduits par Gérard de Crémone ([[Frères Banou Moussa|frère Banu Musa]], [[Thabit ibn Qurra]], [[Alhazen|ibn al Hayttham]]) qui vont influencer des mathématiciens comme [[Vitellion|Witelo]] ou [[Regiomontanus]]<ref>{{harvsp|Allard|p=219}}.</ref>. La projection stéréographique est transmise lors de la traduction des traités sur l'astrolabe<ref name=RY162>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=161-162}}.</ref>. Certains chapitres cependant demeurent ignorés ou sont découverts tardivement; c'est le cas du travail sur l'axiome des parallèles dont l'influence n'apparaît qu'au {{s|XIII}} dans les œuvres de Witelo ou [[Gersonide|Levi Ben Gerson]]<ref>{{harvsp|Rosenfeld|Youshkevitch|p=142}}.</ref>. De la même façon semblent également ignorés les travaux d'[[al-Biruni]], [[al-Farabi]] et [[Abu l-Wafa]] ainsi que les études sur les transformations affines de Thabit Ibn Qura et [[Ibrahim ibn Sinan]]<ref name=RY162/>.

La trigonométrie est transmise en Occident en même temps que l'astronomie dont elle constitue souvent un chapitre à part. Elle ne devient une discipline à part entière qu'au {{s|XIV}} mais on peut mesurer l'influence de la trigonométrie arabe sur une œuvre comme le ''De triangulis'' de Regiomontanus, très proche de ''Traité du quadrilatère'' de [[Nasir ad-Din at-Tusi|Nasir al-din al-Tusi]]<ref>Jean Itard, « La trigonométrie » in {{BouvItardSallé}}, {{p.|140}}.</ref>.

Grâce à la transmission d'une partie des textes grecs et du savoir mathématique arabe, les mathématiques européennes ont ainsi bénéficié d'une impulsion décisive pour leur épanouissement.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{références|groupe=n}}
=== Références ===
{{références|colonnes=3}}
== Bibliographie ==
* {{Article|auteur=[[Hélène Bellosta]]|titre=À propos de l'''histoire des sciences arabes''|périodique=[[Gazette des mathématiciens]]|numéro=82|mois=octobre|année=1999|url texte=http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/1999/82/smf_gazette_82_37-44.pdf}}
* {{DahanPeiffer}}
* {{Ouvrage|auteur1=[[Ahmed Djebbar]]|titre=Une histoire de la science arabe|sous-titre=Entretiens avec Jean Rosmorduc|éditeur=[[Éditions du Seuil|Seuil]]|année=2001|isbn=|id=Djebbar2001}}
* {{Chapitre|langue=es|auteur=Ahmed Djebbar|titre chapitre=Las matematicas arabes y su papel en el desarrollo de la tradicion cientifica europea ({{fr}} [http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/usrn/fundoro/archivos%20adjuntos/publicaciones/otros_idiomas/frances/seminario9/Djebbar_MathematiquesArabes.pdf Les mathématiques arabes et leur rôle dans le développement d'une tradition scientifique européenne])|titre ouvrage= Galileo y la gestacion de cienca moderna|sous-titre ouvrage=Fundación canaria de historia de la cienca. acta IX|lire en ligne=http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/usrn/fundoro/web_fcohc/005_publicaciones/seminario/galileo.htm|lieu=Canarias|mois=janvier|année=2001|editeur=Consejería de educatión, cultura y deportes des gobierno de Canaria - Fundación canaria de historia de la cienca|isbn=84-699-3242-X|id=DjebbarCanaries}}
* {{chapitre|auteur=[[Jens Høyrup]]|titre chapitre=« Algèbre d'al-gabr » et « algèbre d'arpentage » au neuvième siècle islamique et la question de l'influence babylonienne|titre ouvrage=D'Imhotep à Copernic. Astronomie et mathématiques des origines orientales au Moyen Âge |sous-titre ouvrage=Actes du colloque international, Université Libre de Bruxelles, 3-4 novembre 1989|éditeur=Fr Mawet & Ph. Talon|année=1992|passage=83-110 (505-534)|lire en ligne=http://akira.ruc.dk/~jensh/Publications/1995%7Ba%7D_Mellem%20gaade%20og%20videnskab_vol%202_S.pdf}}
* {{chapitre|auteur=Khalil Jaouiche|titre chapitre =L’apport de l’Inde aux mathématiques arabes|titre ouvrage = [http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiques/seminaires/ActesKol.html L'Océan Indien au carrefour des mathématiques arabes, chinoises, européennes et indiennes] - Actes du colloque|éditeur=[[IREM]] de [[La Réunion]]|année=1997|lire en ligne=http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiques/seminaires/resources/Jaoui35.pdf|passage=211-223}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Uta Merzbach|Uta C. Merzbach]]|auteur2=[[Carl Benjamin Boyer|Carl B. Boyer]]|titre=A History of Mathematics|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|année=2011|numéro d'édition=3|année première édition=1968|pages totales=688|isbn=978-0-470-63056-3|lire en ligne={{Google Livres|bR9HAAAAQBAJ}}|id=Merzbach et Boyer 2011}}
* {{Ouvrage|auteur1=[[Roshdi Rashed]]|directeur1=oui|auteur2=[[Régis Morelon]]|titre=[[Histoire des sciences arabes]]|sous-titre=mathématiques et physique|tome=2|éditeur=[[Éditions du Seuil|Seuil]]|année=1997|isbn=}}
** {{chapitre|prénom1=Ahmad S.|nom1=Saidan|titre chapitre=Numération et arithmétique|titre ouvrage= Histoire des sciences arabes}}
** {{chapitre|auteur=Roshdi Rashed|titre chapitre=Algèbre|id=Rashed (Algèbre)|titre ouvrage= Histoire des sciences arabes}}
** {{chapitre|auteur=Roshdi Rashed|titre chapitre=Analyse combinatoire, analyse numérique, analyse diophantienne et théorie des nombres|id=Rashed (Analyses) |titre ouvrage= Histoire des sciences arabes}}
** {{chapitre|auteur=Roshdi Rashed|titre chapitre=Déterminations infinitésimales, quadrature des lunules et problèmes isopérimétriques|id=Rashed (Infinitésimal) |titre ouvrage= Histoire des sciences arabes}}
** {{chapitre|prénom1=Boris A.|nom1=Rosenfeld|lien auteur1=Boris Rosenfeld|prénom2=Adolf P.|nom2=Youschkevitch|lien auteur2=Adolf P. Youschkevitch|titre chapitre=Géométrie |titre ouvrage= Histoire des sciences arabes}}
** {{chapitre|auteur=Marie-Thérèse Debarnot|titre chapitre=Trigonométrie |titre ouvrage= Histoire des sciences arabes}}
** {{chapitre|auteur=André Allard|titre chapitre=L'influence des mathématiques arabes dans l'Occident médiéval |titre ouvrage= Histoire des sciences arabes}}
** {{chapitre|auteur=Roshdi Rashed|titre chapitre=Optique Géométrique|id=Rashed (Optique)|titre ouvrage= Histoire des sciences arabes}}
* {{Ouvrage|auteur1=Roshdi Rashed|titre=Abu Kamil : Algèbre et analyse diophantienne|sous-titre=Édition, traduction et commentaire|éditeur=[[Walter de Gruyter]]|année=2012|isbn=|présentation en ligne=https://books.google.fr/books?id=sjZ-9QdnLzcC&pg=PA234}}
* {{article|auteur=Roshdi Rashed|titre=l'analyse diophantienne au {{s|X}} : l'exemple d'al Khazin|périodique=Revue d'histoire des sciences|volume=32|numéro=32-3|année=1979|passage=193-222|url texte=http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1979_num_32_3_1632}}
* {{Article|auteur=Roshdi Rashed|titre=Ibn al-Haytham et les nombres parfaits|périodique=Historia Mathematica|éditeur=Elsevier|volume=16|numéro=16-4|année=1989|mois=novembre|passage=343-352|url texte=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086089900815}}

== Liens externes ==
* {{lien web|url=http://www.dma.ens.fr/culturemath/video/html/Djebbar.htm|titre=L’algèbre arabe : entretien avec Ahmed Djebbar}}
* {{Lien web|url=https://www.dailymotion.com/video/xavaei_les-mathematiques-arabes-1-6_tech|titre=Les mathématiques arabes|site=[[Dailymotion]]}}, série de conférences d'Ahmed Djebbar

{{Palette|Culture arabe|Mathématiques arabes}}
{{Portail|mathématiques|monde arabo-musulman|monde arabe|histoire des sciences}}

[[Catégorie:Mathématiques arabes| ]]