Voir la source de Mathématiques mésopotamiennes

[[Fichier:Ybc7289-bw.jpg|thumb|250px|Photographie de la tablette YBC 7289 annotée. Les nombres écrits dans le système babylonien donnent la [[racine carrée]] de 2 avec quatre [[système sexagésimal|chiffres sexagésimaux]] significatifs, soit près de six chiffres [[système décimal|décimaux]] :<br>1 + 24/60 + 51/60<sup>2</sup> + 10/60<sup>3</sup> = 1,41421296... (crédit : Bill Casselman).]]
Les '''mathématiques mésopotamiennes''' sont les mathématiques pratiquées par les peuples de l'ancienne [[Mésopotamie]] (dans l’[[Irak]] actuel), depuis l'époque des [[Sumer|Sumériens]] jusqu'à la chute de [[Babylone]] en {{date|-539}}. Alors que l'on ne dispose que de très rares sources sur les [[mathématiques en Égypte antique]], notre connaissance des [[Babylone (royaume)|mathématiques babyloniennes]] s'appuie sur environ 400 [[Tablette d'argile|tablettes d'argile]] mises au jour depuis les [[années 1850]]. Écrites en [[cunéiforme]], ces tablettes furent travaillées sur de l'argile encore humide, puis cuites dans un four ou séchées au soleil. La plupart des tablettes qui nous sont parvenues datent de 1800 à {{date-|-1600}}, et traitent de [[Fraction (mathématiques)|fractions]], d’[[équation algébrique|équations algébriques]] ([[équation du second degré|équations du second degré]] et [[Équation cubique|du troisième degré]]), de [[Théorème de Pythagore|calculs d'hypoténuse]] et de [[Triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]] voire, peut-être, de certaines [[Fonction trigonométrique|lignes trigonométriques]] (cf. notamment la [[tablette Plimpton 322]]). La tablette [[YBC 7289]] fournit une approximation de [[Racine carrée de 2|{{racine|2}}]] précise à six décimales près. Ces tablettes dérivent de la technique ayant donné les premières écritures de nombres : les [[Bulle-enveloppe|bulles-enveloppe]] ou bulles comptables qui contenaient initialement les calculi.

== Numération ==
{{Article détaillé|Numération mésopotamienne}}

À côté de [[système de numération|systèmes de numérations]] hybrides utilisés en [[métrologie]], les Mésopotamiens possédaient un système de numération ''savante'' destiné aux calculs. Ce [[système de numération]] était de [[Système sexagésimal|type sexagésimal]] (« [[Base (arithmétique)|base]] 60 »). C'est d'ailleurs des Babyloniens que nous avons hérité l'usage de diviser les [[heure (temps)|heures]] en soixante minutes, et chaque minute en 60 secondes, et aussi de diviser la circonférence d'un cercle en 360 degrés représentant 6 angles de triangle équilatéral de 60° (360=6×60) . Le développement des mathématiques chez les Babyloniens tient à deux choses ; tout d'abord, au fait que le nombre 60 est un [[nombre hautement composé]], dont les nombreux diviseurs : 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, et 30, facilitent les calculs de [[Fraction (mathématiques)|fractions]]<ref>Cf. Caveing, ''Le matin des mathématiciens'', p. 14.</ref> ; ensuite, à ceci que, contrairement aux Égyptiens et aux [[Romains]], les Babyloniens (comme plus tard les [[Empire Gupta|Indiens]]) disposaient d'un authentique système à [[Notation positionnelle|numération de position]]<ref>Cf. Taton, pp. 51-54.</ref>, où les chiffres les plus à gauche représentent les plus grandes valeurs (exactement comme dans notre système décimal : 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1).

Pour écrire en base soixante, il faut disposer de 59 signes ou « chiffres » (le zéro étant représenté par une place vide). Pour écrire ces « chiffres », deux symboles étaient utilisés : {{Chiffre babylonien|1}} (un ''clou'') pour désigner l'unité et {{Chiffre babylonien|10}} (un ''chevron'') pour la dizaine, combinés de manière additive (par juxtaposition de 1 (''clou'') et de 10 (''chevron'')). On écrivait plusieurs  {{Chiffre babylonien|1}} pour les « chiffres » jusqu'à neuf et plusieurs {{Chiffre babylonien|10}} pour les dizaines, jusqu'à cinq dizaines.

{{Exemple|
* {{Chiffre babylonien|9}} pour le « chiffre » 9.
* {{Chiffre babylonien|17}} pour le « chiffre » 17.}}

Le nombre 557 qui correspond à 9 soixantaines et 17 unités, est alors écrit {{Chiffre babylonien|9}}{{Chiffre babylonien|17}}. Par la suite, les spécialistes de mathématiques babyloniennes le noteront 9:17 (on retrouve ici la notation usuelle pour les heures, ainsi 9h et 17 minutes correspondent à 557 minutes).

Il est à noter que les Babyloniens écrivaient de la même manière les nombres égaux à un facteur 60 près. Ainsi, la notation précédente est également utilisée pour écrire 557×60, {{sfrac|557|60}} ou {{sfrac|557|3600}}.

== Les mathématiques sumériennes (3000-2300 av. J.-C.) ==
Les premières traces d'écrits mathématiques remontent aux [[Sumer|anciens Sumériens]], qui développèrent la première civilisation de [[Mésopotamie]]. Ils mirent au point une [[métrologie]] élaborée dès {{date|-3000}} À partir de {{date|-2600}}, ils dressent des [[table de multiplication|tables de multiplication]] sur des tablettes d'argile<ref>Cf. [[Maurice Caveing]], ''Le Matin des mathématiciens'', p. 10.</ref> et mettent par écrit des énoncés de problèmes [[géométrie|géométriques]] et de [[division]]. C'est aussi de cette période que datent les premiers témoignages de numération babylonienne<ref>{{Lien web|url=http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html|titre=Third Millennium Mathematics|auteur=Duncan J. Melville |date=2003|éditeur=St. Lawrence University|brisé le = 2023-11-24}}.</ref>.

== Les mathématiques dans l'ancienne Babylonie (2000-1600 av. J.-C.) ==
C’est à la [[période paléo-babylonienne]] que se rattachent la plupart des tablettes à contenu mathématique, ce qui explique d'ailleurs pourquoi on a coutume d'appeler les mathématiques de Mésopotamie « '''mathématiques babyloniennes''' ». Certaines tablettes comportent des listes ou des tableaux de nombres, d'autres des énoncés de problèmes et leur solution.

=== Arithmétique ===
==== Conversions ====
Une des tâches des scribes consistait à convertir les nombres écrits à l'aide des divers systèmes métrologiques en notation sexagésimale ''savante'' afin de pouvoir effectuer les calculs. On trouve, à cet effet, de nombreuses tables de conversions métrologiques<ref>{{harvsp|Proust2005|loc=Conversions}}</ref>.

==== Additions et soustractions ====
Le fait d'effectuer des additions ou des soustractions ne présente pas de difficulté particulière<ref name="Bruins">{{Article|prénom1=E.M.|nom1=Bruins|titre=Aperçu sur les mathématiques babyloniennes|périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|année=1950|volume=3|numéro=4|doi=10.3406/rhs.1950.2857|lire en ligne=http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_4_2857|consulté le=2017-08-27|pages=301–314}}</ref>.

==== Multiplication ====
La multiplication nécessite l'apprentissage de tables qui constitue une part non négligeable de l'étude des scribes<ref>{{harvsp|texte=Robson2007 ''Source book''|id=ROB1|p=85}}</ref>. Les Babyloniens utilisaient massivement les [[Table numérique|tables numériques]] pour le calcul et la résolution de problèmes d'[[arithmétique]]. Par exemple, deux tablettes trouvées à Senkerah sur l’[[Euphrate]] en [[1854]], datées de {{date|-2000}}, sont des listes des [[Nombre carré|carrés d’entiers]] jusqu'à 59 et de [[Cube (algèbre)|cubes]] jusqu’à 32. On trouve même une demi-douzaine de tables listant les 10 premières puissances de certains entiers<ref>{{harvsp|texte=Robson2007 ''Source book''|id=ROB1|p=89}}</ref>. La formule connue de nos jours comme [[différence de deux carrés]] permet aux Babyloniens des multiplications plus aisées<ref>{{Lien web |titre=Babylonian mathematics |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics/}}</ref>, comme :
: 64 × 56 = 60² − 4² = 3584 

Les tablettes en argile des écoles de scribes sont assez peu explicites sur les méthodes de calcul utilisées : la plupart du temps le résultat d'une multiplication est fourni sans aucune trace de calcul. Comme les tables de multiplication trouvées ne concernent pas les 59 chiffres du système sexagésimal, des calculs intermédiaires devaient souvent être nécessaires. Leur absence sur les tablettes laisse supposer l'existence d'un instrument de calcul auxiliaire<ref>{{Lien web |auteur=[[Christine Proust]] |titre=Le calcul sexagésimal en Mésopotamie |url=http://culturemath.ens.fr/node/2461|date= 2005|site=culturemath.ens.fr  |consulté le=12 mai 2016|id=Proust2005}}, Multiplication</ref>.

==== Division ====
[[Fichier:Table de division et de conversion des fractions - Louvre - AO 6456.JPG|thumb|Table d'inverses, [[Uruk]], [[Séleucides|période séleucide]] (v. 300 av. J.-C.), [[musée du Louvre]].]]

Les Babyloniens ne [[Division posée|posaient pas]] de division. Pour ce genre de calcul, ils se ramenaient au produit :

:<math>\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}</math>

et recouraient à une table d’[[inverse]]s. L’inverse des nombres n'ayant comme [[Décomposition en produit de facteurs premiers|facteurs premiers]] que 2, 3 ou 5 (appelés « nombres 5-[[nombre lisse|lisses]] » ou « nombres réguliers ») s'écrit avec un nombre fini de chiffres en écriture sexagésimale : or on a retrouvé un grand nombre de tables donnant les inverses de tels [[Entier naturel|nombres entiers]].

Il faut se souvenir que {{Chiffre babylonien|1}} pouvait désigner aussi bien ce que nous noterions 1 que 60 ou 60². Deux nombres étaient inverses l'un de l'autre lorsque leur produit était une puissance de soixante. Ainsi, l'« inverse » de {{Chiffre babylonien|2}} (2) était {{Chiffre babylonien|30}} (30) car 2×30 = 60. La table d'inverses classique<ref>{{harvsp|texte=Robson2007 ''Source book''|id=ROB1|p=82}}</ref> était (en base 60 avec deux points ':' pour séparateur des chiffres) :
    2    30           16    3:45          45    1:20
    3    20           18    3:20          48    1:15
    4    15           20    3             50    1:12
    5    12           24    2:30          54    1: 6:40
    6    10           25    2:24        1       1
    8     7:30        27    2:13:20     1: 4      56:15
    9     6:40        30    2           1:12      50
   10     6           32    1:52:30     1:15      48
   12     5           36    1:40        1:20      45
   15     4           40    1:30        1:21      44:26:40

où 6:40, qui désigne 6×60+40 est mis en relation avec 9 car 9×(6×60+40) = 3600 = 60². Donc 9 est l'inverse de 6×60+40 au sens babylonien du terme.

Pour les inverses de nombres réguliers plus complexes, les Babyloniens se ramenaient aux inverses des tables. Ainsi trouve-t-on une méthode détaillée<ref>{{harvsp|texte=Robson2007 ''Source book''|id=ROB1|p=148}}</ref> pour trouver l'inverse de 2:05 : sachant que l'inverse de 5 est 12, on sait que 2:05 × 12 = 25 ; par conséquent l'inverse de 2:05 est la fraction {{sfrac|12|25}}= 12 × 2:24 = 28:48. Certaines tablettes comme la CBS1215<ref>Cf [http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/calcul%20sexagesimal/CBS1215.htm CSBC1215] sur le site [http://culturemath.ens.fr/ CultureMATH]</ref>  utilisent des techniques de factorisation pour trouver l'inverse de nombres réguliers complexes<ref>{{harvsp|Proust2005|loc=Calcul numérique avancé}}</ref>.

Au contraire, des inverses comme 1/7, 1/11, 1/13, etc. n'ont pas de représentation finie en écriture sexagésimale. Il arrive qu'une division par ces nombres irréguliers apparaissent dans des problèmes sur tablettes. Pour une division par 13 par exemple, le scribe remarque que 13 ne possède pas d'inverse et se pose la question « En tel nombre combien de fois 13 ? » Comme ces problèmes sont préfabriqués, dans un but didactique, une réponse sous forme exacte est fournie sans explication<ref>Jens Høyrup, ''L'algèbre au temps de Babylone'', Vuibert Adapt-Snes, 2010,{{p.|18}}</ref>. On répertorie seulement deux tablettes (M10<ref>David Fowler, Eleanor Robson, «[https://math.berkeley.edu/~lpachter/128a/Babylonian_sqrt2.pdf Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context]», ''Historia mathematica'', 25, 1998, {{p.|375}}</ref> et YBC 10529<ref>{{en}} [[Jens Høyrup]], ''Lengths, Widths, Surfaces: A Portrait of Old Babylonian Algebra and Its Kin'', Springer Science & Business Media, 2013, [https://books.google.fr/books?id=GavTBwAAQBAJ&lpg=PA433&ots=Zm4zzsiw93&dq=YBC%2010529&hl=fr&pg=PA29#v=onepage&q=YBC%2010529&f=false p. 29 note 50]</ref>) présentant des valeurs approchées d'inverses de nombres irréguliers.

==== Calculs d'intérêts ====
Les calculs d'[[intérêts composés]] sont utilisés pour calculer le temps nécessaire au doublement d'un [[capital]], mais cela nécessite de [[Logarithme|résoudre des équations exponentielles]]. On n'en trouve qu'une [[valeur approchée|solution approchée]], par [[interpolation linéaire]]<ref name="Bruins" />.

=== Algèbre ===
Outre les calculs d'arithmétique, les mathématiciens Babyloniens imaginèrent aussi des algorithmes pour résoudre certaines [[équation algébrique|équations algébriques]]. Là encore, ils recouraient à des tables numériques.

Pour résoudre une [[équation du second degré]], les Babyloniens se ramenaient fondamentalement à la [[forme canonique]]

:<math>\ x^2 + bx = c</math>

où les [[coefficient]]s ''b'' et ''c'' ne sont pas nécessairement des entiers, mais où ''c'' est toujours positif. Ils savaient que la solution positive (la seule qui avait un sens pour eux) à une équation de cette forme s'obtient par la formule

:<math>x = - \dfrac{b}{2} + \sqrt{ \left ( \dfrac{b}{2} \right )^2 + c}</math>

et se servaient de tables de carrés pour trouver les racines carrées intervenant dans cette formule. Parmi les énoncés concrets pouvant se ramener à ce type de calcul, il y avait celui demandant de trouver les dimensions d’un rectangle connaissant sa surface et l’excédent de sa longueur sur sa largeur.

Certaines [[Équation cubique|équations du troisième degré]] pouvaient être résolues à l'aide de tables de ''n''<sup>3</sup>+''n''<sup>2</sup>. Par exemple, soit l’équation

:<math>\ ax^3 + bx^2 = c.</math>

Multipliant l’équation par ''a''<sup>2</sup> et la divisant par ''b''<sup>3</sup>, on obtient

:<math>\left ( \dfrac{ax}{b} \right )^3 + \left ( \dfrac {ax}{b} \right )^2 = \dfrac {ca^2}{b^3}.</math>

Substituant ''y'' = ''ax''/''b'', cela donne

:<math>y^3 + y^2 = \dfrac {ca^2}{b^3}</math>

équation que l'on peut résoudre en consultant une table de ''n''<sup>3</sup>+''n''<sup>2</sup> pour trouver la valeur la plus proche du second membre. Les Babyloniens exécutaient ces calculs sans véritablement poser les opérations algébriques, ce qui témoigne d'une remarquable capacité de concentration. Cependant, ils n'avaient pas d'algorithme général pour résoudre une [[Équation cubique|équation du troisième degré]] quelconque.

=== Géométrie ===
[[Fichier:Compilation of plane geometry problems from Larsa.jpg|thumb|left|Compilation de problèmes géométriques, avec illustrations. [[Larsa]], [[période paléo-babylonienne]]. [[British Museum]].]]

Il est possible que les Babyloniens aient disposé de règles générales pour calculer l'aire et le volume de certaines figures géométriques. Ils calculaient la circonférence du cercle en prenant trois fois le diamètre, et l'aire du cercle en prenant un douzième du carré de la circonférence, ce qui revenait à prendre <math>3</math> pour la valeur de ''[[Pi|π]]'', ce que l'on retrouve  dans la [[Bible]]. Le volume d'un [[cylindre]] était calculé en formant le produit de sa base par sa hauteur ; par contre, le calcul du volume du [[Cône (géométrie)|cône]] tronqué ou de la pyramide à base carrée était incorrect : les Babyloniens formaient le produit de la hauteur par la demi-somme (c'est-à-dire la moyenne) des bases<ref>Roger L. Cooke, ''The History of Mathematics, a Brief Course'', {{3e}} édition, [https://books.google.fr/books?id=wOGh7XPowAMC&pg=PA244#v=onepage&q&f=false p. 244]</ref>. Ils connaissaient le [[théorème de Pythagore]] en tant que formule<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Jöran|nom1=Friberg|titre=A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts : Manuscripts in the Schøyen Collection : Cuneiform Texts I |lieu=New York |éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |année=2005 |pages totales=533 |isbn=978-0-387-34543-7 |lire en ligne={{Google Livres|sOiHePN7cW8C}} |collection={{Langue|en|texte=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences}}}} donne une liste de tablettes en [[cunéiforme]] qui utilisent cette « règle de la diagonale » dans ''{{lang|en|A.8.6. The Diagonal Rule in the corpus of Mathematical Cuneiforms Texts}}'', {{p.|449-451}}.</ref>, sans que l'on ait trace d'une démonstration en tant que telle. On a découvert à Suse, en 1933, une tablette dans laquelle E. M. Bruins et M. Rutten, ont pensé déceler<ref>Bruins (E. M.) et Rutten (M.). ''[[Textes mathématiques de Suse]]'' (Mémoires de la Mission archéologique en Iran, t. XXXIV), 1961</ref> un rapport qui prouverait l'utilisation de 3 + 1/8 comme meilleure approximation de ''π''. [[Otto Eduard Neugebauer|Otto Neugebauer]] valide cette interprétation dans son livre, ''The exact Science of antiquity''<ref>[[Otto Eduard Neugebauer|Otto Neugebauer]], {{google Livres|id=JVhTtVA2zr8C|titre=The exact science of antiquity, p.47|page=47}}.</ref> tandis qu'[[Eleanor Robson]] émet des doutes sur cette interprétation<ref>Eleanor Robson, ''Mesopotamian Mathematics, 2100-1600 BC: Technical Constants in Bureaucracy and Education'', Clarendon press, 1999, [https://books.google.fr/books?id=5gdVQRDYjYsC&lpg=PR3&hl=fr&pg=PA42#v=onepage&q&f=false page 42]</ref>.

Les Babyloniens mesuraient les distances en utilisant le [[Mille (unité)|mille]] babylonien, représentant environ {{unité|10|km}}. Cette unité de mesure avait un équivalent horaire{{lequel}}, ce qui permettait de convertir les positions du soleil dans le ciel en heure du jour<ref>Cf. Eves, chapitre 2.</ref>.

=== Trigonométrie ===
Si les anciens Babyloniens connaissaient depuis des siècles l’égalité des rapports entre les côtés de [[triangles semblables]], le concept d’[[angle]] leur était étranger : aussi se ramenaient-ils à des considérations sur les longueurs des côtés<ref name="Boyer Early Trigonometry">{{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Carl Benjamin Boyer|Carl B. Boyer]] |titre=A history of mathematics |lieu=New York |éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |année=1991 |numéro d'édition=2 |pages totales=715 |passage=158-159 |isbn=978-0-471-54397-8 |titre chapitre=Greek Trigonometry and Mensuration}}</ref>.

Les [[astronomie babylonienne|astronomes babyloniens]] tenaient une chronique précise des levers et couchers des [[étoile]]s, du mouvement des [[planète]]s et des [[éclipse]]s solaires et lunaires, autant de précisions qui supposent une familiarité avec les distances [[Angle|angulaires]] mesurées sur la [[sphère céleste]]<ref name=Maor-20>Cf. {{Ouvrage|prénom1=Eli|nom1=Maor|lien auteur1=Eli Maor|titre=Trigonometric Delights|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=1998|pages totales=236|passage=20|isbn=0-691-09541-8|lire en ligne=http://press.princeton.edu/books/maor/chapter_2.pdf}}.</ref>.
[[Fichier:Plimpton 322.jpg|vignette|La [[Plimpton 322|tablette Plimpton 322]], qui comporte un tableau de nombres cunéiformes rangés dans 4 colonnes sur 15 lignes.]]
Les Babyloniens paraissent avoir été les premiers à utiliser les [[Fonction trigonométrique|lignes trigonométriques]], comme en témoigne une table de nombres portés sur une tablette en [[cunéiforme|écriture cunéiforme]], la [[Tablette Plimpton 322]] (vers 1900 av. J.-C.), qu'on peut interpréter comme une [[Construire des tables trigonométriques|table trigonométrique]] de [[Fonction trigonométrique|sécantes]]<ref>Cf. Joseph, pp. 383-4 et {{Ouvrage|prénom1=Eli|nom1=Maor|lien auteur1=Eli Maor|titre=Trigonometric Delights|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=1998|pages totales=236|passage=32|isbn=0-691-09541-8|lire en ligne=http://press.princeton.edu/books/maor/chapter_3.pdf}}.</ref>.

{{Article détaillé|Tablette Plimpton 322}}

Avec la redécouverte de la civilisation babylonienne, il est apparu que les mathématiciens et les astronomes grecs de la [[Histoire de la Grèce antique|période classique]] et [[Époque hellénistique|hellénistique]], en particulier [[Hipparque (astronome)|Hipparque de Nicée]], ont beaucoup emprunté aux [[Chaldée]]ns.

Franz Xaver Kugler, par exemple, a montré<ref>{{Ouvrage|auteur1=Franz Xaver Kugler|titre=Die Babylonische Mondrechnung|lieu=Fribourg-en-Brisgau|éditeur=Herder|année=1900}}</ref> la chose suivante : Ptolémée, dans l’[[Almageste]], indique<ref>[[Almageste]], livre IV, ch. 2</ref> qu’Hipparque a corrigé la durée des phases de la Lune transmises par « des astronomes encore plus anciens » en rapportant les observations des éclipses faite auparavant par « les Chaldéens » aux siennes. Or, Kugler a montré que les périodes que Ptolémée attribue à Hipparque étaient déjà utilisées dans des [[Éphéméride (astronomie)|éphémérides]] babyloniens, à savoir le recueil nommé « Système B » (parfois attribué à [[Kidinnu]]). Apparemment, Hipparque s'est borné à confirmer par ses observations l'exactitude des valeurs de périodes qu'il avait lues dans les écrits des Chaldéens.

Il est évident qu’Hipparque (et Ptolémée à sa suite) disposait d'une liste complète des observations d’éclipses sur plusieurs siècles. Celles-ci avaient très probablement été compilées à partir des « tablettes-journaux », tablettes d'argile contenant toutes les observations significatives effectuées au jour le jour par les Chaldéens. Les exemplaires préservés datent de [[-652|652 av. J.-C.]] à [[130|130 de notre ère]], mais les événements célestes qui y sont consignés remontent très probablement au règne du roi [[Nabonassar]] : car Ptolémée fait commencer sa chronologie au premier jour du calendrier égyptien, la première année du règne de Nabonassar, c’est-à-dire le {{date|26 février -747}}

Il n'a pas dû être facile d'exploiter toute cette masse d'observations, et il n'est pas douteux que les Chaldéens eux-mêmes se servaient de tables abrégées contenant, par exemple, uniquement les éclipses observées (on a trouvé quelques tablettes portant une liste de toutes les éclipses sur une période correspondant à un « [[saros]] »). Ces tables leur permettaient déjà de constater le retour périodique de certains phénomènes. Parmi les périodes utilisées dans le recueil du « Système B » (cf. ''Almageste'' IV.2), on trouve :

* 223 mois ([[mois synodique|synodiques]]) = 239 passages au [[périgée]] ([[Mois lunaire#Astronomie#Mois anomalistique|mois anomalistique]]) = 242 passages sur la [[Nœud lunaire|ligne des nœuds]] ([[Mois lunaire#Astronomie#Mois draconitique|mois draconitique]]).  Cette période est appelée période de [[saros]] : elle est très pratique pour calculer les périodes d'occurrence des [[éclipse]]s.
* 251 mois ([[mois synodique|synodiques]])= 269 passages au [[périgée]] 
* 5458 mois ([[mois synodique|synodiques]])= 5923 passages à la ligne des nœuds
* 1 [[mois synodique]] = 29;31:50:08:20 jours (dans le système sexagésimal; 29.53059413… jours en numération décimales = 29&nbsp;jours 12&nbsp;heures 44&nbsp;min 3⅓&nbsp;s)

Les Babyloniens exprimaient toutes les périodes en [[mois]] synodiques, probablement parce qu'ils utilisaient un [[calendrier luni-solaire]]. Le choix des intervalles entre les phénomènes célestes périodiques survenant en l'espace d'une année donnait différentes valeurs pour la longueur d'une année.

De même, on connaissait plusieurs relations entre les périodes des [[planète]]s. Les relations que Ptolémée attribue à Hipparque<ref>Cf. ''Almageste'', IX.3</ref> avaient déjà servi pour des prédictions retrouvées sur des tablettes babyloniennes.

Toutes ces connaissances passèrent aux [[Grecs]], sans doute peu après la conquête d’[[Alexandre le Grand]] ([[-331]]). Selon le philosophe [[Simplicios de Cilicie|Simplicius]] (début du {{VIe siècle}}), Alexandre avait ordonné la traduction des éphémérides astronomiques chaldéens, et en avait confié la supervision à son biographe [[Callisthène|Callisthène d’Olynthos]], qui les envoya à son oncle [[Aristote]]. Si Simplicius ne nous offre qu'un témoignage tardif, son récit n'en est pas moins fiable, car il passa quelque temps en exil à la cour des [[Sassanides]], et a pu avoir accès à des sources documentaires ayant disparu en Occident. Ainsi il est frappant qu'il emploie le titre ''tèresis'' (en grec: « veille »), étrange pour un livre d'histoire, mais qui constitue une traduction précise du babylonien ''massartu'' qui signifie « monter la garde » mais également « observer ». Quoi qu'il en soit, c’est vers cette époque que [[Calippe|Calippe de Cyzique]], un élève d’[[Aristote]], proposa l’emploi d'un cycle de 76 ans, qui améliore le [[Cycle métonique|cycle de Méton]], d'une durée de 19 ans. Il faisait démarrer la première année de son premier cycle au [[solstice]] d’été ([[28 juin]]) de l'an [[330 av. J.-C.]] (date [[Calendrier julien|julienne]] [[prolepse]]), mais par la suite il semble qu'il ait compté les mois lunaires à partir du mois suivant la victoire d’Alexandre à la [[bataille de Gaugamèles]], à l'automne [[331 av. J.-C.]] Ainsi, Calippe a pu obtenir ses données de sources babyloniennes, et il est donc possible que son calendrier soit antérieur à celui de Kidinnu. On sait par ailleurs que le prêtre babylonien connu sous le nom de [[Bérose]] écrivit vers [[281 av. J.-C.]] une histoire (à caractère plutôt mythologique) en grec de la Babylonie, les ''[[Babyloniaca]]'', dédiées au nouveau monarque [[Antiochos Ier|Antiochos {{Ier}}]] ; et l’on dit qu’il fonda par la suite une école d’[[astrologie]] sur l’île grecque de [[Cos (Dodécanèse)|Cos]]. Parmi les autres auteurs qui ont pu transmettre aux Grecs les connaissances babyloniennes en [[astronomie]]-[[astrologie]], citons [[Soudinès]] qui vivait à la cour du roi [[Attale Ier|Attale {{Ier}} Sôter]] à la fin du {{-s|III}}

Quoi qu’il en soit, la traduction de ces annales astronomiques exigeait une connaissance profonde de l’[[Cunéiforme|écriture cunéiforme]], de la langue et des méthodes, de sorte qu’il est vraisemblable qu'on a confié cette tâche à un Chaldéen dont le nom ne nous est pas parvenu. Les Babyloniens, en effet, dataient leurs observations dans leur calendrier luni-solaire, dans lequel la durée des mois et des années n'est pas fixe (29 ou 30 jours pour les mois ; 12 ou 13 mois pour les années). Qui plus est, à cette époque il n'utilisaient pas encore de calendrier régulier (fondé par exemple sur un cycle, comme le [[Cycle métonique|cycle de Méton]]), mais faisaient démarrer un mois à chaque [[nouvelle lune]]. Cette pratique rendait fastidieux le calcul du temps séparant deux événements.

La contribution d’Hipparque a dû consister à convertir ces données en dates du [[calendrier de l'Égypte antique|calendrier égyptien]], qui est fondé sur une année d'une durée fixe de 365 jours (soit 12 mois de 30 jours et 5 jours supplémentaires) : ainsi le calcul des intervalles de temps est beaucoup plus simple. Ptolémée datait toutes ses observations dans ce calendrier. Il écrit d’ailleurs que « Tout ce qu'il (=Hipparque) a fait, c'est une compilation des observations des planètes ordonnée de façon plus commode<ref>''Almageste'' IX.2</ref>. » [[Pline l'Ancien]], traitant de la prédiction des éclipses  écrit<ref>''Naturalis Historia'' II.IX(53).</ref> : « Après eux(=Thalès) les positions des deux astres (=le Soleil et la Lune) pour les 600 années à venir furent annoncées par Hipparque, … » Cela doit vouloir dire qu'Hipparque a prédit les éclipses pour une période de 600 ans, mais étant donné l'énorme quantité de calculs que cela représente, c'est très peu probable. Plus vraisemblablement, Hipparque aura compilé une liste de toutes les éclipses survenues entre le temps de  Nabonasser et le sien.

Voici d'autres traces de pratiques babyloniennes dans l’œuvre d’Hipparque :
* Hipparque est le premier auteur grec à avoir divisé le cercle en 360 [[Degré (angle)|degrés]] de 60 [[Sous-unités du degré|minutes]].
* il est le premier à avoir utilisé systématiquement la [[système sexagésimal|numération sexagesimale]].
* il a utilisé le ''pechus'' (« coudée »), unité d'angle de 2° ou 2½° d'ouverture.
* il a utilisé la courte période de 248 jours = 9 mois anomalistiques.

== Mathématiques babyloniennes et mathématiques alexandrines ==
À l’[[époque hellénistique]], les mathématiques et l’[[astronomie babylonienne]] exerçaient une influence profonde sur les mathématiciens d’[[Alexandrie]], dans l’[[Époque hellénistique|Égypte des Ptolémée]] comme pendant la [[période romaine de l'Égypte]]. Cette influence est particulièrement évidente dans les écrits [[Histoire de l'astronomie#L'astronomie dans la Grèce antique|astronomiques]] et mathématiques d’[[Hipparque (astronome)|Hipparque]], de [[Ptolémée]], de [[Héron d'Alexandrie]] et de [[Diophante]]. Dans le cas de Diophante, l’héritage babylonien est tellement visible dans ses ''[[Arithmetica]]'' que certains chercheurs ont avancé qu'il avait pu être un « Babylonien [[Époque hellénistique|hellénisé]]<ref>Cf. {{Ouvrage|auteur1=D. M. Burton|titre=History of Mathematics|lieu=Dubuque, Indiana|éditeur=Wm.C. Brown Publishers|année=1991|réimpression=1995|isbn=}} : {{citation|Il est tout à fait probable que Diophante ait été un ''Babylonien hellénisé''.}}</ref> ». De même, l'empreinte babylonienne sur l'œuvre de Héron a laissé soupçonner que ce savant était peut-être d'origine [[phénicie]]nne<ref name="Boyer page 171-172">{{Ouvrage |langue=en |prénom1=Carl Benjamin |nom1=Boyer |lien auteur1=Carl Benjamin Boyer |titre=A History of Mathematics |éditeur= |année=1968 |réimpression=1991 |passage=171-172 |titre chapitre=Greek Trigonometry and Mensuration}} : {{citation bloc|De l’époque d’Alexandre le Grand au moins jusqu'à la décadence de la civilisation classique, il y eut indubitablement d'intenses échanges entre Grèce et Mésopotamie, et il paraît clair que l'arithmétique et l'algèbre géométrique babylonienne continuèrent d’exercer une influence considérable sur le monde hellénistique. Ainsi, cette facette des mathématiques transparaît si visiblement chez Héron d'Alexandrie (dont l’[[Acmé|acmè]] se situe vers 100 de notre ère) qu'on a pu le croire égyptien ou phénicien plutôt que grec. On pense aujourd'hui que Héron représente un type de mathématiques qui a toujours été pratiqué en Grèce mais qui n'a pas eu de représentant parmi les grandes figures - sauf peut-être le Ptolémée du ''[[Tetrabiblos]]''.}}</ref>.

== Les mathématiques en Mésopotamie après la conquête musulmane ==

Après la [[conquête musulmane de la Perse]], la Mésopotamie prit le nom [[arabe]] d’[[Irak]]. Sous le [[califat]] [[Abbassides|abbasside]], la capitale de l’[[califat|empire]] fut transférée à [[Bagdad]], ville fondée en Irak au {{VIIIe siècle}}. Du {{VIIIe siècle}} au {{XIIIe siècle}}, période fréquemment désignée comme l’ « [[Âge d'or islamique|Âge d'or de l’Islam]] », l’Irak-Mésopotamie retrouva le statut de centre de l’activité mathématique. Nombre des plus grands mathématiciens de l'époque travaillaient en Irak, parmi lesquels [[Al-Khawarizmi (Mohamed Ibn Mussa)|Al-Khawarizmi]], [[Al-Abbās ibn Said al-Jawharī]], [['Abd al-Hamīd ibn Turk]], [[Al-Kindi (philosophe)|Al-Kindi]] (Alkindus), [[Hunayn ibn Ishaq]] (Johannitius), les [[frères Banou Moussa]], la dynastie des  [[Thābit ibn Qurra]], [[Al-Battani|Albatenius]], les [[Ikhwan al-Safa|Frères de Pureté]], {{Lien|fr=Al-Saghani|lang=en}}, [[Abū Sahl al-Qūhī]], [[Ibn Sahl]], [[Abu Nasr Mansur|Abu Nasr Mansur ibn Iraq]], [[Alhazen]], [[Ibn Tahir al-Baghdadi]], et [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al]]. L’activité mathématique en Irak s'interrompit après le [[Bataille de Bagdad (1258)|sac de Bagdad]] en 1258.

== Notes et références ==
<references />
{{Traduction/Référence|en|Babylonian_mathematics|245953863}}

== Voir également ==
=== Bibliographie ===
==== En français ====
*{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Roger Caratini]]|titre=Les mathématiciens de Babylone|lieu=Paris|éditeur=[[Presses de la Renaissance]]|année=2002|pages totales=295|isbn=2-85616-820-5}}
* {{DahanPeiffer}}
* {{AlgèbreBabylone}}
*Donald Knuth, ''Algoritmes babyloniens anciens'' dans {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Donald Knuth]]|traducteur=P. Cégielski|titre=Éléments pour une histoire de l'informatique|éditeur=[[Librairie Eyrolles]]|année=2011|isbn=}}
* {{Ouvrage|auteur1=Émile Noël|et al.=oui|titre=Le matin des mathématiciens|lieu=Paris|éditeur=[[éditions Belin]]|année=1985|pages totales=192|passage=6-18|isbn=2-7011-0533-1|titre chapitre=Babylone}}
* {{Ouvrage|auteur1=[[Marguerite Rutten]]|titre=La science des Chaldéens|lieu=Paris|éditeur=[[PUF]]|collection=[[Que sais-je ?]]|numéro dans collection=893|année=1970|année première édition=1960|pages totales=128|isbn=}}
* {{Ouvrage|auteur1=[[René Taton]]|titre=Histoire du calcul|lieu=Vendôme|éditeur=[[Presses universitaires de France|PUF]]|collection=Que sais-je ?|numéro dans collection=198|année=1969|numéro d'édition=5|année première édition=1946|pages totales=128}}
* {{Ouvrage|auteur1=[[François Thureau-Dangin]]|titre=Textes mathématiques babyloniens|lieu=Leyde|éditeur=Société Orientale|année=1938}}

==== En anglais ====
* {{Ouvrage |langue=en |auteur1=A. E. Berriman |titre=The Babylonian quadratic equation |éditeur= |année=1956 }}.
* {{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Carl Benjamin Boyer|Carl B. Boyer]] |champ libre=rev. par Uta C. Merzbach |titre=A history of mathematics |lieu=New York |éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |année=1991 |numéro d'édition=2 |année première édition=1968 |pages totales=715 |isbn=978-0-471-54397-8 |titre chapitre=Greek Trigonometry and Mensuration}} 
* {{Ouvrage|auteur1=George G. Joseph|titre=The Crest of the Peacock|sous-titre=Non-European Roots of Mathematics|éditeur=[[Penguin Books]]|année=2000|isbn=0-691-00659-8}}.
* {{Lien web | url = http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/plimpnote.html | titre = Plimpton 322 | auteur =David E. Joyce
 | année = 1995}}
* {{Hoyrup}}
* {{article|auteur=[[Donald Knuth]]|périodique=[[Communications of the ACM]]|titre=Ancient Babylonian Algorithms|volume=15|numéro=7|date=juillet 1972}}, repris dans {{Ouvrage|auteur1=[[Donald Knuth]]|titre=Selected Papers on Computer Science|éditeur=[[Addison-Wesley]]|année=1996|passage=185|isbn=}}
* {{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Otto Eduard Neugebauer|O. Neugebauer]] |titre=[[The Exact Sciences in Antiquity]] |éditeur=[[Dover Publications|Dover]] |année=1969 }}.
* {{MacTutor|class=HistTopics|id=Babylonian_mathematics|title=An overview of Babylonian mathematics}}
* {{Chapitre| langue= en| prénom1=Marvin A.| nom1= Powell| titre= Masse und Gewichte| titre ouvrage=Reallexicon der Assyriologie und Vorderasiatischen Archäologie |volume = VII| lieu= Berlin| éditeur=De Gruyter| année= 1987-1990| passage= 457-530| id = RLAPOW}}
* {{chapitre| langue = en| prénom1=Marvin A.| nom1= Powell|titre= Metrology and mathematics in ancient Mesopotamia| titre ouvrage= Civilizations of the Ancient Near East |auteurs ouvrage= Jack M. Sasson (dir.) |lieu= New York |année= 1995 | passage= 1941-1958 |id = LAM }}
* {{Chapitre| langue= en| prénom1=Jöran | nom1= Friberg| titre= Mathematik| titre ouvrage=Reallexicon der Assyriologie und Vorderasiatischen Archäologie |volume = VII| lieu= Berlin| éditeur=De Gruyter| année= 1987-1990| passage= 531-585| id = RLAFRI}}
* {{Article |langue=en | auteur1 = Eleanor Robson | titre = Neither Sherlock Holmes nor Babylon |sous-titre=a reassessment of Plimpton 322 | année = 2001 | journal = Historia Math. | volume = 28 | numéro = 3 | pages = 167–206 | doi = 10.1006/hmat.2001.2317 |math reviews=1849797}}
* {{article |langue=en |auteur1=Eleanor Robson |titre=Words and pictures |sous-titre=New light on Plimpton 322 |périodique=The American Mathematical Monthly |lieu=Washington |mois=fev |année=2002 |volume=109 |numéro=2 |passage=105}}
* {{Chapitre|langue=en|prénom1=Eleanor|nom1=Robson|lien auteur1=Eleanor Robson|titre chapitre=Mesopotamian Mathematics|auteurs ouvrage=[[Victor J. Katz]]|titre ouvrage=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook|éditeur=[[Princeton University Press]]|id=ROB1| année=2007|url=https://books.google.fr/books?id=3ullzl036UEC&pg=PA58}}
* {{Chapitre| langue = en|  prénom1 = Eleanor| nom1 =Robson| titre = Mathematics, metrology, and professional numeracy| titre ouvrage=The Babylonian World| auteurs ouvrage= Gwendolyn Leick (dir.)| lieu=  Londres et New York| éditeur= Routledge| année= 2007 | passage= 418-431}}
* {{Ouvrage| langue=en| prénom1=Eleanor| nom1=Robson| titre=Mathematics in Ancient Iraq| sous-titre=A Social History| lieu=Princeton et Oxford| éditeur=[[Oxford University Press]]| année=2008| isbn=}}
* {{Chapitre| langue=en|prénom1=Jens| nom1=Høyrup|titre= Mesopotamian Mathematics|auteurs ouvrage= Alexander Jones et Liba Taub (dir.)| titre ouvrage=The Cambridge History of Science |éditeur= Cambridge University Press|lieu=Cambridge|année=1998|passage= 58-72}}

=== Articles connexes ===
* [[Babylone (civilisation)]]
* [[Histoire des mathématiques]]
* [[Astronomie babylonienne]]

=== Liens externes ===
*{{Lien web|auteur=[[Christine Proust]]|titre=Brève chronologie de l'histoire des mathématiques en Mésopotamie|url=http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/chrono/Mesopotamie/index_mesop.htm|année=2006|site=culturemath|brisé le = 2023-11-24}}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Indexes/Babylonians.html Mathématiques babyloniennes], met spécialement l’accent sur les [[Triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]].
* [http://www.math.ubc.ca/people/faculty/cass/Euclid/ybc/ybc.html Photographies de la tablette YBC 7289], prises par Bill Casselman à la Collection d’antiquités babyloniennes de Yale  
* [http://www.univ-irem.fr/commissions/epistemologie/ressouces/ress.ext/grands%20textes/tablettesbab.htm bibliographie] des Irem (France).
* [http://images.math.cnrs.fr/Mathematiques-en-Mesopotamie.html Mathématiques en Mésopotamie]  in [http://images.math.cnrs.fr/ Images des Mathématiques] par [[Christine Proust]].

{{palette|Mésopotamie}}
{{Portail|Proche-Orient ancien|mathématiques|histoire des sciences|Mésopotamie}}

[[Catégorie:Babylonie]]
[[Catégorie:Histoire des mathématiques]]
[[Catégorie:Mathématiques en Mésopotamie|*]]