Voir la source de Matrice aléatoire

{{Confusion|texte=Ne pas confondre avec la notion de [[matrice stochastique]].}}
En [[théorie des probabilités]] et en [[physique mathématique]], une '''matrice aléatoire''' est une [[matrice (mathématiques)|matrice]] dont les éléments sont des [[variable aléatoire|variables aléatoires]]. La théorie des matrices aléatoires a pour objectif de comprendre certaines propriétés de ces matrices, comme leur [[norme d'opérateur]], leurs [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|valeurs propres]] ou leurs [[Décomposition_en_valeurs_singulières#Valeurs_singuli.C3.A8res_et_vecteurs_singuliers|valeurs singulières]].

Face à la complexité croissante des [[Structure nucléaire|spectres nucléaires]] observés expérimentalement dans les années 1950, [[Eugene Wigner|Wigner]] a suggéré de remplacer l'[[opérateur hamiltonien]] du noyau par une matrice aléatoire.

Cette hypothèse féconde a conduit au développement rapide d'un nouveau champ de recherche très actif en [[physique théorique]], qui s'est propagé à la [[théorie des nombres]] en mathématiques, avec notamment une connexion intéressante avec la [[fonction zêta de Riemann]] (voir par exemple l'article prépublié en {{date-|février 2019}} par Michael Griffin, [[Ken Ono]], Larry Rolen et [[Don Zagier]]{{sfn|Griffin|Ono|Rolen|Zagier|2019}} et les commentaires (en anglais) de Robert C. Smith{{sfn|Smith|2019}} sur son blog).

En plus de ces exemples on compte parmi les applications de la théorie des matrices aléatoires :
* les [[système intégrable|systèmes intégrables]],
* le [[chaos quantique]],
* la [[chromodynamique quantique sur réseau]],
* la [[gravité quantique]] en deux dimensions et plus via la [[théorie des cordes]] et la [[Correspondance AdS/CFT]],
* les [[théorie de jauge supersymétrique|théories de jauge supersymétriques]].
Les matrices aléatoires se retrouvent aussi dans quantité de situations du quotidien : temps d'attente de la rame du métro, tsunamis, cours de bourse, antennes de téléphonie mobile, position des arbres dans une forêt sauvage, durée d'embarquement dans un avion, etc. Elles se sont par ailleurs révélées fécondes en biologie : forme des protéines, cristaux, etc{{sfn|Eynard|2018}}.

== Quelques ensembles de matrices aléatoires ==
=== Matrices de Wigner ===
Une matrice de [[Eugene Wigner|Wigner]] est une matrice aléatoire <math>N \times N</math> symétrique dont les entrées sont des variables aléatoires centrées indépendantes et identiquement distribuées (iid). Par exemple, si <math>(X_{i,j})_{i,j \in \{1,...,n\}}</math> est une famille de variables aléatoires iid suivant une [[Loi de Rademacher]], la matrice symétrique <math>M = (M_{i,j})_{i,j \in \{1,...,n\}}</math> définie par :
:<math>M_{i,j} = \begin{cases}X_{i,i} \text{ si } i=j, \\ X_{i,j} \text{ si } i<j \\ X_{j,i} \text{ si } i>j  \end{cases}</math>
est une matrice de Wigner.

=== Ensembles gaussiens ===
{{Voir homonymes|GUE|GSE}}
Ce sont les ensembles introduits par Wigner pour la théorie des spectres nucléaires.
On distingue trois ensembles :
* l''''ensemble gaussien orthogonal''' pour les systèmes invariants par renversement du temps (GOE) ;
* l''''ensemble gaussien unitaire''' pour les systèmes non-invariants par renversement du temps (en anglais, ''gaussian unitary ensemble'' ou ''GUE'') ;
* et l''''ensemble gaussien symplectique''' pour les systèmes avec spin (en anglais, ''gaussian symplectic ensemble'' ou ''GSE'').

Dans le cas de l'ensemble GOE, on considère des matrices symétriques réelles <math>N\times N</math> dont les éléments de
matrices <math>A_{ij}</math> obéissent à la distribution gaussienne :
:<math> P(A_{ij})\prod_i dA_{ii} \prod_{i<j} dA_{ij} = \exp\left(-g \mathrm{Tr}({}^t A A)\right) \prod_i dA_{ii} \prod_{i<j} dA_{ij} </math>

La distribution est invariante par les transformations orthogonales. De même, dans l'ensemble unitaire, on considère des matrices hermitiennes, et la distribution est invariante par les transformations unitaires. Dans l'ensemble GSE, la distribution est invariante sous l'action des transformations symplectiques.

Wigner a déduit la distribution des valeurs propres de ces matrices dans la limite <math> N \to \infty </math>. C'est la [[loi du demi-cercle]].

Il est possible de déduire la loi de distribution jointe des valeurs propres par un changement de base.
Le résultat est que :
:<math> P(\lambda_1,\ldots,\lambda_N) = C_N \exp(-g \sum_i \lambda_i^2) 
\prod_{i<j} \mid \lambda_i -\lambda_j \mid^\beta </math>
où les <math>\lambda_i</math> sont les valeurs propres de la matrice, et <math>\beta=1</math> dans
le cas GOE, <math>\beta=2</math> dans le cas GUE, <math>\beta=4</math> dans le cas GSE.

À partir de ces distributions, on peut obtenir la loi de distribution des écarts entre valeurs
propres. On montre que si <math>s</math> est la distance (normalisée par la densité d'états)
entre deux valeurs propres, la probabilité que deux valeurs propres soient distantes de <math>s</math>
tend vers zéro si <math>s</math> tend vers zéro. Si les valeurs propres étaient uniformément distribuées,
cette probabilité serait donnée par la [[loi de Poisson]] et ne tendrait pas vers zéro pour <math>s</math>
tendant vers zéro. Cette propriété des ensembles gaussiens est appelée répulsion des niveaux.

=== Ensembles unitaires ===
Notés COE, CUE, CSE. Cette fois, les matrices sont respectivement orthogonales, unitaires ou
symplectiques. Leurs valeurs propres sont des [[Nombre complexe|nombres complexes]] de module 1. [[Freeman Dyson]] a montré que l'étude de la distribution de ces valeurs propres se ramenait à l'étude de la [[physique statistique|mécanique statistique]] d'un gaz de particules sur un cercle avec une interaction logarithmique avec la distance.

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Hypothèse de Riemann]]
* [[Polynômes orthogonaux]]

=== Liens externes en français ===
* {{ouvrage|langue=fr|nom1=Orantin|prénom1=Nicolas|titre=Du développement topologique des modèles de matrices à la théorie des cordes topologiques : combinatoire de surfaces par la géométrie algébrique|nature ouvrage=thèse de doctorat en physique théorique, Université Paris 6|année=2007|hal=tel-00173162|pages totales=179}}
* {{article|langue=fr| titre=L'universalité des matrices aléatoires| nom1=Eynard|prénom1=Bertrand | périodique=[[Pour la science]]| numéro=487| date=mai 2018|consulté le=14 novembre 2018 | pages=34-44}}

=== Liens externes ===
* {{lien web|url=https://tracingcurves.wordpress.com/2019/08/03/jensen-polynomials-and-the-riemann-zeta-function/|titre=Jensen Polynomials, the Riemann-zeta Function, and SYK|prénom1=Robert|nom1=Smith|année=2019|consulté le=11 octobre 2019}}
* Alan Edelman et N. Raj Rao; [http://www.mit.edu/~raj/Acta05rmt.pdf ''Random Matrix Theory''], ''[[Acta Numerica]]'' '''14''' : 233-297 (2005)
* Alan Edelman et Moe Win ; [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-996Spring2004/CourseHome/index.htm ''Random Matrix Theory and Its Applications''], MIT Opencourseware (2004).
* Alan Edelman et Moe Win ; [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-338JFall-2004/CourseHome/index.htm ''Infinite Random Matrix Theory''], MIT Opencourseware (2004).
* B Conrey, P Diaconis, F Mezzadri, P Sarnak et [[Nina Snaith|NC Snaith]] (organisateurs) ; [http://www.newton.cam.ac.uk/programmes/RMA/ ''Random Matrix Approaches in Number Theory''], colloque de l'Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge University (26 Jan - 16 Jul 2004).
* Matthew R. Watkins ; [http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/random.htm ''Random matrices and the Riemann zeta function''], Exeter University.
* [[Nina Snaith|N.C. Snaith]], P.J. Forrester, J.J.M. Verbaarschot, [https://arxiv.org/abs/cond-mat/0303207 ''Developments in Random Matrix Theory''], J. Phys. A, vol 36, 2003, R 1.
* P. J. Forrester [http://www.ms.unimelb.edu.au/~matpjf/matpjf.html ''Book on random matrices'']
* M. Debbah [http://www.flexible-radio.com "Applications de la théorie des matrices aléatoires aux télécommuncations sans fils"]
* [[Alice Guionnet]], [http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.ps/1099928649 Large deviations and stochastic calculus for large random matrices], ''Probability Surveys'' '''1''' : 72-172 (2004)
* Z. D. Bai, [http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/j9n3/j9n31/j9n31.htm Methodologies in spectral analysis of large dimensional random matrices, a review], ''Statistica Sinica'' '''9''' : 611-677 (1999)
* R. Couillet, M. Debbah, "Random Matrix Theory Methods for Wireless Communications", [[Cambridge University Press]], 2011.

=== Bibliographie ===
* {{lien arXiv|titre=Jensen polynomials for the Riemann zeta function and other sequences|prénom1=Michael|nom1=Griffin|prénom2=Ken|nom2=Ono|prénom3=Larry|nom3=Rolen|prénom4=Don|nom4=Zagier|eprint=1902.07321v2|class=math.NT|année=2019|consulté le=11 octobre 2019}}
* [[Madan Lal Mehta]], « On the statistical properties of the level-spacings in nuclear spectra », ''Nuclear Physics'' 18 (1960), 395-419
* M. L. Mehta, ''Random matrices''. Cette « bible » a fait l'objet de trois éditions de volumes croissants :
** ''Random Matrices and the Statistical Theory of Energy Levels'', Academic Press (New York - 1967), 259 pp.
** ''Random Matrices'' ({{2e}} éd. révisée et augmentée), Academic Press (New York, San Diego - 1991), 562 pp.
** ''Random matrices'' ({{3e}} éd.), Pure and Applied Mathematics Series 142, Elsevier (London - 2004), 688 pp. {{ISBN|0-12-088409-7}}
* M. L. Mehta, « Random matrices in nuclear physics and number theory », dans J. E. Cohen, H. Kesten et C. M. Newman (eds.), ''Proceedings of the AMS-IMS-SIAM Joint Summer Conference, Bowdoin College, Brunswick, Maine, USA (June 1984)'', Contemporary Mathematics 50 (1986), 295-309.
* [[Édouard Brézin]], [[Vladimir Kazakov]], Didina Serban, {{Lien|langue=en|fr=Paul Wiegmann}} et Anton Zabrodin (eds.), « Applications of Random Matrices in Physics », dans ''Proceedings of the NATO Advanced Study Institute / Les Houches Summer School, June 6-25 2004, Les Houches (France)'', [https://www.springer.com/west/home/physics/quantum+physics?SGWID=4-10111-69-173621560-0 NATO Science Series II], vol. 221, Springer-Verlag, (Berlin - 2006). {{ISBN|1-4020-4529-8}}
* Bertrand Eynard, ''An introduction to Random Matrices'', notes d'un cours donné au Service de Physique Théorique du CEA (Saclay - September 2000). Texte complet disponible [http://www-spht.cea.fr/articles/t01/014/ ici].
* [[Pierre Cartier]], [[Bernard Julia]], Pierre Moussa et Pierre Vanhove (eds.), ''Frontiers in Number Theory, Physics & Geometry (I) - On Random Matrices, Zeta Functions & Dynamical Systems'', Les Houches Lectures Notes, Springer-Verlag, 2006 {{ISBN|3-540-23189-7}}
* Philippe Di Francesco, [[Paul Ginsparg]] et [[Jean Zinn-Justin]], ''2D Gravity and Random Matrices'', Phys.Rept. 254 (1995) 1-133, {{arxiv|hep-th/9306153}} (''Une très bonne introduction au sujet.'')
* V. A. Malyshev et [[Anatoly Vershik|A. M. Vershik]] (eds.), « Asymptotic combinatorics with applications to mathematical physics », dans '' Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, held in St.Petersburg, Russia, 9-22 July 2001'', [https://www.springer.com/west/home/physics/quantum+physics?SGWID=4-10111-69-173621560-0 NATO Science Series II] Vol. 77, Springer-Verlag {{ISBN|1-4020-0792-2}}

=== Notes ===
{{Références }}

{{Palette Matrices}}

{{Portail|physique|algèbre|probabilités}}

[[Catégorie:Matrice]]
[[Catégorie:Variable aléatoire]]
[[Catégorie:Physique théorique]]