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En [[mathématiques]], plus précisément en [[algèbre linéaire]], une '''[[matrice (mathématiques)|matrice]]''' [[Nombre réel|réelle]] [[matrice symétrique|symétrique]] (ou : réelle '''autoadjointe''') est dite '''positive<ref>{{Ouvrage|titre=Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2|sous-titre=cours complet, exemples et exercices corrigés|auteur=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|et al.=oui|éditeur=[[Dunod]]|année=2014|url={{Google Livres|FhnpAwAAQBAJ|page=134}}|page=134}}.</ref>''' ou '''semi-définie positive''' si la [[forme bilinéaire symétrique]] associée est [[Forme bilinéaire#Définitions associées au cas où E est égal à F|positive]]. Plus généralement, une [[matrice carrée]] [[Nombre complexe|complexe]] est dite positive si la [[forme sesquilinéaire]] associée est [[Forme sesquilinéaire#Formes hermitiennes|(hermitienne) positive]], la matrice étant alors nécessairement [[Matrice autoadjointe|autoadjointe]].

== Cas réel ==
=== Définitions ===
On dit qu'une matrice réelle symétrique ''M'' d'ordre ''n'' est positive (ou semi-définie positive) si elle vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
#''M'' est un {{Lien|trad=Positive element|élément positif}} de la [[C*-algèbre]] réelle [[Exemples d'espaces vectoriels|''M{{ind|n,n}}''(ℝ)]], c'est-à-dire que son [[Spectre d'un opérateur linéaire#Spectre d'un élément d'une algèbre de Banach|spectre]] est inclus dans ℝ{{exp|+}}.
#La forme bilinéaire symétrique associée à ''M'' est positive : pour toute [[matrice colonne]] ''x'' à ''n'' éléments réels, ''x''{{exp|T}}''Mx'' ≥ 0 (où ''x''{{exp|T}} désigne la [[matrice transposée]] de ''x'').
# Les [[Valeur propre (synthèse)|valeurs propres]] de ''M'' (qui sont nécessairement réelles) sont positives ou nulles.
#Il existe une matrice réelle ''N'' telle que ''M = N''{{exp|T}}''N''.
# Tous les [[Mineur (algèbre linéaire)#Mineurs particuliers|mineurs principaux]]<ref>La positivité des [[Mineur (algèbre linéaire)#Mineurs particuliers|mineurs principaux dominants]] ne suffit pas, comme en témoigne la matrice <math>\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}</math>.</ref> de ''M'' sont positifs ou nuls : pour toute partie non vide ''I'' de {1, … , ''n''}, le [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] de la sous-matrice ''M{{ind|I,I}}'' de ''M'' (formée de ses éléments avec indices de lignes et de colonnes dans ''I'') est positif ou nul.
Elle est dite [[Matrice définie positive|définie positive]] si de plus elle est [[Matrice inversible|inversible]].

{{Démonstration/début|titre=Preuve des équivalences}}
1. et 3. sont clairement équivalents.

La propriété 2. signifie que ''M'' définit sur ℝ{{exp|''n''}} une [[forme quadratique]] positive, la propriété 3. que sur ℝ{{exp|''n''}}, vu comme [[espace euclidien]] avec le produit scalaire <math>\langle x,y \rangle =\sum_{i=1}^n{x_iy_i}</math>, ''M'' définit un [[endomorphisme autoadjoint]] positif.
L'équivalence entre 2. et 3. vient de cette double interprétation, à la lumière de la [[réduction de Gauss]] et du [[théorème spectral]]. Puisque toute matrice symétrique réelle est [[Diagonalisation|diagonalisable]] (cf. [[Matrice symétrique#Matrices symétriques réelles|Décomposition spectrale]]), il existe une [[matrice orthogonale]] ''P'' (dont les colonnes sont des vecteurs propres de ''M'') et une matrice [[Matrice diagonale|diagonale]] ''D'' (dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de ''M'') telles que ''M = PDP''{{exp|T}}.

Si 2. est vraie, sachant que les valeurs propres d'une matrice symétrique ''réelle'' sont réelles, on voit en appliquant 2. aux vecteurs propres que 3. est vraie.

Puisque ''P''{{-1}} = ''P''{{exp|T}}, la matrice ''M'' est aussi [[Matrice congruente|congrue]] à la matrice diagonale ''D''. Donc réciproquement, si 3. est vraie alors 2. est vraie.

Si 4. est vraie (''M = N''{{exp|T}}''N''), alors  <math>\forall x \in \R^n,x^\mathsf{T}Mx=\left(Nx\right)^\mathsf{T}\left(Nx\right)  = \|Nx \|^2 \geqslant 0</math>, donc 2. est vraie.

Inversement, si 2. (donc 3.) est vraie, on peut en déduire une matrice réelle ''N'' telle que ''M = N''{{exp|T}}''N'' (la matrice ''N'' n'est pas unique ; elle l'est si l'on impose qu'elle soit elle-même positive, cf. § « Propriétés » [[#Propriétés|ci-dessous]]) : il suffit de définir la matrice Δ comme étant la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont les racines carrées de ceux de ''D'', et de poser ''N'' = Δ''P''{{exp|T}}, car alors ''N''{{exp|T}}''N = M''.
Si l'on veut une matrice symétrique positive, il suffit de poser plutôt ''N = P''Δ''P''{{exp|T}}.

Si 4. (ou 2., ou 3.) est vraie pour ''M'' alors 4. est aussi vraie pour les sous-matrices mineures principales de ''M'', donc 5. est vraie.

Réciproquement<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=Roger A. Horn|auteur2=Charles R. Johnson|année=2013|numéro d'édition=2|année première édition=1985|titre=Matrix Analysis|éditeur=[[Cambridge University Press]]|url={{Google Livres|5I5AYeeh0JUC|page=439}}|page=439}}, démontrent que 5. ⇒ 3.</ref>, supposons 5. vraie et démontrons 2.<!-- Pour P:CS Ponctuation spéciale, ne pas modifier-  -->. Pour tout ''p'' de 1 à ''n'', tous les mineurs principaux de la ''p''-ième [[Mineur (algèbre linéaire)#Mineurs particuliers|sous-matrice principale dominante]] ''M{{ind|p}}'' sont, par hypothèse, positifs ou nuls donc (d'après l'[[Polynôme caractéristique#Coefficients|expression du polynôme caractéristique en fonction de ceux-ci]]) det(ε''I{{ind|p}} + M{{ind|p}}'') > 0 pour tout ε > 0. D'après le [[Matrice définie positive#Critère de Sylvester|critère de Sylvester]], ε''I{{ind|n}} + M'' est donc (définie) positive, si bien qu'elle vérifie 2. On en déduit que ''M'' aussi, en faisant tendre ε vers 0.
{{Démonstration/fin}}

Dans la suite de cet article, nous noterons <math>\mathcal{S}_n</math> l'ensemble des matrices carrées d'ordre <math>n</math> symétriques à coefficients réels et <math>\mathcal S_n^+</math> la partie de <math>\mathcal S_n</math> formée des matrices positives.

=== Exemples ===
* Soit <math>f</math> une fonction réelle de <math>n</math> variables réelles, définie sur un ouvert de <math>\R^n</math>, dérivable dans un voisinage d'un point <math>x</math> de cet ouvert et deux fois dérivable en ce point. Si <math>f</math> atteint un minimum local en <math>x</math>, sa [[matrice hessienne]] y est positive<ref>L'exemple des fonctions constantes montre qu'elle n'est pas nécessairement définie positive</ref> ([[Conditions d'optimalité (dimension finie)#Conditions du deuxième ordre sans contrainte|condition nécessaire d'optimalité du second ordre sans contrainte]]).
* Étant donné un vecteur aléatoire <math>(T_1,\dots, T_n)</math> à valeurs dans <math>\R^n</math> dont chaque composante admet une variance, on définit sa [[matrice de covariance]] par{{Retrait|<math>\Gamma = \Big(\mathrm{cov}(T_i, T_j) \Big) \in \mathcal{S}_n.</math>}}Celle-ci est positive. En effet, pour toute matrice colonne <math>x</math> à <math>n</math> éléments réels notés <math>x_1,\dots, x_n</math> :{{Retrait|<math>x^\mathsf{T} \Gamma x = \mathrm{Var}(x_1\, T_1 +\cdots + x_n\, T_n) \geqslant 0.</math>}}{{Référence souhaitée}}
* Elle est définie positive si et seulement si la seule combinaison linéaire de <math>T_1,\dots, T_n</math> qui soit certaine est celle dont tous les coefficients sont nuls.
*Toute [[matrice de Gram]] est autoadjointe positive.
* Soit <math>A</math> une matrice réelle symétrique dont les termes diagonaux sont positifs et <math>B</math> définie par{{Retrait|<math>B_{ij}= \frac{A_{ij}}{\sqrt{A_{ii} A_{jj}}}.</math>}}Alors <math>A</math> est semi-définie positive si et seulement si <math>B</math> l'est. On pense en particulier à la [[Corrélation (statistiques)|corrélation]].
* Réduire certains termes extra-diagonaux d’une matrice définie positive est une opération qui ne préserve pas nécessairement la positivité (bien que les rayons des disques de Gerschgorin diminuent). Dans le contre-exemple ci-dessous, <math>A</math> est définie positive alors que <math>B</math> ne l'est pas :{{Retrait|<math>A=\begin{pmatrix}
10 & 9 & 7\\
9 & 10 & 9\\
7 & 9 & 10\\
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
10 & 8 & 2\\
8 & 10 & 8\\
2 & 8 & 10\\
\end{pmatrix}.</math>}}

=== Propriétés ===
* Toute matrice réelle symétrique positive admet une unique [[racine carrée d'une matrice|racine carrée]] réelle symétrique positive. Plus formellement :{{Retrait|<math> \forall M\in\mathcal S_n^+\quad\exist N\in\mathcal S_n^+\quad N^2=M.</math>}}Ce résultat (dont la partie « [[Théorème d'existence|existence]] » est démontrée au passage au § « Définitions » [[#Définitions|ci-dessus]]<ref name=racine>Pour une preuve complète, voir le [[Racine carrée d'une matrice#Matrice positive|§ « Matrice positive » de l'article sur les racines carrées d'une matrice]].</ref>) se généralise aux racines ''n''-ièmes.
*Si deux matrices réelles symétriques ''M'' et ''N'' sont positives et [[Paire de matrices commutantes|commutent]], alors ''MN'' est symétrique positive.
*Par la caractérisation 2. du § « Définitions », <math>\mathcal S_n^+</math> est une intersection de demi-espaces (en nombre infini). Par la caractérisation 5., <math>\mathcal S_n^+</math> est un {{Lien|trad=Semialgebraic set|ensemble semi-algébrique}} de base ({{c.-à-d.}} caractérisé par un nombre fini d'inégalités polynomiales).
*{{ancre|Cône des matrices symétriques semi-définies positives}}Les caractérisations du § « Définitions » montrent que <math>\mathcal S_n^+</math> est un [[cône convexe]] [[Fermé (topologie)|fermé]] non vide de <math>\mathcal S_n</math>.
*Dans l'[[espace euclidien]] <math>\mathcal S_n</math> (muni du produit scalaire usuel : <math>\langle A,B\rangle:=\operatorname{tr}(AB)</math> où <math>\operatorname{tr}</math> désigne la [[Trace (algèbre)|trace]]), les [[Cône tangent#Cône convexe fermé|cônes normal et tangent à <math>\mathcal S_n^+</math>]] en <math>A\in\mathcal S_n^+</math> s'écrivent<center><math>\operatorname N_{\mathcal S_n^+}{(A)}=(-\mathcal S_n^+)\cap(A^\bot)\quad\text{et}\quad\operatorname T_{\mathcal S_n^+}{(A)}=\{D\in\mathcal S_n\mid\forall v\in\ker A\;\;v^{\!\top\!} Dv\geqslant 0\}.</math></center>

== Cas complexe ==
On étend les propriétés et définitions précédentes aux matrices complexes.

Soit ''M'' une matrice carrée d'ordre ''n''. Elle est dite positive si elle vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
#''M'' est un élément positif de la C*-algèbre complexe ''M{{ind|n,n}}''(ℂ).
#''M'' est autoadjointe (ou : [[Matrice hermitienne|hermitienne]]) et toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles.
#La [[forme sesquilinéaire]] associée à ''M'' est [[forme sesquilinéaire#Formes hermitiennes|(hermitienne) positive]] : pour toute [[matrice colonne]] ''z'' à ''n'' éléments complexes, ''z''*''Mz'' est un réel positif (où ''z''* désigne la [[matrice adjointe]] de ''z'').
#Il existe une matrice complexe ''N'' telle que ''M = N''*''N''.
Elle est dite [[Matrice définie positive#Matrice hermitienne définie positive|définie positive]] si elle est de plus inversible.

;Remarques
:*La matrice n'est pas supposée autoadjointe ''a priori'' : cette propriété est une conséquence de chacune des caractérisations, en particulier — contrairement au cas réel — de la positivité de la forme associée.
:*Sur l'espace des matrices hermitiennes d'ordre ''n'', l'[[Cône convexe#Ordre partiel défini par un cône convexe|ordre partiel associé au cône convexe]] des matrices positives est appelé l'{{Lien|trad=Loewner order|ordre de Lowner}} (nommé d'après [[Charles Loewner]]).

Toute matrice (hermitienne) positive admet une unique [[racine carrée d'une matrice#Racine carrée d'un opérateur positif|racine carrée]] (hermitienne) positive<ref name=racine/>.

== Notes et références ==
{{Crédit d'auteurs|interne|Matrice positive|103579280}}
{{Références}}

==Article connexe==
[[Matrice à diagonale dominante]]

{{Palette|Matrices}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Algèbre bilinéaire]]