Voir la source de Matrice compagnon

{{Homon|Matrice|Compagnon}}
En [[algèbre linéaire]], la '''matrice compagnon''' du [[polynôme formel|polynôme]] unitaire 
:<math>p(X)=c_0 + c_1 X + \dots + c_{n-1}X^{n-1} + X^n\,</math>
est la matrice carrée suivante<ref>{{MacLaneBirkhoff1}}, vol. 1, {{p.|365}}.</ref>{{,}}<ref>{{Szpirglas}}, § 11.102.</ref>{{,}}<ref>Daniel Guinin et Bernard Joppin, ''Algèbre et géométrie MP'', [[Éditions Bréal]], 2004 {{ISBN|978-2-7495-0388-2}}, {{p.|186}}.</ref> :
:<math>C(p)=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & -c_0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & -c_1 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & -c_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{n-1} \\
\end{pmatrix},</math>
mais il existe d'autres conventions :
* la [[matrice transposée]] de celle ci-dessus<ref>David C. Lay, ''Algèbre linéaire : Théorie, exercices et applications'', [[De Boeck]], 2004 {{ISBN|978-2-8041-4408-1}}, {{p.|372}}.</ref>{{,}}<ref>Dany-Jack Mercier, ''Exercices pour le [[CAPES]] mathématiques ([[Concours externe|externe]] et  [[Concours interne dans la fonction publique française|interne]]) et l'[[Agrégation de mathématiques|agrégation]] interne'', vol. 1, Publibook, 2005 {{ISBN|978-2-7483-0995-9}}, {{p.|103}}.</ref> ;
* une variante de cette transposée : la matrice<ref>[[Alfio Quarteroni]], Riccardo Sacco et Fausto Saleri, ''Méthodes numériques : algorithmes, analyse et applications'', [[Springer Verlag|Springer]], 2007 {{ISBN|978-88-470-0495-5}}, {{p.|207}}.</ref>{{,}}<ref>Jacques Rappaz et Marco Picasso, ''Introduction à l'[[analyse numérique]]'', [[PPUR]], 1998 {{ISBN|978-2-88074-363-5}}, {{p.|106}}.</ref>
:<math>\begin{pmatrix}
-c_{n-1} & -c_{n-2} & \cdots & -c_1 & -c_0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}.</math>

Le [[polynôme caractéristique]] de ''C''(''p'') est égal à ''p'' (ou (–1)''{{exp|n}}p'' selon la convention choisie pour le polynôme caractéristique)<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Matrice/Exercices/Déterminant#Exercice_2-3|cet exercice corrigé|début=Voir par exemple}}</ref> ; en ce sens, la matrice ''C''(''p'') est la « compagne » du polynôme ''p''.

Si le polynôme ''p'' possède ''n'' racines distinctes λ<sub>1</sub>, …,  λ<sub>''n''</sub> (les valeurs propres de ''C''(''p'')), alors ''C''(''p'') est [[réduction d'endomorphisme|diagonalisable]] de la façon suivante :
:<math>V C(p) V^{-1} = \mbox{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\,</math>
où ''V'' est la [[matrice de Vandermonde]] associée à λ<sub>1</sub>, …,  λ<sub>''n''</sub>. Réciproquement, la matrice compagnon n'est diagonalisable que dans ce cas, puisque ses espaces propres sont de dimension 1.

Si ''A'' est une matrice d'ordre ''n'' dont les coefficients appartiennent à un [[corps commutatif]] ''K'', alors les propositions suivantes sont équivalentes :
* ''A'' est [[matrice semblable|semblable]] à une matrice compagnon à coefficients dans ''K'' ;
* le [[Polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal]] de ''A'' est égal à son polynôme caractéristique ;
* il existe un vecteur ''v'' dans ''K<sup>n</sup>'' tel que (''v'', ''Av'', ''A''<sup>2</sup>''v'', …, ''A''<sup>''n''-1</sup>''v'') soit une [[base (algèbre linéaire)|base]] de ''K<sup>n</sup>''.

Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que le polynôme caractéristique de chacune divise celui de la suivante ; ils sont alors déterminés de façon unique par ''A''. C'est la [[Décomposition de Frobenius|forme canonique rationnelle]] de ''A''.
En automatique, la forme compagnon est aussi appelée la forme canonique de commandabilité. Si une matrice peut se transformer à travers une base en matrice sous la forme compagnon, elle est obligatoirement commandable. 
La forme compagnon est particulièrement utile lorsqu'on dispose d'une [[fonction de transfert]] irréductible ou d'une [[équation différentielle]]. Selon les coefficients, on peut écrire immédiatement la [[représentation d'état]], qui est l'une des formes les plus efficaces et précises de représentation des systèmes continus ou échantillonnés.

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
* [[Décomposition de Frobenius]]
* [[Suite récurrente linéaire]]

{{Palette|Matrices}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Matrice remarquable|Compagnon]]