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En [[algèbre linéaire]], une '''matrice définie positive''' est une [[Matrice_autoadjointe_positive|matrice positive]] [[matrice inversible|inversible]].

== Définitions ==
=== Notations ===

Soit <math>A</math> une [[matrice (mathématiques)|matrice]] à éléments réels ou complexes, par la suite on notera :

* <math>A^\mathsf{T}</math> la [[matrice transposée]] de <math>A</math> ;
* <math>A^*</math> la [[matrice adjointe|matrice transconjuguée]] de <math>A</math> (conjuguée de la transposée) ;
* <math>\R</math> le [[corps commutatif|corps]] des [[nombre réel|nombres réels]] ;
* <math>\Complex</math> le corps des [[nombre complexe|nombres complexes]].

=== Matrice symétrique réelle définie positive ===

Soit <math>M</math> une [[matrice symétrique]] réelle d'ordre <math>n</math>. Elle est dite '''définie positive''' si elle est positive et inversible, autrement dit si elle vérifie l'une des quatre propriétés équivalentes suivantes :
# Pour toute [[matrice colonne]] ''non nulle'' <math>\textbf{x}</math> à <math>n</math> éléments réels, on a : {{Retrait|<math>\textbf{x}^\mathsf{T} M \textbf{x} > 0</math>.}} Autrement dit, la [[forme quadratique]] définie par <math>M</math> est strictement positive pour <math>\mathbf{x} \neq 0</math>.
# Toutes les [[Valeur propre (synthèse)|valeurs propres]] de <math>M</math> (qui sont nécessairement réelles) sont strictement positives.
# La [[forme bilinéaire symétrique]] {{Retrait|<math>\R^n\times\R^n\to\R,\quad (\textbf{x},\textbf{y})\mapsto\textbf{x}^\mathsf{T} M \textbf{y}</math>}} est un [[produit scalaire]] sur <math>\R^n</math>.
# Il existe une matrice <math>N \in \mathcal{M}_n( \R )</math> inversible telle que <math>M = N^\mathsf{T} \, N</math> (autrement dit : <math>M</math> est [[Matrices congruentes|congruente]] à la [[matrice identité]]).

{{Ancre|Matrice définie négative}} <!-- ancre utilisée dans [[Matrice définie négative]] -->
Une matrice symétrique réelle est dite '''définie négative''' si son opposée (symétrique elle aussi) est définie positive.

La caractérisation 4 ci-dessus peut se justifier ainsi :
* pour toute matrice carrée réelle <math>N</math>, telle que son noyau se réduit au singleton 0, la matrice symétrique <math>N^\mathsf{T} \, N</math> est positive ;
* réciproquement, toute [[Matrice autoadjointe positive#Définitions|matrice réelle symétrique positive]] est de cette forme (la matrice <math>N</math> n'est pas unique ; elle l'est si l'on impose qu'elle soit elle-même positive) ;
* or si <math>M = N^\mathsf{T} \, N</math> (avec <math>N</math> carrée) alors <math>M</math> est inversible si et seulement si <math>N</math> l'est.

Elle permet de montrer que la [[matrice de Gram]] d'une famille de <math>n</math> vecteurs d'un [[espace préhilbertien]] (réel ou complexe) est définie positive si et seulement si la famille est [[Famille libre|libre]]. Par exemple, toute [[matrice de Hilbert]] est définie positive.

=== Matrice hermitienne définie positive ===

On étend les propriétés et définitions précédentes aux matrices complexes.

Soit <math>M</math> une matrice carrée complexe d'ordre <math>n</math>. Elle est dite '''définie positive''' si elle vérifie l'une des quatre propriétés équivalentes suivantes :

# Pour toute matrice colonne '''non nulle''' <math>\textbf{z}</math> à <math>n</math> éléments complexes, le nombre complexe <math>\textbf{z}^* M \textbf{z}</math> est un réel strictement positif.
# <math>M</math> est [[Matrice hermitienne|hermitienne]] et toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
# La [[forme sesquilinéaire]]{{Retrait|<math>\Complex^n \times \Complex^n \to \Complex, \quad (\textbf{x},\textbf{y}) \mapsto \textbf{x}^{*} M \textbf{y}</math>}}est un [[Produit scalaire#Produit scalaire hermitien|produit scalaire]] sur <math>\Complex^n</math> (au sens : [[Forme sesquilinéaire#Formes hermitiennes|forme hermitienne définie positive]]).
# Il existe une matrice <math>N \in \mathcal{M}_n(\Complex)</math> inversible telle que <math>M = N^* \, N</math>.

Une matrice <math>M</math> est dite '''définie négative''' si son opposée est définie positive.

== Intérêt des matrices définies positives ==

Beaucoup de problèmes de résolution de systèmes linéaires les plus faciles à traiter [[Analyse numérique|numériquement]] sont ceux dont les matrices sont symétriques définies positives<ref>{{Ouvrage |langue=fr |auteur1=[[Philippe Ciarlet]] |titre=Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation |éditeur=Dunod |lieu=Paris |année=1998 |passage=26 |isbn= }}.</ref> : on dispose d'algorithmes numériquement stables et rapides pour [[Complément_de_Schur|l'inversion]]<ref>{{Lien web |langue=fr |format=pdf |auteur institutionnel=[[Laboratoire bordelais de recherche en informatique]] (LaBRI) |titre=Matrices symétriques définies positives et leur inversion |lire en ligne=https://www.labri.fr/perso/zvonkin/Enseignement/CMA/mat-pos.pdf |date= |site=labri.fr |consulté le=12 mars 2022}}.</ref> et la [[théorème spectral | diagonalisation]] des matrices définies positives.

Toute matrice symétrique réelle positive est limite d'une suite de matrices symétriques réelles définies positives, ce qui est à la base de nombreux raisonnements par [[Partie dense|densité]]<ref>{{Ouvrage |langue=fr |auteur1=Jean Voedts |titre=Cours de mathématiques |sous-titre=MP-MP* |éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]] |lieu=Paris |année=2002 |pages totales=1119 |passage=634 |isbn=2-7298-0666-0 |oclc=470114804 |bnf=38853625m |sudoc=061031119}}.</ref>.

== Propriétés et critères ==
=== Propriétés ===

* La [[matrice inverse]] d'une matrice définie positive est définie positive.
* Si <math>M</math> est définie positive et si <math>r</math> est un réel strictement positif, alors <math>rM</math> est définie positive. Autrement dit, l'ensemble des matrices définies positives forme un [[Cône (analyse convexe)|cône.]]
* Si <math>M</math> et <math>N</math> sont positives et si l'une des deux est inversible, alors <math>M + N</math> est définie positive.
* Une matrice positive est définie positive si et seulement si sa [[Racine carrée d'une matrice#Matrice positive|racine carrée positive]] est inversible. Cette propriété est utilisée pour la décomposition polaire {{Infra|Décomposition polaire}}.
* [[v:Algèbre linéaire/Devoir/Inégalité de Hadamard|Inégalité de Hadamard]] : le déterminant d'une matrice définie positive est inférieur ou égal au produit de ses éléments diagonaux.

=== Critère de Sylvester ===

Pour qu'une matrice <math>A = \left(a_{ij}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}</math>, réelle symétrique ou complexe hermitienne, soit définie positive, il faut et suffit que les <math>n</math> matrices  <math>A_p=\left(a_{ij}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant p}</math> pour <math>p</math> de 1 à <math>n</math>, aient leur [[déterminant_(mathématiques)|déterminant]] strictement positif, autrement dit que les <math>n</math> [[Mineur (algèbre linéaire)|mineurs]] principaux dominants soient strictement positifs.

;Remarques
* Pour <math>n = 2</math>, le critère de Sylvester est essentiellement le critère de positivité du [[équation du second degré|trinôme du second degré]].
* En fait, sur un corps (commutatif) quelconque, cette condition de non-nullité des mineurs principaux est une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une matrice <math>Q</math> [[matrice triangulaire#Matrices triangulaires supérieures|triangulaire supérieure]] telle que <math>Q^\mathsf{T}AQ</math> soit diagonale et de rang maximum (il suffit d'adapter la démonstration qui suit).
	
{{Démonstration/début}}

Notons <math>q</math> la forme quadratique associée à <math>A</math>, définie par
<math>q(\mathbf{x}) = \sum_{1\leqslant i,j \leqslant n}a_{ij}x_ix_j</math>.

La condition est nécessaire. On remarque d'abord que si <math>q</math> est définie positive, alors <math>\det(A) > 0</math>. En effet, par rapport à une base orthogonale pour cette forme quadratique (il en existe, d'après la [[réduction de Gauss]]), la matrice de <math>q</math> s'écrit <math>\mathrm{diag}(c_1, \cdots ,c_n)</math>
les <math>c_i</math> étant tous strictement positifs. Alors <math>c_1 \cdots c_n=(\det A)(\det Q)^2</math> (<math>Q</math> étant la [[matrice (mathématiques)|matrice de passage]]), donc <math>\det A>0</math>. Le résultat s'ensuit, en appliquant le même raisonnement à la restriction de <math>q</math> aux sous-espaces <math>\R^k\times\{0\}^{n-k}</math>,  pour <math>1\leqslant k\leqslant n-1</math>.

Montrons maintenant que la condition est suffisante. On procède par récurrence sur la dimension.

Pour <math>n = 0</math> c'est évident puisqu'en dimension 0 l'ensemble des vecteurs non nuls est [[Ensemble vide#Difficultés de la notion d'ensemble vide|vide]]. Supposons la propriété vraie pour <math>n - 1</math> et notons <math>E=\R^{n-1}\times\{0\}</math>. Par hypothèse de récurrence, <math>q_{\vert E}</math> est définie positive. De plus, <math>q</math> est [[forme quadratique|non dégénérée]] (parce que le déterminant de <math>A</math> est non nul) donc :

<center>
<math>\,\R^n=E\oplus E^{\perp} \quad \textrm{avec} \quad \dim E^{\perp}=1</math>
</center>

Soient <math>e</math> un vecteur non nul de <math>E^{\perp}</math> et <math>a=q(e)</math>. Alors <math>\det A </math> et <math>a\det A_{n-1} </math> ont même signe d'après le même argument que dans la première partie (qui met implicitement en jeu le [[Forme_quadratique#Discriminant|discriminant]]), or par hypothèse <math>\det A</math> et <math>\det A_{n-1}</math> sont strictement positifs. Donc <math>a>0</math>, si bien que la restriction de <math>q</math> à <math>E^\perp</math> est, elle aussi, définie positive, ce qui montre que <math>q</math> est définie positive.

{{Démonstration/fin}}

Dans le cas complexe, plus général, la preuve est analogue, en considérant la forme hermitienne définie par la matrice.

Une autre méthode est d'utiliser le [[théorème d'entrelacement de Cauchy]]<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Roger A. Horn |auteur2=Charles R. Johnson |titre=Matrix Analysis |éditeur=[[Cambridge University Press]] |année=2013 |numéro d'édition=2 |année première édition=1985 |pages totales=643 |passage=439 |isbn=978-0-521-83940-2 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=5I5AYeeh0JUC&pg=PA439}}.</ref>.

=== Décomposition polaire ===
{{Voir|Décomposition polaire}}

* Toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une [[matrice orthogonale]] et d'une matrice symétrique définie positive.
* Toute matrice inversible complexe se décompose de façon unique en produit d'une [[matrice unitaire]] et d'une matrice hermitienne définie positive.
La notion de matrice définie positive est donc analogue à celle de nombre réel strictement positif dans la [[Nombre complexe#Forme polaire|forme polaire d'un nombre complexe]].

== Notes et références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
*[[Matrice à diagonale dominante]]
* [[Factorisation de Cholesky]] - Pour toute matrice symétrique définie positive <math>A</math>, il existe une matrice triangulaire inférieure <math>L</math> telle que <math>A=LL^\mathsf{T}</math>.<!--En faire aussi une partie à elle-même ?-->
* [[Complément de Schur]]

{{Palette|Matrices|Algèbre bilinéaire}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Algèbre bilinéaire]]
[[Catégorie:Matrice remarquable|Symétrique définie positive]]

[[de:Definitheit#Definitheit von Matrizen]]