Voir la source de Matrice de Dirac

Les '''matrices de Dirac''' sont des [[matrice (mathématiques)|matrices]] qui furent introduites par [[Paul Dirac]], lors de la recherche d'une [[équation d'onde]] [[théorie de la relativité|relativiste]] de l'[[électron]].

== Intérêt ==

Le pendant relativiste de l'[[équation de Schrödinger]] est l'[[équation de Klein-Gordon]]. Celle-ci décrit des particules de [[spin]] 0 et ne convient pas pour les électrons qui sont de spin 1/2. Dirac essaya alors de trouver une équation linéaire comme celle de Schrödinger sous la forme :

:<math>\mathrm{i} \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(\frac{1}{\mathrm{i}}\mathbf{\alpha}\cdot\nabla+\beta m\right)\psi\equiv H\psi</math>

où <math>\psi</math> est une [[fonction d'onde]] [[vecteur|vectorielle]], <math>m</math> la [[masse]] de la particule, <math>H</math> l'[[opérateur hamiltonien|hamiltonien]], <math>\mathbf{\alpha},\beta</math> sont respectivement un vecteur de [[matrice hermitique|matrices hermitiques]] et une [[matrice hermitique]], et {{math|i}} désigne l'[[unité imaginaire]]. L'[[équation de Dirac]] doit respecter les trois contraintes suivantes :

# Les composantes de <math>\psi</math> doivent satisfaire l'équation de Klein-Gordon, une [[onde plane]] dont une solution est :
#: <math>E^2=\mathbf{p}^2+m^2</math> ;
# Il existe un [[quadrivecteur]] [[densité de courant]] qui est conservé et dont la composante temporelle est une densité positive (identifiée avec la charge électrique) ;
# Les composantes de <math>\psi</math> ne doivent satisfaire aucune condition auxiliaire, c’est-à-dire qu'à un instant donné elles sont des fonctions indépendantes de <math>x</math>.

== Matrices de Dirac ==

Dirac proposa que les [[matrice hermitique|matrices hermitiques]] soient anticommutantes et de carré égal à un. C’est-à-dire qu'elles obéissent à l'[[algèbre]] suivante :

:<math>\left\{\alpha_i,\alpha_k\right\}=0 \,, \qquad i\ne k</math>
:<math>\left\{\alpha_i,\beta\right\}=0</math>
:<math>\alpha_i^2=\beta^2=I</math>

où les crochets sont l'anticommutateur <math>\left\{A,B\right\}=AB+BA</math> et <math>I</math> la [[matrice identité]].

En élevant l'équation de Dirac au carré, on vérifie immédiatement que la première condition est satisfaite. On introduit ensuite les matrices de Dirac <math>\gamma^\mu</math> proprement dites :

:<math>\gamma^0=\beta</math>
:<math>\gamma^i=\beta\alpha^i \,, \qquad i=1,2,3</math>
:<math>\left\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\right\}=2g^{\mu\nu} I \,, \qquad \mu, \nu = 0,1,2,3</math>

où <math>g^{\mu\nu} = \mathrm{diag}( 1, -1, -1, -1 )</math> est la métrique de Minkowski.

== Le ''slash'' de Feynman ==
On introduit aussi le « ''slash'' » de [[Richard Feynman|Feynman]] :

:<math>\not\! a = \gamma^\mu a_\mu</math>

L'[[équation de Dirac]] prend alors la forme :

:<math>\left(\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_\mu-m\right)\psi\equiv\left(\mathrm{i}\not\!\partial-m\right)\psi=0</math>

Une représentation explicite, dite « représentation standard », est donnée par :

:<math>\gamma^0=\begin{pmatrix}I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -I \end{pmatrix}</math>
:<math>\gamma^i=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \sigma^i \\ -\sigma^i & \mathbf{0}\end{pmatrix}</math>
:<math>\beta=\begin{pmatrix}I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -I \end{pmatrix}</math>
:<math>\alpha^i=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \sigma^i \\ \sigma^i & \mathbf{0}\end{pmatrix}</math>

où <math>I</math> est la matrice unité 2×2 et <math>\sigma^i</math> sont les [[matrices de Pauli]]<ref>{{article |auteur1=Wolfgang Pauli |année=1936 |titre=Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac |périodique=Annales de l'institut Henri Poincaré |volume=6 |numéro=2 |pages= 109-136 |éditeur=Presses universitaires de France}}.</ref>.

Cette représentation est particulièrement pratique car elle met en évidence le caractère spinoriel (dû au [[spin]] demi-entier) de la [[fonction d'onde]] de l'[[électron]] et elle sépare les composantes d'[[énergie]] positive et négative. Ainsi, en écrivant la fonction d'onde comme un [[:en:Bispinor|bispineur]] :

:<math>\psi=\begin{pmatrix}\phi \\ \chi\end{pmatrix}</math>

où <math>\phi</math> et <math>\chi</math> sont deux [[spineur]]s, l'[[équation de Dirac]] devient :

:<math>\mathrm{i} \frac{\partial \phi}{\partial t}=m\phi+\frac{1}{\mathrm{i}}\mathbf{\sigma}\cdot\nabla\chi</math>
:<math>\mathrm{i} \frac{\partial \chi}{\partial t}=-m\chi+\frac{1}{\mathrm{i}}\mathbf{\sigma}\cdot\nabla\phi</math>

En introduisant la fonction d'onde conjuguée comme :

:<math>\bar\psi=\psi^\dagger\gamma^0</math>

On trouve :

:<math>\bar\psi\left(\mathrm{i}\overleftarrow{\not\!\partial} + m \right)=0</math>

Et avec l'équation de Dirac, cela donne :

:<math>\bar\psi\left(\overleftarrow{\not\!\partial}+\overrightarrow{\not\!\partial}\right) \psi \equiv\partial_\mu\left(\bar\psi\gamma^\mu\psi\right)  =0</math>

Ce qui donne un courant conservé :

:<math>j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi</math>

Dont la composante temporelle <math>j^0=\rho=\bar\psi\gamma^0\psi=\psi^\dagger\psi</math> est positive.

On définit aussi la matrice<ref>Cette définition correspond à celle que l'on trouve, par exemple, dans le livre d'Edgard Elbaz ''Quantique'' (ellipses, 1995), une autre définition, qui ne diffère que par l'ajout d'un signe –, est présente dans {{Landau|tome 4}}, § 22.</ref> :

:<math>\ \gamma^5= \mathrm{i} \gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3</math>

L'utilisation de <math>\gamma^5</math> permet ainsi de construire différents types de combinaisons tels que :
* des [[vecteur]]s : <math>\bar\psi\gamma^\mu\psi</math> ;
* des [[pseudovecteur]]s : <math>\bar\psi\gamma^5\gamma^\mu\psi</math> ;
* des [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]] : <math>\bar\psi\psi</math> ;
* des [[pseudoscalaire]]s : <math>\bar\psi\gamma^5\psi</math>.

On vérifie aisément la [[Principe de covariance générale|covariance relativiste]] de tout ce formalisme.

== Les traces ==

Pour le calcul des sections efficaces en [[physique des particules]], il est souvent utile d'avoir ces quelques résultats sur les [[trace (algèbre)|traces]] de ces matrices :
* <math>Tr[\gamma^\alpha \gamma^\beta]=4 g^{\alpha \beta}</math> ;
* <math>Tr[\gamma^\alpha \gamma^\beta \gamma^\mu \gamma^\nu]=4 ( g^{\alpha \beta} g^{\mu \nu} - g^{\alpha \mu} g^{\beta \nu} + g^{\alpha \nu} g^{\beta \mu})</math> ;
* <math>Tr[\gamma^5]=0</math> ;
* <math>Tr[\gamma^5 \gamma^\alpha \gamma^\beta]=0</math> ;
* <math>Tr[</math>d'un nombre impair de <math>\gamma]=0</math>.

== Représentations ==

Les matrices de Dirac sont totalement déterminées par la relation :

:<math>\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2\eta^{\mu\nu}.I_4</math>

où <math>\eta^{\mu\nu}</math> est le [[Métrique de Minkowski|tenseur de Minkowski]]. On a aussi <math>\gamma_\mu\gamma^\mu=4</math>.

Il existe une infinité de <!--représentations possibles des matrices de Dirac. C’est-à-dire une infinité de--> solutions possibles à la relation précédente. Pour des matrices 4×4, l'ensemble des solutions est une <math>\, \Complex-</math>algèbre de dimension 4, une [[algèbre de Clifford]] notée <math>\, Cl_{1,3}\Complex \, </math>, et les quatre matrices de Dirac en forment une base. Suivant la base choisie les matrices de Dirac ont des coefficients différents, et ce choix s'appelle une '''représentation des matrices de Dirac'''.

=== Représentation de Dirac ===
C'est la « représentation standard ». On l'obtient à partir de la représentation de [[Hermann Weyl|Weyl]] grâce à l'opérateur unitaire U :
:<math>U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}</math>
Les matrices <math>\gamma^{\mu}_D =U \gamma^{\mu}_W U^{\dagger} </math> s'écrivent alors :
:<math>\gamma^0_D=\begin{pmatrix}I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -I \end{pmatrix}</math>
:<math>\gamma^i_D= \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \sigma_i \\ -\sigma_i & \mathbf{0} \end{pmatrix}</math>
:<math>\gamma^5_D=\begin{pmatrix} \mathbf{0} & I\\I & \mathbf{0}  \end{pmatrix}</math>

=== Représentation de Weyl ===
Représentation qui apparaît « naturellement » quand on cherche à dériver l'équation de Dirac à l'aide des représentations irréductibles du [[groupe de Lorentz]]. Dans cette base, les matrices <math>\gamma^{\mu} </math> ont la forme suivante : 
:<math>\gamma^0_W=\begin{pmatrix} \mathbf{0} & I\\I & \mathbf{0}  \end{pmatrix}</math>
:<math>\gamma^i_W= \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \sigma_i \\ -\sigma_i & \mathbf{0} \end{pmatrix}</math>
:<math>\gamma^5_W=\begin{pmatrix}-I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & I \end{pmatrix}</math>

=== Représentation de Majorana ===
La représentation de Majorana est obtenue à partir de la « représentation standard » à l'aide de la [[matrice unitaire]] U suivante :
:<math>U=\frac{1}{\sqrt{2}} (\gamma^0_D \gamma^2_D+\gamma^0_D)</math>
Cette représentation a la propriété intéressante que toutes les matrices <math>\gamma^{\mu} </math> sont imaginaires pures, ce qui rend les calculs commodes quand on considère l'opérateur conjugaison de charge.

=== Représentation chirale ===

:<math>\gamma^0=\beta=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & -I \\ -I & \mathbf{0}\end{pmatrix}</math>
:<math>\mathbf{\alpha}=\begin{pmatrix}\mathbf{\sigma} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -\mathbf{\sigma}\end{pmatrix}</math>
:<math>\mathbf{\gamma}=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{\sigma} \\ -\mathbf{\sigma} & \mathbf{0}\end{pmatrix}</math>

Son avantage est que les deux spineurs se transforment indépendamment sous les [[Mouvement de rotation|rotation]]s et les [[Translation (géométrie)|translations]]. Elle est particulièrement utile pour des particules sans masse, les équations se simplifiant considérablement. Elle a été utilisée pour le [[neutrino]] bien que les [[oscillations de neutrinos]] montrent que leur masse est non nulle.

== Notes et références ==
{{références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
{{Début de colonnes|nombre=3}}
* [[Quaternion]]
* [[Matrice de Pauli]]
* [[Équation de Dirac]]
* [[Matrices gamma]]
{{Fin de colonnes}}	
{{...}}

=== Lien externe ===
{{...}}

=== Bibliographie ===
* {{landau|tome 4}}
* {{Article|nom1=[[Yvonne Choquet-Bruhat]]|année=1982|titre=Solution globale des équations de Maxwell-Dirac-Klein-Gordon|périodique=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo|éditeur= [[Circolo Matematico di Palermo]]|volume=31|numéro=2|pages=267-288 |url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF02844359 résumé}}.
* {{en}} Itzykson, C., & Zuber, J. B. (2005). ''{{Langue|en|Quantum Field Theory}}''. {{Langue|en|Courier Dover Publications}}.
* Lochak, G. (2003). [http://aflb.ensmp.fr/AFLB-283/aflb283p403.pdf ''L’équation de Dirac sur le cône de lumière. Électrons de Majorana et monopôles magnétiques''] {{pdf}}. In Annales de la Fondation [[Louis de Broglie]] (Vol. 28, No. 3-4, p. 403). Fondation Louis de Broglie.
* McLenaghan, R. G., & Spindel, P. (1979). ''Intégrales premières des équations de Dirac en espace courbe''. Bull. Soc. Math. Belg, 31, 30.
* {{en}} Mandl, F., & Shaw, G. (2010). ''{{Langue|en|Quantum Field Theory}}''. {{Langue|en|John Wiley & Sons}}.
* Meessen, A. (1970). ''Quantification de l’espace-temps et généralization de l’équation de Dirac''. Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 84,267-275.
* Nelipa, N. ''Physique des particules élémentaires''
* Pauli, W. (1936) « Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac ». In ''Annales de l'institut Henri Poincaré'' (Vol. 6, No. 2, pp. 109-136). [[Presses universitaires de France]].
* Proca, A. (1930). [http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/23/30/25/PDF/ajp-jphysrad_1930_1_7_235_0.pdf « Sur l'équation de Dirac »] {{pdf}}. ''J. Phys. Radium'', 1(7), 235-248.
* Sambou D (2012) ''[https://arxiv.org/pdf/1201.6552 Résonances près de seuils d'opérateurs magnétiques de Pauli et de Dirac]'' {{pdf}}. [[arXiv]] preprint arXiv:1201.6552.
* {{en}} Zinn-Justin, J. (2002). ''{{Langue|en|Quantum Field Theory and Critical Phenomena}}'' (No. SACLAY-SPHT-T-2002-001).

{{Portail|Physique}}

[[Catégorie:Physique théorique]]