Voir la source de Matrice nilpotente

Une '''matrice nilpotente''' est une [[matrice (mathématiques)|matrice]] dont il existe une puissance égale à la [[matrice nulle]]. Elle correspond à la notion d'[[endomorphisme nilpotent]] sur un [[espace vectoriel de dimension finie]].

Cette notion facilite souvent le calcul matriciel. En effet, si le polynôme caractéristique d'une matrice est scindé (c'est-à-dire décomposable en produit de facteurs du premier degré, ce qui est le cas par exemple si le corps des coefficients est algébriquement clos), alors l'endomorphisme associé possède une [[décomposition de Dunford]]. Ceci permet de se ramener, dans les calculs, à une [[Matrices semblables|matrice semblable]] (obtenue par changement de base via une [[matrice de passage]]) plus simple, somme de deux matrices qui commutent, l'une [[matrice diagonale|diagonale]] et l'autre nilpotente. Cette réduction des matrices joue un rôle important dans la résolution de [[système d'équations linéaires]] et la résolution d'[[Équation différentielle linéaire|équations différentielles linéaires]].

Les aspects théoriques, ainsi que l'essentiel des démonstrations des propositions énoncées, sont traitées dans l'article ''[[Endomorphisme nilpotent]]''.

== Définition ==
On dit qu'une [[matrice carrée]] ''A'' est nilpotente s'il existe un [[entier naturel]] ''p'' tel que la matrice ''A{{exp|p}}'' soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit ''p''.

Les notions de matrice nilpotente et d'endomorphisme nilpotent sont très liées :

Soient ''E'' un [[espace vectoriel de dimension finie]], ''u'' un [[endomorphisme]] et ''A'' sa matrice dans une certaine [[Base (algèbre linéaire)|base]]. ''A'' est nilpotente si et seulement si l'endomorphisme est [[nilpotent]], c'est-à-dire qu'il existe un entier ''p'' > 0 tel que ''u{{exp|p}}'' = 0, où ''u{{exp|p}}'' désigne <math> u\circ ... \circ u</math> et 0 l'endomorphisme nul. La plus petite valeur de ''p'' vérifiant cela est appelée indice (de nilpotence). L'indice d'un endomorphisme nilpotent est toujours inférieur ou égal à la dimension de l'espace.

''Remarque :'' le produit de deux matrices non nulles peut être nul. Par exemple, la matrice 
{{retrait|<math>A=\left(\begin{matrix}
0 & 1 \\
0 & 0
  \end{matrix}\right)
</math>}}
est nilpotente d'indice 2, c'est-à-dire que ''A'' est non nulle mais ''A''{{2}} = 0.

== Approche par l'exemple ==
Considérons un espace vectoriel réel de dimension 3 avec pour base ''B'' = (''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, ''e''<sub>3</sub>). Considérons alors un endomorphisme ''u'' défini par sa [[Matrice d'une application linéaire|représentation matricielle]] suivante dans la base ''B'' :
:<math>u:\;\begin{pmatrix} 3 & 9 & -9\\ 2 & 0 & 0\\3 & 3 & -3 \end{pmatrix}</math>
En calculant la représentation matricielle de ''u''{{2}} puis celle de ''u''{{3}}, on trouve :
:<math>u^2:\;\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 6 & 18 & -18\\6 & 18 & -18 \end{pmatrix}\quad et \quad u^3:\;\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.</math> 
Puisque ''u''{{3}} est l'endomorphisme nul, ''u'' est bien nilpotent d'indice 3. 

=== Nilpotence et polynômes ===
Déterminons alors le [[polynôme caractéristique]] ''P'' de l'endomorphisme ''u'' :
:<math>P(X)=\det(u-XI)=\;\begin{vmatrix} 3-X & 9 & -9\\ 2 & -X & 0\\3 & 3 & -3-X \end{vmatrix}=-X(3-X)(-3-X)-2(9(-3-X)+27)-27X=-X^3.</math>
Nous avons l'égalité ''P''(''X'') = –''X''{{3}}. Dans le cas où la dimension de l'espace vectoriel est égale à ''n'', une [[condition nécessaire et suffisante]] pour qu'un endomorphisme soit nilpotent est que son polynôme caractéristique soit égal à (–''X'')''<sup>n</sup>''.

La théorie des [[Polynôme minimal d'un endomorphisme|polynômes minimaux]] nous indique que le calcul du polynôme caractéristique est inutile dans cet exemple. Le polynôme ''X''{{3}} annule l'endomorphisme. Le polynôme minimal est alors un [[diviseur]] de ce polynôme. Or le seul diviseur normalisé (c'est-à-dire dont le monôme de plus haut degré est égal à 1) de –''X''{{3}} qui annule ''u'' est lui-même. Le [[théorème de Cayley-Hamilton]] nous indique que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique. Il suffit alors de constater que le polynôme caractéristique est de degré égal à la dimension de l'espace, pour l'obtenir sans calcul. Une condition nécessaire et suffisante pour que l'endomorphisme soit nilpotent est que son polynôme minimal soit de la forme ''X<sup>p</sup>''.

=== Nilpotence et base réduite ===
Considérons alors le vecteur ''e''<sub>1</sub>. L'[[Endomorphisme nilpotent#Définitions|indice de ce vecteur]] est 3 et la famille (''e''<sub>1</sub>, ''u''(''e''<sub>1</sub>), ''u''{{2}}(''e''<sub>1</sub>)) est [[Indépendance linéaire|libre]]. De plus, son cardinal est la dimension de l'espace. Cette famille est donc une base. Dans cette base, la représentation matricielle de ''u'' prend alors la forme suivante :
:<math>u:\;\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.</math>
Là encore, ces propriétés sont génériques pour un endomorphisme nilpotent. Dans le cas général de dimension ''n'', si ''x'' est un vecteur d'indice ''p'' alors ''p'' est inférieur ou égal à ''n'' et la famille {{nobr|(''x'', ''u''(''x''), … , ''u{{exp|p-1}}''(''x''))}} est libre.
De plus, il existe toujours une base (''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, … , ''e<sub>n</sub>'') telle que ''u''(''e<sub>i</sub>'') soit égal, soit à 0 soit à ''e''<sub>''i''+1</sub>, avec ''u''(''e<sub>n</sub>'') = 0. C'est la base réduite pour l'endomorphisme nilpotent.

== Propriétés ==
Pour tout [[Anneau unitaire|anneau]] ''R'', une matrice ''A'' ∈ M{{ind|''n''}}(''R'') strictement triangulaire, c'est-à-dire [[Matrice triangulaire|triangulaire]] et de diagonale nulle, est nilpotente car ''A{{exp|n}}'' = 0<ref>Si ''R'' est [[Anneau commutatif|commutatif]], c'est un cas particulier du [[théorème de Cayley-Hamilton]]. {{Note autre projet|wikiversité|Matrice/Exercices/Produit matriciel#Matrice strictement triangulaire|cet exercice corrigé de la leçon « Matrice »|début=Mais on peut le démontrer bien plus élémentairement, et pour ''R'' quelconque, comme dans}}</ref>.

=== Représentation réduite ===
{{Voir|Réduction de Jordan}}
Les matrices nilpotentes possèdent une forme réduite particulièrement simple.
* Un bloc de Jordan nilpotent est une matrice qui ne contient que des 0, sauf pour les coefficients où ''j'' est égal à ''i'' + 1 qui, eux, valent 1. Alors toute matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale composé de matrices de Jordan nilpotentes. Si ''A'' est une matrice nilpotente, alors ''A'' est semblable à B avec :
:<math>B=
\begin{pmatrix} 
    \mathcal{J}_1 &                         &        &        &                         \\
                            & \mathcal{J}_2 &        &        &                         \\
                            &                         & \ddots &        &               \\
                            &                         &        & \ddots &               \\
                            &                         &        &        & \mathcal{J}_r \\
\end{pmatrix} \qquad \mbox{avec} \qquad \mathcal{J}_i=
\begin{pmatrix} 
    0 & 1 &  &  &  &  \\
     & 0 & 1 &  & (0) &  \\
     &  & \ddots & \ddots &  &  \\
     &  &  & \ddots & \ddots &  \\
     & (0) &  &  & 0 & 1 \\
     &  &  &  &  & 0 \\
\end{pmatrix}.</math>

Ce résultat est la conséquence directe de la représentation matricielle d'un endomorphisme nilpotent pour la [[Endomorphisme nilpotent#Propriétés|réduction en dimension finie]].

=== Indice, déterminant, trace ===
Une autre conséquence des propriétés des endomorphismes nilpotents est la suivante :
* L'indice d'une matrice nilpotente est égal à la dimension de sa plus grande matrice de Jordan.
Sa représentation réduite permet de calculer immédiatement son [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] et sa [[Trace (algèbre)|trace]] :
* Le déterminant et la trace d'une matrice nilpotente sont nuls. Par conséquent, les matrices nilpotentes ne sont pas inversibles et, sur ℝ ou ℂ, forment un [[ensemble négligeable]].

=== Produit et combinaisons linéaires ===
Si ''A'' et ''B'' sont deux matrices carrés de même dimension et qui commutent, alors si elles sont nilpotentes, il en est de même de leurs produits et de toutes [[Combinaison linéaire|combinaisons linéaires]].

En effet, soit ''p'' le plus grand des deux indices de ''A'' et ''B''. Alors :
<center><math>(AB)^p=A^pB^p=0</math></center>
et, comme soit ''i'' soit 2''p – i'' est supérieur ou égal à ''p'' :
<center><math>(\alpha A+\beta B)^{2p}=\sum_{i\in [0,2p]}C_{2p}^i\alpha^i\beta^{2p-i}A^i B^{2p-i}=0.</math></center>

== Exponentielle d'une matrice nilpotente ==
{{article connexe|Exponentielle d'une matrice}}
Pour toute matrice carrée complexe ''A'', on pose :
:<math>\exp(A):=\sum_{p=0}^{\infty}\frac1{p!}A^p.</math>
Cette définition a un sens, puisqu'en considérant une [[matrice (mathématiques)#Normes et rayon spectral|norme matricielle]] quelconque, cette [[Série (mathématiques)|série]] est [[Convergence absolue#Extension aux séries à valeurs vectorielles|absolument convergente]]. De plus, si ''A'' et ''B'' commutent alors <math>\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)</math>. En particulier, la matrice exp(''A'') est [[matrice inversible|inversible]] et son inverse est exp(–''A'').

On peut remarquer que si ''A'' est nilpotente d'indice ''q'' alors –''A'' l'est aussi et
:<math>\exp(A)=\sum_{p=0}^{q-1}\frac1{p!}A^p</math>.

===Exemples===
*L'exponentielle de la matrice de Jordan nilpotente ''B'' [[#Représentation réduite|ci-dessus]] est
*:<math>\exp(B)=
\begin{pmatrix} 
    \exp(\mathcal{J}_1) &                         &        &        &                         \\
                            & \exp(\mathcal{J}_2) &        &        &                         \\
                            &                         & \ddots &        &               \\
                            &                         &        & \ddots &               \\
                            &                         &        &        & \exp(\mathcal{J}_r) \\
\end{pmatrix} \qquad \mbox{avec} \qquad \exp(\mathcal{J}_i)=
\begin{pmatrix} 
     1 & 1 &  \frac12&  &  &  \frac1{p_i!}\\
     & 1 & 1 & \frac12& \frac1{j!} &  \\
     &  & \ddots & \ddots &  &  \\
     &  &  & \ddots & \ddots & \frac12\\
     & (0) &  &  & 1 & 1 \\
     &  &  &  &  & 1 \\
\end{pmatrix}.</math>
*Pour tout entier naturel ''n'', l'[[Exemples d'espaces vectoriels#à une indéterminée|espace <math>\R_n[X]</math> des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à ''n'']] est de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] ''n'' + 1.<br>L'endomorphisme ''D'' de <math>\R_n[X]</math> qui associe à tout polynôme ''P'' son [[Polynôme formel#Dérivée formelle|polynôme dérivé]] ''D''(''P'') = ''P''' est nilpotent d'indice ''n'' + 1.<br>Pour tout réel <math>a</math>, désignons par <math>T_a</math> l'endomorphisme <math>\exp(aD)</math>. On déduit de la [[Polynôme formel#Développement de Taylor|formule de Taylor]] que <math>T_a(P(X))=P(X+a)</math>. On peut aussi le démontrer en considérant les matrices de ''D'' et de <math>T_a</math> dans la [[base canonique]] <math>(1,X,X^2,...,X^n).</math>

==Note==
{{Références}}

== Voir aussi ==

===Article connexe===
[[Réduction d'endomorphisme]]

===Lien externe===
[http://c.caignaert.free.fr/chapitre4/node5.html Réduction des matrices]

===Bibliographie===
*{{Lang1}}
* {{Ouvrage
 | titre       = Réduction des endomorphismes
 | éditeur     = Calvage et Mounet
 | collection  = Tableau noir
 | auteur      = Rached Mneimné
 | année       = 2006
 | lieu        = Paris
 | pages       = 376
 | isbn        = 978-2-916352-01-5
}}

{{Palette|Matrices}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Matrice remarquable|Nilpotente]]