Voir la source de Matrice stochastique

{{Confusion|texte=Ne pas confondre avec la notion de [[matrice aléatoire]].}}

En [[mathématiques]], une '''matrice stochastique''' (aussi appelée '''matrice de [[Andreï Markov (mathématicien)|Markov]]''') est une [[matrice carrée]] (finie ou infinie) dont chaque élément est un [[nombre réel|réel]] [[Nombre positif|positif]] et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1. Cela correspond, en [[théorie des probabilités]], à la '''matrice de transition''' d'une [[chaîne de Markov]].

== Définitions ==
Une matrice <math> M \in \mathcal{M}_n (\mathbb{R}) </math> est dite stochastique si toutes ses entrées sont positives (ou nulles) et si, pour tout <math> i = 1, ...,n </math>, on a 
<math> \sum_{j=1}^n m_{ij} = 1</math>, c'est-à-dire que la somme des coordonnées de chaque ligne vaut 1<ref>Certains auteurs parlent de matrice '''stochastique à droite''', la transposée d'une telle matrice (dont la somme des coordonnées de chaque colonne vaut 1) est alors dite '''stochastique à gauche'''.</ref>.

Une matrice stochastique est dite régulière s'il existe un entier <math>k > 0</math> tel que la matrice <math>M^k</math> ne contient que des réels ''strictement'' positifs.

Une matrice est dite [[matrice bistochastique|bistochastique]] (ou  doublement stochastique) si la somme des éléments de chaque ligne et de chaque colonne vaut 1, autrement si <math> M </math> et  sa [[Matrice transposée|transposée]] <math> M^t </math> sont stochastiques.

== Propriétés ==
Une autre caractérisation des matrices stochastiques est donnée par :
*<math> M </math> est une matrice stochastique si et seulement si <math> M\ge0 </math> (ses coefficients sont positifs ou nuls) et <math> Me=e </math>, où <math> e </math> désigne le vecteur de <math> \mathbb{R}^n </math> dont toutes les coordonnées valent 1.
*<math> M </math> est bistochastique si <math> M\ge0 </math>, <math> Me=e </math> et <math> e^*M=e^* </math>, où <math> e^* </math> est le vecteur transposé de <math> e </math>.

D'après la propriété précédente, puisque 1 est une valeur propre de <math> M </math> avec comme vecteur propre ''à droite'' le [[vecteur colonne]] dont toutes les coordonnées valent 1 :
*Si <math> M </math>  est une matrice stochastique, on appelle vecteur stable pour <math> M </math>  un [[vecteur ligne]] non nul <math> v </math>  tel que <math> vM=v </math> , autrement dit : un [[vecteur propre]] ''à gauche'' pour la [[valeur propre]] 1 (et <math> M </math>  possède toujours au moins un vecteur stable).

Une caractérisation du [[rayon spectral]] d'une matrice stochastique est donnée par :
*Si <math> M </math>  est une matrice stochastique, alors <math> ||Mx||_{\infty} \le ||x||_{\infty} </math> pour tout <math> x \in \mathbb{C}^n </math>, de sorte que le [[rayon spectral]] <math> \rho (M) \le 1 </math>. Or, comme <math> Me = e </math>, on a en fait <math> \rho(M)=1 </math>. Ainsi, le rayon spectral d'une matrice stochastique vaut précisément 1.

D'autres résultats sont donnés par :
*Le [[produit matriciel|produit]] de deux matrices stochastiques est stochastique.
*Toute matrice stochastique [[Famille (mathématiques)|indexée]] par [[Produit cartésien|''E''×''E'']] opère sur l'[[Espace vectoriel|espace]] des [[Fonction bornée|applications bornées]] de ''E'' dans <math> \mathbb{R} </math> .
*Si <math> M </math>  est une matrice stochastique et si <math> p </math>  est une [[probabilité]] alors <math> pM </math>  est une probabilité.

== Exemple ==

La matrice suivante est stochastique mais pas bistochastique :

:<math>M = \begin{pmatrix}
0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\
0{,}2 & 0{,}8 & 0 \\
0{,}3 & 0{,}3& 0{,}4 \end{pmatrix}.</math>

Le vecteur <math>\begin{pmatrix}3 & 6 & 1\end{pmatrix}</math> est stable pour ''M''.

La matrice stochastique ''M'' est régulière car

:<math>M^2 = \begin{pmatrix}
0{,}37 & 0{,}45 & 0{,}18\\
0{,}26 & 0{,}70 & 0{,}04\\
0{,}33 & 0{,}45 & 0{,}22 \end{pmatrix}.</math>

== Théorème des matrices stochastiques ==
{{Voir|Théorème de Perron-Frobenius}}
Le théorème des matrices stochastiques stipule que, si ''A'' est une matrice stochastique régulière, alors
*la [[chaîne de Markov]] de matrice de transition ''A'' est [[Graphe d'une chaîne de Markov et classification des états#Classification des états|irréductible]] ;
*''A'' possède un unique vecteur stable '''t''' dont la somme des coordonnées vaut 1 (autrement dit : le [[sous-espace vectoriel]] des vecteurs stables est [[Droite vectorielle|de dimension 1]] — les vecteurs stables sont tous [[colinéaire]]s) ;
*les coordonnées de '''t''' sont toutes strictement positives.
De plus, si '''x'''<sub>0</sub> est une loi initiale quelconque (i.e. est un vecteur à coordonnées positives ou nulles et de somme 1), et si '''x'''<sub>''k''+1</sub> = '''x'''<sub>k</sub>''A'' pour ''k'' = 0, 1, 2, … alors la chaîne de Markov {'''x'''<sub>k</sub>} converge vers '''t''' quand <math>k \to \infty</math>. C’est-à-dire :

<math>\lim_{k \to \infty} \mathbf{x}_0 A^k = \textbf{t}.</math>

== Quelques autres résultats ==
{{Voir|Matrice bistochastique}}
Le rôle des matrices stochastiques est important, notamment dans l'étude des [[chaînes de Markov]]. Une caractéristique importante des [[Matrice bistochastique|matrices doublement stochastiques]] (ou bistochastiques) est fourni par les matrices de permutation <math> P(\sigma) </math>, <math> \sigma \in \mathcal{S}^n </math>, dont les coefficients valent <math> p_{ij} = \delta_{\sigma(i)}^j </math>, avec <math> \delta </math> le [[symbole de Kronecker]].

Le théorème de Birkhoff montre ce rôle central qu'ont les matrices de permutations dans la caractérisation des matrices bistochastiques :
{{Théorème|Théorème de Birkhoff|Une matrice <math> M \in \mathcal{M}_n (\mathbb{R}) </math> est doublement stochastique si et seulement si elle est barycentre de matrices de permutations.}}

Une conséquence de théorème est donnée par le résultat suivant<ref>{{Article |lang=en|prénom1=F. L. |nom1=Bauer |prénom2=J. |nom2=Stoer |prénom3=C. |nom3=Witzgall |titre=Absolute and monotonic norms |périodique=[[Numerische Mathematik]] |volume=3 |numéro=1 |date=1961-12 |issn=0029-599X |issn2=0945-3245 |doi=10.1007/bf01386026 |lire en ligne=http://dx.doi.org/10.1007/bf01386026 |consulté le=2020-02-02 |pages=257–264 }}</ref> :
{{Théorème|Corollaire|Soit <math> ||.|| </math> une norme sur <math> \mathbb{R}^n </math>, invariante par permutation des coordonnées. Alors <math> ||M||=1 </math> pour toute matrice doublement stochastique.}}

Deux autres résultats sur les matrices bistochastiques utilisent la relation décrite par le symbole <math> \prec </math>, défini par :
Soient <math> a=(a_1, ..., a_n) </math> et <math> b=(b_1, ..., b_n) </math> deux suites de <math> n </math> nombres réels. On dit que ''b majore a'', et on note  <math> a \prec b </math> si :
* <math> a_1 + ... + a_k \le b_1 + ... + b_k </math> pour tout <math> k=1, ..., n-1 </math> ;
* <math> a_1 + ... + a_n = b_1 + ... + b_n </math>.
Il s'agit d'une [[relation d'ordre]] partielle.

Les deux théorèmes sont :
{{Théorème|Théorème|Une matrice <math> M </math> est doublement stochastique si et seulement si <math> x \prec Mx </math> pour tout <math> x \in \mathbb{R}^n </math>.}}

{{Théorème|Théorème|Soient <math> x, y \in \mathbb{R}^n </math>. Alors <math> x \prec y </math> si et seulement s'il existe une matrice <math> M </math>, doublement stochastique, telle que <math> y=Mx </math>.}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Denis Serre]]|titre=Les Matrices|sous-titre=Théorie et pratique|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]|année=2001|pages totales=176|isbn=2-10-005515-1}}.{{plume}}

Sur l'application des matrices de transition de Markov en musicologie<ref>{{Lien web |nom=Acuma |titre=Algorithmic Composition: Markov Chains in PureData |url=http://www.algorithmiccomposer.com/2010/05/algorithmic-composition-tutorial-markov.html |consulté le=2024-07-03}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |titre=Un algorithme de composition musicale |url=https://jill-jenn.net/_static/works/un-algorithme-de-composition-musicale.pdf |format=pdf |accès url=libre}}</ref>

=== Notes et références ===
<references />

=== Articles connexes ===
* [[Matrice bistochastique]]
* [[Chaîne de Markov]]
* [[Matrice (mathématiques)|Matrice]]


{{Palette|Matrices}}
{{Portail|probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Conditionnement en probabilités]]
[[Catégorie:Chaîne de Markov]]
[[Catégorie:Matrice|Stochastique]]