Voir la source de Matrice transposée

{{ébauche|algèbre}}

[[File:Matrix transpose.gif|thumb|right|La transposée ''A''{{exp|T}} d'une matrice ''A'' s'obtient par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice. La transposée de la transposée (''A''{{exp|T}}){{exp|T}} est la matrice ''A'' d'origine.]]

En [[mathématiques]], la '''matrice transposée''' (ou la '''transposée''') d'une [[Matrice (mathématiques)|matrice]] <math>A \in\mathrm M_{m,n}(K)</math> est la matrice <math>A^\mathsf{T}\in\mathrm M_{n,m}(K)</math>, également notée {{nobr|<math>A^{\operatorname t}</math>,}} <math>^{\operatorname t}\!A</math> ou <math>A'</math><ref>La norme [[ISO 31|ISO 80000-2:2009]], article 2-15.7, recommande la notation <math>A^\mathsf{T}</math>.</ref>, obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de <math>A</math>.

Plus précisément, si on note <math>a_{i,j}</math> pour <math>(i,j) \in \{1, \ldots,m \} \times \{ 1, \ldots,n\}</math> et <math>b_{i,j}</math> pour <math>(i,j) \in \{1, \ldots,n \} \times \{ 1, \ldots,m\}</math> les coefficients respectivement de <math>A</math> et de <math>A^\mathsf{T}</math> alors pour tout <math>(i,j) \in \{1, \ldots,n \} \times \{ 1, \ldots,m\}</math> on a <math>b_{i,j} = a_{j,i}</math>.

Par exemple, si 
:<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}</math> 
alors 
:<math>A^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}</math>.

== Propriétés ==
On suppose ici que ''K ''est un [[anneau commutatif]]. On note <math>A</math> et <math>B</math> deux matrices quelconques de <math>\mathrm M_{m,n}(K)</math> et <math>\alpha \in K </math> un scalaire.
* L'application « transposition » est linéaire : 
*:<math>(A + B)^\mathsf{T} = A^\mathsf{T} + B^\mathsf{T}, \qquad (\alpha A)^\mathsf{T} = \alpha A^\mathsf{T}</math>.
* La transposée de <math>A^\mathsf{T}</math> est <math>A</math>. Par conséquent, l'application « transposition »  <math>^\mathsf{T}:\mathrm M_{m,n}(K)\to\mathrm M_{n,m}(K)</math> est [[bijection|bijective]]. C'est donc un [[isomorphisme d'espaces vectoriels]]. En particulier — pour les matrices carrées — c'est une [[involution (mathématiques)|involution]] de <math>\mathrm M_n(K)</math> ; c'est donc la symétrie par rapport au [[Sous-espace vectoriel|sous-espace]] des [[matrice symétrique|matrices symétriques]], parallèlement à celui des [[matrice antisymétrique|matrices antisymétriques]].
* La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais ''dans l'ordre inverse'' :
*:<math>(AB)^\mathsf{T} = B^\mathsf{T}\, A^\mathsf{T}</math>.
:En particulier, l'application « transposition » est donc un [[antiautomorphisme]] de [[Matrice (mathématiques)#Algèbre des matrices carrées|l'algèbre <math>\mathrm M_n(K)</math>]].
* Si une matrice carrée <math>A</math> est [[matrice inversible|inversible]], alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de <math>A</math> est égale à l'inverse de sa transposée :
*:<math>\left(A^{-1}\right)^\mathsf{T} = \left(A^\mathsf{T}\right)^{-1}</math>.
*Une [[matrice carrée]] et sa transposée ont la même [[diagonale principale]] (et par conséquent la même [[Trace (algèbre)#Trace d'une matrice carrée|trace]]). En particulier, toute [[matrice diagonale]] est [[matrice symétrique|symétrique]], c'est-à-dire égale à sa transposée.
* Plus généralement, deux matrices carrées transposées l'une de l'autre ont même [[polynôme caractéristique]] donc mêmes [[Valeur propre (synthèse)|valeurs propres]], comptées avec leurs multiplicités (en particulier, non seulement même trace mais aussi même [[Déterminant (mathématiques)#Déterminant d'une matrice|déterminant]]), et même [[Polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal]]. Mieux : sur un corps, elles sont [[Matrices semblables|semblables]]<ref>Matthieu Romagny, [https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/agreg/theme/transposee.pdf ''Une remarque sur la transposée d'une matrice''], préparation 2008-2009 à l'[[agrégation de mathématiques]], [[UPMC]]</ref>. Cela peut se montrer en remarquant qu'elles ont les mêmes [[invariants de similitude]], ou bien en utilisant la [[réduction de Jordan]], et en remarquant que <math>SJS^{-1}=J^\mathsf{T}</math>, où ''J'' est un bloc de Jordan et ''S'' une {{Lien|trad=Exchange matrix|matrice de permutation antidiagonale}}.

== Interprétation : dualité ==

=== Espaces euclidiens ===
Dans le cadre des [[espace euclidien|espaces euclidiens]], si ''A'' [[Matrice d'une application linéaire|représente]] une [[application linéaire]] {{math|''f'' : ''E'' → ''E{{'}}''}} par rapport à deux [[base orthonormale|bases orthonormales]] ''B'' et ''B{{'}}'', alors sa transposée ''A''{{exp|T}} est la matrice, dans les bases ''B{{'}}'' et ''B'', de son [[opérateur adjoint]] {{math|''f ''* : ''E{{'}}'' → ''E''}}, caractérisé par
:<math>\forall x\in E,\ \forall y\in E',\quad \langle x,f^*(y)\rangle_E=\langle f(x),y\rangle_{E\,'}.</math>

Plus généralement, si ''A'' représente une application linéaire par rapport à deux [[Base (algèbre linéaire)|bases]], alors sa transposée ''A''{{exp|T}} est la matrice de la [[application transposée|transposée de l'application]] par rapport aux bases duales (voir « [[Espace dual]] »).

=== Hypergraphes ===
Dans la théorie des [[hypergraphe]]s, si l'on représente un hypergraphe par la matrice à coefficients dans {0,1} qui lui est associée, l'hypergraphe dual est défini par la transposée de cette matrice.

== Cas d'un anneau de [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]] non commutatif ==
Si <math>K</math> est un [[Anneau unitaire|anneau]] non [[commutatif]], on considère la transposée <math>A^\mathsf{T}</math> d'une matrice <math>A</math> de <math>\mathrm M_{m,n}(K)</math> plutôt comme un élément de <math>\mathrm M_{n,m}(K^{op})</math>, où <math>K^{op}</math> est l'[[anneau opposé]] de <math>K</math>, de manière à conserver la compatibilité avec la multiplication,
:<math>(AB)^\mathsf{T} = B^\mathsf{T}\cdot A^\mathsf{T}</math>.

{{boîte déroulante|titre=Complément|contenu=
Vérifions qu'on peut identifier l'anneau <math>\mathrm M_{1,1}(K)</math> avec l'anneau <math>K</math>, la transposition étant compatible avec cette identification : en identifiant ''l'ensemble'' <math>\mathrm M_{1,1}(K)</math> avec l'ensemble <math>K</math>, les matrices <math>A, B \in\mathrm M_{1,1}(K)</math> s'identifient à leurs éléments respectifs <math>a,b \in K</math>. L'application <math>a \mapsto A</math> de <math>K</math> dans <math>\mathrm M_{1,1}(K)</math> est clairement un isomorphisme d'anneaux, d'où l'identification de ''l'anneau'' <math>\mathrm M_{1,1}(K)</math> avec l'anneau <math>K</math> ; en particulier, <math>AB</math> s'identifie à <math>ab</math>. Il reste à montrer que la transposition  est compatible avec cette identification. En identifiant les matrices transposées <math>A^\mathsf{T}, B^\mathsf{T} \in\mathrm M_{1,1}(K)</math> à <math>a,b \in K</math> respectivement, on a dans <math>\mathrm M_{1,1}(K)</math>, d'après ce qui précède, <math>(AB)^\mathsf{T}=B^\mathsf{T}\cdot A^\mathsf{T}=B\cdot A</math> où <math>B\cdot A</math> est le produit de <math>a</math> et <math>b</math> dans <math>K^{op}</math>, à savoir <math>b\cdot a=ab</math>. Par conséquent, <math>(AB)^\mathsf{T}=ab</math>, donc <math>(AB)^\mathsf{T}</math> s'identifie à <math>ab</math>, ce qui exprime la compatibilité attendue.
}}

== Notes et références ==
<references/>

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Matrice/Transposée}}
* [[Matrice symétrique]] et [[Matrice antisymétrique]]
* [[Matrice adjointe]]

{{Palette|Matrices}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Matrice|Transposee]]