Voir la source de Matrice unitaire

{{ébauche|algèbre}}
{{sources à lier| date=février 2025}}

En [[algèbre linéaire]], une '''[[matrice (mathématiques)|matrice]]''' carrée {{math|U}} à coefficients [[Nombre complexe|complexes]] est dite '''unitaire''' si elle vérifie les égalités :
<center><math> \mathrm{U}^* \times \mathrm{U} = \mathrm{U} \times \mathrm{U}^* = \mathrm{I}</math></center>
où la [[matrice adjointe]] de {{math|U}} est notée {{math|U*}} (ou {{math|U{{exp|†}}}} en [[physique]], et plus particulièrement en [[mécanique quantique]]) et {{math|I}} désigne la [[matrice identité]].

L'ensemble des matrices unitaires de taille ''n'' forme le [[groupe unitaire]] U(''n'').

Les matrices unitaires carrées à coefficients [[Nombre réel|réels]] sont les [[Matrice orthogonale|matrices orthogonales]].

== Propriétés ==
Toute matrice unitaire {{math|U}} vérifie les propriétés suivantes :
* son [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] est de [[Module d'un nombre complexe|module]] 1 ;
* ses [[Vecteur propre|vecteurs propres]] sont orthogonaux ;
* {{math|U}} est [[Diagonalisation|diagonalisable]] :{{Retrait|<math>\mathrm{U} = \mathrm{V} \mathrm{D} \mathrm{V}^*</math>}} où {{math|V}} est une matrice unitaire et {{math|D}} est une [[matrice diagonale]] et unitaire ;
* {{math|U}} peut s'écrire sous la forme d'une [[exponentielle d'une matrice]] :{{Retrait|<math>\mathrm{U} = \exp(\mathrm{i}\mathrm{H})</math>}} où {{math|i}} est [[Unité imaginaire|l'unité imaginaire]] et {{math|H}} est une [[matrice hermitienne]].
* {{math|U}} est [[Matrice normale|normale.]]

== Propositions équivalentes ==
Soit {{math|U}} une matrice carrée de taille ''n'' à coefficients complexes ; les cinq propositions suivantes sont [[Équivalence logique|équivalentes]] :
* {{math|U}} est unitaire ;
* {{math|U*}}  est unitaire ;
* {{math|U}} est [[Matrice inversible|inversible]] et son inverse est {{math|U*}} ;
* les colonnes de {{math|U}} forment une [[base orthonormale]] pour le [[produit hermitien]] [[Canonique (mathématiques)|canonique]] sur ℂ{{exp|''n''}} ;
* {{math|U}} est [[Matrice normale|normale]] et ses [[valeurs propres]] sont de module 1.

== Cas particuliers ==
Les [[matrice unité|matrices unités]] sont des matrices unitaires.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Unitary matrix|640355389|type=note}}
{{...}}
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Éric J. M. Delhez|titre=Algèbre|volume=1}}
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Joseph Grifone|titre=Algèbre linéaire|éditeur=[[Cépaduès-Éditions]]|année=1990}}

=== Articles connexes ===
* [[Opérateur unitaire]]
* [[Théorème spectral]]
* [[Matrice orthogonale]]

{{Palette|Matrices}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Matrice remarquable|Unitaire]]