Voir la source de Miroir de jade des quatre inconnues

{{Titre en italique}}

[[Fichier:四元自乘演段图.jpg|vignette|droite|300px|Illustrations provenant du Miroir de Jade des Quatre Inconnues]]
[[Fichier:Yanghui triangle.gif|vignette|droite|300px|Le triangle de Jia Xian]]

Le '''''Miroir de jade des quatre inconnues'''''<ref>{{Ouvrage|prénom1=John|nom1=Hoe|titre=L'Algèbre chinoise à la fin du XIIIe siècle à travers l'étude des systèmes d'équations polynômes traités par Zhu Shijie dans son livre "Le miroir de jade des quatre inconnues: "Siyuan Yujian" de 1303|lieu=Paris: Université Paris VII|éditeur=Thèse pour le Doctorat de Spécialité en Etudes Extrême Orientales|année=1976.}}</ref>, ou '''''Siyuan yujian''''' ({{lang|chinois|四元玉鉴}}), également connu sous le nom de '''''Miroir de jade des quatre origines'''''<ref name=Hart>{{Ouvrage|prénom1=Roger|nom1=Hart|titre=Imagined Civilizations China, the West, and Their First Encounter.|lieu=Baltimore, MD|éditeur=Johns Hopkins Univ Pr|année=2013|pages totales=374|passage=82|isbn=978-1-4214-0606-0|isbn2=1-4214-0606-3|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=c9G6Eeh-CMgC&dq=%22Jade+Mirror+of+the+Four+Unknowns%22}}</ref>, est une monographie mathématique écrite en 1303 par le mathématicien [[Zhu Shijie]] de la [[dynastie Yuan]]<ref name=Elman>{{Ouvrage|prénom1=Benjamin A.|nom1=Elman|titre=On their own terms science in China, 1550-1900|lieu=Cambridge, Mass.|éditeur=[[Harvard University Press]]|année=2005|pages totales=605|passage=252|isbn=0-674-03647-6|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=qm57OqARqpAC&dq=%22Jade+Mirror+of+the+Four+Unknowns%22}}</ref>.

Le livre se compose d'une introduction et de trois volumes, le tout contenant un total de 288 problèmes. Les quatre premiers problèmes de l'introduction servent à illustrer sa méthode des quatre inconnues. Il montre comment convertir un problème énoncé verbalement en un système d'[[Équation polynomiale|équations polynomiales]] (jusqu'au {{14e}} [[Degré d'un polynôme|degré]]), en utilisant jusqu'à quatre inconnues : 天Ciel, 地Terre, 人Homme et 物 Matière. Puis il montre comment réduire ce système à une seule équation polynomiale à une inconnue, par élimination successive des inconnues. Il résout ensuite l'[[Équation polynomiale#Équations de degré supérieur|équation de degré supérieur]] posée par le mathématicien [[Qin Jiushao]], qui a vécu sous la [[dynastie Song]], dans sa méthode "Ling long kai fang", publiée en 1247 dans le ''Shùshū Jiǔzhāng'' (“[[Traité mathématique en neuf sections]]”)<ref>Il convient de noter que Qin a publié cette méthode plus de {{nombre|570|ans}} avant que le mathématicien anglais [[William George Horner]] ne publie la sienne qui utilise la [[division synthétique]]</ref>. Pour ce faire, Zhu utilise ce que nous appelons le [[triangle de Pascal]], et qui est pour lui "la méthode de [[Jia Xian]] présentée dans le ''Shi Suo Suan Shu''<ref>Traduction française de la phrase présente dans le Miroir de Jade</ref>", Jia étant un mathématicien chinois ayant vécu entre 1010 et 1070.

Zhu résout également des problèmes de [[Racine carrée|racines carrées]] et [[Racine cubique|cubiques]] en résolvant des [[Équation du second degré|équations quadratiques]] et [[Équation cubique|cubiques]], et améliore la compréhension des séries et des progressions, les classant selon les coefficients du triangle de Pascal. Il a également montré comment résoudre des systèmes d'[[Équation linéaire|équations linéaires]] en réduisant la [[Matrice (mathématiques)|matrice]] de leurs [[Coefficient#Mathématiques|coefficients]] à des {{Lien|langue=en|trad=diagonal form|fr=forme diagonale|texte=formes diagonales}}. Ses méthodes datent de plusieurs siècles avant [[Blaise Pascal]], [[William George Horner|William Horner]] et les méthodes matricielles modernes. La préface du livre décrit comment Zhu a voyagé en Chine pendant {{nombre|20|ans}} en tant que professeur de mathématiques.

Le ''Miroir de jade des quatre inconnues'' se compose de quatre livres, avec 24 classes et 288 problèmes, dont 232 problèmes à une variable tirés du {{Lien|langue=en|trad=Tian yuan shu|fr=Tian yuan shu|texte=''Tian yuan shu''}}, 36 problèmes à deux variables, 13 problèmes à trois variables, et 7 problèmes à quatre variables.

== Introduction ==
[[Fichier:Siyuan1.png|vignette|droite|250px|Le carré de la somme des quatre grandeurs d'un triangle à angle droit]]

Les quatre grandeurs x, y, z, w peuvent être présentées avec le diagramme suivant :

:::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]]}x
::::::::::::y[[Fichier:Counting_rod_v1.png]] [[Fichier:Counting_rod_0.png]]太[[Fichier:Counting_rod_v1.png]]w
:::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]]z

Dont le carré est :

[[Fichier:Siyuan2.png|centré|300px]]

[[Fichier:Gouguxian.png|vignette|droite|300px|a:"go" base b "gu" vertical c "Xian" hypoténuse]]

=== Les nébuleuses unitaires ===
Cette section traite du ''Tian yuan shu'', soit des problèmes a une inconnue.

:Question : Étant donné que le produit de ''huangfan ''et ''zhi ji'' est égal à 24 pas, et que la somme de la verticale et de l'hypoténuse est égale à 9 pas, quelle est la valeur de la base ?
:Réponse : 3 pas
:Configurez le ''tian unitaire'' comme étant la base(c'est-à-dire laissez la base être la quantité inconnue x)

Puisque le produit de ''huangfang'' et de ''zhi ji'' = 24

dans lequel
:huangfan est défini comme suit：<math>(a+b-c)</math><ref>Zhu Sijie ''Siyuan yujian'' Science Press {{p.|148}} 2007 {{isbn|978-7-03-020112-6}}</ref>
:''zhi ji''：<math>ab</math>

:c'est pourquoi <math>(a+b-c)ab=24</math>
:De plus, la somme de la verticale et de l'hypoténuse est :

:: <math>b+c=9</math>
:Configurez l'inconnu ''tian unitaire'' comme étant la verticale (c'est-à-dire laissez la verticale être la quantité inconnue x)
<math>x=a</math>

On obtient l'équation suivante

::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v3.png]][[Fichier:Counting_rod_h8.png]][[Fichier:Counting_rod_v-8.png]][[Fichier:Counting_rod_h8.png]] （<math>x^5-9x^4-81x^3+729x^2=3888</math>）
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_0.png]] 太
:::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v7.png]][[Fichier:Counting_rod_h2.png]][[Fichier:Counting_rod_v9.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-8.png]][[Fichier:Counting_rod_h1.png]]
:::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-9.png]]
::::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]]

Résolvez-la et obtenez x=3

=== Le mystère des deux natures ===

::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-2.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]]太 (Tian) Unitaire
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]][[Fichier:Counting_rod_v2.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_v2.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_v1.png]]

équation： <math>-2y^2-xy^2+2xy+2x^2y+x^3=0</math>;

à partir de la

::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v2.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]]太 (Tian) Unitaire
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-1.png]][[Fichier:Counting_rod_v2.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_v1.png]]

équation： <math>2y^2-xy^2+2xy+x^3=0</math>;

nous obtenons：

::::::::::::::太 (Tian) Unitaire
::::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v8.png]]
::::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v4.png]]
::::<math>8x+4x^2=0</math>

et

:::::::::::::::太 (Tian) Unitaire
:::::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_0.png]]
:::::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v2.png]]
:::::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]]
::::<math>2x^2+x^3=0</math>

En utilisant une méthode d'élimination, on obtient une équation quadratique :

:::::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-8.png]]
:::::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-2.png]]
:::::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]]
::::<math>x^2-2x-8=0</math>

solution: <math>x=4</math>。

=== L'Évolution de trois talents ===
Méthode de résolution d'un problème a trois inconnues

Zhu Shijie explique de manière détaillée sa méthode d'élimination et son exemple a été cité à maintes reprises dans les revues et la littérature scientifique<ref>Wu Wenjun "Mechanization of Mathematics" (吴文俊 数学机械化 《朱世杰的一个例子》){{p.|18-19}} Science Press {{isbn|7-03-010764-0}}</ref>{{,}}<ref>Zhu Shijie ''Siyuan yujian'', annotated by Li Zhaohua (朱世杰原著 李兆华校正 《四元玉鉴》){{p.|149-153}} Science Press 2007 {{isbn|978-7-03-020112-6}}</ref>{{,}}<ref>J. Hoe Les Systèmes d'Équation Polynomes dans le siyuanyujian[1303], Institut des Hautes Études Chinoise, Paris 1977</ref>.

Configurez trois équations comme suit :

:::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-1.png]]太[[Fichier:Counting_rod_v-1.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]]
::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-1.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_v-1.png]]

:::::::::::<math>-y-z-y^2 x-x+xyz=0</math> .... I

:::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-1.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_v-1.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-1.png]]

::::::::::::::<math>-y-z+x-x^2+xz=0</math>.....II

:::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]]太[[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_v-1.png]]
:::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_0.png]]
:::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]]
:::::::::::::::<math>y^2-z^2+x^2=0;</math>....III

Après élimination de l'inconnu entre II et III par manipulation de l'échange de variables, nous obtenons :

::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]] [[Fichier:Counting_rod_v1.png]][[Fichier:Counting_rod_v-2.png]]太 (Tian) Unitaire
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-1.png]][[Fichier:Counting_rod_v1.png]][[Fichier:Counting_rod_v-1.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_v1.png]][[Fichier:Counting_rod_v-2.png]]
:::::::::::::<math>-x-2x^2+y+y^2+xy-xy^2+x^2y</math> ...IV

et

::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]][[Fichier:Counting_rod_v-2.png]][[Fichier:Counting_rod_v2.png]]太 (Tian) Unitaire
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_v-2.png]][[Fichier:Counting_rod_v4.png]][[Fichier:Counting_rod_v-2.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_0.png]][[Fichier:Counting_rod_v1.png]][[Fichier:Counting_rod_v-2.png]]

:::::::::::: <math>-2x-2x^2+2y-2y^2+y^3+4xy-2xy^2+xy^2</math>.... V

Après élimination de l'inconnu entre IV et V, on obtient une [[équation cubique|équation du {{3e}} degré]] :

<math>x^4-6x^3+4x^2+6x-5=0</math>

::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-5.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v6.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v4.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-6.png]]
::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v1.png]]

Résolvez cette équation du {{3e}} degrés pour obtenir : <math>x=5</math>

Changer les variables

On obtient que l'hypoténuse =5 pas

=== Simultané des quatre éléments ===
Cette section traite des équations simultanées a quatre inconnues
[[Fichier:Sixianghuiyuan.jpg|vignette|droite|300px|équations a quatre inconnues]]
:<math>\begin{cases}
-2y+x+z=0\\
-y^2x+4y+2x-x^2+4z+xz=0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
2y-w+2x=0
\end{cases}</math>

En procédant à une élimination successive des inconnues on obtient :

<br />


::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_h6.png]][[Fichier:Counting_rod_v8.png]][[Fichier:Counting_rod_h-6.png]] <math>4x^2-7x-686=0</math>
:::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v-7.png]]
:::::::::::::[[Fichier:Counting_rod_v4.png]]

Résolvez ce problème et obtenez 14 pas.

== Livre I ==
[[Fichier:SIYUAN YUJIAN PDF-102-102.jpg|vignette|droite|200px]]

=== Problèmes de triangles et rectangles à angle droit ===
Il y a 18 problèmes dans cette section.

Problème 18

Obtenir une équation polynomiale de degrés 10 :

: <math>16x^{10}-64x^9+160x^8-384x^7+512x^6-544x^5+456x^4+126x^3+3x^2-4x-177162=0</math>

La racine de ceci est x = 3， multiplié par 4, pour obtenir 12. C'est la réponse finale.

=== Problemes de figures planes ===
Il y a 18 problèmes dans cette section

=== Problèmes de marchandises (vendues) à la pièce ===
Il y a 9 problèmes dans cette section

=== Problèmes liés à l'entreposage du grain ===
Il y a 6 problèmes dans cette section

=== Problèmes sur le travail ===
Il y a 7 problèmes dans cette section

=== Problèmes d'équations de racines fractionnaires ===
Il y a 13 problèmes dans cette section

== Livre II ==

=== (Problèmes) mélangé à votre guise ===

=== (Problèmes) contenant des carrés et des cercles ===

=== Problèmes d'aires ===

=== Reconnaître des cercles avec les trois valeurs de Pi ===

=== Arpentage à l'aide de triangles à angle droit ===
Il y a 8 problèmes dans cette section

;Problème 1:
{{citation bloc|Question : Il y a une ville rectangulaire de dimension inconnue qui a une porte de chaque côté. Il y a une pagode située à 240 pas de la porte sud. Un homme qui marche à 180 pas de la porte ouest peut voir la pagode, il marche ensuite vers le coin sud-est pendant 240 pas et atteint la pagode ; quelle est la longueur et la largeur de la ville rectangulaire ?

Réponse : 120 pas en longueur et en largeur un li}}

Avec le ''tian unitaire'' faisant la moitié de la longueur, on obtient une [[Équation quartique|équation de quatrième degré]]

:<math>x^4+480x^3-270000x^2+15552000x+1866240000=0</math><ref>万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 （中） 卷下之五 四一0-四一一。</ref>

le résoudre et obtenir x=240 pas，donc longueur =2x= 480 pas=1 li et 120pas。

Simultanément, laissez le ''tian unitaire'' (x) être égal à la moitié de la largeur

nous obtenons l'équation：

:<math>x^4+360x^3-270000x^2+20736000x+1866240000=0</math><ref>万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 （中） 卷下之五 四一一页。</ref>

Résolvez-la pour obtenir {{mvar|x}}=180 pas，longueur =360 pas =1 li。

Problème 7 : Identique à ''La profondeur d'un ravin (à l'aide de barres transversales)'' du {{Lien|langue=en|trad=Haidao Suanjing|fr=Haidao Suanjing}}.

Problème 8 : Identique à ''La profondeur d'un bassin transparent'' du {{Lien|langue=en|trad=Haidao Suanjing|fr=Haidao Suanjing}}

=== Piles de foin ===

=== Fagots de flèches ===

=== Mesure des (parcelles de) terres ===

=== Convoquez des hommes selon les besoins ===
Le problème No 5 est la première [[Interpolation polynomiale|formule d'interpolation du {{4e}} ordre]].

hommes convoqués :<math>na+\tfrac{1}{2!}n(n-1)b+\tfrac{1}{3!}n(n-1)(n-2)c+\tfrac{1}{4!}n(n-1)(n-2)(n-3)d</math><ref name="K2">孔国平 440-441。</ref>

Dans lequel

* {{mvar|a}}= différence de {{1er}} ordre
* {{mvar|b}}=différence de {{2e}} ordre
* {{mvar|c}}=différence de {{3e}} ordre
* {{mvar|d}}=différence de {{4e}} ordre

== Livre III ==

=== Pile de fruits ===
Cette section contient 20 problèmes concernant des piles triangulaires ou rectangulaires

Problème 1

Trouver la somme de la pile triangulaire

:<math>1+3+6+10+...+\frac 1 2 n(n+1)</math>

et la valeur de la pile de fruits est :

:<math>v=2+9+24+50+90+147+224+\cdots +\frac 1 2 n(n+1)^2</math>

Zhu Shijie utilise le {{Lien|langue=en|trad=Tian yuan shu|fr=Tian yuan shu}}, pour résoudre ce problème en laissant x=n

Il obtient ainsi cette formule

:<math> v= \frac 1 {2 \cdot 3 \cdot 4} (3x+5)x(x+1)(x+2)</math>

À partir des conditions données <math>v=1320</math>, d'où

:<math>3x^4+14x^3+21x^2+10x-31680=0</math><ref>Zhu Shijie Siyuan yujian , with Luo Shilin's procedures. (万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 （中） 卷下之一 六四六-六四八)</ref>

Résolvez-la pour obtenir <math>x=n=9</math>。

Par conséquent,

:<math>v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320</math>。

=== Chiffres à l'intérieur de la figure ===

=== Équations simultanées ===

=== Équation à deux inconnues ===

=== Gauche et droite ===

=== Équation à trois inconnues ===

=== Équation à quatre inconnues ===
Six problèmes à quatre inconnues

Question 2

Donne un ensemble d'équations à quatre inconnues<ref>Zhu Shijie, Siyuan yujian, annotated by Li Zhaohua , Science Press {{p.|246-249}} 2007 {{isbn|978-7-03-020112-6}}</ref> :

:<math>\begin{cases}
-3y^2+8y-8x+8z=0\\
4y^2-8xy+3x^2-8yz+6xz+3z^2=0\\
y^2+x^2-z^2=0\\
2y+4x+2z-w=0
\end{cases}</math>

== Notes et références ==
{{Références}}
{{Traduction/Référence|en|Jade Mirror of the Four Unknowns|857458906}}

== Bibliographie ==
* Jade Mirror of the Four Unknowns, traduction en Anglais par le Professeur Chen Zhaixin, ancien chef du Mathematics Department, [[Université Yenching]] (en 1925), Traduit en chinois moderne par Guo Shuchun, Volume I & II, Library of Chinese Classics, Chinese-English, Liaoning Education Press 2006 {{isbn|7-5382-6923-1}} https://www.scribd.com/document/357204551/Siyuan-yujian-2, https://www.scribd.com/document/357204728/Siyuan-yujian-1
* Collected Works in the History of Sciences by Li Yan and Qian Baocong, Volume 1 《李俨钱宝琮科学史全集》 第一卷 钱宝琮 《中国算学史 上编》
* Zhu Shijie Siyuan yujian Book 1-4, Annotated by Qing Dynasty mathematician Luo Shilin, Commercial Press
* J. Hoe, Les systèmes d'équations polynômes dans le Siyuan yujian (1303), Institut des Hautes Études Chinoises, Paris, 1977
* J. Hoe, A study of the fourteenth-century manual on polynomial equations "The jade mirror of the four unknowns" by Zhu Shijie, Mingming Bookroom, P.O. Box 29-316, Christchurch, New Zealand, 2007


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