Voir la source de Modèle de Verhulst

[[Fichier:Logistic curve, r=1, K=100, N0=1.png|vignette|La courbe logistique est associée à la solution du modèle de Verhulst. Ici, on a K=100.]]
En [[dynamique des populations]], le '''modèle de Verhulst''' a été proposé par [[Pierre François Verhulst]] vers 1840<ref name="Schtickzelle">Cf. notamment {{article|prénom1=Martial |nom1=Schtickzelle|journal=Population|titre=Pierre-François Verhulst (1804-1849). La première découverte de la fonction logistique|volume= 36|numéro= 3|date=mai-juin 1981|pages=541-556|éditeur=Institut National d'Etudes Démographiques|doi=10.2307/1532620|url= https://www.jstor.org/stable/1532620}}.</ref>{{,}}<ref>On trouve selon les sources 1838 dans [http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/conference_Magal.pdf], 1844 dans [https://web.archive.org/web/20071001030803/http://umr5558-mq1.univ-lyon1.fr/moindata/e2m2descriptif/attachts/EnseignementDoctoral/attachments/LesModeles_fichiers/Verhulst.pdf], 1846 dans {{MacTutor|id=Verhulst|title=Pierre François Verhulst}}</ref>. Il a proposé ce modèle de croissance en réponse au modèle de [[Thomas Malthus|Malthus]] qui proposait  un taux d'accroissement constant sans frein conduisant à une [[croissance exponentielle]] de la population.

Le modèle de Verhulst fait l'hypothèse que le [[taux de natalité]] et le [[taux de mortalité]] sont des [[fonction affine|fonctions affines]] respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. Autrement dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité augmente. Verhulst pose d'autre part que, lorsqu'une population est de ''petite taille'', elle a tendance à croître.

Le même modèle est utilisable pour des [[réaction autocatalytique|réactions autocatalytiques]], dans lesquelles l'augmentation des individus touchés est proportionnelle à la fois au nombre d'individus déjà touchés et au nombre d'individus qui peuvent encore être touchés.

Ce modèle conduit, en temps continu, à une [[fonction logistique (Verhulst)|fonction logistique]] ; et en temps discret à une [[suite logistique]] dont la particularité est d'être, dans certaines circonstances, [[théorie du chaos|chaotique]].

== Mise en place mathématique ==
Si on appelle :
* {{mvar|y}} la taille de la population ;
* {{math|''m''(''y'')}} le taux de mortalité ;
* {{math|''n''(''y'')}} le taux de natalité,
alors, en s'inspirant du modèle de Malthus, la taille de la population suit l'[[équation différentielle]] :
: <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}= y\cdot\left(n(y) - m(y)\right)</math>
Si {{mvar|m}} et {{mvar|n}} sont des fonctions affines respectivement croissante et décroissante alors {{mvar|n – m}} est une fonction affine décroissante. Si d'autre part, pour {{mvar|y}} tendant vers 0, la croissance est positive, l'équation peut s'écrire :
:<math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=y\cdot(a-b\cdot y)</math> avec {{mvar|a}} et {{mvar|b}} deux réels positifs.
C'est le modèle proposé par Verhulst<ref>{{Ouvrage|titre=Correspondance mathématique et physique de l'Observatoire de Bruxelles |auteur1=Article publié dans l'ouvrage édité sous la direction d'Adolphe Quetelet |lieu=Bruxelles |éditeur=Société belge de librairie (imprimeur M.Hayez) |année=1838 |volume=X |tome=IV |passage=« ''Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement'' », de [[Pierre François Verhulst|P.-F.&nbsp;Verhulst]], pages 113 à 121 :|lire en ligne=https://books.google.fr/books?hl=fr&id=8GsEAAAAYAAJ&jtp=115&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|commentaire=note historique (pages 115 et 116) :  Pierre-François Verhulst avait supposé au départ une croissance proportionnelle à la taille de la population (de type mp) ''freinée'' par une fonction croissante de p. Il a essayé plusieurs modèles, où le frein est une puissance de la population (de type np{{exp|α}}) ou une fonction en log p, et prend finalement la valeur la plus simple np², {{Refnec|par analogie à la force de frottement que subirait un système évoluant dans un milieu résistant (à vitesse élevée, voir l'article "[[Frottement fluide]]")|commentaire=cet ajoût n'est pas dans l'article originel cité}}.}}</ref>.

Puis, en posant {{math|''K {{=}} a''/''b''}}, l'équation devient alors :
:<math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=a \cdot y\cdot\left(1-\frac yK\right)\quad\text{avec}\quad a,K > 0.</math>

Une observation immédiate montre que :
* la fonction constante {{mvar|y {{=}} K}} est solution de cette équation ;
* si {{math|''y'' < ''K''}} alors la population croît ;
* si {{math|''y'' > ''K''}} alors la population décroît.
Le paramètre {{mvar|K}} est appelé la ''capacité d'accueil'' ou [[Capacité porteuse|''capacité de charge'']].

Le modèle auto-catalytique conduit à la même équation (accroissement proportionnel à la population touchée et à la population restante) :
:<math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\alpha\cdot y\cdot (K- y) = \alpha \cdot K\cdot y\cdot \left(1-\frac y K\right).</math>

== Résolution en temps continu ==
{{Article détaillé|fonction logistique (Verhulst)}}
La recherche des fonctions strictement positives définies sur <math>[0; + \infty[</math> et vérifiant le système :
* <math>y(0)=y_0~</math>
* <math>y' = a\cdot y\cdot\left(1-\frac y K\right)</math>
conduit à la solution logistique :
:<math>y(t)=K\frac1{1+\left(\frac K{y_0}-1\right)\cdot e^{-a\cdot t}}</math>
où l'on observe que la population tend vers la capacité d'accueil K, qu'elle est croissante si la population initiale est inférieure à la population d'accueil, et décroissante sinon.

== Résolution en temps discret ==
{{Article détaillé|Suite logistique}}
En temps discret, le modèle se transforme en :
: <math> u_{n+1} - u_n = a\cdot u_n\cdot\left(1-\frac{u_n}{K}\right)</math>.
Puis, en posant :
* <math>a+1=\mu</math>,
* <math>v_n = \frac{a\cdot u_n}{\mu\cdot K}</math>,
la [[Suite définie par récurrence|relation de récurrence]] devient :
:<math> v_{n+1}=\mu\cdot v_n\cdot (1 - v_n)\,</math>.
C'est sous cette forme qu'elle est étudiée comme [[suite logistique]]. Bien que simple par son expression, elle peut conduire à des résultats très variés.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{ouvrage |prénom1=Nicolas |nom1=Bacaër |titre=Histoires de mathématiques et de populations|chap=Verhulst et l'équation logistique |année=2008 |éditeur=Éditions Cassini|collection=Le sel et le fer|pages=212 |isbn=9782842251017}}
*{{Article|auteur=Bernard Delmas|url=https://journals.openedition.org/msh/2893|titre=Pierre-François Verhulst et la loi logistique de la population|revue=Mathematics and Social Sciences|vol=167|date=2004}}
* {{article|prénom1= Pierre-François |nom1=Verhulst |année= 1838| titre = Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement | journal = Correspondance mathématique et physique |numéro = 10| pages = 113-121 | url = https://books.google.com/books?hl=fr&id=8GsEAAAAYAAJ&jtp=113}}
* {{article|prénom1= Pierre-François |nom1=Verhulst |année= 1845| titre = Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population | journal = Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles |numéro = 18| pages = 1-42 | url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN129323640_0018&DMDID=dmdlog7}}
* {{article|prénom1= Pierre-François |nom1=Verhulst |année= 1847| titre = Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la population | journal = Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique |numéro = 20| pages = 1-32 | url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN129323659_0020&DMDID=dmdlog29}}

=== Articles connexes ===
* [[Modèle évolutif r/K]]
* [[Équations de compétition de Lotka-Volterra]]

=== Lien externe ===
* Christelle Magal, [https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA05047.pdf Mathématiques en dynamiques des populations] {{PDF}}

{{portail|analyse|écologie}}

[[Catégorie:Écologie des populations]]
[[Catégorie:Équation différentielle]]
[[Catégorie:Démographie]]
[[Catégorie:Dynamique des populations]]