Voir la source de Modèle de Wess-Zumino-Novikov-Witten

{{ébauche|physique théorique}}
{{confusion|texte=Ne doit pas être confondu avec le {{Lien|trad=Wess–Zumino model|modèle de Wess–Zumino}}}}

En [[physique théorique]] et en [[mathématiques]], le '''modèle Wess–Zumino–Novikov–Witten (WZNW)''' est un modèle simple de la [[théorie conforme des champs]] dont les solutions sont réalisées par des [[algèbre de Kac-Moody|algèbres de Kac-Moody affines]].

Ce modèle est nommé d'après [[Julius Wess]], [[Bruno Zumino]], [[Sergueï Novikov (mathématicien)|Sergei Novikov]] et [[Edward Witten]]<ref>{{article|langue=en| nom1 = Wess | prénom1 = J. | nom2 = Zumino | prénom2 = B. | doi = 10.1016/0370-2693(71)90582-X | titre = Consequences of anomalous ward identities | journal = Physics Letters B | volume = 37 | pages = 95 | année = 1971 | pmc = |bibcode = 1971PhLB...37...95W }}</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en| nom1 = Witten | prénom1 = E. | titre = Global aspects of current algebra | doi = 10.1016/0550-3213(83)90063-9 | journal = Nuclear Physics B | volume = 223 | numéro = 2 | pages = 422–432| année = 1983 | pmc = |bibcode = 1983NuPhB.223..422W }}</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en| nom1 = Witten | prénom1 = E. | titre = Non-abelian bosonization in two dimensions | doi = 10.1007/BF01215276 | journal = Communications in Mathematical Physics | volume = 92 | numéro = 4 | pages = 455–472 | année = 1984 | pmc = |bibcode = 1984CMaPh..92..455W }}</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en| 
  auteur=Novikov, S. P.  |  titre=Multivalued functions and functionals. An analogue of the Morse theory |
  journal= Sov. Math., Dokl. |
  volume=24 |
  pages=222–226 |
  année=1981}}; {{article|langue=en| nom1 = Novikov | prénom1 = S. P. | titre = The Hamiltonian formalism and a many-valued analogue of Morse theory | doi = 10.1070/RM1982v037n05ABEH004020 | journal = Russian Mathematical Surveys | volume = 37 | numéro = 5 | pages = 1–9 | année = 1982 | pmc = |bibcode = 1982RuMaS..37....1N }}</ref>.

== Action ==
Soit ''G'' un [[groupe de Lie compact]] [[Connexité simple|simplement connexe]]  et ''g'' son [[algèbre de Lie simple]]. Soit ''γ,'' un champ envoyant les points de la [[Compactification (mathématiques)|compactification]] du [[plan complexe]], '''''S'''''², vers G,
: <math>{\displaystyle \gamma :S^{2}\to G}.</math>
Le modère WZNW est alors un [[modèle sigma non linéaire]] défini par ''γ'' avec une action donnée par 
: <math>S_k(\gamma)= - \,  \frac {k}{8\pi} \int_{S^2} d^2x\, 
\mathcal{K} (\gamma^{-1} \partial^\mu \gamma \,  , \,   
\gamma^{-1} \partial_\mu \gamma) + 2\pi k\, S^{\mathrm WZ}(\gamma).</math>
où {{math|∂<sub>''μ''</sub>  {{=}}  ∂/∂''x''<sup>''μ''</sup>}} est la [[dérivée partielle]], la métrique est euclidienne et la [[convention de sommation d'Einstein]] s'applique sur les indices répétés.  <math>\mathcal{K}</math> dénote la [[forme de Killing]] sur ''g;'' ce premier terme est le terme cinétique standard en [[théorie quantique des champs]].

''S''<sup>WZ</sup> dénote le ''terme de'' ''Wess–Zumino'' et peut être écrit comme 
: <math>S^{\mathrm WZ}(\gamma) = - \, \frac{1}{48\pi^2} \int_{B^3} d^3y\, 
\epsilon^{ijk} \mathcal{K} \left( 
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^i} \, , \, 
\left[
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^j} \, , \,
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^k}
\right]
\right)</math>,
où [,] est un [[Commutateur (opérateur)|commutateur]], {{math|''ε<sup>ijk</sup>''}} est le [[Symbole de Levi-Civita|symbole complètement anti-symétrique]],  et l'intégration sur les coordonnées ''y<sup>i</sup>'' for ''i''=1,2,3 se fait sur la boule de rayon unitaire '''''B'''''³. Une extension du domaine de γ permet de définir le champ à l'intérieur de la boule unitaire.  Cette extension est possible puisque le [[groupe d'homotopie]] π<sub>2</sub> (''G'') donnant les [[Relation d'équivalence|classes d'équivalence]] de ''γ,'' originellement définie sur  '''''S'''''² = ∂'''''B'''''³, est trivial pour un groupe de Lie compact simplement connexe ''G''.

=== Obstructions topologiques ===
L'extension du champ n'est pas unique; la nécessité que la physique soit indépendante de l'extension impose une condition de quantification sur le paramètre de couplage ''k'' qu'on définit comme le ''niveau.'' Soient deux extensions distinctes de γ à l'intérieur de la boule unitaire. Les deux réalisations de la boule sont collées à leur frontière '''''S'''''². Une 3-sphère topologique résulte de cette opération; chaque boule '''''B'''''³ constitue un hémisphère de '''''S'''''³. L'union des deux extensions de ''γ'' sur chaque boule définit alors une carte '''''S'''''³ → ''G''.  Or,  dans ce cas, pour tout groupe de Lie compact simplement connexe ''G,'' le groupe d'homotopie est π<sub>3</sub>(''G'') = ℤ.

L'opération de collage de deux boules '''''B'''''³ donnant une trois-sphère '''''S'''''³  revient à soustraire les termes Wess-Zumino sur une même boule '''''B'''''³. Ceci  indique que 
: <math>S^{\mathrm WZ}(\gamma) - S^{\mathrm WZ}(\gamma') = n     ~,</math>
où ''γ'' and ''γ'''  dénotent les deux extensions distinctes sur la boule unitaire, et ''n'', un entier, est le [[nombre d'enroulement]]  de la carte résultant du collage. 

Or, la physique du modèle est inchangée à condition que
: <math>\exp \left(i2\pi k S^{\mathrm WZ}(\gamma) \right)=  \exp \left( i2\pi k S^{\mathrm WZ}(\gamma')\right)~.</math>
Alors, les considérations topologiques permettent de conclure que le niveau ''k'' doit être entier lorsque ''G''  est un groupe de Lie compact simplement connexe.  Dans le cas d'un groupe de Lie semisimple ou non-connexe, le niveau constitue un entier pour composante simple et connexe.

=== Généralisations ===
L'exemple montre un modèle de WZNW défini sur la [[sphère de Riemann]] '''''S''''' ².  Une généralisation où le champ γ habite sur une [[surface de Riemann]] compacte est possible.

== Algèbre de courant ==
L'algèbre de courant du modèle de WZNW est l'[[algèbre de Kac-Moody]]. Le [[tenseur]] de stress-énergie est donné par la [[construction de Sugarawa]].

== Références ==
{{Références}}

{{Portail|physique}}

{{DEFAULTSORT:Modele de Wess-Zumino-Novikov-Witten}}
[[Catégorie:Théorie conforme des champs]]