Voir la source de Modèle de la goutte liquide

Le '''modèle de la goutte liquide''' est le plus ancien des [[modèle]]s du [[noyau atomique]], initié au début des années 1930 par [[George Gamow|Gamow]]<ref>{{Article |langue=en |auteur1=George Gamow |titre=Mass defect curve and Nuclear Constitution |périodique=Proceedings of the Royal Society A 126 |date=1930 |doi=10.1098/rspa.1930.0032 |pages=426-450}}.</ref> et développé par [[Niels Bohr|Bohr]], [[John Wheeler|Wheeler]] et [[Lise Meitner|Meitner]] <ref>{{Ouvrage|prénom1=E.|nom1=Sartori|titre= Histoire des femmes scientifiques de l'Antiquité au XXe siècle|éditeur=[[Plon]]|année= 2006|pages totales=443|isbn=2-259-20288-8}}.</ref> pour l’étude de la fission des noyaux<ref>{{Article |langue=en |auteur1=Niels Bohr|auteur2= John Archibald Wheeler |titre=The mechanism of nuclear fission|périodique= Physical Review vol 56|date=1939 |lire en ligne= https://journals.aps.org/pr/pdf/10.1103/PhysRev.56.426|pages=426-450}}.</ref> ; il a été la base des premières études de l'[[Énergie de liaison nucléaire|énergie de liaison]] des noyaux et de l'énergie libérée par leur [[Fission nucléaire|fission]]. La première expression de l'énergie de liaison est la formule semi-empirique de [[Carl Friedrich von Weizsäcker|von Weizsäcker]]<ref name=":0">{{Article |langue=de |auteur1=C.F. von Weizsäcker |titre=Zur Theorie der Kernmassen |périodique=Zeitschrift für Physik vol 96 |date=1935 |doi=https://doi.org/10.1007/BF01337700 |pages=431-458}}.</ref>.

== Bases physiques du modèle ==
Par ses dimensions et la nature des forces qui l’animent, le noyau atomique est un objet [[Mécanique quantique|quantique]] ; cependant, dès les années 1930, les physiciens ont noté qu’en première approximation, il avait un comportement collectif presque classique, et semblable à celui d’une goutte liquide chargée électriquement<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Bernard Fernandez|titre=De l'atome au noyau |passage=262-264 |lieu=Paris |éditeur=Ellipses |date=2006 |pages totales=578 |isbn=2-7298-2784-6}}.</ref>.

Ce comportement résulte de la propriété de saturation des [[Force nucléaire|forces nucléaires]] dans les noyaux proches de leur état fondamental : sauf pour les [[Noyau atomique|noyaux]] très légers, l'énergie pour extraire un nucléon (nucléon = [[neutron]] ou [[proton]]) d'un noyau est approximativement indépendante de sa taille.

La cohésion des [[nucléon]]s du noyau atomique est assurée par des [[Force nucléaire|forces nucléaires]] à courte portée (interaction résiduelle de résidu de l'[[interaction nucléaire forte]]) : très répulsives à très courte portée ({{nb|1 [[Femtomètre|fermi]]}} et moins), elles deviennent très attractives autour de {{nb|1,3 fermi}}, puis décroissent [[Fonction exponentielle|exponentiellement]] au-delà. En conséquence :
* la distance moyenne entre les nucléons est constante et la [[masse volumique]] (supérieure à {{nb|2 e17 kg/m3}}) du noyau est indépendante de sa taille ;
* chaque nucléon au cœur du noyau n'est sensible qu'à l'attraction de ses voisins immédiats et non à celle de l'ensemble du noyau (saturation des forces) ;
* les nucléons en surface ont moins de voisins et donc sont moins liés que ceux du cœur, donnant lieu à un phénomène analogue à la [[tension superficielle]] des liquides.

Contrairement à un liquide classique chargé électriquement où les charges migrent en surface, les protons chargés positivement se répartissent de manière homogène dans le noyau ; c'est une conséquence du [[Principe d'exclusion de Pauli|principe de Pauli]] qui met des contraintes sur les états que peuvent occuper les nucléons.

L'énergie de liaison d'un noyau notée traditionnellement {{mvar|B}}, est l'énergie nécessaire pour dissocier tous les nucléons d'un noyau. Dans le '''modèle nucléaire de la goutte liquide''', elle comprendra :
* un terme de volume ;
* un terme de surface (les nucléons en surface sont moins liés que ceux au centre du noyau) ;
* un terme de répulsion coulombienne des protons entre eux ;
* des termes correctifs d'origine quantique.

== Formule semi-empirique de Bethe-Weizsäcker ==
{{Article détaillé|Formule de Weizsäcker}}
Dans la formule semi-empirique de [[Carl Friedrich von Weizsäcker|von Weizsäcker]]<ref name=":0" />, modifiée par [[Hans Bethe|Bethe]], le noyau est considéré dans son état fondamental et de forme sphérique. L'énergie de liaison du noyau est complètement déterminée par {{mvar|A}} son [[nombre de masse]], {{mvar|Z}} le nombre de ses protons et {{mvar|N}} celui de ses neutrons (avec <math>A=N+Z</math>). L'énergie de liaison tient compte de deux termes correctifs d'origine quantique :

:<math>B(A,Z) = E_\text{volume}(A,Z) - E_\text{surface}(A,Z) - E_\text{Coulomb}(A,Z) - E_\text{asymétrie}(A,Z)+E_\text{appariemment}(A,Z)</math>

Le terme d'antisymétrie résulte du [[principe d'exclusion de Pauli]], qui impose des contraintes sur les états que peuvent occuper les nucléons et favorise les noyaux où <math>N\approx Z</math>.

Les nucléons sont des [[fermion]]s qui ont un [[spin]] <math>\pm 1/2</math> ; lorsqu'ils sont associés par paire de spin total nul, ils sont plus liés que lorsqu'ils sont isolés, d'où le terme d'appariement.

Le rayon du noyau est proportionnel à <math>A^{1/3}</math> en raison de la saturation des forces nucléaires ; le volume du noyau atomique est donc proportionnel à {{mvar|A}} et sa surface proportionnelle à <math>A^{2/3}</math>. L'énergie de liaison s'écrit sous la forme :

:<math>B(A,Z)=a_v  A-a_s  A^{2/3}-a_c  {Z^2 \over A^{1/3}}-a_a{(N-Z)^2 \over A} + \delta(A,Z)</math>
[[Fichier:Liquid drop model.svg|vignette|Illustration de l'origine des différentes contribution à l'[[Liaison nucléaire|énergie de liaison]] des noyaux atomiques, dans la formule semi-empirique du modèle de la goutte liquide.]]
avec
* <math>a_v\approx 16~\textrm{MeV}</math>, coefficient du terme de volume
* <math>a_s\approx 17~\textrm{MeV}</math>, coefficient du terme de surface
* <math>a_c\approx 0,7~\textrm{MeV}</math>, coefficient de [[Électrostatique|l'énergie coulombienne]] des protons
* <math>a_a\approx 23~\textrm{MeV}</math>, coefficient du terme d'antisymétrie
* <math>\delta(A,Z) = \delta_o \ a_p \ A^{-3/4}</math>, le terme d'appariement qui favorise les noyaux avec {{mvar|N}} ou {{mvar|Z}} pairs
** <math>a_p\approx 34~\textrm{MeV}</math>
** <math>\delta_o \begin{cases}+ 1 & \mbox{pour }A\mbox{ pair, }Z \mbox{ et }N \mbox{ pairs} \\ 0 & \mbox{pour }A\mbox{ impair} \\ - 1 & \mbox{pour }A\mbox{ pair, }Z \mbox{ et }N \mbox{ impairs}\end{cases}</math>

=== Valeur des constantes ===

{| class="wikitable"
! scope=col | 
! scope=col | Wapstra<ref>
{{Ouvrage|prénom1=A. H.|nom1=Wapstra|titre=External Properties of Atomic Nuclei|passage=1–37|éditeur=Springer publishing|année=1958|isbn=978-3-642-45902-3|doi=10.1007/978-3-642-45901-6_1|titre chapitre=Atomic Masses of Nuclides}}.</ref>
! scope=col | Rohlf<ref>
{{Ouvrage|prénom1=J. W.|nom1=Rohlf|titre=Modern Physics from &alpha; to Z<sup>0</sup>|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=1994|pages totales=664|isbn=978-0-471-57270-1}}.</ref>
|-
! scope=row | <math>a_v</math>
| 14,1
| 15,75
|-
! scope=row | <math>a_s</math>
| 13
| 17,8
|-
! scope=row | <math>a_c</math>
| 0,595
| 0,711
|-
! scope=row | <math>a_a</math>
| 19
| 23,7
|-
! scope=row | <math>a_p</math>
| 33,5
| 11,18
|-
! scope=row | <small>''A pair<br>Z pair N pair''</small>
| {{nb|-1}}
| +1
|-
! scope=row | <small>''A pair<br>Z impair N impair''</small>
| +1
| {{nb|-1}}
|-
! scope=row | <small>''A impair''</small>
| 0
|
|}

On note la différence de signe pour l'énergie d'appariement dans les formulations.

== Développements du modèle de la goutte liquide ==
Beaucoup de travaux ont été effectués à la suite des années 1930 pour préciser et étendre le domaine d'application du modèle :

* ajustement des paramètres pour reproduire les données expérimentales de plus en plus abondantes : énergies de liaisons des noyaux instables, au-delà de la [[Vallée de stabilité|vallée de la stabilité]], barrières de [[Fission nucléaire|fission]]{{etc.}}, et les déformations des noyaux qui ne sont pas tous sphériques et homogènes<ref>{{Article |langue=en |auteur1=William D. Myers |auteur2=Wladyslaw J. Swiatecki |titre=Nuclear masses and deformations |périodique=Nuclear Physics |volume=81 |date=1966 |doi=https://doi.org/10.1016/0029-5582(66)90639-0 |pages=1-60}}.</ref> ;
* le modèle de la ''gouttelette liquide'' (droplet model), qui inclut les effets de la diffusivité de la surface du noyau et les différences locales entre densité des protons et densité des neutrons :  par exemple, existence d'une ''peau de neutron'' à la périphérie du noyau, lorsque le nombre de neutrons excède fortement le nombre de protons<ref>{{Article |langue=en |auteur1=William D. Myers |titre=Development of the semiempirical droplet model |périodique=Atomic data and nuclear data tables |date=1976 |pages=411-417}}.</ref>.

=== Barrières de fusion et de fission ===
{{Article détaillé|Barrière coulombienne}}
[[Fichier:Fusion de deux noyaux.gif|vignette|Modélisation de la fusion de deux [[Noyau atomique|noyaux atomiques]] (modèle de la goutte liquide). La séquence de formes fait partie des [[lemniscate]]s obtenues par inversion d'[[Ellipsoïde de révolution|ellipsoïdes]] de révolution. Elles permettent de calculer analytiquement les composantes de l'énergie (volume, surface, coulombienne{{etc.}}) et donc de calculer les [[Barrière de potentiel|barrières]] de [[Fusion nucléaire|fusion]] de deux noyaux.]]
Le modèle de la goutte liquide a été étendu pour traiter les noyaux déformés, mais qui restent proches de la [[Symétrie de rotation|symétrie sphérique]]. L'étude de la dynamique de la [[Fusion nucléaire|fusion]] ou de la [[Fission nucléaire|fission]] des noyaux nécessite de traiter les grandes déformations.

Par exemple, la fusion de deux noyaux nécessite de calculer l'énergie selon le modèle de la goutte liquide, pour une séquence de formes qui passe de ''manière continue'' de deux noyaux séparés soumis à la répulsion coulombienne, à un noyau très déformé, puis à un noyau unique.

Différentes séquences de formes ont été testées : par exemple la [[lemniscate]] [[Intégrale elliptique|elliptique]] de révolution<ref>{{Article |langue=en |auteur1=Bernard Remaud |auteur2=Guy Royer |titre=On the energy shape dependences of ellipsoïdal leptodermous systems |périodique=Journal of Physics |série=A |volume=14 |date=1981 |doi=https://doi.org/10.1088/0305-4470/14/11/013 |pages=2897-2910}}.</ref> et son [[Inversion (géométrie)|inverse]] pour laquelle les différentes contributions à l'énergie sont calculables en termes d'[[Intégrale elliptique|intégrales elliptiques]]. Le modèle permet de calculer avec une bonne précision les [[Barrière de potentiel|barrières de potentiel]] et les sections efficaces de fusion des noyaux<ref>{{Article |langue=en |auteur1=Guy Royer |auteur2=Bernard Remaud |titre=Static and dynamics fusion barrier in heavy-ion reactions |périodique=Nuclear Physics |volume=A444 |date=1985 |doi=https://doi.org/10.1016/0375-9474(85)90464-6 |pages=477-497}}.</ref>. Cependant, seule la prise en compte de la mécanique quantique (effet de [[Modèle en couches|couches]]) permet de décrire de manière précise la [[fission spontanée]] des noyaux radioactifs ou la section efficace de production des noyaux [[transuranien]]s.

== Références ==
{{Références}}

=== Articles connexes ===
{{Début de colonnes|taille=15|nombre=2}}
* [[Formule de Weizsäcker]]
* [[Modèle en couches]]
* [[Structure nucléaire]]
* [[Barrière coulombienne]]
* [[Matière nucléaire]]
{{Fin de colonnes}}
{{Portail|physique|énergie|nucléaire}}

[[Catégorie:Physique nucléaire]]