Voir la source de Module d'Young

{{Voir homonymes|Young}}

{{Infobox Grandeur physique
| nom            = Module d'Young
| unités         = [[pascal (unité)|pascal]] (Pa)
| autres unités  = {{unité|N/m2}}, {{unité|J/m3}}, {{unité|kg m-1 s-2}}
| symbole        = {{mvar|E}}
| unités de base = 
| dimension      = M L<sup>-1</sup> T<sup>-2</sup>
| extensive      = 
| intensive      = 
| conservative   = 
| nature         = 
| expressions    = 
| conjuguée      = 
| complémentaire = 
}}

[[Image:Courbe contrainte vs deformation.png|vignette|[[Diagramme]] contrainte-déformation d'un matériau [[Ductilité|ductile]].<br>Aux faibles déformations, la pente E de la partie linéaire est le [[module de Young]]. R<sub>e</sub> est la limite dʼélasticité, R<sub>e0,2</sub> la limite conventionnelle dʼélasticité pour une déformation résiduelle de 0,2 %, et R{{ind|m}} la résistance mécanique, ou contrainte ultime en traction.]]
[[Image:Samples geom.gif|vignette|Un [[module d'élasticité]] peut être déterminé à partir de la géométrie, de la raideur et de l'[[Analyse mécanique dynamique#Facteur d'amortissement ou de perte tan δ|angle de phase]] de l'[[Échantillon (matière)|échantillon]].]]

Le '''module d'Young''' (ou '''de Young'''), '''module d’élasticité (longitudinale)''' ou '''module de traction''' est la [[constante]] qui relie la [[Contrainte (mécanique)|contrainte]] de [[Essai de traction|traction]] (ou de [[Essai de compression|compression]]) et la [[Déformation d'un matériau|déformation]] d'un [[matériau]] [[Déformation élastique|élastique]] [[Isotropie|isotrope]]. Il mesure donc la rigidité du matériau vis-à-vis d'une (petite) [[Essai de traction|déformation uniaxiale]].

Le physicien britannique [[Thomas Young]] (1773-1829) avait remarqué que le rapport entre la contrainte de traction appliquée à un matériau et la [[Déformation élastique|déformation]] qui en résulte (un allongement relatif) est constant, tant que cette déformation reste petite et que la [[limite d'élasticité]] du matériau n'est pas atteinte. Cette [[Loi de comportement|loi d'élasticité]] est la [[loi de Hooke]] :
<center><math>\sigma = E \ \varepsilon</math></center>
où :
* {{mvar|σ}} est la contrainte (en [[unité de pression]]) ;
* {{mvar|E}} est le '''module d'Young''' (en unité de pression) ;
* {{mvar|ε}} est l'allongement relatif, ou [[Déformation d'un matériau|déformation]] ([[Grandeur sans dimension|adimensionnel]]) ; ({{math|''ε'' {{=}} {{sfrac|ℓ – ℓ{{ind|0}}|ℓ{{ind|0}}}}}}).

Le module d'Young est la contrainte mécanique qui engendrerait un allongement de 100 % de la longueur initiale d'un matériau (il doublerait donc de longueur), si l'on pouvait l'appliquer réellement : la plupart des matériaux se [[Déformation plastique|déforment de façon permanente]], ou se [[Rupture (matériau)|rompent]], bien avant que cette valeur ne soit atteinte. Le module d'Young est la [[Pente (mathématiques)|pente]] initiale de la courbe de déformation-contrainte.

Un matériau dont le module d'Young est très élevé est dit ''rigide''. L'[[acier]], l'[[iridium]] et le [[diamant]], sont des matériaux très rigides, dont les coefficients d'Young valent plusieurs centaines de [[gigapascal]]s (GPa), l'[[aluminium]] et le [[plomb]] le sont moins. Les [[Matière plastique|matières plastiques]] et [[Matière organique|organiques]], les [[Mousse (matière)|mousses]] sont au contraire ''souples'', élastiques ou flexibles (pour un effort de flexion), comme le sont les [[Gel_(matériau)|gels]] dont le module d'Young peut descendre dans la gamme des [[Pascal_(unité)|kilopascals]] (kPa).

La rigidité est distincte de
* la [[Essai de traction|résistance]] : la résistance mécanique d'un matériau est caractérisée par sa [[limite d'élasticité]] et/ou sa [[Essai de traction|résistance à la traction]] ;
* la [[Raideur (mécanique)|raideur]] : la raideur d'une poutre (par exemple) dépend de son module d'Young (de sa rigidité) mais aussi du rapport de sa section à sa longueur<ref>{{Ouvrage |prénom1=Sophie |nom1=Trachte |titre=Matériau, matière d'architecture soutenable |sous-titre=Choix responsable des matériaux de construction, pour une conception globale de l'architecture soutenable |éditeur=Presse universitaire de Louvain |collection=thèse de doctorat en architecture |date=06/2012 |pages totales=534 |passage=75 |isbn=978-2-87558-081-8 |isbn2=2-87558-081-7 |lire en ligne=https://books.google.com/books?id=-8gRiuYGvcoC&printsec=frontcover}}.</ref>. La rigidité caractérise les matériaux, la raideur concerne les structures et les composants : une pièce mécanique ''massive'' en matière plastique peut être beaucoup plus raide qu'un ressort en acier ;
* la [[Dureté (matériau)|dureté]] : la dureté d'un matériau définit la résistance relative qu'oppose sa surface à la pénétration d'un corps plus dur.

Le [[tenseur des constantes élastiques|tenseur des rigidités]] généralise le module d'Young aux matériaux [[Anisotropie|anisotropes]].

== Unités ==

D'après l'[[analyse dimensionnelle]], le module d'Young est homogène à une [[pression]], ou plus précisément une [[Contrainte (mécanique)|contrainte]]. L'unité internationale correspondante est donc le [[Pascal (unité)|pascal]] (Pa). En raison des valeurs élevées que prend ce module, il est en général exprimé en [[gigapascal]]s (GPa) ou [[mégapascal]]s (MPa).

== Expressions théoriques ==

Dans le cas d'un matériau [[cristal]]lin et de certains matériaux amorphes, le module d'Young exprime la « force de rappel » électrostatique qui tend à maintenir les atomes à distance constante. Il peut s'exprimer en fonction de la [[dérivée seconde]] du [[potentiel interatomique]].

Dans le système d'unités « naturelles » atomique, le module d'Young, pour un matériau isotrope, est homogène à<ref>{{Physique de l'état solide (Charles Kittel)}}, {{chap.}}3.</ref>
<center><math>E = E_0 = \frac{m^4 q_e^{10}}{\hbar^8}</math></center>

où
<center><math>q_e^2 = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}</math></center>
et où
<center><math>\hbar=\frac{h}{2 \pi}</math></center>
est la [[constante de Planck réduite]].

Cela dit, compte tenu des problèmes où il apparaît ([[Opérateur bilaplacien|bilaplacien]]), il paraît assez naturel de le rationaliser :
* soit comme {{math|''E''{{ind|1}} {{=}} {{sfrac|''E''{{ind|0}}|16 ''π''{{2}}}}}} ;
* soit comme {{math|''E''{{ind|2}} {{=}} {{sfrac|''E''{{ind|0}}|64 ''π''{{6}}}}}} ; 
les ordres de grandeur de {{math|''E''{{ind|1}}}} ou {{math|''E''{{ind|2}}}} sont à comparer aux valeurs tabulées, de l'ordre de {{unité|100|GPa}}, qui apparaissent alors relever de ce ''corpus'' théorique.

Dans le cas des [[polymère]]s, l'[[énergie thermique]] « tortille » la chaîne carbonée qui tend à maintenir la longueur de la chaîne constante. Le module d'Young peut alors s'exprimer en fonction de l'[[entropie (thermodynamique)|entropie]].

Cette différence de comportement est flagrante lorsque l'on considère l'influence de la température ; si l'on soumet une éprouvette à une charge constante (essai de [[fluage]]) :
* lorsque l'on augmente la température, une éprouvette de métal s'allonge ([[dilatation thermique|dilatation]]), donc son module d'Young diminue, tandis que l'éprouvette en polymère se raccourcit (les chaînes s'agitent, s'entortillent) donc {{référence nécessaire|son module d'Young augmente}} ;
* lorsque l'on diminue la température, on observe le phénomène inverse : l'éprouvette de métal se raccourcit (contraction) donc son module d'Young augmente, tandis que l'éprouvette de polymère s'allonge (les chaînes sont moins agitées et se laissent étirer) donc {{référence nécessaire|son module d'Young diminue}}.

== Relations ==
Pour un matériau isotrope :
* L'expression de {{mvar|E}} en fonction du [[module de cisaillement]] ({{mvar|G}}) et du [[coefficient de Poisson]] (<math>\nu</math>) s'écrit {{math|''E'' {{=}} 2''G''(1 + ''ν'')}}.
* L'expression de {{mvar|E}} en fonction de {{mvar|λ}} et {{mvar|μ}}, appelés [[coefficients de Lamé]], est
<center><math>E = \frac{(3{\lambda}+2{\mu}){\mu}}{{\lambda}+{\mu}}</math>.</center>

== Méthodes de mesure ==

Le plus simple reste bien sûr de réaliser un [[essai de traction]]. Et, connaissant les dimensions de l'éprouvette, d'en déduire le module d'Young <math>E</math>. Cependant, il est difficile de réaliser cette mesure avec une bonne précision.

C'est pourquoi on préfère, lorsque cela est possible, déduire le module d'Young de la [[fréquence propre]] de vibration d'une tige de matériau maintenue à ses extrémités et chargée en son milieu.

{{Article connexe|Méthode de Oberst}}

On peut aussi mesurer la vitesse du [[son (physique)|son]] dans le matériau qui nous intéresse, et en déduire le module d'Young sachant qu'on a la relation suivante.
<center><math>V_{\rm son} \propto \sqrt{\frac{E}{\rho}}</math>.</center>

Cependant, cette loi est approchée : la vitesse du son dépend aussi du [[coefficient de Poisson]].

Le module d'Young augmente avec la [[vitesse de déformation]]. Voir aussi [[Principe d'équivalence temps-température]].

Le module d'Young ''complexe'' peut être déterminé par [[analyse mécanique dynamique]].

== Quelques valeurs numériques ==
{{section à sourcer|date=avril 2016}}
Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre.
D'un point de vue global, selon M. Ashby, on trouve des matériaux dont la valeur est comprise entre {{unité|10 kPa}} (mousses) et {{unité|1000 GPa}} (céramiques techniques).

{| width=100%
| valign="top" |
{| class="wikitable sortable"
|+ [[Métal|Métaux]] purs
! Matériaux
! Module (GPa)
|-----
| [[Aluminium]] (Al) || 69
|-----
| [[Argent]] (Ag) || 83
|-----
| [[Baryum]] (Ba) || 13
|-----
| {{tri|Ber}}[[Béryllium]] (Be) || 240
|-----
| [[Bismuth]] (Bi) || 32
|-----
| [[Cadmium]] (Cd) || 50
|-----
| {{tri|ces}}[[Césium]] (Cs) || 1,7
|-----
| [[Chrome]] (Cr) || 289
|-----
| [[Cobalt]] (Co) || 209
|-----
| [[Cuivre]] (Cu) || 124
|-----
| {{tri|Etain}}[[Étain]] (Sn) || 41,5
|-----
| [[Fer]] (Fe) || 196
|-----
| [[Germanium]] (Ge) || 89,6
|-----
| [[Indium]] (In) || 11
|-----
| [[Iridium]] (Ir) || 528
|-----
| [[Lithium]] (Li) || 4,9
|-----
| [[Magnésium]] (Mg) || 45
|-----
| [[Manganèse]] (Mn) || 198
|-----
| [[Molybdène]] (Mo) || 329
|-----
| [[Nickel]] (Ni) || 214
|-----
| [[Niobium]] (Nb) || 105
|-----
| [[Or]] (Au) || 78
|-----
| [[Palladium]] (Pd) || 121
|-----
| [[Platine]] (Pt) || 168
|-----
| [[Plomb]] (Pb) || 18
|-----
| [[Plutonium]] (Pu) || 96
|-----
| [[Rhodium]] (Rh) || 275
|-----
| [[Rubidium]] (Rb) || 2,4
|-----
| [[Ruthénium]] (Ru) || 447
|-----
| [[Scandium]] (Sc) || 74
|-----
| {{tri|Sel}}[[Sélénium]] (Se) || 10
|-----
| [[Sodium]] (Na) || 10
|-----
| [[tantale (chimie)|Tantale]] (Ta) || 186
|-----
| [[Titane]] (Ti) || 114
|-----
| [[Tungstène]] (W) || 406
|-----
| [[Uranium]] (U) || 208
|-----
| [[Vanadium]] (V) || 128
|-----
| [[Zinc]] (Zn) || 78
|-----
| [[Zirconium]] (Zr) || 68
|}
| valign="top" |
{| class="wikitable sortable"
|+ [[Alliage]]s
! Matériaux
! Module (GPa)
|-----
| [[Acier]] de construction || 210
|-----
| Acier à ressorts || 220
|-----
| [[Acier inoxydable]] 18-10 || 203
|-----
| [[Bronze]] ([[cuivre]] + 9 à 12 % d'[[étain]]) || 124
|-----
| [[Bronze au béryllium]] || 130
|-----
| [[Cuivre]] laminé U4 (recuit) || 90
|-----
| Cuivre laminé U4 (écroui dur) || 150
|-----
| [[Duralium]] AU4G || 75
|-----
| [[Fonte (métallurgie)|Fontes]] || 83 à 170
|-----
| [[Hastelloy]] B2 ([[nickel|Ni]] + [[molybdène|Mo]]) || 217
|-----
| Hastelloy C 2000 (Ni + Cr + Mo) || 206
|-----
| [[Inconel]] X-750 (Ni + Cr + Fe) || 212 à 218
|-----
| [[Invar]] || 140
|-----
|[[Laiton]] (Cu + Zn) || 100 à 130
|-----
| [[Monel#Monel 400|Monel 400]] (Ni + Cu) || 173
|-----
| [[Nimonic]] 90 (Ni + Cr + Co) || 213 à 240
|-----
| Nispan (Ni + Cr + Ti) || 165 à 200
|-----
| [[Phynox]] (Co + Cr + Ni + Mo) || 203
|}
| valign="top" |
{| class="wikitable sortable"
|+ [[Verre]]s, [[céramique]]s, [[oxyde]]s, [[carbure]]s métalliques, [[Minéral|minéraux]]
! Matériaux
! Module (GPa)
|-----
| [[Alumine]] (oxyde d'aluminium Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub>) || {{smn|390|5|10}}
|-----
| [[Arsenic]] (As) || {{smn|8|5|10}}
|-----
| [[Arséniure de gallium]] (AsGa) || {{smn|85.5|5|10}}
|-----
| {{tri|Bet}}[[Béton]] || {{smn|20|5|10}} à 50
|-----
| [[Brique (matériau)|Brique]] || {{smn|14|5|10}}
|-----
| [[Calcaire]] (carbonate de calcium, CaCO<sub>3</sub>, roche sédimentaire) || {{smn|20|5|10}} à 70
|-----
| [[Carbure de chrome]] (Cr<sub>3</sub>C<sub>2</sub>) || {{smn|373|5|10}}
|-----
| [[Carbure de silicium]] (SiC) || {{smn|450|5|10}}
|-----
| [[Carbure de titane]] (TiC) || {{smn|440|5|10}}
|-----
| [[Carbure de tungstène]] (WC) || {{smn|650|5|10}}
|-----
| [[Carbure de zirconium]] (ZrC) || {{smn|380|5|10}} à 440
|-----
| [[Diamant]] (C) || {{smn|1000|5|10}}
|-----
| [[Dioxyde de silicium]] (SiO<sub>2</sub>) || {{smn|70|5|10}}
|-----
| [[Glace]] ({{H2O}}) || {{smn|9.3|5|10}}
|-----
| [[Graphite]] || {{smn|30|5|10}}
|-----
| [[Granite]] || {{smn|60|5|10}}
|-----
| [[Marbre]] || {{smn|26|5|10}}
|-----
| [[Mullite]] (Al<sub>6</sub>Si<sub>2</sub>O<sub>13</sub>) || {{smn|145|5|10}}
|-----
| [[Neige]] (glace {{H2O}} + air) || {{smn|0.0002|5|10}} à 0,015
|-----
| [[Oxyde de béryllium]] (BeO) || {{smn|350|5|10}}
|-----
| [[Oxyde de magnésium]] (MgO) || {{smn|250|5|10}}
|-----
| [[Dioxyde de zirconium|Oxyde de zirconium]] (ZrO{{ind|2}}) || {{smn|200|5|10}}
|-----
| [[Saphir]] || {{smn|420|5|10}}
|-----
| [[Aluminure de titane]] (Ti<sub>3</sub>Al) || {{smn|140|5|10}}
|-
| [[Titanate de baryum]] (BaTiO<sub>3</sub>) || {{smn|67|5|10}}
|-
| [[Verre]] || {{smn|69|5|10}}
|}
|}

{| width=100%
| valign="top" width=30% |
{| class="wikitable sortable"
|+ [[Bois]]
! Matériaux
! Module (GPa)
|-----
| [[Acajou]] ([[Afrique]]) ||  12
|-----
| [[Bambou]] ||  20 
|-----
| [[Aniba rosaeodora|Bois de rose]] ([[Brésil]]) ||  16
|-----
| [[Dalbergia sissoo|Bois de rose]] ([[Inde]]) ||  12
|-----
| [[Chêne]] ||  12
|-----
| [[Contreplaqué]] ''glaw'' ||  12,4
|-----
| {{tri|Epi}}[[Épicéa]] ||  10 à 13
|-----
| {{tri|Era}}[[Érable]] ||  10
|-----
| [[Frêne]] ||  10
|-----
| [[Papier]] ||  3 à 4
|-----
| [[Sequoia]] ||  9,5
|}
<small>N.B. Ces valeurs sont celles du module d'élasticité dans le sens parallèle au fil (matériau anisotrope). Dans une même [[Essence forestière|essence]], celui-ci varie en fonction de l'[[humidité]], de la [[densité]] (qui n'est pas constante) et d'autres caractéristiques (longueur des [[fibre]]s…).</small>
| valign="top" |
{| class="wikitable sortable"
|+ [[Polymère]]s, [[fibre]]s
! Matériaux
! Module (GPa)
|-----
| [[caoutchouc (matériau)|Caoutchouc]] || {{smn|0.001|7|1000}} à 0,1
|-----
| [[Fibre de carbone]] haut module || {{smn|640|7|1000}}
|-----
| Fibre de carbone haute résistance || {{smn|240|7|1000}}
|-----
| [[Kevlar]] || {{smn|34.5|7|1000}}
|-----
| [[Nanotube de carbone]] || {{smn|1100|7|1000}}
|-----
| [[Nylon]] || {{smn|2|7|1000}} à 5
|-----
| Plexiglas ([[Polyméthacrylate de méthyle|poly(méthacrylate de méthyle)]]) || {{smn|2.38|7|1000}}
|-----
| [[Polyamide]] || {{smn|3|7|1000}} à 5
|-----
| [[Polycarbonate]] || {{smn|2.3|7|1000}}
|-----
| {{tri|polyeth}}[[Polyéthylène]] || {{smn|0.2|7|1000}} à 0,7
|-----
| [[Polystyrène]] || {{smn|3|7|1000}} à 3,4
|-----
| [[Résine (constituant)|Résine]] [[Polyépoxyde|époxyde]] ([[Réticulation|durcie]]) || {{smn|3.5|7|1000}}
|-
|[[Polypropylène]] || {{smn|1.1|7|1000}} à 1,6
|}
| valign="top" |
{| class="wikitable sortable"
|+ [[Biomatériau]]x
! Matériaux
! Module (GPa)
|-
|Émail dentaire
|82,5
|-----
| [[Bec]] de [[Gallus gallus domesticus|poussin]] ||  50
|-----
| [[Cartilage]] ||  0,024
|-----
| [[Cheveu]] ||  10
|-----
| [[Collagène]] ||  0,006
|-----
| Laine ||  14
|-
|[[Nacre]]
|40 à 70
|-----
| Piquant d'[[Echinoidea|oursin]] ||  15 à 65
|-----
| [[Radius (os)|Radius]] ||  18,6
|-----
| [[Soie]] d'[[Araneae|araignée]] ||  25
|-----
| Soie du ver à soie ||  17
|-----
| [[Vertèbre cervicale]] ||  0,23
|-----
| [[Vertèbre lombaire]] ||  0,16
|}
|}

== Utilisations ==
Le module d'Young est bien évidemment extrêmement utilisé en mécanique des structures ou en résistance des matériaux. Ces deux domaines apparaissent dans la conception d'édifices architecturaux ou même dans le dimensionnement des ailes d'un avion pour prendre cet exemple. À l'heure actuelle, l'accent est porté sur la recherche de nouveaux matériaux possédant un module d'Young élevé tout en restant léger, les références aéronautiques étant l'aluminium, le titane, et plus récemment les polymères tels que les fibres de carbone.

La mesure du module d'Young permet également de quantifier l'avancement de l'état de dégradation de matériaux comme le [[béton]] à la suite de différentes [[pathologie]]s comme celle de la [[réaction alcali-granulat]] et des réactions sulfatiques internes ou externes se caractérisant par un gonflement interne du béton. La mesure peut se faire par essais destructifs (essais de compression, de fendage ou de flexion) ou par examens non destructifs (examens [[acoustique]]s ou par [[ultrason]]s). En effet, la vitesse de propagation des ondes sonores ou ultra-sonores dans un [[milieu continu]] dépend de l'[[Déformation élastique|élasticité]] de ce milieu, fonction elle-même de son module d'Young.

En médecine également, la mesure des variations du module d'Young dans un organe est une possibilité de l'[[imagerie médicale]] (essentiellement par [[échographie]]) qui permet de représenter l'élasticité des tissus même profonds, par exemple pour donner l'étendue de la [[fibrose]] d'un [[foie]] ou détecter dans un [[sein]] un [[carcinome]] petit ou profond, peu décelable à la palpation ([[élastographie]] de {{2e|génération}}).

== Références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* Ch. Kittel, ''Physique du solide'', éd. Dunod, {{chap.}}« [[Module d'élasticité|Constantes d'élasticité]] ».
* Michael F. Ashby et David R. H. Jones, ''Matériaux 1. Propriétés et applications'', éd. Dunod, {{chap.|3}} « Les constantes d'élasticité ».

=== Articles connexes ===
* [[Notion de module]]
* [[Module d'élasticité]]
* [[Facteur de forme (mécanique)|Facteur de forme]]
* [[Module de cisaillement]]
* [[Limite d'élasticité]]
* [[Mécanique des milieux continus]]
* [[Élinvar]]

=== Liens externes ===
* [https://www.4geniecivil.com/2021/03/module-de-young-initiation-en-pdf.html Module d'Young, avec exercices corrigés] {{pdf}}, sur ''4geniecivil.com''.

{{Palette| Modules élastiques}}

{{Portail| matériaux| physique}}

[[Catégorie:Élasticité]]
[[Catégorie:Biomécanique]]
[[Catégorie:Biomathématiques]]